Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Trần Hải Nhân Biểu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2017 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Trần Hải Nhân Biểu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mà số: 62 46 01 04 Ngêi híng dÉn khoa häc TS Ngun Qc Thơ Nghệ An - 2017 Mục lục Lời nói đầu Đại số Lie nửa đơn 1.1 Đại số Lie nửa đơn 1.2 BiĨu diƠn cđa sl2 18 1.3 Đại số Cartan 21 1.4 D¹ng compact 23 1.5 Mét sè tÝnh chÊt cđa hƯ nghiƯm 28 BiÓu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn có chiều thấp 32 2.1 Trọng vectơ träng 32 2.2 Sù hoµn toàn khả quy 35 2.3 Phân loại đại số Lie nửa đơn 37 2.4 BiÓu diễn trực giao đối ngẫu 41 2.5 BiĨu diƠn bÊt kh¶ quy cđa 46 sl2 KÕt luËn 49 Tài liệu tham khảo 50 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Như ta đà biết Sophus Lie (17/12/1842 - 18/02/1899) người tạo lý thuyết đối xứng liên tục vận dụng vào việc nghiên cứu hình học, phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân Công cụ Lie thành tựu vĩ đại ông khám phá nhóm biến đổi liên tục, mà ngày người ta gọi theo tên ông nhóm Lie Nhóm Lie khái niệm tổng hòa từ hai khái niệm nhóm (trong Đại số) đa tạp vi phân (trong Hình học - Tôpô) Nhóm Lie ứng dụng vào lý thuyết phương trình vi phân, đà cung cấp phương tiện tự nhiên để phân tích đối xứng liên tục phương trình vi phân, cách thức nhóm hoán vị sử dụng lý thuyết Galois để phân tích đối xứng rời rạc phương trình đại số Mỗi biểu thức bất biến tác động nhóm Lie cho tích phân đầu hệ phương trình vi phân, cho phép ta hạ bậc hệ phương trình vi phân Nhóm Lie không công cụ gần tất ngành Toán đại, mà công cụ để nghiên cứu ngành Vật lý lý thuyết đại Mét nh÷ng ý tëng cđa lý thut nhãm Lie thay cấu trúc nhóm toàn cục phiên mang tính địa phương hay gọi phiên đà làm tuyến tính hóa S Lie gọi nhóm Lie vô bé Sau người ta gọi Đại số Lie Nghiên cứu đại số Lie lý thuyết biểu diễn đại số Lie nói chung, đại số Lie nửa đơn biểu diễn tương ứng nói riêng lĩnh vực nghiên cứu rộng Toán học có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Một toán nhiều người quan tâm đại số Lie nửa đơn xây dựng biểu diễn bất khả quy, phân loại biểu diễn đại số Lie nửa đơn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời nói đầu Năm 2010, nhu cầu biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính thông qua nghiệm phương trình tuyến tính bậc thấp thông qua lý thuyết Galois vi phân, hai tác giả Nguyễn An Khương Marius van de Put (xem [5]) đà dùng phần mềm trực tuyến Lie (xem [3]) để tính toán thiết lập biểu diễn bất khả quy có số chiều không 11 cho đại số Lie nửa đơn có chiều thấp Bảng kết lớn ta mở rộng lớp phương trình vi phân tuyến tính có nghiệm biểu diễn thông qua nghiệm phương trình có bậc thấp Việc mô tả biểu diễn bất khả quy đại số Lie nửa đơn toán phân loại đại số Lie nửa đơn nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu đại số Lie nửa đơn biểu diễn nó, chọn đề tài: Biểu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn làm đề tài luận văn Mục đích luận văn dựa báo "Sloving Linear Differential Equations", Pure Applied Mathematics Quarterly, Volume 6, Number 1(2010), pp 173 - 208 tác giả Nguyễn An Khương, Marius van de Put để tìm hiểu, phân tích, tổng hợp trình bày lại cách hệ thống kết biểu diễn phân loại đại số Lie nửa đơn Cuối dùng phần mềm trực tuyến Lie LiE Online Service A M Cohen Website http://www-math.univ-poitiers.fr/ maavl/LiE/ để tính lại bảng kết cho đại số Lie nửa đơn có số chiều thấp Nội dung nghiên cứu luận văn 2.1 Trình bày khái niệm số tính chất đại số Lie lý thuyết cấu trúc đại số Lie nửa đơn, 2.2 Trình bày kết biểu diễn sl2 , mô tả biểu diễn theo trọng hệ nghiệm Tiếp theo trình bày lý thuyết biểu diễn bất khả quy đại số Lie nửa đơn theo trọng vectơ trọng, từ phân loại đại số Lie nửa đơn 2.3 Cuối dùng phần mềm trực tuyến Lie để tính toán phân loại biểu diễn bất khả quy có chiều không 11 cho đại số Lie nửa đơn có số chiều thấp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời nói đầu Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Lời nói đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Đại số Lie nửa đơn Nội dung chương này, trình bày khái niệm số tính chất đại số Lie, đại số Lie nửa đơn, đại số Cartan, biểu diễn sl2 vµ mét sè tÝnh chÊt cđa hƯ nghiƯm Cơ thĨ nội dung chương chia thành tiết sau: 1.1 Đại số Lie nửa đơn 1.2 Biểu diễn 1.3 Đại số Cartan 1.4 Dạng compact 1.5 Mét sè tÝnh chÊt cđa hƯ nghiƯm Ch¬ng 2: chiỊu thấp sl2 Biểu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn có Nội dung chương trình bày lý thuyết cấu trúc đại số Lie nửa đơn, biểu diễn bất khả quy đại số Lie nửa đơn theo trọng vectơ trọng, phân loại đại số nửa đơn cuối dùng phần mềm trực tuyến Lie liệt kê biểu diễn bất khả quy đại số Lie nửa đơn có số chiều thấp Nội dung chương chia thành tiết sau: 2.1 Trọng vectơ trọng 2.2 Sự hoàn toàn khả quy 2.3 Phân loại đại số Lie nửa đơn 2.4 Biểu diễn trực giao đối ngẫu 2.5 Biểu diễn bất khả quy đại số Lie sl2 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn Thầy, đà tận tình giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời nói đầu Tác giả xin cảm ơn Thầy (Cô) Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Thầy (Cô) ngành Toán Viện Sư phạm tự nhiên, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu Phòng ban chức Trường ĐH Vinh đà tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên cao học Tác giả xin cảm ơn Thầy (Cô), đồng nghiệp nơi tác giả giảng dạy công tác đà tạo điều kiện thuận lợi, cổ vũ, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Cảm ơn hy sinh gia đình - niềm tin, chỗ dựa tinh thần vững để tác giả vượt qua khó khăn, hoàn thành nhiệm vụ học tập Xin trân trọng kính tặng Gia đình thân yêu quà tinh thần với lòng biết ơn chân thành Mặc dù đà có nhiều cố gắng lực nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý nhà khoa học đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện tốt Nghệ An, ngày tháng năm 2017 Tác giả Trần Hải Nhân Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Đại số Lie nửa đơn Nội dung chương này, trình bày lại cách có hệ thống khái niệm bản, tổng quát đại số Lie, đại số Lie nửa đơn, đại số Cartan, hệ nghiệm, 1.1 Đại số Lie nửa đơn 1.1.1 Định nghĩa gian vectơ G Cho K trường G không gian vectơ K Không gọi đại số Lie K hay K đại số Lie G trang phép nhân gọi tích Lie [., ]: G × G −→ G (X, Y ) [X, Y ] cho điều kiện sau thỏa mÃn: L1 Tích Lie toán tư song tun tÝnh, tøc lµ: [λX + µY, Z] = λ[X, Z] + µ[Y, Z], [X, λY + µZ] = λ[X, Y ] + µ[X, Z], ∀X, Y, Z ∈ G, ∀λ, µ ∈ K L2 TÝch Lie phản xứng, tức là: [X, Y ] = [Y, X], [X, X] = 0, ∀X, Y ∈ G L3 Tích Lie thỏa mÃn đẳng thức Jacôbi, tức là: [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, X, Y, Z ∈ G Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ch¬ng Sè chiỊu đại số Lie Đại số Lie Ví dụ Đại số Lie nửa đơn Cho G G số chiều không gian vectơ gọi giao ho¸n nÕu G [X, Y ] = [Y, X], X, Y G (A, ) đại số kết hợp trường K Ta định nghĩa phép toán [, −] : A × A −→ A, (x, y) 7−→ [x, y] = x.y − y.x, ∀(x, y) ∈ A ì A Khi (A, [, ]) trở thành đại số Lie trường K Nói riêng ta có đại số M at(n, K) ma trận vuông cấp n phần tử K môt đại số Lie với tích Lie xác định: [A, B] = A.B − B.A, ∀A, B ∈ M at(n, K), ®ã phép nhân ''.'' phép nhân ma trận Đại số M at(n, K) ký hiệu gl(n, K) hay đơn giản gl(n) Ví dụ định: Các không gian vectơ đại số Lie với tích Lie xác [A, B] = AB BA, với A, B (1) Đại số Lie tuyến tính đặc biệt (2) Đại số Lie trực giao (3) §¹i sè Lie unitary Cho V n sln = {A ∈ M at(n, K) | T r(A) = 0} o(n) = {A ∈ M at(n, K) | A + AT = 0} un = {A ∈ M at(n, K) | A + A = 0} (4) Đại số Lie unitary đặc biệt Ví dụ ma trận vuông cÊp sun = {A ∈ un | T r(A) = 0} không gian vectơ hữu hạn chiều toán tử tuyến tính C Xét A = End(V ) đại số C không gian vectơ V Khi End(V ) trở thành đại số Lie, với tích Lie xác định: [f, g] = g.f f.g, f, g End(V ), phép nhân ''.'' phép hợp thành hai toán tử tuyến tính gọi đại số Lie tuyến tính tổng quát Ta viết hiểu A đồng gl(V ) đại số Lie Nếu ta cố định sở gl(V ) với gl(n, C) đại số ma trận vuông cấp n V thay cho V, Đại số End(V ) ta phần tư trªn C, víi dimgl(V ) = dimgl(n, C) = n2 Phép hợp thành hai toán tử tuyến tính V phép nhân ma trận hai ma trận tương ứng Ta xác định tích Lie Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn gl(n, C) : lµ C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Đại số Lie nửa đơn Chương Xét sở {eij } gl(n, C), với ma trận eij xác định sau: phần tử vị trí (i, j) 1, phần tử lại Phép nhân hai ma trận xác k = j định sở: eij ekl = jk eil , jk = ký hiệu Kronecker nÕu k 6= j Do tÝnh song tuyÕn tÝnh tích Lie nên để xác định tích Lie, ta cần xác định sở {eij } sau: eij , ekl = eij ekl − ekl eij = jk eil li ekj , ma trận có thành phần Ví dụ Cho 0, 1, A đại số trường K EndK (A) Khi toán tử tuyến tính : A A gọi toán tử vi phân A thỏa mÃn công thøc Leibniz: ϕ(x.y) = ϕ(x).y − x.ϕ(y) TËp c¸c to¸n tử vi phân A ký hiệu Der(A) Khi ®ã ∀ϕ, ϕ ∈ Der(A), ta cã: 0 [ϕ, ϕ ](a.b) = (ϕϕ − ϕ ϕ)(a.b) 0 = ϕ(ϕ (a).b − a.ϕ (b)) − ϕ (ϕ(a).b − a.ϕ(b)) 0 0 = (ϕϕ − ϕ ϕ)(a).b − a.(ϕϕ − ϕ ϕ)(b) 0 = [ϕ, ϕ ](a).b − a.[ϕ, ϕ ](b) Do ®ã [, ] Der(A) Vậy Der(A) đại số Lie gl(A) 1.1.2 Định nghĩa gian Cho G đại số Lie H không gian vectơ G Không H gọi ®¹i sè Lie cđa G, nÕu H ®ãng víi tích Lie, tức là: X, Y H [X, Y ] H Ví dụ Xét đại số Lie gl(n) Ký hiÖu n sl(n) = A = [aij ]n ∈ gl(n) | T r(A) := n X o aii = i=1 tập hợp ma trận vuông cấp n, phần tử phức có vết không Khi sl(n) không gian vectơ gl(n), v×: T r(aA + bB) = a.T r(A) + b.T r(B) = 0, ∀a, b ∈ C, ∀A, B ∈ sl(n, C) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 25 Đại số Lie nửa đơn Chương 1.4.5 Định lý (xem [4]) Mỗi dạng thực G có phân tích Cartan Mệnh đề sau nói lên tính phân tích Cartan Giả sử L2 + P2 hai phân tích Cartan dạng thực U1 = L1 + iP1 1.4.6 Mệnh đề với X0 G biến G0 L1 + P1 tương ứng víi hai d¹ng compact U1 = L2 + iP2 (xem [4]) Tồn tự đẳng cấu L1 thành L2 Rõ ràng hai đối hợp U P1 thành R G có dạng exp(adX0 ) P2 liên hợp nhóm tự đẳng cấu U làm phát sinh hai R đẳng cấu dạng thực U Ngược lại, thực tính Gọi A1 , A2 hai đối hợp giả sử dạng thực 1.4.7 Mệnh ®Ị P1 thµnh P2 Chøng minh vµ U G1 = L1 + iP1 với phân tích U = L1 + P1 = L2 + P2 G2 = L2 + iP2 (xem [4]) Tồn tự đẳng cấu B G R đẳng cấu biến L1 thµnh L2 vµ BA1 B −1 = A2 Gäi E phân tích Cartan đẳng cấu từ G2 đến G2 liên hợp với dạng compact Khi ®ã E(L1 ) + iE(P1 ) lµ sù E(L1 ) + E(P1 ) Theo HƯ qu¶ Q cđa G biÕn thµnh L2 vµ Q.E = B víi E lµ tù ®¼ng cÊu cđa G bëi sù phøc hãa Khi 1.4.4 tồn tự đẳng cấu Bây giờ, ta có thĨ lÊy G1 E(L1 ) E(P1 ) thµnh P2 ®ã ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh Tõ kÕt qu¶ trên, ta thấy tồn song ánh đối hợp thực U dạng G Ta xét ví dụ đơn giản sau: Cho đại số Lie ma trận unita đặc biệt sun = {M ∈ M atn | M + M ∗ = 0, T r(M ) = 0} víi M∗ lµ ma trËn chuyển vị liên hợp Bằng việc tính toán cụ thể, ta thấy dạng Killing xác định âm Vì vậy, ta có đại số Lie compact nửa đơn Gọi cấu liên hợp phức Khi đó, tự dẳng đối hợp, +1 không gian riêng ma trận đối xứng lệch Đây đại số Lie trực giao thực o(n) Ký hiệu s(n) không gian ma trận đối xứng có vết phân tích Khi không gian riêng is(n) Ta cã sù sun = o(n) + is(n) Ta cịng cã sù ph©n tÝch sl(n, R) = o(n) + is(n) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ch¬ng 26 Đại số Lie nửa đơn Mặt khác, ma trận phức phân tích dạng với A + iB A B ma trận Hermite Do đó, ta có phân tích tổng trùc tiÕp sl(n, C) = su(n) + isu(n) thùc cña Cuối cùng, ta nói sun dạng compact sl(n, C) sl(n, R) dạng thực 1.4.8 Định nghĩa Một đại số Lie thực với tự đẳng cấu đối hợp (tức đẳng cấu có nghịch đảo nó) gọi đại số Lie đối xứng Một đại số Lie gọi đại số Lie đối xứng trực giao đại số Lie đối xứng có dạng toàn phương xác định nó, bất biến qua adX qua phép đối hợp 1.4.9 Định lý Hai đại số Cartan đại số Lie phức nửa đơn hợp G đẳng cấu Chứng minh Ui G triệt tiêu iH H phần tử H1,0 cho nghiệm iH1,0 Theo [4] dạng Killing K G xác định âm U Do đó, GL(U) gồm tất toán tử không gian vectơ U nhóm đóng Gọi G1 nhóm đóng nhỏ lấy phần tử tổng quát iH1 G1 H1 H1,0 (có nghĩa tập khoảng cách cực tiểu (theo nghĩa Vì tất cho G K bất biến K, nên toán tử exp(t.adX) thuộc G compact tất phần tử đạo nhóm đóng GL(U) compact vµ lµ nhãm trùc giao O(U, K) Víi X ∈ U bëi bÊt biÕn v« cïng nhá cđa G1 U (ta gọi phần tử quy tổng quát) Khi đó, H U U1 = U2 = U H2 CSA liên hợp Theo Định lý 1.4.2 ta thấy iH1,0 iH2,0 Trên thực tế, cho G Định lý 1.4.2 Từ Hệ 1.4.4 ta giả sử đại số Lie giao hoán cực đại tâm liên H1 H2 hai CSA G Mỗi H1 xác định dạng compact Gọi cách thay thÕ iH1 G g ∈ G1 G1 G chøa tÊt tự đảng cấu Khi ®ã, U B©y giê, H2 ∈ H2,0 Do tÝnh compact, nªn trªn quü {g(iH1 ) | g ∈ G1 }) tồn điểm với K) từ iH2 tự đẳng cấu U nên giả sử điểm có khoảng cách cực tiĨu ®ã Khi ®ã víi bÊt kú t 7−→ exp(t.adX)(iH1 ) = Yt exp(adX) X ∈U iH1 ®êng cong Do đó, khoảng cách cực tiểu, có nghĩa gÇn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ch¬ng iH2 27 Đại số Lie nửa đơn với t = Tõ |Yt − iH2 |2 = |Yt |2 − 2hYt , iH2 i + |iH2 |2 vµ |Yt | = |iH1 , ta thấy đạo hàm hexp(t.adX(iH1 )), iH2 i triƯt tiªu víi t = Do ®ã, h[X, H1 ], H2 i = 0, ∀X ∈ U Tõ h[X, H1 ], H2 i = hX, [H1 , H2 ]i tính không suy biến h., i iH2 chứa iH1,0 , nên ta thu [H1 , H2 ] = Tương tự chứa iH1 Theo [4] phần tử g iH2,0 Khi ®ã iH1,0 = iH2,0 VËy H1 = H2 sử dụng tự đẳng cấu Vậy, định lý chứng minh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ch¬ng 1.5 Mét số tính chất hệ nghiệm 1.5.1 Định nghĩa tính 28 Đại số Lie nửa đơn Cho G đại số Lie T : H C Ký hiệu G = H CSA Với hµm tuyÕn {Y ∈ G | (adH − λ(H))(Y ) = 0} H∈H C¸c λ 6= cho Gλ 6= gọi nghiệm G ký hiệu nghiệm , , , ®èi víi H Ta thêng ∆ = {α, β, , } H> Khi đó, tập hợp tập nghiệm Mỗi tồn không gian G không gian nghiệm đối víi (i) P G =H⊕ cđa G bÊt biÕn díi adH gọi Từ đừ định nghĩa trên, ta có ý sau: G HH (ii) Với ký hiƯu lµ α ∈ ∆ vµ H ∈ H, toán tử adH có giá trị riêng G (H) (iii) [G , Gà ] = nÕu λ + µ ∈ / ∆0 = ∆ ∪ {0} vµ [Gλ , Gµ ] ⊂ Gλ+µ , ∀λ, µ ∈ H> 1.5.2 MƯnh ®Ị chiỊu b»ng (xem [4]) Với không gian G , G H có số hạn chế [G0 , G ] không đồng 1.5.3 Định nghĩa Cho không gian vectơ V R với tích vô hướng xác định dương h., i Mét hƯ nghiƯm R V lµ mét tËp V hữu hạn khác rỗng thỏa mÃn: (i) / R vµ RR = V ; 2hβ, αi ∈ Z; hα, αi (iii) Víi α, β ∈ R, vect¬ β − aβα α ∈ R; (ii) Víi α, β ∈ R, ta cã aβα = (iv) NÕu α.rα ∈ R r = Từ Định nghĩa 1.5.3 ta có xạ Sà : V V a = Víi bÊt kú µ ∈ V, µ 6= ta định nghĩa ánh xác định Sà () = − 2hλ, µi µ, ∀λ ∈ V hµ, µi Khi đó: (ii) phát biểu lại (iii) phát biểu l¹i biÕn díi mäi (ii) : HiƯu Sα β bội số nguyên (iii) : Víi α, β ∈ R, ta cã Sα (R) ⊆ R, hay tËp R bÊt Sα Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương 29 Đại số Lie nửa đơn 1.5.4 Định nghĩa Với gọi nhãm Weyl α ∈ R, W cđa c¸c sinh nhóm tự đẳng cấu S R Các S V gọi phép phản xạ Weyl R hệ nghiệm 1.5.5 Mệnh đề Nếu ( ) α, ∀α ∈ R hα, αi α α = R = cịng lµ hƯ nghiƯm Chøng minh Vì h, i = nên 0 vµ hα, αi |α | = 2.|α|−1 Ta cã hα , α i = E 2 β, α 0 2hβ, αi 2hβ , α i hβ, βi hα, αi = = = aαβ = 0 hα , α i hα, αi hα, αi D aβ α Do ®ã, ®iỊu kiƯn díi Sα râ rµng (ii) ®óng R Điều kiện bất biến (iv) hiển nhiên Do R S0 Ta ý tõ tÝnh bÊt biÕn cña Sα = Sα0 R Ta thấy điều kiện hệ nghiệm Trong không gian vectơ thực bị thứ tự yếu (iii), theo dạng (iii) V, ta chọn sở tèt cho b»ng c¸ch chän f0 : V −→ R V Trªn V tuyÕn tÝnh cho ta trang f0 (α) 6= 0, ∀α ∈ R vµ víi bÊt kú hai vectơ , ta định nghĩa > (tương ứng à) có nghĩa f0 () > f0 (µ) hai tËp R+ vµ viÕt Mét nghiƯm Khi đó, tập R chia thành R gọi nghiệm dương f0 () > R+ ) Một nghiệm R gọi nghiƯm ©m nÕu f0 (λ) < Ta α ∈ R+ R+ bản) f0 () f0 (à)) R 1.5.6 Định nghĩa (ta ký hiệu (tương ứng Một nghiệm R gọi nghiệm đơn giản (hay không tổng hai nghiệm dương Ta ký hiệu F Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.5.7 30 Đại số Lie nửa đơn Chương Định nghĩa Một hệ (trừu tượng) tập khác rỗng F = {α1 , α2 , , l } hữu hạn, độc lập tuyến tính không gian vectơ Euclid 2hi , j i cho với bất ký i , j F giá trị aij = số nguyên không hj , j i dương Các aij gọi số nguyên Cartan Cartan F chúng tạo thành ma trận A = [aij ] 1.5.8 Mệnh đề phÇn tư (xem [4]) Cho F ε = sign(aαβ ) Khi h, i > R 1.5.9 Mệnh đề (i) Nếu (iii) đặt β, β − εαβ − 2εα, , a thuộc R Đặc biệt, (ii) NÕu α, β ∈ R, α 6= β α, β ∈ F α, β ∈ F, α 6= β th× th× α−β ∈ / R hα, βi ≤ tập hợp độc lập tuyến tính R+ (iv) Mọi viết dạng α= P ki αi , víi αi ∈ F vµ i ki ∈ Z (v) NÕu α ∈ R+ , α ∈ /F Chøng minh γ ∈ R+ th× th× ∃αi ∈ F cho α − αi ∈ R+ (i) Víi α, β ∈ F Gi¶ sư α − β ∈ R Khi ®ã γ = α − β ∈ R NÕu α = γ − β NÕu γ ∈ R− th× −γ ∈ R+ Ta cã = + () Điều mâu thuẫn với ®Þnh nghÜa cđa nghiƯm (ii) NÕu hα, βi > , R Giả sö α − β ∈ R+ ta cã α = + ( ) Điều mâu thuẫn với giả thiết nghiệm đơn giản (iii) Quan hệ không âm Gọi đó, P = x i i = P tách thành yi i , = P zj j P ta yi i = P zj αj víi c¸c hƯ sè ≤ hλ, λi = hλ, µi ≤ Do λ = µ = mµ f (λ) = f (µ) = suy yi = zi = (iv) NÕu R+ không đơn giản tỉng cđa hai vect¬ R+ NÕu mét hai vectơ không đơn chia tách thành hai vectơ dương Điều lặp lại Vì f0 giá trị rõ ràng giảm xuống lần Cuối tất số hạng phải đơn giản Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương (v) 31 Đại số Lie nửa đơn Do nên tồn phương trình (iv) P = ni i với hệ số nguyên i không ©m Tõ gi¶ thiÕt < hα, αi = P ni hαi , i suy r»ng mét vµi hα, i phải i hệ số dương Theo Mệnh đề 1.5.8 ta có nên i R Vì vậy, i R+ i α ∈ R+ V× αi = α + (αi ) điều mâu thuẫn với giả thiết αi αi − α ∈ / R+ Ta ký hiệu nghiệm để đối nghiệm sở Hi Xi , Xi Hi Xi , Xi để phần tử kết hợp thành phần tự đẳng cấu Mệnh đề 1.5.9.(iv), tính không triệt tiêu N Theo + [Xi , Xi ] = Hi suy tõ mƯnh ®Ị sau 1.5.10 MƯnh ®Ị (xem [4]) Các phần tử 1.5.11 Mệnh đề (xem [4]) Xét α Xi vµ X−i ∈ R+ vµ αi ∈ F sinh đại số Lie với G 6= i Khi ®ã Si (α) ∈ R+ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Biểu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn có chiều thấp Trong chương trình bày việc xây dựng biểu diễn hữu hạn chiều đại số Lie nửa đơn từ hệ nghiệm Trong suốt chương ký hiệu số Lie nửa đơn phức có hạng hệ nghiệm, H h + l, H đại số Lie Cartan, = {, , } tập hợp nghiệm dương thứ tự yếu cho = {α1 , α2 , , αl } vectơ nghiệm, dạng chuẩn Ta viết Hi X hệ Với Cho , H đối nghiệm, N hệ số phần tử nghiệm thay cho Hi víi αi ∈ Φ Θ = {H1 , H2 , , Hi } T¬ng tù ta viÕt Xi 2.1 G đại để đối nghiệm bản, Xi hay cho Xi Xi Trọng vectơ trọng : G gl(V ) biểu diễn G giản ta ký hiệu Xv 2.1.1 Định nghĩa hoặcX.v thay cho không gian vectơ phức V Để đơn (X)(v) Một vectơ riêng liên kết với tất toán tử gọi vectơ trọng Từ định nghĩa ta có số ý sau: (i) Vectơ trọng phải khác vectơ kh«ng 32 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn ϕ(H), víi H ∈ H C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương (ii) Biểu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn có chiều thấp Nếu vectơ trọng giá trị riêng tương ứng v hàm tuyến tính 2.1.2 Định nghĩa V gồm Sè chiỊu Víi cđa λ ∈ H> cho tríc Kh«ng gian trọng Nếu không gian V V 6= gọi trọng V gọi số bội v vectơ trọng cđa ϕ víi träng λ, gäi α lµ mét nghiƯm 2.1.3 Mệnh đề Cho tùy ý H H tất vectơ trọng với trọng m (H) X phần tử nghiệm tương ứng Khi đó, X v 6= X v vectơ trọng Chứng minh với trọng + Nói cách khác, X Vì bảo toàn tích Lie X ánh xạ V vào phần tử nghiệm V+ nên tõ ϕ([H, Xα ]) = ϕ(H)ϕ(Xα ) − ϕ(Xα )ϕ(H) [H X ] = (H)X , ta HXα v = Xα Hv + [H, Xα ]v = Xα λ(H)v + α(H)Xα v = (λ(H) + α(H))Xα v Vì ta có điều phải chứng minh 2.1.4 Định lý (xem [4]) (i) V sinh vectơ trong, tồn số hữu hạn trọng (ii) Các trọng dạng nguyên (chúng thuộc vào dàn (iii) Tập hợp trọng với bÊt kú víi α∈∆ ta cã ϕ lµ bÊt biÕn díi nhãm Wely: Sα λ = λ − λ(Hα )α I NÕu H0> ) λ lµ mét träng cịng trọng Trên thực tế, = sign((H )) phần tử , , 2εα, , λ − λ(Hα )α ®Ịu trọng (iv) Các số bội bất biến nhóm Wely 2.1.5 Định nghĩa trọng cđa Mét träng mλ = mSλ , víi S ∈ W gọi cao + với ∆+ Mét ý tëng chÝnh cho viƯc x©y dùng biểu diễn cho đại số Lie tổng quát tổng quát hóa trực tiếp việc xây dựng biểu diễn đại số Lie Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn sl2 nh 33 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ch¬ng BiĨu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn có chiều thấp 1.2 Chương Ta lµm nh sau: Gäi träng H v lµ vect¬ träng cao nhÊt cđa ϕ víi λ gièng nh vectơ v0 lý thuyết biểu diễn sl2 vectơ riêng biến thành X+ Với v không gian Vv không gian nhỏ chứa v Vv V xác định bất biến phần tử nghiệm tương ứng với phần tử nghiệm Rõ ràng, Xi i sinh tất vectơ riêng có dạng X−i1 , X−i2 , , X−ik v víi k = 0, 1, 2, vµ ≤ ij ≤ l 2.1.6 MƯnh ®Ị Chøng minh biÕn díi Vv lµ mét Ta chó ý X−i G G− kh«ng gian bÊt biÕn cđa V sinh bëi phần tử nghiệm phần tử định nghĩa chứng minh quy nạp Thật vËy, ta viÕt Vv Xi vµ X−i TÝnh bÊt TÝnh bÊt biÕn díi Xi ta I = {i1 , i2 , , ik } nh trªn, ta viÕt gän X−i1 , X−i2 , , Xik v thành XI v (vì Xi v − X−i v ), gäi k lµ chiỊu dµi cđa I Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p bÊt kú biến vào Lấy Vv t cho hầu hết chiều dài I tất XI v Xi k t + 1, đặt I = {i1 , i2 , , ik } Khi đó, từ đẳng thức [Xi , Xj ] = Xi X−j − X−j Xi , ta cã Xi XI v = Xi X−i1 XI v = X−i1 Xi XI v + [Xi , X−i1 ]XI v Theo giả thiết quy nạp Xi XI v ∈ Vv V× vËy, Xi X−i1 XI v ∈ Vv Sè h¹ng thø hai [Xi , X−i1 ] = nÕu −i1 6= i (v× αi − αi1 nÕu −i1 = i Khi ®ã, XI v vectơ riêng 2.1.7 Hệ Nếu biểu diễn không nghiệm [Xi , Xi1 ] = Hi Hi bất khả quy tồn xác trọng cao Nó trọng (thuộc vào nhóm I d ), lớn theo thứ tự đà cho, có chuẩn cực đại, có số bội Tất trọng khác có dạng nguyên không âm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn P ni αi , víi ni lµ sè 34 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương 2.2 Biểu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn có chiều thấp Sự hoàn toàn khả quy 2.2.1 Mệnh đề (Bổ đề Schur) Giả sử biểu diễn bất khả quy cđa cho G Gi¶ sư f : V −→ W vµ ψ : G −→ gl(W ) lµ lµ ánh xạ tuyến tính X f = f X X G Khi (i) Nếu ψ (ii) NÕu sè ϕ : G −→ gl(V ) không đẳng cấu với V =W = f f = phép vị tự, tøc lµ f = λidV , víi h»ng λ nµo ®ã 2.2.2 Bỉ ®Ị Gi¶ sư ϕ : G −→ gl(V ) G Gi¶ sư h : V −→ W khả quy h0 = : G gl(W ) biểu diễn bất ánh xạ tuyến tính Đặt X (X )1 hX |G| XG Khi đó: (i) Nếu (ii) Nếu Chứng minh không đẳng cấu với V =W Ta có = h0 phép vÞ tù víi hƯ sè T r(h) dim(V ) ψX h0 = h0 ϕX ∀X ∈ G ThËt vËy ψX−1 h0 ϕX = X −1 −1 ψ ψ hϕX ϕY |G| X∈G Y X = X −1 ψ hϕXY |G| X∈G XY = X −1 ψZ hϕZ = h0 |G| Z∈G (i) Sư dơng kÕt Bổ đề Schur với Cũng theo Bổ đề Schur, f = h0 , ta nhận h0 = h0 = λdV , ®ã λ số phức Ta thấy T r(h0 ) = Mặt khác, h0 = X X T r(ψX−1 hϕX ) = T r(h) |G| X∈G |G| X∈G T r(h0 ) = T r(λidV ) = nλ Do ®ã λ = T r(h) n Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 35 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ch¬ng BiĨu diễn bất khả quy phân loại đại số Lie nửa đơn có chiều thấp 2.2.3 Bổ đề (xem [4]) Gọi bất khả quy) với dạng vết biểu diễn G V (bất khả quy kh«ng Tϕ (X, Y ) = T r(ϕ(X), ϕ(Y )) Nếu biểu diễn trung thành dạng vết không suy biến 2.2.4 Định nghĩa (Toán tử Casimir) Cho I iđêan G bù với ker hạn chế xác định mét biĨu diƠn trung thµnh cđa I Gäi X1 , X2 , , Xn së tïy ý cđa I cho I vµ Y1 , Y2 , , Yn Tϕ (X, Y ) = ij Đặt = tử Casimir cđa ϕ(Xi ) ◦ ϕ(Yi ) Khi ®ã ta gäi toán giao hoán với toán tử ϕ(X) T r(Γϕ ) = dim I = dim G − dim kerϕ Chøng minh LÊy bÊt kú X ∈ G Ta khai triÓn [X, Xi ] = Ta cã sở đối ngẫu với dạng vết 2.2.5 Mệnh đề (i) Toán tử Casimir (ii) P xij = T r[X, Xi ]Yj X vµ xij Xj , [X, Yi ] = −T rXi [X, Yi ] = −yij , X yij Yj bëi v× tÝnh bÊt biÕn cđa Tϕ Khi ®ã [X, Γϕ ] = VËy ta cã X [X., Xi ]Yi + X Xi [X, Yi ] = X xij Xj Yi + X yij Xi Yj = (i) Khẳng định (ii) suy tõ sù kiÖn T rXi Yi = 2.2.6 Hệ Nếu bất khả quy V 6= {0} toán tử vô hướng dim G − dim kerϕ id dim V Do ®ã, Γϕ không suy biến 2.2.7 Mệnh đề Cho không tầm thường G tác động V vG cho 2.2.8 Định lý Mọi biểu diễn 2.2.9 Định lý Cho G hoàn toàn khả quy ϕ cđa G cđa G1 lµ f (X) = Xv, ∀X ∈ G lµ tỉng trùc tiÕp cđa hai đại số Lie nửa đơn biểu diễn bất kh¶ quy diƠn bÊt kh¶ quy G f : G −→ V f ([X, Y ]) = Xf (X)−Y f (X), ∀X, Y ∈ G mét hµm tuyÕn tÝnh tháa mÃn quan hệ Khi đó, tồn vectơ đà định nghĩa Gọi G1 G2 Khi đó, phân tích thành tích tensor hai biÓu G2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn 36