Đánh giá calderón zygmund cho bài toán non uniformly

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Lê Tuyết Nhi ĐÁNH GIÁ CALDERĨN-ZYGMUND CHO BÀI TỐN NON-UNIFORMLY KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Lê Tuyết Nhi ĐÁNH GIÁ CALDERĨN-ZYGMUND CHO BÀI TỐN NON-UNIFORMLY Chun ngành: Tốn giải tích MSSV: 44.01.101.027 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Đánh giá Calderón-Zygmund cho tốn non-uniformly” tơi thực Các kết khóa luận trung thực khơng chép khóa luận hay luận văn khác Trong q trình thực khóa luận, tơi thừa kế kết nhiều báo công bố nhà khoa học với trân trọng biết ơn sâu sắc Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép công bố Sinh viên thực Phạm Lê Tuyết Nhi LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập nghiên cứu khóa luận trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tơi nhận nhiều giúp đỡ, động viên từ q Thầy Cơ, gia đình bạn bè Trước tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thành Nhân, người giới thiệu cho đề tài này, trực tiếp hướng dẫn tận tình tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt khóa luận Bên cạnh tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho thực tốt khóa luận Xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cơ Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức, kinh nghiệm giảng dạy quý báu suốt năm học vừa qua quý Thầy, Cơ Hội đồng chấm khóa luận góp ý giúp cho khóa luận hồn thiện Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn K44C hết lịng ủng hộ giúp đỡ tơi suốt q trình học tập q trình thực khóa luận Sinh viên thực Phạm Lê Tuyết Nhi Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu Giới thiệu Tóm tắt khóa luận 1 Giới thiệu tổng quan Cấu trúc khóa luận Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lorentz 1.2 Không gian Musielak-Orlicz-Sobolev 1.3 Toán tử cực đại cấp phân số Chương Đánh giá so sánh với nghiệm phương trình 12 2.1 Các bổ đề 12 2.2 Đánh giá so sánh với nghiệm phương trình 15 Chương Đánh giá CalderónZygmund khơng gian Lorentz 19 3.1 Các bổ đề chuẩn bị 19 3.2 Xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối 25 3.3 Đánh giá Calderón-Zygmund khơng gian Lorentz 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 CÁC KÝ HIỆU R Tập hợp số thực Ω Miền mở, bị chặn Rn Ω Bao đóng Ω ∂Ω Biên miền Ω diam (Ω) Đường kính miền Ω BR (x) Quả cầu mở tâm x, bán kính R > Rn ∇u Gradient hàm u : Rn → R div(F ) Divergence hàm F |E| Độ đo Lebesgue tập đo E ⊂ Rn f (x)dx Tích phân trung bình hàm khả tích f tập E đo E ⊂ Rn M Toán tử cực đại Hardy-Littlewood Mα Toán tử cực đại cấp phân số với α ∈ [0, n] Cc∞ (Ω) Không gian hàm trơn, có support compact Ω Lp (Ω) Khơng gian Lebesgue hàm đo được, có lũy thừa p khả tích Ω Ls,t (Ω) Khơng gian Lorentz Ω L1loc (Rn ) Không gian Lebesgue địa phương hàm đo được, có lũy thừa khả tích tập compact Rn  Kết thúc chứng minh Giới thiệu Tóm tắt khóa luận Nội dung khóa luận trình bày đánh giá CalderónZygmund cho lớp tốn non-uniformly elliptic phi tuyến khơng gian Lorentz với liệu có dạng divergence điều kiện biên nhất, có dạng   div(A(x, ∇u)) = div(B(x, F)) Ω,   u (1) ∂Ω, =0 tốn tử A B trang bị điều kiện cho toán (1) có mơ hình giống phương trình (p(x), q(x))-Laplace, tức  p(x)−2 div(A(x, ∇u)) ' div |∇u| q(x)−2 ∇u + a(x)|∇u|  ∇u ,  p(x)−2 div(B(x, F)) ' div |F| q(x)−2 F + a(x)|F|  F , n ≥ 2, < p(x) ≤ q(x) hàm a : Ω → [0, ∞) thỏa điều kiện (2) (3) trình bày phần Tính quy nghiệm tốn (1) thể qua đánh giá Calderón-Zygmund tác động toán tử cực đại cấp phân số Mα không gian Lorentz Ls,t (Ω), cụ thể ta chứng minh Mα H(·, F) ∈ Ls,t (Ω) =⇒ Mα H(·, ∇u) ∈ Ls,t (Ω), với hàm H xác định H(x, y) := |y|p(x) + a(x)|y|q(x) , (x, y) ∈ Ω x Rn Phương pháp sử dụng khóa luận xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối (hay gọi kỹ thuật good-λ), từ áp dụng vào việc đánh giá tựa chuẩn không gian Lorentz suy tính quy nghiệm Các kết khóa luận trình bày lại cách rõ ràng, chi tiết từ ý tưởng đến kỹ thuật giải khó khăn phát sinh mở rộng toán non-uniformly từ tham số thành tham số hàm Giới thiệu tổng quan Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tính quy nghiệm chủ đề nhận nhiều quan tâm nhà toán học Rất nhiều báo, luận văn nghiên cứu tính chất cho lớp phương trình Laplace, phương trình elliptic tựa tuyến tính phi tuyến cơng bố Khi mở rộng toán phi tuyến, nhà toán học tập trung nghiên cứu điều kiện khác hàm liệu liệu độ đo, liệu dạng divergence; điều kiện biên khác không gian khảo sát khác không gian Lorentz, khơng gian Lorentz có trọng, khơng gian Morrey Khóa luận tập trung nghiên cứu toán hai pha với tham số hàm, biết đến dạng phương trình Euler-Lagrange phiếm hàm lượng có dạng ˆ D p(x)−2 |F| ω 7→ J (ω; Ω) − F + a(x)|F| q(x)−2 E F, ∇ω dx, Ω ˆ  J (ω; Ω) := Ω  a(x) |∇ω|p(x) + |∇ω|q(x) dx p(x) q(x) Đây mở rộng toán hai pha từ tham số (p, q) thành tham số hàm (p(x), q(x)), kết hợp hai phép biến đổi ˆ ˆ p(x) ω 7→ |∇ω| dx ω → (|∇ω|p + a(x)|∇ω|q )dx, Ω p(x) > < p ≤ q, Ω < a(·) ∈ L∞ (Ω) Bài toán hai pha với tham số nghiên cứu lần đầu Zhikov từ năm 1986 (tham khảo [18]) Xuyên suốt gần 40 năm, có nhiều nghiên cứu liên quan đến toán nonuniformly khác tác động tham số (p, q), chẳng hạn báo Marcellini [11, 12] hay nghiên cứu dựa vào lý thuyết Calderón-Zygmund Baroni, Colombo, Filippis Mingione [1, 2, 3, 6, 7, 8, 9] Trong trường hợp tham số mũ có dạng p(x) q(x) mối quan tâm hàng đầu nghiên cứu biến phân lấy ý tưởng từ mơ hình xuất tượng vật lý chất lỏng phi 19 Chương Đánh giá CalderónZygmund khơng gian Lorentz Chương trình bày kết nghiên cứu khóa luận: tính quy nghiệm tốn non-uniformly với tham số hàm Đánh giá Calderón-Zygmund chứng minh dựa việc xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối thông qua Bổ đề phủ Vitali Cụ thể, chương trình bày bổ đề chuẩn bị, từ xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối áp dụng vào việc chứng minh đánh giá Calderón-Zygmund cho tốn non-uniformly với tham số hàm khơng gian Lorentz Tài liệu tham khảo chương báo [15] tác giả Tran & Nguyen 3.1 Các bổ đề chuẩn bị Bất đẳng thức hàm phân phối xây dựng dựa Bổ đề phủ Vitali Việc kiểm tra hai giả thiết Bổ đề phủ trình bày dựa vào bổ đề chuẩn bị trình bày mục Để bổ đề trình bày phát biểu ngắn gọn hơn, ta xét hàm F ∈ LH (Ω), u ∈ W 1,H (Ω) nghiệm phân bố toán (1), 20 w ∈ u + W01,H (Ω4R ) nghiệm phương trình (2.6) số α ∈ [0, n) cố định Bổ đề 3.1.1 ([15]) Với a > R > 0, tồn số diam(Ω) ) > cho R  Mα H(·, F) ≤ εb λ 6= ∅ với ε ∈ (0, ε0 ), λ > b = b(data, a) > ε0 = ε0 (a, data, dMα H(·,∇u) (ε−a λ) ≤ ε|BR (0)| (3.1) Chứng minh Theo Bổ đề 1.3.2 tính bị chặn tốn tử cực đại cấp phân số Mα Bổ đề 2.2.3 (Đánh giá toàn cục), ta có dMα H(·,∇u) (ε−a λ) ≤ | x ∈ Rn : Mα H(x, ∇u) > ε−a λ |   ≤C  ≤C εa λ ˆ n  n−α H(x, ∇u)dx ˆ a ε λ Ω n  n−α H(x, F)dx Ω  Từ giả thiết Mα H(·, F) ≤ εb λ 6= ∅ ta lấy x2 ∈ Ω thỏa Mα H(·, F)(x2 ) ≤ εb λ (3.2) Đặt Q = BD0 (x2 ) với D0 = diam(Ω) > Ω ⊂ Q Kết hợp (3.2) ta dMα H(·,∇u) (ε−a λ) ≤ C   ≤C εa λ ˆ n  n−α H(x, F)dx Q εa D0n−α ≤ CD0n ε λ (a+b)n n−α n  n−α Mα H(·, F)(x2 ) 21 n−α (a + b)n Với a > 0, chọn b > thỏa b > − a > Tiếp n n−α   |BR (0)| (a+b)n n−α −1 tục chọn ε0 = > với ε ∈ (0, ε0 ) ta thu n CD0 dMα H(·,∇u) (ε−a λ) ≤ CD0n ε.ε ≤ CD0n ε (a+b)n n−α −1 |BR (0)| CD0n = ε|BR (0)|, kết thúc chứng minh Bổ đề 3.1.2 Cho x0 ∈ Ω, R ∈ (0, D0 ] số a > Tồn ε0 = ε0 (a, data) ∈ (0, 1), b = b(a, data) > λ0 = λ0 (α, D0 ) > cho {Mα H(·, ∇u) ≤ λ} ∩ BR (x0 ) 6= ∅; Mα H(·, F) ≤ εb λ ∩ BR (x0 ) 6= ∅,  (3.3) với ε ∈ (0, ε0 ) λ > λ0 bất đẳng thức sau đúng: dMRα H(·,∇u) (BR (x0 ), ε−a λ) ≤ ε|BR (x0 )| (3.4) Nhận xét Điều kiện λ > λ0 xuất để xử lý số bt ng thc Reverse Hăolder iu kin ny dẫn đến việc chứng minh đánh giá Calderón-Zygmund phần trở nên khác biệt so với toán hai pha tham số khảo sát trước Chứng minh Trước tiên để phần chứng minh ngắn gọn hơn, ta đặt Ω4R = Ω4R (x0 ) L = dMRα H(·,∇u) (BR (x0 ), ε−a λ) 22 Lấy ζ ∈ BR (x0 ) tùy ý Br (ζ) ⊂ B2R (x0 ) với r < R Do χB2R (x0 ) (x) = ∀x ∈ Br (ζ) ta thêm hàm χB2R (x0 ) vào cut- off toán tử cực đại cấp phân số sau, mục đích đưa tích phân Rn tích phân cầu B2R (x0 ): α MR α H(·, ∇u)(ζ) = sup r 0 thỏa H(x, ∇u)dx + Cδ −m H(x, ∇u − ∇w)dx ≤ δ Ω4R H(x, F)dx Ω4R Ω4R Sử dụng hai bất đẳng thức để tiếp tục đánh giá L, ta n  n   n−α R ε−a λ L≤C " +C H(x, ∇u)dx + δ −m δ Rn (ε−a λ)θ Ω4R H(x, F)dx Ω4R  n θ # n−θα H(x, ∇u)dx + δ −m + (1 + δ) Ω4R H(x, F)dx Ω4R (3.6) Từ điều kiện (3.3) ta chọn x1 , x2 ∈ BR (x0 ) thỏa Mα H(·, F)(x2 ) ≤ εb λ Mα H(·, ∇u)(x1 ) ≤ λ Khi Ω4R (x0 ) ⊂ Ω5R (x1 ) ∩ Ω5R (x2 ) nên ta có đánh giá H(x, ∇u)dx ≤ CR−α Mα H(·, ∇u)(x1 ) H(x, ∇u)dx ≤ C Ω4R Ω5R (x1 ) ≤ CR−α λ, (3.7) H(x, F)dx ≤ CR−α Mα H(·, F)(x2 ) H(x, F)dx ≤ C Ω4R Ω5R (x2 ) 24 ≤ CR−α εb λ (3.8) Thay (3.7) (3.8) vào (3.6), với λ ≥ D0α ≥ Rα ta có n  n−α  n
R −α −m −α b L≤C ε−a λ δR λ+δ R ελ
Rn −α −m −α b θ + (1 + δ)R λ + δ R ε λ +C (ε−a λ)θ  n n  n−θα n ≤ CRn (δεa + δ −m εa+b ) n−α + CRn [εaθ (1 + δ −m εb )θ ] n−θα b Chọn δ = ε m+1 δ ∈ (0, 1) δ −m εb = δ Khi 1+δ −m εb = 1+δ < nên L ≤ CR n  ε n b (a+ m+1 ) n−α +ε aθn n−θα  (3.9) Với a > 0, chọn   n  n  θ ∈ 1, thỏa θ > ,  α an + α aθ(n − α) an(θ − 1)(m + 1)   − a (m + 1) = > b > n − θα anθ > Khi n − θα n − θα   b n aθn a+ > > Thay điều m+1 n−α n − θα kiện vào (3.9), với ε ∈ (0, 1) ta có aθn L ≤ C|BR (x0 )|ε.ε n−θα −1 Cuối cùng, chọn ε0 =   C aθn −1 n−θα (3.10)  ;1 với ε ∈ (0, ε0 ), từ (3.10) ta dễ dàng thu (3.4) điều phải chứng minh Bổ đề 3.1.3 (Bổ đề phủ Vitali) Cho Ω thỏa điều kiện p-capacity điều kiện (δ, r0 ) − Reif enberg với số c0 , r0 , δ > Xét hai 25 tập đo V W thỏa V ⊂ W ⊂ Ω Giả sử ε ∈ (0, 1) R0∗ ∈ (0, r0 ] thỏa: |V | ≤ ε|BR0∗ (0)|, Với x ∈ Ω R ∈ (0, R0∗ ], |V ∩ BR (x0 )| > ε|BR (x0 )| Ω ∩ BR (x0 ) ⊂ W Khi tồn số C > cho |V | ≤ Cε|W | 3.2 Xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối Ý tưởng việc xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối sử dụng Bổ đề phủ Vitali cho hai tập đo thích hợp Các bổ đề chuẩn bị sử dụng mục để kiểm tra hai điều kiện Bổ đề phủ, từ ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức hàm phân phối (hay gọi bất đẳng thức dạng good-λ) Định lý 3.2.1 Cho α ∈ [0, n) hàm liệu F ∈ LH (Ω) Giả sử + ∂Ω C 1,σ với σ + ∈ [σ, 1] hàm u ∈ W 1,H (Ω) nghiệm phân bố toán (1) điều kiện (2) (3) Khi với a > 0, tồn b = b(data, a) > 0, ε0 = ε0 (data, a) ∈ (0, 1), λ0 = λ0 (α, diam(Ω)) > 0, C = C(data, a) > cho bất đẳng thức sau: dMα H(·,∇u) (ε−a λ) ≤ CεdMα H(·,∇u) (λ) + dMα H(·,F) (εb λ), (3.11) với λ > λ0 < ε < ε0 Chứng minh Để sử dụng Bổ đề phủ, ta xét hai tập đo sau: V = Mα H(·, ∇u) > ε−a λ;  Mα H(·, F) ≤ εb λ , 26 W = {Mα H(·, ∇u) > λ} Khi V ⊂ W ⊂ Ω Ta tiến hành kiểm tra hai điều kiện Bổ đề phủ Vitali với ý R0∗ chọn thỏa R0∗ ∈ (0, r0 ] R0∗ ≤ D0 Ta cần xét trường hợp V 6= ∅ trường hợp V = ∅ hiển nhiên V, W thỏa hai điều kiện Bổ đề phủ Khi V 6= ∅ ta có  Mα H(·, F) ≤ εb λ 6= ∅ Áp dụng Bổ đề 3.1.1 , tồn b = b(data, a) > ε1 = ε1 (a, data) > thỏa |V | ≤ dMα H(·,∇u) (ε−a λ) ≤ ε|BR0∗ (0)|, ∀ε ∈ (0, ε1 ) Ta kiểm tra xong điều kiện đầu Bổ đề 3.1.3 Tiếp theo, ta chứng minh V, W thỏa điều kiện thứ hai Bổ đề phủ phản chứng Để ý V ∩ BR (x0 ) = ∅ phát biểu Bổ đề 3.1.3 hiển nhiên Do ta giả sử V ∩ BR (x0 ) 6= ∅ kết hợp thêm giả thiết phản chứng Ω ∩ BR (x0 ) ∩ W c 6= ∅, suy {Mα H(·, ∇u) ≤ λ} ∩ BR (x0 ) 6= ∅; Mα H(·, F) ≤ εb λ ∩ BR (x0 ) 6= ∅  Sử dụng Bổ đề 3.1.2, tồn b = (a, data) > 0, ε2 = ε2 (a, data) ∈ (0, 1) λ0 = λ0 (data) > thỏa dMRα H(·,∇u) (BR (x0 ), ε−a λ) ≤ ε|BR (x0 )|, (3.12) 27 với ε ∈ (0, ε2 ) λ > λ0 Mặt khác, từ Bổ đề 1.3.3, ta có |V ∩ BR (x0 )| ≤ dMα H(·,∇u) (BR (x0 ), ε−a λ) = dMRα H(·,∇u) (BR (x0 ), ε−a λ), (3.13) n
với ε ∈ 0, 3− a  n Chọn ε0 = ε1 , ε2 , 3− a b = b(a, data) > thỏa hai Bổ đề 3.1.1 Bổ đề 3.1.2, từ (3.12) (3.13) ta thu |V ∩ BR (x0 )| ≤ ε|BR (x0 )|, với ε ∈ (0, ε0 ) (!) Vậy với λ > λ0 ε ∈ (0, ε0 ) V, W thỏa hai điều kiện Bổ đề 3.1.3 Do tồn số C > cho |V | ≤ Cε|W | Kết hợp kết vừa thu từ Bổ đề phủ nhận xét dMα H(·,∇u) (ε−a λ) ≤ |V | + dMα H(·,F) (εb λ), ta dễ dàng thu (3.11) hồn thành chứng minh 3.3 Đánh giá Calderón-Zygmund khơng gian Lorentz Đánh giá Calderón-Zygmund trình bày mục kết nghiên cứu khóa luận Tôi sử dụng bất đẳng thức hàm phân phối để đánh giá phụ thuộc nghiệm yếu tốn (1) vào hàm liệu F, hay cịn gọi tính quy nghiệm tốn (1) Cụ thể, mục trình bày đánh giá Calderón-Zygmund không 28 gian Lorentz chứng minh dựa vào bất đẳng thức (3.11) xây dựng mục 3.2 Định lý 3.3.1 Dưới điều kiện Định lý 3.2.1 cho Mα H(·, F) ∈ Ls,t (Ω) với s ∈ (0, ∞), < t ≤ ∞ Khi toán tử A thỏa điều kiện (R0 , 0 ) với 0 = 0 (data) > R0 > Mα H(·, ∇u) ∈ Ls,t (Ω) Hơn tồn số C = C(data, s, t) > thỏa
(3.14) kMα H(·, ∇u)kLs,t (Ω) ≤ C + kMα H(·, F)kLs,t (Ω) Nhận xét Vì bất đẳng thức hàm phân phối (3.11) với λ > λ0 nên việc xử lý tựa chuẩn khơng gian Lorentz phải tách thành tích phân Trong trình đánh giá số xuất (3.14) Đây điểm khác biệt lớn so với đánh giá Calderón-Zygmund cho tốn non-uniformly với tham số nghiên cứu trước Chứng minh Với t ∈ (0, ∞), s ∈ (0, ∞) a ∈  1 0, Theo s Định lý 3.2.1, tồn b = b(data) > 0, ε0 = ε0 (data) ∈ (0, 1) λ0 = (diam(Ω))α > cho dMα H(·,∇u) (ε−a λ) ≤ CεdMα H(·,∇u) (λ) + dMα H(·,F) (εb λ), với λ > λ0 < ε < ε0 Sử dụng định nghĩa tựa chuẩn không gian Lorentz thực phép đổi biến λ thành ε−a λ ta thu ˆ ∞  t −at t kMα H(·, ∇u)kLs,t (Ω) = s ε λ dMα H(·,∇u) (ε −a  st dλ λ) λ 29 ˆ = sε λ0 −at  0ˆ + ε  st λt−1 dMα H(·,∇u) (ε−a λ) −at ∞ t−1 λ s  dMα H(·,∇u) (ε −a dλ  st λ) dλ λ0 Sử dụng bất đẳng thức hàm phân phối Định lý 3.2.1 để xử lý tích phân phía sau, ta ˆ kMα H(·, ∇u)ktLs,t (Ω) ≤ sε −at λ0 λ t−1 −at |Ω| dλ + ε ˆ −at+ st + Cε ˆ t s ∞ t b  λ dMα H(·,F) (ε λ) s λ0 ∞  st λt−1 dMα H(·,∇u) (λ)  s dλ λ0 ≤ Cε−at λt0 + εt(−a−b) kMα H(·, F)ktLs,t (Ω) + Cεt( s −a) kMα H(·, ∇u)ktLs,t (Ω) Suy kMα H(·, ∇u)kLs,t (Ω) ≤ Cε−a +ε−a−b kMα H(·, F)kLs,t (Ω) + Cε s −a kMα H(·, ∇u)kLs,t (Ω) Vì 1 − a > nên ta cố định ε ∈ (0, ε0 ) đủ nhỏ thỏa Cε s −a ≤ s Từ ta thu
kMα H(·, ∇u)kLs,t (Ω) ≤ C + kMα H(·, F)kLs,t (Ω) Trường hợp t = ∞, ta tiến hành đánh giá tương tự kết thúc chứng minh  st dλ λ 30 Kết luận Trong khóa luận này, tác giả trình bày kết đánh giá CalderónZygmund cho nghiệm phân phối toán non-uniformly với liệu dạng divergence không gian Lorentz Kết đánh giá khảo sát toàn cục miền Ω thỏa mãn điều kiện p-capacity Đặc biệt đánh giá cho gradient nghiệm thực tác động toán tử cực đại cấp phân số toán khảo sát với tham số mũ có dạng hàm số Phương pháp sử dụng khóa luận để chứng minh đánh giá gradient xây dụng bất đẳng thức hàm phân phối (còn gọi kỹ thuật good-λ) Kỹ thuật đưa tác giả Q.-H Nguyen, sau hai tác giả M.-P Tran T.-N Nguyen xây dựng, phát triển sử dụng cho nhiều lớp tốn khác Trong q trình thực khóa luận, tác giả cố gắng mơ tả ý tưởng chứng minh cách rõ ràng, chi tiết trình bày mối liên hệ phần với Tác giả mong khóa luận tài liệu tham khảo tiếng Việt có ích chủ đề tính quy nghiệm cho tốn non-uniformly xử lý thông qua kỹ thuật good-λ 31 Tài liệu tham khảo [1] P Baroni, M Colombo, G Mingione, Harnack inequalities for double phase functionals, Nonlinear Anal., 121 (2015), 206–222 [2] P Baroni, M Colombo, G Mingione, Non-autonomous functionals, borderline cases and related function classes, St Peterburg Math J., 27 (2016), 347–379 [3] P Baroni, M Colombo, G Mingione, Regularity for general functionals with double phase, Calc Var Partial Differential Equation, (2018), 57-62 [4] S.-S Byun, H.-S Lee, Calderón-Zygmund estimates for elliptic double phase problems with variable exponents, J Math Anal Appl, 501(1) (2018), 124015 [5] S.-S Byun, H.-S Lee, Gradient estimates of ω -minimizers to double phase problems with variable exponentx, Quart J Math, to appear [6] M Colombo, G Mingione, Regulariry for double phase variational problems, Arch Ration Mech Anal., 215 (2015), 443–496 [7] M Colombo, G Mingione, Bounded minimisers of double phase variational integrals, Arch Ration Mech Anal., 218 (2015), 219–273 [8] M Colombo, G Mingione, Calderón-Zygmund estimates and non-uniformly elliptic operators, J Funct Anal, 270 (2016), 1416–1478 32 [9] C De Filippis, G Mingione, A borderline case of Calderón-Zygmund estimates for non-uniformly elliptic problems, St Petersburg Mathematical Journal, 31(3) (2019), 82–115 [10] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004 [11] P Marcellini, Regularity of minimiser of integrals of the calculus of variations with non-standard growth conditions, Arch Rat Mech Anal., 105 (1989), 267–284 [12] P Marcellini, Regularity and existence of solutions of elliptic equations with p, q -growth conditions, J Differ Equ., 90 (1991), 1–30 [13] G D Maso, F Murat, L Orsina and A Prignet, Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data, Ann Scuola Norm Super Pisa (IV) 28 (1999), 741–808 [14] T.-N Nguyen, M.-P Tran, Lorentz improving estimates for the p-Laplace equations with mixed data, Nonlinear Anal 200 (2020), 111960 [15] T.-N Nguyen, M.-P Tran, Level-set inequalities on fractional maximal distribution functions and applications to regularity theory, J Funct Anal 280(1) (2021), 108797 [16] M.-P Tran, T.-N Nguyen, New gradient estimates for solutions to quasilinear divergence form elliptic equations with general Dirichlet boundary data, J Differential Equations 268 (2020), 1427–1462 [17] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Global Lorentz estimates for non-uniformly nonlinear elliptic equations via fractional maximal operators, J Math Anal Appl., Special Issue (2020), 30 pages [18] V V Zhikov, Averaging of functionals of the calculus of variations and elasticity theory, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat., 50(4) (1986), 675–710 33 [19] V V Zhikov, On Lavrentiev’s Phenomenon, Russian J Math Phys., (1995), 249–269