01 đề đáp án vũng tàu

Câu 1: (3,0 điểm)1. Chứng minh chia hết cho 18 với mọi số nguyên dương .2. Phân tích đa thức thành nhân tử.Câu 2: (3,0 điểm). Cho biểu thức với , 1. Rút gọn biểu thức 2. Tính giá trị của khi , thỏa mãn .Câu 3: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình .2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình .Câu 4: (3,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho là số chính phương.2. Cho 2021 số không âm thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:i) ;ii) ; iii) .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vuông . Gọi là một điểm tùy ý trên cạnh ( khác và ). Kẻ tia vuông góc với tia và cắt tại . Gọi là trung điểm của , tia cắt tại . Qua điểm kẻ đường thẳng song song với , cắt ở .1. Chứng minh và tứ giác là hình thoi. 2. Chứng minh .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG LỚP THCS TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 23/3/3021 Câu 1: (3,0 điểm) n 1 n 3 n n Chứng minh 4.5   2.5  chia hết cho 18 với số nguyên dương n 2 Phân tích đa thức 3x  13 x y  13xy  y thành nhân tử Câu 2: (3,0 điểm) A Cho biểu thức   x y  y2 x2 y x2  :   xy   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y     với xy 0 , x y Rút gọn biểu thức A x3  y xy  x  y  Tính giá trị A x , y thỏa mãn Câu 3: (3,0 điểm) x2  x 1 x  5x 1 2  x 1 x 1 Giải phương trình Tìm tất cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn phương trình xy  xy  27 y  x 0 Câu 4: (3,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho n  3n  số phương Cho 2021 số khơng âm x1 , x2 , , x2021 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) x1  x2  x2021 ; ii) x1  x2 2021 ; iii) x3  x4   x2021 2021 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x1  x2   x2021 Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm tùy ý cạnh BC ( M khác B C ) Kẻ tia Ax vng góc với tia AM cắt CD N Gọi H trung điểm MN , tia AH cắt CD K Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AK E Chứng minh AM  AN tứ giác EMKN hình thoi 2 Chứng minh NA  NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi Câu 6: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC  BD Vẽ CE vng góc với AB E CF vng góc với AD F Cho biết đường chéo AC a , tính AB AE  AD AF theo a = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG LỚP THCS TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU Năm học: 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (3,0 điểm) n 1 n 3 n n Chứng minh 4.5   2.5  chia hết cho 18 với số nguyên dương n 2 Phân tích đa thức 3x  13 x y  13xy  y thành nhân tử Lời giải 1) Với số nguyên dương n ta có: n 1 n n n 3 4.5n 1  2n 3  2.5n  n  4.5  2.5      5n  4.5    2n   24  5n.18  2n 1.18 n n  5n.18  2n 1.18 18 hay 4.5n1  2n3  2.5n  2n chia hết cho 18 Vì 1818 1818 nên 2  x  y  13 x y  13 xy     x  13 x y  13 xy  y 2) Ta có: 3  x  y   13xy  x  y  3  x  y   x  xy  y   13xy  x  y  3  x  y   x  xy  y  13xy  3  x  y   x 12 xy  y  Câu 2: (3,0 điểm) A Cho biểu thức   x y  y2 x2 y x2  :   xy   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y     với xy 0 , x y Rút gọn biểu thức A x3  y xy  x  y  Tính giá trị A x , y thỏa mãn Lời giải 1) Với xy 0 , x y , ta có: A   x y  y2 2x y x2  :   xy   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y     A  x y  y2 2x2 y x2 :   2 2 xy   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y   Trang  y2  x  y  x2  x  y  x y  2x2 y A :    xy   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y   x  y   A x  y xy  y  x y  x  x y : 2 xy  x  y  x  y A x  y xy  y  x y  x : 2 xy  x  y  x  y x  y  x  y  y  x A : xy  x  y   x  y  2 x  y  x  y  x  y A xy  x  y   y  x  A   x  y xy 2) Ta có: x3  y xy  x  y   x  y  x y  xy 0  x  y  xy  y  x y  xy 0   x  y    xy  y    x y  xy  0   x  y   x  xy  y   y  x  y   xy  x  y  0   x  y   x  xy  y  0   11    x  y    x  y   y  0      x 2 y Thay x 2 y vào biểu thức A   x  y xy A  ta  2y  y 2y 2  1 Câu 3: (3,0 điểm) x2  x 1 x  5x 1 2  x 1 x 1 Giải phương trình Tìm tất cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn phương trình xy  xy  27 y  x 0 Lời giải 1) ĐKXĐ x  1; x  Khi đó: Trang x2  x 1 x2  5x 1    x 1 x 1 x  x  1  x 1  x  1  x 1 x  x 1  x 1   x  1  x 1    x 1  x 1  x  1  x 1   x  x  1  x  1   x  1  x  1   x  x  1  x  1  3x3  x  0  3x  3x  x  0  3x  x  1   x  1  x  1 0   x  1  x  x   0   x  1  3x    x   0   x 1    x 2   x  (tmđk)  2  S 1; 2;   3  Vậy tập nghiệm phương trình 2) Từ xy  xy  27 y  x 0  x 27 y 27 y   y  y 1  y 1 2 (*) y  1 4 Vì y 1 nên  0 Khi 27 y  y  1  27 hay 0x 27 x   1; 2;3; 4;5;6 Mà x nguyên dương nên Thay x vào (*) x 6 tìm y 2 thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 4: (3,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho n  3n  số phương Cho 2021 số không âm x1 , x2 , , x2021 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) x1  x2  x2021 ; ii) x1  x2 2021 ; iii) x3  x4   x2021 2021 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x1  x2   x2021 Lời giải 1) Xét A n  3n  , A số phương 4A số phương aN Khi giả sử 4A a *  2 suy 4n  12n  32 a   2n   2.2n.3  32  23 a Trang   2n  3  23 a 2  a   2n  3 23   a  2n  3  a  2n  3 23 23.1 * Vì n  N , a  N nên a  2n   a  2n   a  2n   a  2n  23   a  n    Do  a 12   n 4 (thỏa) Thử lại thấy n 4 A 4  3.4  36 số phương Vậy n 4 thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm tùy ý cạnh BC ( M khác B C ) Kẻ tia Ax vng góc với tia AM cắt CD N Gọi H trung điểm MN , tia AH cắt CD K Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AK E Chứng minh AM  AN tứ giác EMKN hình thoi 2 Chứng minh NA  NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi Lời giải Chứng minh AM  AN tứ giác EMKN hình thoi Xét ABM ADN có:    DAN AB  AD ; ABM  ADN 90 ; BAM (cùng phụ với DAM ) Nên ABM  ADN (cạnh huyền – góc nhọn) suy AM  AN (cạnh tương ứng) Ta có: HEM HKN (góc – cạnh – góc) nên ME  NK (cạnh tương ứng) (1) Mà ME // AB  ME // DC  ME // NK (2) Từ (1) (2) suy EMKN hình bình hành (3) Lại có AM  AN nên AMN cân A , mà H trung đểm MN nên AH đường trung tuyến đồng thời đường cao Suy AH  MN hay EK  MN (4) Trang Từ (3) (4) suy EMKN hình thoi 2) Chứng minh NA  NC.NK NK NH  Ta có HNK ∽ CNM (g.g) nên MN NC  NK NC MN NH (*) AN NH  ∽ ANH ∽ MNA (g.g) nên MN NA  NA2 MN NH (**) Từ (*) (**) suy NA2 NC.NK Khi điểm M thay đổi cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC khơng đổi Ta có: Chu vi tam giác MKC MK  MC  KC Vì ABM  ADN (theo phần 1) nên MB ND Mặt khác EMKN hình thoi nên MK NK Khi MK  MC  KC NK  MC  KC  ND  DK   KC  MC MB  DK  KC  MC  MB  MC    DK  KC  BC  DC 2BC (khơng đổi) Vì B, C cố định nên BC khơng đổi Do M di chuyển BC chu vi tam giác MKC khơng đổi Câu 6: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC  BD Vẽ CE vng góc với AB E CF vng góc với AD F Cho biết đường chéo AC a , tính AB AE  AD AF theo a Lời giải Kẻ BH  AC  H  AC  AB AH   AB AE  AH AC Ta có AEC đồng dạng với ABH (góc nhọn) nên: AC AE (1)   Xét hai tam giác vuông AFC CHB có CAF BCH (so le trong) AF AC   AF BC  AC CH nên AFC ∽ CHB (góc nhọn) suy CH BC Mà BC  AD nên AF AD  AC.CH (2) Trang Từ (1) (2) suy AB AE  AF AD  AC AH  AC.CH  AC  AH  CH   AC a Vậy điều phải chứng minh = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang