Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học Vinh -*** - ngun hoµng hiĨn số tính chất ph-ơng trình sai phân ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại häc Vinh -*** - nguyÔn hoàng hiển số tính chất ph-ơng trình sai phân ứng dụng Chuyên ngành: giảI tích Mà số: 60.46.01 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS.Đặng Đình Châu Vinh - 2009 mở đầu Trong năm gần phát triển mạnh mẽ lý thuyết kỹ thuật số ứng dụng khoa học đời sống hàng ngày, lý thuyết ph-ơng trình sai phân đ-ợc nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Các kết nghiên cứu theo ph-ơng h-ớng đ-ợc áp dụng ngày nhiều số lĩnh vực khác nh-: toán kinh tÕ, kü thuËt tÝn hiÖu sè, lý thuyÕt hÖ động lực rời rạc nhiều ngành khoa học khác Trong khuôn khổ Luận văn thạc sĩ, trình bày số khái niệm lý thuyết ph-ơng trình sai phân cố gắng tìm tòi, khám phá ứng dụng Để phục vụ cho việc giảng dạy toán học phổ thông phần ứng dụng có giới thiệu số ứng dụng ph-ơng trình sai phân toán sơ cấp Ngoài ra, giới thiệu ứng dụng ph-ơng trình sai phân mô hình ngoại th-ơng Do điều kiện thời gian lực hạn chế nên có vấn đề đ-ợc nhmong muốn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến khoa Sau đại học, tr-ờng Đại học Vinh nh- thầy cô giáo khoa Toán đà giảng dạy, h-ớng dẫn, giúp đỡ trình học Đại học nh- học Cao học Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Đặng Đình Châu - Tr-ờng Đại học khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội đà tận tình giúp đỡ hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Ngày tháng năm 2009 Nội dung luận văn bao gồm : Hệ thống lại số kiến thức ph-ơng pháp sai phân Phát biểu trình bày số chứng minh công thức giải PTSP cp 1, cp 2và hƯ PTSP HƯ thèng mét sè bµi tËp øng dụng ph-ơng trình sai phân toán sơ cấp Trình bày toán Mô hình ngoại thương hai quốc gia ph-ơng pháp ma trận ứng dụng viƯc nghiªn cøu tÝnh chÊt nghiƯm cđa hƯ PTSP t-¬ng øng C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP CAO 1.1 Khơng gian hàm thang thời gian (time scale) 1.1.1 Thang thời gian không gian hàm số thang thời gian Giả sử R tập hợp số thực, tập đóng R gọi thang thời gian (xem [5]) Trong khóa luận xét dạng thang thời gian sau: N, Z, hZ, R Trong N = {0, 1, 2, …} ( tập hợp số tự nhiên ) Z = {0, 1, 2, …}, hZ = {0, h, 2h, …, nh, …} (hR+) Giả sử t , ta ký hiệu: (t) = inf {S; S>t} (t) = sup {S; S0 cho trước luôn tồn lân cận U t (hoặc tồn >0 U = (t-, t+)) tồn số thực f(t) cho với SU ta có: f ( A) f (s) f (t ) (t ) S (t ) S Khi ta gọi f(t) đạo hàm f t ( xác f(t) - đạo hàm f t ) Tương tự đạo hàm thơng thường ta chứng minh công thức sau 1.1.2.2Định lý Nếu =R f: R khả vi t ta có khẳng định sau: i) Tổng hàm f g: f+g hàm khả vi t ta có: (f+g)(t) = f(t) + g(t) ii) Với số bất kỳ, f: R hàm khả vi t ta có: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (f)(t) = f(t) iii) Tích hàm khả vi f-g: R hàm khả vi t ta có: (fg) = f(t)g(t) + f((t))g(t) = f(t)g(t) + f((t))g((t)) iv) Nừu f(t)g((t))0, f hàm khả vi ta có: 1 f (t ) ( t ) f (t ) f ( (t )) f v) Nếu g(t)g((t))0, f hàm khả vi t ta có: g f f (t ) g (t ) f (t ) g (t ) ( t ) g (t ) g ( (t )) g Nhận xét Chúng ta nói f: R - khả vi , f: R khả vi giá trị t Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa đạo hàm cấp cao f chứng minh số tính chất tương ứng tính chất hàm số thơng thường f: RR (xem [5] trang 7, 8, 9) Ví dụ: a) Giả sử =Z, f: R xác định f(t)=qt t tacó: f(t) = qth - qt = (q-1)qt b) Giả sử =Z, f: R xác định f(t)= at +b; (a, b R) f(t) = a 1.1.3 Khái niệm tích phân hàm thang thời gian Giả sử thang thời gian Để xây dựng khái niệm tích phân nghiên cứu tính chât cần làm quen với số khái niệm sau Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử t giá trị Nếu t< Sup t=(t) ta nói t điểm trù mật phải Nếu t>inf t= (t) ta nói t điểm trù mật trái Nếu t điểm vừa trù mật trái vừa trùn mật phải ta nói điểm trù mật Trong trường hợp ngược lại ta có điểm lập 1.1.3.2 Định nghĩa Giả sử f: R hàm số Khi ta nói f hàm liên tục phải (rd-continous) thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) f: R liên tục tất điểm trừ mặt phải (ii) Tại tất điểm trừ mặt trái tồn giới hạn trái hữu hạn f 1.1.3.3 Định nghĩa Hàm F: R gọi nguyên hàm (antiderivative) hàm f: R nếu: F(t) = f(t) với t Ta ký hiệu f ( t )t =F(t) +C (tích phân không xác định f(t)) S Ta định nghĩa f (t )t F (s) F ( p) , ( s, p) Tương tự tích P phân thơng thường chứng minh tính chất tích phân sau đây: 1.1.3.4 Định lý (xem [5]) Giả sử a, b, c , R f, g: R hàm liên tục phải, đó: (i) (ii) (iii) b b b a a a f (t ) g(t )t f (t )t g(t )t b b a a f (t )t f (t )t b b a a f (t )t f (t )t Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (iv) (v) (vi) b c b a a c f (t )t f (t )t f (t )t b b a a f (t )g (t )t fg(b) fg(b) f (t )g(t )t b b a a f (t )g (t )t fg(b) fg(a ) f (t )g(t )t a (vii) f ( t )t 0 a (viii) f(t)0 với atb a f (t )t 0 a (ix) | f(t)| g(t) [a,b), b b a a f (t )t g (t )t 1.1.3.5 Hệ Giả sử a, b f: R liên tục phải đó: (i) (ii) Nếu =R, b b a a f (t )t f (t )dt Nếu =hZ={hK: KZ}, b D 1 f (t )t h a f (kh)h ab f (k ) a>b Nếu T=Z ta có: b f (t )t a 1 k b a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.2 Một số kiến thức phép tính sai phân hữu hạn 1.2.1 Các khái niệm Xét dãy số xn ; dạng khai triển x , x , x , x , n Thí dụ, dãy số tự nhiên ký hiệu N có dạng n o,1,2, , n, , dãy số nguyên dương Z+ có dạng n o,1,2, , n, , dãy số điều hoà 1 1, , , , n n Có thể xem dãy số hàm đối số nguyên n Kí hiệu x(n) = xn Chú ý theo định nghĩa đạo hàm thang thời gian sai phân cấp đạo hàm dãy số ( hàm x(n) ) 1.2.1.1 Định nghĩa Ta gọi hiệu: xn = xn+1 – xn sai phân hữu hạn cấp hàm số x(n) = xn với n Z Thí dụ, Nếu hàm xn cho dạng bảng n Xn Ta có sai phân hữu hạn cấp là: x0 = x1 – xo = – = 2; x1 = x2 – x1 = – = 1; x2 = x3 – x2 = – = 3; x3 = x4 – x3 = – = -1 Từ sau, khơng có nhầm lẫn với tỉ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn sai phân, sai phân cấp gọi tăt sai phân Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 10 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an CHƢƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3.1 Một số ứng dụng phƣơng trình sai phân cácac tốn phổ thơng: 3.1.1 Tính tổng dãy số nhờ tính chất sai phân: n 1 Sn Δ(u(k)) u(n) u(1) Chú ý : k 1 Ví dụ 3.1.1.1 Tính tổng Sn = 1.1! + 2.2! + + n.n! (n > 1) k ! k = (k+1)! - k! = (k!) Giải Ta có n n k 1 k 1 Sn k! k (k !) (n 1)! - 1! = (n+1)! - nên: * Vậy: Sn = 1.1! + 2.2 ! + + n.n! = (n+1) ! - 15 Ví dụ 3.1.1.2 Tính tổng S (k 2k 3k 1)k! k 1 (k3 + 2k2+ 3k + 1)k = (k+1)3.k - k2.k Giải Ta thấy = (k+1)2.(k+1) - k2.k = (k2.k) nên S 15 Δ(k k!) = 152.15 - = 294226732799999 k 1 3.1.2 Sử dụng phương pháp tuyến tính hố để tìm số hạng tổng qt dãy số: Ví dụ 3.1.2.1 Cho Và xn nIN với x0 = x1 = x n 1 5x n 24 x 2n với nIN Chứng minh rằng: số hạng dãy số số nguyên Giải Từ giả thiết ta tính đựoc x2 = 10; x3 = 99 x4 = 980 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 38 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta tìm xn dạng nghiệm phương trình sai phân tuyến tính sau: x n1 a.x n bxn1 c , n>1 (3.1.2.1) Cho n = 1, 2, thay vào (3.1.2.1) ta được: x2 = ax1 + bx0 + c = a + c = 10 x3 = ax2 + bx1 + c = 10a + b +c = 99 x4 = ax3 + bx2 + c = 99a + 10b + c = 980 Giải hệ ta a = 10; b = -1 c = Tức là: xn+1 = 10xn - xn-1 n>1 (3.1.2.2) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh xn xác định (3.1.2.2) số hạng tổng quát dãy số cho, Vì x0 = x1 = số nguyên nên kết hợp với (3.1.2.2) ta suy số hạng dãy số cho số nguyên Ví dụ 3.1.2.2 Cho dãy số x n 1 x n biết x1 = 1; x2 = x 2n 6x n 3x n 1 x n 1 (n > 2) (3.1.2.3) Chứng minh rằng: số hạng dãy số cho số nguyên Giải Dễ thấy Đặt (3.1.2.3) xn+1 + = yn = + xn (x n 3) x n 1 ta dãy yn mà: y1 = 4; y2 = y n2 yn+1 = y n 1 n>2 Dễ dàng chứng minh số hạng yn số nguyên từ suy điều phải chứng minh 3.1.3 D·y sè chuyển đổi phép tính số học Bài toán Xác định số hạng tổng quát dÃy x n biÕt Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 39 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x1 = a vµ xm + n = xm + xn + mn, m,n N* (1) Giải: Từ ph-ơng trình (1) ta đ-ợc xn1 xn x1 n Hay xn+1 – xn = a + n, a = x1 (2) Ph-ơng trình xn+1 xn = a + n, a = x1 ph-ơng trình sai phân tuyến tính không cấp Do ph-ơng trình đặc tr-ng có nghiệm =1 nên ta có nghiệm tổng quát ph-ơng trình xn+1 xn = lµ x1n c (3) n Ta viÕt (n 1) n 2 n2 1 Khi ®ã, nghiƯm cđa (2) cã d¹ng x a n 2 * n (4) V× x n x1n x*n nên từ (3) (4) ta có nghiệm ph-ơng trình (2) là: xn c n2 1 a n 2 (5) Do x = a , tõ (5) ta cã c = Thay c = vµo (5) ta thu ®-ỵc nghiƯm cđa (2) xn 1 n a n 2 (6) Thư l¹i ta thấy nghiệm dạng (6) thỏa mÃn điều kiện đề Bài toán Tồn hay không tồn mét d·y sè {xn } tháa m·n ®iỊu kiƯn: xmn xm xn m n, m, n N (7) Giải: T-ơng tự nh- toán 1, từ ph-ơng trình (7) ta suy xn1 xn x1 n Hay xn1 xn a n, a x1 (8) Ph-ơng trình xn+1 xn = a + n ph-ơng trình sai phân tuyến tính không cấp Do ph-ơng trình đặc tr-ng có nghiệm = nên ta có nghiệm tổng quát ph-ơng trình xn+1 xn = x1n c Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 40 (9) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta viÕt n (n 1)2 n2 2 Khi nghiệm (8) có dạng xn* n(dn e) Thay vµo (8) ta ®-ỵc xn* n2 1 a n (10) Vì x1 x1n xn* nên tõ (9) vµ (10), ta cã nghiƯm cđa (8) lµ: xn c n2 1 a n 2 (11) Do x1 = a - 1, tõ (11) ta cã c = Thay c = vào (11) ta thu đ-ợc nghiệm (8) xn 1 n a n 1 2 (12) Thư l¹i ta thấy nghiệm dạng (12) không thỏa mÃn điều kiện đề Vậy không tồn dÃy số xn tháa m·n ®iỊu kiƯn: xmn xm xn m n, m, n N Bài toán Xác định dÃy số d-ơng xn tháa m·n ®iỊu kiƯn: xmn xm xn , m, n N * Gi¶i: Víi n = 1, ta cã x1n x1xn x1 Gi¶ sử n = p số nguyên tố Khi đó, ph-ơng pháp quy nạp ta có x pk ( x p )k nÕu n p11 P22 Pss th× xn ( x p1 )1 ( x ps )s Vậy xp nhận giá trị tùy ý p số nguyên tố Bài toán Xác định dÃy số dơng xn thỏa m·n ®iỊu kiƯn: xmn xmn x3n , m, n N , n m Gi¶i: Cho m = 0, ta cã 2xn = x3n Suy x0 = Đặt m = n, ta đ-ợc x2n=x3n, suy Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 41 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x4 m x6 m x9 m 1 xn x3n x2 n víi n N 2 x4 m x2 m x9 m 3.1.4 DÃy số chuyển đổi đại l-ợng trung bình 3.1.4.1 Phép chuyển đại l-ợng trung bình cộng Bài toán Xác định dÃy số u (n) cho mn m n u (m) u (n) u , m, n, N* 2 (1) Giải Đặt u(1) u ,( Ta cã u (3) u (1) u (2) u Suy u(3) 2u(2) u(1) Tiếp tục trình nh- ta đ-ợc u(4) 2u(3) u(2) Bằng ph-ơng pháp quy nạp, ta thu đ-ợc u(n) (n 1) (n 2) ( )n 2 , n N * VËy u (n) ( )n 2 , n N * u (1) , u (2) Đặt a b suy a b a b 2 Khi ®ã nghiệm ph-ơng trình (1) u(n) = an +b, với a,b tùy ý 3.1.4.2 Phép chuyển đại l-ợng trung bình cộng sang trung bình nhân Bài toán Xác ®Þnh d·y sè u (n) , cho mn mn u N* u (m)u (n), m, n, Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 42 (2) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Gi¶i Ta cã nn u ( n) u u (n)u (n) u(n) 0, n N * Đặt u(1) , u(2) ,( , 0) a NÕu = 0 th× 2n u ( n) u u (2n 1)u (1) 0, n N * VËy u(n) nghiệm phơng trình (2) b Nếu > , = th× n n 2 u ( n) u 0 u (n0 )u (n0 2) 0, n 2, n N * suy u(1) , u(n) 0, n nghiệm ph-ơng trình (2) c Nếu > Giả sử tồn n0 cho u(n0) = th× n n 2 u (n0 1) u 0 u (n0 )u (n0 2) Chän n0 = th× u(n0 1) u(2) (m©u thuÉn) Do giả thiết u(n) > n N* Ta cã u (2) u (3)u (1) u (3) u (2) u (1) Mặt khác u (3) u (4)u (2) u (4) u (3) u (2) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 43 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bằng ph-ơng pháp quy nạp toán học ta chứng minh đ-ợc u ( n) n1 , n n1 Nếu đặt ab (a, b 0) ab th× suy nghiƯm phơng trình (2) u(n) abn (a, b 0) Từ kết phép tính sai phân phương trình sai phân Chúng ta nhận đươc nhiều ứng dụng tốn sơ cấp dành cho học sinh u thích tốn học ham thích tìm tịi sáng tạo 3.2 Ví dụ ứng dụng phƣơng trình sai phân mơ hình ngoại thƣơng đa quốc gia Trong phần trình bày ứng dụng nhỏ lý thuyêt định tính hệ phương trình sai phân Qua ví dụ thấy lý thuyết định tính phương trình sai phân có vai trị quan măt lý thuyết ứng dụng đời sống hàng ngày 3.2.1 Xây dựng mơ hình Tổng thu nhập cộng đồng bao gồm : Tổng giá tri xuất khẩu(N) + Tổng tiêu dùng (C) + tổng chi phí đầu t (I) Ký hiệu: Y = Tổng thu nhập quốc dân; X = Tổng giá trị xuất C = Tổng tiêu dùng ; I = Tổng chi phí đầu tư ; N = Tổng chi phí nhập Chúng ta có: Y= C + I +X -N Giả thiết: (a) Thời điểm quan sát : Thời gian thời điểm quan sát rời rạc : n = 0, 1, 2,… Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 44 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chỉ số i ứng với n-ớc thứ i (b) Nhu cầu tiêu dùng (C) tỉ lệ thuận với thu nhập thời kỳ trước theo quy luật : C (n+1) = Y (n) + C* Trong đó: C* = Tổng giá trị hàng hố dịch vụ cần dùng tối thiểu cho sống > gọi hệ số tiêu dùng (c) Tổng đầu tư:(I) tỷ lệ thuận với thu nhập thời kỳ trớc đó, theo quy luật : I (n+1) = Y (n) +I* đây: I* = Kinh phí tối thiểu phải đầu t để tiếp tục trì hoạt động sản xuất kinh doanh > gọi hệ số đầu t (d) Tổng chi phí cho nhập tỷ lệ thuận với tổng thu nhập thời kì trước đó, heo quy luật: N(n+1)= Y (n)+ N* đây: N*= chi phí tối thiểu cho nhập (đó chi phí để nhập loại hàng hố thiết yếu mà quốc gia khơng tự sản xuất được) 0: Gọi hệ số nhập Để phù hợp với thực tế, ta coi: < (e) Tổng giá trị xuất (X) mơt nước thứ i tổng số chi phí nhập nước khác nên ta có : X1(n+1)= a12.(n) N2(n+1) + a13(n) N3(n+1) X2(n+1)= a21(n) N1(n+1) + a23(n)N3(n+1) (A) X3(n+1)= a31(n) N1(n+1) + a32(n).N2(n+1) Do tổng giá trị xuất quốc gia tổng giá trị nhập quốc gia, nên ta có: a21(n)+a31(n) = a12(n)+a32(n) = a13(n)+a23(n) = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 45 (C) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ký hiệu : a31(n)=a(n); a12(n)=b(n); a23(n)=c(n) kết hợp với giả thiết (c) ta có mối liên hệ : X1(n+1)= b(n)N2(n+1) + [1-c(n)].N3(n+1) X2(n+1)= [1-a(n)]N1(n+1) X3(n+1)= a(n)N1(n+1) + c(n) N3(n+1) (B) + [1-b(n)] N2(n+1) Kêt hợp (A) (B) ta có hệ phương trình sai phân dạng ma trận: Y (n+1)= A(n).Y(n)+B(n) ( n=1,2,3,……) Với : A(n) = 1 b(n) [1-a(n)] 2 .a( n ) [1-c(n)] [ b( n )] 3c(n) 3 Y(n) = (Y1(n), Y2(n),Y3(n)) C1* +I1* +N1* +b(n) N2* + [1 C(n)N3*] B (n)= C2* + I2* - N2* + C(n)N2* + [1-a(n)]N1* C3* + I3* - N3* +a(n)N1* + [1-b(n)]N2* Ta xét trường đặc biệt Giả sử : a(n) = a; b(n) = c(n) = c ta có A(n) A , B(n) B Khi hệ phơng trình có dạng : Y (n 1) A.Y (n) B Theo lý thuyêt PTSP ta tìm đ-ợc nghiệm Y(n) hệ (1) : Y(n) = A nn Y ( no ) o n A n j B i n0 1 Nhờ có cơng thức người ta đến số kết luận cho trình phát triển kinh tế chung đa chiến lược kinh tế thích hợp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 46 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chẳng hạn sử dụng lý thuyết định tính PTSP với giả thiết thích hợp cho ma trận A B thay đổi tổng thu nhập kinh tế quốc dân Y(n) ổn định 3.2.2.Một ví dụ ứng dụng phương pháp giải hệ phương trình sai phân phương pháp ma trận Xét toán với giá tri ban dầu cho trước : U(n+1)= AU(n)+B , U(n0) = U0 ( n = n0, n0 +1, n0+2,… ) Sử dụng quy luật dãy số ta dễ dàng thấy B=0 : U(n)=AnU(1) Với B , có : U(1)= AU(0)+B , U(2)= A A U(0)+AB +B , U(3)=A3U(0)+ A2B + AB ,… Tương tự phương pháp quy nạp ta xác định công thức nghiệm hệ : U (n) A n no U (no ) n A n j B = i n0 1 n An no U (no ) A n0 An j B i 1 Chú ý : ( An An2 A E)( E M ) ( E An ) Ta có : U (n) Anno U (no ) A n0 ( E An )( E M ) 1 B Từ ta nhận thấy : Nếu ma trận An dần đến không n dần đến vơ cực ma trận U(n) tiệm cận đến giá trị cân F0 = A n ( E M ) 1 B Quay với lý thuyết ma trận ta thấy phần tử ma trận A dương tổng cột bé điều xảy Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 47 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an KẾT LUẬN Ngoài phần hệ thống kiến thức phương pháp sai phân luận văn nêu vấn đề sau: Phát biểu trình bày số chứng minh công thức giải PTSP hệ PTSP Hệ thống số tập ứng dụng phương trình sai phân tốn sơ cấp 3.Trình bày tốn “Mơ hình ngoại thương hai quốc gia” phương pháp ma trận ứng dụng việc nghiên cứu tính chất nghiêm hệ PTSP tương ứng Do điều kiện thời gian khả chưa cho phép nên luận văn để lại số hạn chế việc trình bày khái niệm Giải tích thang thời gian lý thuyêt phương trình sai phân cấp cao Các toán ứng dụng chương chưa dược tìm hiểu cách đầy đủ , bổ sung phát tiển thêm luận văn đạt yêu cầu hoàn thiện kể nội dung lý thuyết ứng dụng thưc tế Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 48 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Đình Thịnh ,Đặng Đình Châu, Lê Đình Đình Định ,Phan Văn Hạp (2001) Phương trình sai phân số ứng dụng [2] Ravi P.Agarwal Defferences equations and inequalities Copyright (c) (2000) by Marcel Dekker ,Inc.All Rights Rerserved [3] Samuel GoldBerg (1958) “Introduction to Differences Equations” [4] Martin Bohner ,Allan Peterson (2001) Dynamic Equatons on Time Scales (Missouri ,Nebraska) [5] Nguyễn Văn Mậu (2003) Chuyên đề “Các phép tính dãy số” Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 49 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an PHỤ LỤC Bài tập tương tự : Tính tổng sau: Sn = (12 + + 1).1 + (22 + + 1).2 + + (n2 + n + 1).n Sn = sinx + sin2x + + sin nx Qn = cosx + cos2x + + cosnx Sn = 1.q + 2.q2 + + nqn (0 x1 = n 1 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 50 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an xn+1 = n(n 1) (x n 1) (n 2).(n 3) Bài tập tương tự: n > x1 = Nghiên cứu tính chất định tính Phương trình động lực cấp n thang thời gian úng dụng lý thuyết xử lý tín hiệu số Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 51 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn