Vài bài tập về một số dạng cực trị

[...]... dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: 4 − x ≥ 0 Do 2 ≤ x ≤ 4 ⇒  2 ( x − 2)(4 − x) ≤ ( x − 2) + (4 − x) = 2 Do đó y 2 ≤ 2 + 2 = 4 Dấu “=” xảy ra ⇔ x − 2 = 4 − x ⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3 Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 3 x − 1 + 4 5 − x (1 ≤ x ≤ 5) Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số: (3; 4) và ( ( x − 1; 5 −... với: 5 ≤ a ≤ 17 D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)2 – 7 với x ≤ −1 hoặc x ≥ 3 18 Gợi ý: - Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1 - Kết luận: Min A = 2 x = 3 Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 ≥ −7 Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = 3 nhưng giá trị 2 không thỏa mãn x ≤ −1 , không thỏa mãn x ≥ 3 Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7 Bài 2: Gọi x1; x2 là các... của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t = x2 + 2 x + 2 x2 + 1 Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x Đặt a = x2 + 2 x + 2 => (a – 1) x2 – 2 x +a – 2 = 0 (1) 2 x +1 a là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm - Nếu a = 1 thì (1) x = −1 2 - Nếu a ≠ 1 thì (1) có nghiệm ∆ ' ≥ 0 Min A = 3− 5 −1 − 5 3+ 5 ; Max A = với x = với x = 2 2 2 Bài 25: x 2 − xy + y 2 Tìm GTNN, GTLN của... −1 2 Do đó: Min Q= 1 1 khi a = b = 2 2 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG - 2 b 4ac-b 2 b  4ac-b 2  Nếu a > 0 : P = ax + bx +c = Khi x=+ a  x + ÷ Suy ra MinP = 2a 4a 2a  4a  2 2  4 a c+b 2 b  − a x− Nếu a < 0 : P = ax + bx +c = ÷  4a 2a ÷   2 4 a c+b b Suy ra MaxP = Khi x= 2 a 4a 2 Một số ví dụ: 1 2 Tìm GTNN của A = 2x + 5x + 7 5... F = khi x = 3 2 2 2 E= Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 8 x 2 + 6 xy P= 2 2 x +y Gợi ý: ( y + 3 x) 2 P = 9 - 2 2 − 1 ≥ −1 x +y ( x − 3 y)2 P = 9 - 2 2 ≤9 x +y Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 1 Tìm GTNN của biểu thức S = x + y x+ y 10 Gợi ý: S = 1 + 1 = xy = x(10 − x) x y S có GTNN x(10-x) có GTLN x = 5 => GTNN của S = 2 khi x = y = 5 5 Bài 18: Tìm GTNN của biểu... 2 khi m = m∈ R 1 2 Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = x − 1 + x − 2 + + x − 1998 Gợi ý: Ta có: y = ( 1x − 1 + x − 1998 ) + ( x − 2 + x − 1997 ) + …+ ( x − 998 + x − 999 ) x − 1 + x − 1998 nhỏ nhất bằng 1997 khi x ∈ [ 1;1998] x − 2 + x − 1997 nhỏ nhất bằng 1995 khi x ∈ [ 2;1997 ] x − 998 + x − 1999 nhỏ nhất bằng 1 khi x ∈ [ 999;1000] Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997 Số các số hạng của 1 + 3 +... GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997 Số các số hạng của 1 + 3 + … + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 Vậy Min y = 9992 khi 999 ≤ x ≤ 1000 24 Theo định Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t Biết rằng:  x 2 − y 2 + t 2 = 21   2 2 2  x + 3 y + 4 z = 101  (1) (2) Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 +... 5 Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4 Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0 Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = 0 Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn nhất Gợi ý: Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + 1 = 0 (2) Viết (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + 2 (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 0 Để tồn tại a... 2 2 2 25 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi x= y= 1 2 Vậy GTNN của M = 25 1 khi và chỉ khi x = y = 2 2 * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: y = x − 2 + 4 − x Giải: * Cách 1: x − 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4(*) 4 − x ≥ 0 Điều kiện:  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) a... GTLN của A = 2 x + xy + y 2 Gợi ý: Viết A dưới dạng sau với y ≠ 0 2 x  y÷ −   (A= 2 x  y÷ +   x +1 y x +1 y = a2 − a + 1 a2 + a + 1 Giải tương tự bài 24 được: x (đặt y = a ) 1 ≤ A≤3 3 Còn với y = 0 thì A = 1 Do đó: Min A = 1 với x = y ; max A = 3 với x = - y 3 Bài 26: Cho a + b = 1 Tìm GTNN của biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: 2 Với Q dưới dạng Q = (a + b) ( a + b ) − 3ab  + ab   = . “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số , nhằm dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi và dạy tự chọn cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng ngày. Đây là một trong. 3m n + = nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương. Ta có:. miền giá trị (cách 2 ví dụ 1 dạng 2). 1 C. NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI • Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: a) 2 4 4 11A x x=