Hh9 ch~2

CHUYÊN ĐỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG CHỦ ĐỀ 1: ĐỊNH LÍ TA-LÉT TA-LÉT (625-547 TCN) Thalès de Milet (Ta-lét) triết gia, nhà toán học người Hy Lập sống trước Socrates, người đứng đầu bảy nhà hiền triết Hy Lạp Ông xem nhà triết gia triết học Hy Lạp cổ đại, “cha đẻ khoa học” Tỉ số hai đoạn thẳng Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo Chú ý: Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A' B' C'D' có tỉ lệ thức hay AB CD  A' B' C' D' Định lí Ta-lét Định lí GT ABC : B' C'  BC ( B'  AB,C'  AC ) KL AB' AC' AB' AC'  ;  ; AB AC B' B C' C B' B C' C  AB AC Định lí đảo GT ABC : B'  AB,C'  AC AB' AC'  B' B C' C KL B' C'  BC Hệ GT ABC : B' C'  BC ( B'  AB,C'  AC ) KL AB' AC' B' C'   AB AC BC AB A' B'  CD C' D' TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Định nghĩa  C  A' A;B' B;C'  A' B' C'  ABC   A' B' B' C' C' A'   k  BC CA  AB (k: tỉ số đồng dạng) Tính chất h' k h h',h tương ứng đường cao tam giác ABC tam giác A' B' C' p' S' k; k p S p', p tương ứng nửa chu vi tam giác A' B' C' tam giác ABC; S ',S tương ứng diện tích tam giác A' B' C' tam giác ABC Các trường hợp đồng dạng tam giác Cạnh – cạnh – cạnh GT ABC, A' B' C' : KL A' B' A' C' B' C'   AB AC BC ABC  A' B' C' Cạnh – góc – cạnh GT ABC, A' B' C' : KL A' B' A' C'   ; A' A AB AC ABC  A' B' C' Góc – góc GT ABC, A' B' C' : KL A A';B B' ABC  A' B' C' Các dạng tập Dạng 1: Các tốn tính tốn Phương pháp giải Dựa vào đường thẳng song song suy tỉ số độ dài đoạn thẳng biết đoạn thẳng chưa biết Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB 15cm , M điểm đoạn thẳng AB cho MA  Tính độ dài MB MA MB Giải chi tiết Theo giả thiết, MA MA MB MA  MB AB 15       MB 7 4 11 11  MA 9,55cm; MB 5,45cm Ví dụ 2: Tính độ dài x hình sau: Giải chi tiết a) Do DE  BC nên theo định lí Ta-lét ta có: AD AE 14     x BD EC x b) Do DE  AB, BC  AB nên DE  BC Từ đó, theo định lí Ta-lét ta có: AD AE     y 4,875 AB AC y  2,5 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC 15cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK KI IH Qua I K vẽ đường thẳng EF, MN song song với BC ( E,M  AB; F ,N  AC ) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF Giải chi tiết MK  BH nên theo định lí Ta-lét ta có: AM AK   AB AH Lại có MN  BC nên theo định lí Ta-lét ta có: MN AM    MN 5cm BC AB EI  BH nên theo định lí Ta-lét ta có: AE AI   AB AH EF  BC nên theo định lí Ta-lét ta có: EF AE    EF 10cm BC AB Dạng 2: Các toán chứng minh Phương pháp giải Các tốn chứng minh sử dụng định lí Ta-lét thường gặp toán chứng minh đẳng thức hay chứng minh hai đường thẳng song song - Trong trường hợp toán chứng minh đẳng thức, sử dụng định lí Ta-lét cho đường thẳng song song để biến đổi hai vế đẳng thức - Trong trường hợp chứng minh hai đường thẳng song song, ta thường chứng minh tỉ lệ dùng định lí Ta-lét đảo để suy đường thẳng song song Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, từ điểm D cạnh BC kẻ đường thẳng song song với cạnh AB AC, chúng cắt cạnh AB AC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: AE AF  1 AB AC Giải chi tiết Để chứng minh đẳng thức AE AF  1 , ta tìm tỉ số AB AC AE AF , AB AC Do DE  AC nên theo định lí Ta-lét ta có: Do DF  AB nên theo định lí Ta-lét ta có: AF BD  (2) AC BC Cộng vế với vế (1) (2) ta được: AE AF DC BD    1 (đpcm) AB AC BC BC AE DC  (1) AB BC Ví dụ 2: Đường thẳng d cắt cạnh AB, AD đường chéo AC hình bình hành ABCD E, F I Chứng minh AB AD AC   AE AF AI Giải chi tiết Để chứng minh AB AD AC AB AD   , , ta tìm tỉ số AE AF AI AE AF Kẻ BG  EF(G  AC), DH  EF(H  AC) Gọi O giao điểm BD AC Khi đó, theo định lí Ta-lét ta có: AB AG AD AH  ;  AE AI AF AI  AB AD AG AH AG  AH AG  GH      AE AF AI AI AI AI Do BG, DH  EF nên BG  DH  GBO HDO Từ BGO DHO (g.c.g) Suy GO OH  AG  GH 2 AG  2GO 2 AO  AC Do đó, AB AD AC   (đpcm) AE AF AI Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD ( AB  CD AB  CD ), cạnh bên AD BC cắt E a) Tính BC biết AE 2, AD 2 CE 6 b) Từ điểm M đáy CD, kẻ MC'  DE MD'  CE ( C'  CE,D'  DE ) Chứng minh D' E EC'  1 ED EC Giải chi tiết a) Do AB  CD nên theo định lí Ta-lét ta có: AE BE  1  BC  CE 3 AD BC b) Do D' M  CE nên theo định lí Ta-lét ta có: D' E MC  (1) DE DC Do C' M  DE nên theo định lí Ta-lét ta có: C' E DM  (2) EC DC Cộng vế với vế (1) (2) ta được: D' E C' E MC DM    1 DE EC DC DC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tính độ dài x, y hình sau: Câu 2: Cho hình thang ABCD ( AB  CD ) Đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N cho MD 3 MA a) Tính tỉ số NB NC b) Cho AB 8 cm, CD 20 cm Tính MN Câu 3: Cho tam giác ABC đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB D AC E Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF BD Gọi M giao điểm DF BC Chứng minh MD AC  MF AB Câu 4: Cho tam giác ABC lấy M, N thuộc hai cạnh AB, AC Nối B với N, C với M Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AC I, qua N kẻ đường thẳng song song với CM cắt AB K Chứng minh IK  BC Câu 5: Cho hình thang ABCD ( AB  CD ) Một đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên AD I, cắt đường chéo BD K, AC L cắt cạnh bên BC G a) Chứng minh IK LG b) Đường thẳng qua giao điểm O hai đường chéo song song với hai đáy cắt hai cạnh bên E F Chứng minh OE OF Gợi ý giải Câu 1: a) a  BC  AD AE x     x 2 BD CE b) DE  NP  Lại có c) DM ME 4,5     x 1,5 DN EP x DE ME 28     y NP MP y AB AI BI 1,5 16       x  ; y 8 CD CI DI y x d) DE  BC  AE DE AD x 1,5       x 1,5; y 4,5 AB BC AC 1,5  y Câu 2: a) Gọi I giao điểm BD MN Do MI  AB nên theo định lí Ta-lét ta có: MA IB  (1) MD ID Tương tự, NI  CD nên theo định lí Ta-lét ta có: IB NB  (2) ID NC Từ (1) (2) suy NB MA   NC MD b) Ta có: MI DM 3    MI  AB 6 cm AB DA 4 Tương tự, NI BI AM     NI 5 cm CD BD DA Do đó, MN MI  NI 11cm Câu 3: DE  CM nên theo định lí Ta-lét ta có: Mà CF BD nên MD CE  MF CF MD CE  (1) MF BD Lại có, DE  BC nên theo định lí Ta-lét ta có: AB AC CE AC    (2) BD CE BD AB Từ (1) (2) ta suy MD AC  MF AB Câu 4: Do NK  CM nên AK AN   AM AN  AK AC (1) AM AC Do MI  BN nên AM AI   AM AN  AB.AI (2) AB AN Từ (1) (2), suy AK AC  AB.AI  AK AI  AB AC Do đó, theo định lí Ta-lét đảo IK  BC (đpcm) Câu 5: a) IK  AB  IK DI DK   (1) AB DA DB KG  CD  DK CG  (2) DB CB LG  AB  LG CG  (3) AB CB Từ (1), (2), (3) suy IK LG   IK LG AB AB b) Ta có: OE  AB  OE OD OF OC  ; OF  AB   AB DB AB AC Lại có: AB  CD  Do OD OC  BD AC OE OF   OE OF AB AB CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số, diện tích Phương pháp giải Dựa vào tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng, tính chất dãy tỉ số để tính chu vi, diện tích hay tỉ số chu vi, diện tích Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 9cm,BC 12cm MNP có MN 24cm,NP 18cm,MP 12cm a) Chứng minh ABC  MNP b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác Phân tích đề Giả thiết cho yếu tố cạnh mà khơng cho góc nên ta định hướng chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh Giải chi tiết a) Ta có: AB AC BC    nên ABC  PMN (c.c.c) MP NP MN 2 S  AB  b) Do ABC  PMN nên ABC    SMNP  MP  Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB 4cm, AC 3cm a) Chứng minh HAC ~ ABC b) Tính độ dài CH Giải chi tiết a) Xét HAC ABC có: BAC AHC 90 ; C chung nên HAC ~ ABC (g.g) b) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ABC ta dễ dàng tính BC 5cm Do HAC ~ ABC nên CH AC CH     CH 1,8cm CA BC Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD ( AB  CD ) có DAB DBC AD 5cm, AB 3cm,BC 9cm a) Chứng minh DAB ~ CBD b) Từ câu a, tính độ dài DB, DC c) Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giác ABD 5cm2 Giải chi tiết a) AB  CD  ABD BDC Xét DAB CBD có: DAB DBC;ABD BDC nên DAB ~ CBD (g.g) b) DAB ~ CBD  DA AB DB BD       BD 5,4cm;CD 9,72cm CB BD CD BD CD c) Kẻ DH vng góc với AB H Theo giả thiết: S ABD 5  10 DH AB 5  DH  cm 1 10 106 cm Từ đó: S ABCD  DH( AB  CD )  (  9,72 )  2 Ví dụ 4: Cho DE  BC , D điểm cạnh AB, E điểm cạnh AC cho DE  BC Xác định vị trí điểm D cho chu vi tam giác ADE hai tam giác đó, biết tổng chu vi 63cm chu vi tam giác ABC Tính chu vi Giải chi tiết Do DE  BC nên dễ dàng chứng minh ADE ~ ABC (g.g) với tỉ số đồng dạng k  AD AB Khi AD kAB, AE kAC DE kBC nên CVADE k.CVABC (1) Theo giả thiết chu vi tam giác ADE 2 chu vi tam giác ABC suy k  5 Vậy AD  AB CVADE CVABC CVADE  CVABC 63    45 Từ (1) suy k 1 k 1  CVADE 18cm, CVABC 45cm Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh hệ thức đẳng thức sử dụng tam giác đồng dạng Phương pháp giải 1) Đối với toán chứng minh tam giác đồng dạng: - Xét xem hai tam giác cần chứng minh đồng dạng có cặp cạnh tỉ lệ chưa? Có góc chưa? - Từ đó, định hướng chứng minh chúng đồng dạng theo trường hợp nào? - Chứng minh yếu tố thiếu để đồng dạng theo trường hợp định hướng Ví dụ: Cần chứng minh ABC  A' B' C' - Xem xét hai tam giác nhận thấy chúng có cặp góc tương ứng nhau: giả sử A A' - Từ đó, định hướng chứng minh theo trường hợp g.g trường hợp c.g.c - Nếu chứng minh theo trường hợp g.g ta cần chứng minh thêm cặp góc B B' C C' - Nếu chứng minh theo trường hợp c.g.c ta cần chứng minh A' B' A' C'  AB AC - Sau đó, dựa vào giả thiết để chọn hướng chứng minh phù hợp 2) Đối với toán chứng minh đẳng thức Sử dụng tam giác đồng dạng phù hợp để biến đổi vế đẳng thức cần chứng minh Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A Đường phân giác góc A cắt cạnh huyền BC D Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E a) Chứng minh DEC  ABC b) Chứng minh DE DB Phân tích đề Cần chứng minh gì? Hai tam giác có gì? Ta chứng minh hai tam giác đồng dạng theo DEC ~ ABC C chung, hai góc vng Góc – góc trường hợp nào? Giải chi tiết Xét tam giác DEC ABC có: C chung; CDE BAC 90 nên DEC ~ ABC (g.g) Do DEC ~ ABC nên DE CD  (1) AB AC Mặt khác, AD tia phân giác BAC nên theo tính chất đường phân giác ta có: CD BD  (2) AC AB Từ (1), (2) suy DE BD  hay DE BD AB AB Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB 9cm, AC 6cm Điểm D nằm cạnh AB cho AD 2cm Gọi E trung điểm AC Chứng minh AED ~ ABC Phân tích đề Nhận xét thấy toán giả thiết biết yếu tố độ dài, hai tam giác ABC AED có A chung nên ta định hướng chứng minh theo trường hợp c.g.c Giải chi tiết Ta có: AE 3, AD 3, AC 6 , AB 9 suy Xét AED ABC có: A chung, AD AE   AC AB AD AE  AC AB  AED ~ ABC (c.g.c) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng A Kẻ đường cao AH tam giác a) Chứng minh rằng: AHB ~ CAB Từ suy AB HB.BC b) Kẻ HM  AB HN  AC Chứng minh AM AB  AN AC c) Chứng minh AMN ~ ACB Giải chi tiết a) xét hai tam giác AHB CAB có: ABH chung, BHA 90 , BAC 90  AHB ~ CAB (g.g) Do AHB ~ CAB nên HB AB  , từ suy AB HB.BC AB BC b) Xét AHM ABH có: MAH chung; AMH AHB 90  AHM ~ AHB (g.g)  AH AM   AH  AM AB (1) AB AH Xét AHN ABH có: NAH chung; ANH AHC 90  AHN ~ ACH  AH AN   AH  AN AC (2) AC AH Từ (1), (2) suy ra: AM AB  AN AC c) Ta có: AM AB  AN AC  AM AN  AC AB Xét AMN ABC có: MAN chung; AM AN  nên AMN ~ ACB (c.g.c) AC AB Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D E AB, AC cho DME B a) Chứng minh BDM ~ CME b) Chứng minh MDE ~ DBM c) Chứng minh khơng đổi Phân tích đề Câu Cần chứng minh gì? Hai tam giác có gì? Định hướng chứng minh theo trường hợp a) BDM ~ CME B C b) MDE ~ DBM B M Góc – góc Cạnh – góc – cạnh DMB MEC BDM EMC BD BM  DM ME nào? Cần chứng minh thêm gì? Giải chi tiết a) Ta có: DMC B BDM (góc ngồi đỉnh M tam B BDM DME EMC Mặt khác, B DME nên ta có BDM EMC Xét BDM CME có: BDM EMC, B C Suy BDM ~ CME (g.g) b) Do BDM ~ CME (câu a) nên BD DM BD DM BD BM      CM ME BM ME DM ME giác BDM) suy BD BM  Xét MDE DBM có: B M ; nên MDE ~ DBM (c.g.c) DM ME c) Do BDM ~ CME (câu a) nên BD BM BC không đổi   BD.CE CM BM  CM CE BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho tam giác ABC có AB 18cm, AC 24cm,BC 30cm Gọi M trung điểm BC Qua M kẻ đường vng góc với BC cắt AB, AC D, E a) Chứng minh rằng: ABC ~ MDC b) Tính độ dài cạnh MDC Câu 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36 cm2, diện tích ABC 11 cm2 Qua điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD M, cắt CD N Tính diện tích MND Câu 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH ( H  BC ) Kẻ HD  AB D, HE  AC E a) Chứng minh AHB ~ ADH , AHC ~ AEH b) Chứng minh AE.AC  AD.AB Câu 4: Cho tam giác ABC, AD tia phân giác góc A; AB  AC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho ACI BDA Chứng minh a) ADB ~ ACI ; ADB ~ CDI b) AD  AB.AC  BD.CD Câu 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh AE.AC  AF AB b) Chứng minh AFE ~ ACB c) Chứng minh FHE ~ BHC d) Chứng minh HA.HD HB.HE HC.HF e) Chứng minh BC BH BE  CH CF Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, tia đối tia DA lấy điểm M cho DM  AB , tia đối tia BA lấy điểm N cho BN  AD Chứng minh: a) CBN CDM cân b) CBN ~ MDC Câu 7: Cho hình thoi ABCD có A 60 Qua C kẻ đường thẳng d khơng cắt hình thoi cắt đường thẳng AB E cắt đường thẳng AD F a) Chứng minh BEC ~ AEF b) Chứng minh DCF ~ AEF c) Chứng minh BE.DF DB d) Chứng minh BDE ~ DBF Câu 8: Cho tam giác ABC vng A có AB 20cm, BC 25cm Gọi M điểm thuộc cạnh AB a) Tính AC b) Qua B vẽ đường thẳng vng góc với CM H, cắt AC D Chứng minh AMC ~ HMB c) Chứng minh AC.AD  AM AB d) Chứng minh DM  BC Câu 9: Cho tam giác ABC vuông B Đường phân giác AD Biết AB 6cm, AC 10cm a) Tính BD CD b) Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC K Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt AD, AB, BC E, F, H Chứng minh ABC ~ HDK c) Chứng minh AK  DF d) Chứng minh CHA vuông A e) Chứng minh CH KD  AH BF Câu 10: Cho tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc cạnh AC Kẻ MD vng góc với BC D Gọi E giao điểm AB MD a) Chứng minh ABC ~ DBE b) Chứng minh MA.MC MD.ME c) Chứng minh MAD ~ MEC d) Chứng minh AB.AE  AM AC Gợi ý giải Câu 1: a) Theo định lí Pitago đảo, chứng minh ABC vng A Xét ABC MDC có: BAC DMC 90 ; C chung nên ABC ~ MDC (g.g) b) Do ABC ~ MDC nên MD MC CD MD 15 CD      AB AC BC 18 24 30  MD 11,25cm; CD 18,75cm Câu 2: Ta có: S ADC S ABCD  S ABC 25cm Dễ dàng chứng minh DAC ~ DMN Suy S ADC  AC    k SDMN  MN  Kẻ AH  MN Đặt S DMN S , S ADC S1 ,S ACNM S2 ta có: S1 k S  S  S1 25  k2 k2 S ABC  AH AC 1 S S AMB  SBCN  S ABC  AH MB  AH NB  AH AC 2 1  AC  k 1  AH( MN  AC )  AH   AC   S ABC 2 k  k   S2  11( k  ) k Mặt khác S S1  S2  25 11( k  ) 25 25   25k  11k( k  )  25 0  k  k k 36 Vậy S 51,84cm Câu 3: a) Xét AHB ADH có: BAH chung; ADH AHB 90 nên AHB ~ ADH (g.g) Chứng minh tương tự ta có: AHC ~ AEH (g.g) b) Do AHB ~ ADH nên AH AB   AB.AD  AH AD AH Do AHC ~ AEH nên AH AC   AE.AC  AH AE AH Từ suy AE.AC  AB.AD Câu 4: a) Xét ADB ACI có: BAD IAC (do AD phân giác), ACI BDA (giả thiết) suy ADB ~ ACI (g.g) Do ADB ~ ACI nên ABD AIC Xét ADB CDI có: ABD AIC; ADB CDI (đối đỉnh) suy ADB ~ CDI (g.g) b) Do ADB ~ ACI nên Do ADB ~ CDI nên AD AB   AB.AC  AD.AI AC AI AD DB   BD.CD  AD.DI CD DI Do AB.AC  BD.CD  AD.AI  AD.DI  AD (đpcm) Câu 5: a) Xét ACF ABE có: BAC chung; AEB AFC 90 nên ACF ~ ABE (g.g) AC AF  hay AC.AE  AB AF AB AE Do đó, ta có: b) Theo câu a) AC AF AC AB    AB AE AF AE Xét AEF ABC có: BAC chung; AC AB  nên AEF ~ ABC (c.g.c) AF AE c) Xét BHF CHE có: BFH CEH 90 ; BHF CHE (đối đỉnh) nên BHF ~ CHE (g.g) Từ suy HB HF HF HE    HC HE HB HC HF HE  Xét HEF HCB có: EHF BHC (đối đỉnh); nên HEF ~ HCB (c.g.c) (đpcm) HB HC d) Do HF HE  nên HB.HE HC.HF Chứng minh tương tự ta có: HB.HE HA.HD HB HC Từ ta điều phải chứng minh e) Xét BHD BCE có: CBE chung; BDH BEC 90 nên BHD ~ BCE (g.g) Từ suy BH BD  hay BH BE BC.BD BC BE Chứng minh tương tự ta có: CH CF CD.CB Do BH BE  CH CF BC.BD  CD.BC BC( CD  CD ) BC (đpcm) Câu 6: a) ABCD hình bình hành nên AB CD , mà AB DM (giả thiết) nên CD CM Do tam giác CDM cân D Chứng minh tương tự ta có tam giác CBN cân B b) Từ câu a) suy DM CD  BC BN Dễ dàng chứng minh MDC CBN( DAB ) Do MDC ~ CBN (c.g.c) (đpcm) Câu 7: a) ABCD hình thoi nên BC  AD  EB EC  EA EF EB EC  Xét BEC AEF có : BEC chung, nên BEC ~ AEF (c.g.c) EA EF b) Chứng minh tương tự câu a c) Do BE  DC nên BEC DCF Do BC  DF nên BCE DFC  BCE ~ DFC Suy BE BC  hay BE.DF CD.BC DC DF Mặt khác A 60  C 60  BCD Do BE.DF CD.BC BD.BD BD (đpcm) Vậy BE.DF BD d) Từ BE.DF BD suy BE BD  BD DF Do A 60 nên ABD đều, từ ta tính EBD BDF 120 Xét BDE DBF có: BE BD   ; EBD BDF nên BDE ~ DFB (c.g.c) (đpcm) BD DF Câu 8: a) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ABC ta có: AC BC  AB 25  20  AC 15 b) Xét AMC HMB có: MAC MHB 90 ; AMC HMB (đối đỉnh) nên AMC ~ HMB (g.g) c) Do AMC ~ HMB nên MBH ACM Xét ACM ABD có: CAM BAD 90 ; ACM ABD Nên ACM ~ ABD (g.g) Suy AC AM  hay AC.AD  AM AB AB AD d) Tam giác CBD có hai đường cao CH, BA cắt M nên DM đường cao DM  BC Câu 9: a) Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vng ABC ta tính BC 8 Theo tính chất đường phân giác tính chất dãy tỉ lệ thức ta có: BD CD BD  CD BC     AB AC AB  AC AB  AC 16 Từ ta tính BD 3, CD 5 b) Do AB, DK vuông góc với BC nên AB  DK Suy BAD ADK Mặt khác, ADK KHD (cùng phụ với HKD ) Do BAD KHD Xét ABD HDK có: BAD KHD; ABD HDK 90 nên ABD ~ HDK (g.g) c) AFK có AE vừa đường cao, vừa đường phân giác nên cân A E trung điểm FK (1)  AFK AKF Mà AFK DKF (AB  DK) nên suy AKF DKF  AKD cân K E trung điểm AD (2) Từ (1) (2), suy tứ giác AKDF có hai đường chéo AD FK cắt trung điểm đường nên AKDF hình bình hành Do AK  DF d) Xét tam giác AHD có HE vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên tam giác AHD cân AHE DHE Xét AHK DHK có: AHE DHE ; cạnh HK chung; AKH DKH nên AHK DHK (g.c.g) Từ suy HAK HDK 90 Vậy AHC vng A e) Xét ABH CAH có: ABH CAH 90 ; AHB chung nên ABH ~ CAH (g.g)  AH BH CH AH HD DK      HC AH AH BH BH BF Vậy CH KD  AH BF Câu 10: a) Xét ABC DBE có: B chung; A D 90 nên ABC ~ DBE (g.g) b) Xét MAE MDC có: MAE MDC 90 ; AME DMC (đối đỉnh) nên MAE ~ MDC (g.g) Từ suy c) Từ MA ME  hay MA.MC MD.ME MD MC MA ME MA MD   suy MD MC ME MC Xét MAD MEC có: MA MD   ; AMD CME (đối đỉnh) nên ME MC MAD ~ MEC (c.g.c) d) Do MAD ~ MEC nên E C Xét AME ABC có: E C; BAC EAM 90 nên AME ~ ABC (g.g) Suy AM AE  hay AB.AE  AM AC AB AC