Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Dạng tốn Tìm điều kiện xác định bất phương trình Phương pháp áp dụng: Điều kiện xác định bất phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f x , g x xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) Điều kiện để biểu thức: f x g x f x 0 xác định g x 0 xác định g x xác định g x Lưu ý Câu Viết điều kiện bất phương trình sau: x 1 x Lời giải tham khảo Điều kiện: x 0 x x 1 x 2 x 1 x 1 x x 1 1.2 Lời giải 1.1 Lời giải Điều kiện: x 0 x 0 1.3 x Lời giải Điều kiện: 1 x x 1 x 3x hay x x 2 2 Điều kiện: x x 0 hay x 1 x 2 2 x x 0 2 x 0 x 2 x 2 x 2 Lưu ý Câu Tìm điều kiện bất phương trình sau: x 2x x2 x 1 x Lời giải tham khảo 1 x 0 x Điều kiện: x 1; x x 0 2.1 x x Lời giải x 12 2.2 Lời giải Trang -1- x Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 4 x 0 x 0 Điều kiện: x 2x 2.3 Lời giải x2 Điều kiện: x 4 x x 0 x Điều kiện: x 3; x x 1 0 2 x 0 x x x x Lưu ý Câu Tìm điều kiện bất phương trình sau: 2x 2x Lời giải tham khảo x 2 x 0 x 2 3 x 0 x Điều kiện: 2x 1 1 x x 3.1 Lời giải 3.2 Lời giải x 25 6 x 0 x 6 x 5 x 5 Điều kiện: 2x 3 x x x 12 x4 x 1 x 0 Điều kiện: x 3 x x 3.3 3.4 Lời giải Lời giải x 2 x x 1 x x 1 2 x x Điều kiện: Khơng có giá trị x để bất phương trình xác định 3x x x x 3.5 x x 1 2x Lời giải Trang -2- Điều kiện: x x 12 0 x 3 x 0 x 3; x x 4 x 3 x 3 Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH x x 0 x x 1 2 x 0 3 x Điều kiện: x x Dạng tốn Xác định bất phương trình tương đương giải bất phương trình phép biến đổi tương đương Phương pháp áp dụng: Để giải bất phương trình ta thực phép biến đổi để đưa bất phương trình tương đương với bất phương trình cho Một số phép biến đổi thường sử dụng: Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện xác định bất phương trình ta thu bất phương trình tương đương với bất phương trình cho Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức dương (hoặc âm) mà không làm thay đổi điều kiện xác định bất phương trình ta thu bất phương trình chiều (hoặc ngược chiều) tương đương với bất phương trình cho Bình phương hai vế bất phương trình (hai vế ln dương) ta thu bất phương trình tương đương với bất phương trình cho Lập phương hai vế bất phương trình ta thu bất phương trình tương đương với bất phương trình cho Câu Các cặp bất phương trình sau tương đương với hay khơng, sao? x 0 x x x Lời giải tham khảo Ta có x 0 x 3 Lại có x 3 x 3 x 1 x x 3 x Do hai bất phương trình khơng tương đương Lưu ý 1.1 x Lời giải x 5 3 x x Ta có x x x 5 x 3 3 x x x Xét Vậy hai bất phương trình khơng tương đương x x x 3 x 1.2 Trang -3- Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Lời giải Ta có x x x x x 1 với x nên Do x x x 3 x40 x Vậy hai bất phương trình tương đương 1.3 x 0 Lời giải x 1 x x 0 Ta có x 0 x x 1 x Lại có x 0 x 1 x 0 x 2 x Vậy hai bất phương trình khơng tương đương 1.4 x x x x 1 Lời giải Hai bất phương trình khơng tương đương dễ thấy x 1 nghiệm bất phương trình thứ hai khơng phải nghiệm bất phương trình thứ Câu Hãy cặp bất phương trình tương đương cặp bất phương trình đây: 2x 1 x 4 x x x x Lời giải tham khảo 2x Ta có: 1 x 4 x x x x 5 Lại có x x x Vậy hai bất phương trình tương đương Lưu ý x 3 2.1 1 2 x7 x x Lời giải x 3 Ta có 1 2 x7 x7 x x Trang -4- Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Lại có x x Vậy hai bất phương trình không tương đương x x x 8 x x 1 x 2.2 x x Lời giải Hai bất phương trình khơng tương đương x nghiệm bất phương trình thứ hai khơng nghiệm bất phương trình thứ x 1 2.3 x x x 3 Lời giải Hai bất phương trình khơng tương đương x nghiệm bất phương trình thứ khơng nghiệm bất phương trình thứ hai x 5 0 x x 1 x 2.4 Lời giải x 1 x 5 x 5 x 0 x a có x x 1 0 x x Vậy hai bất phương trình tương đương Câu Xác định cặp bất phương trình tương đương cặp bất phương trình x x x 1 Lời giải tham khảo Hai bất phương trình khơng tương đương x 0 nghiệm bất phương trình thứ khơng nghiệm bất phương trình thứ hai Lưu ý 3.1 x x x 1 Lời giải Hai bất phương trình khơng tương đương x 0 nghiệm bất phương trình thứ khơng nghiệm bất phương trình thứ hai 1 3.2 x x 1 Lời giải Hai bất phương trình khơng tương đương x nghiệm bất phương trình thứ khơng nghiệm bất phương trình thứ hai 3.3 x x x x Lời giải Trang -5- Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Hai bất phương trình khơng tương đương x nghiệm bất phương trình thứ hai khơng nghiệm bất phương trình thứ 3.4 x 1 x x x x x Lời giải x nghiệm bất phương trình thứ Hai bất phương trình khơng tương đương khơng nghiệm bất phương trình thứ hai 2 x x 1 x 3.5 x Lời giải Hai bất phương trình khơng tương đương x nghiệm bất phương trình thứ hai khơng nghiệm bất phương trình thứ Câu Giải bất phương trình sau: x 3 x x 0 Lời giải tham khảo x x x Điều kiện x x 0 Khi bất phương trình tương đương: Kết hợp với điều kiện tập nghiệm x x x 4; 3 Lưu ý x 3 x x 4.1 Lời giải Điều kiện x x x Khi bất phương trình tương đương: x x Kết hợp với điều kiện tập nghiệm 4.2 x 2 x 2017 0 Trang -6- 3; Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Lời giải x 2 x Bất phương trình tương đương 2017 0 (1) Khi x 2 (1) Khi x 2 (1) x 2017 0 x 2017 Tập nghiệm 4.3 x Lời giải S 2 2017; x 28 2 x 0 x 28 Điều kiện Khi x 4 x 7 x x x 28 x x 28 x 20 x 10 Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm 7;10 Câu Giải bất phương trình sau: x x x 3 x1 Lời giải tham khảo Điều kiện: x 0 Khi bất phương trình tương đương x x x 3 x x x 2x x x 2x 0;3 Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm Lưu ý 2.1 1 x 3 1 x 1 x Lời giải Điều kiện: x 1 Khi bất phương trình tương đương 1 x 1 x 1 x x 15 x x x 13 x Trang -7- Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm 5; 2.2 x x 1 Lời giải Bất phương trình tương đương x x 1 x 4 x Tập nghiệm x 4 x S 1;4 4; x x 3 2.3 Lời giải Bất phương trình tương đương x x 3 x 0 x Tập nghiệm x x S 3; Câu Khơng giải bất phương tình giải thích bất phương trình sau nghiệm với x ? x x 2 x Lời giải tham khảo Bất phương trình tương đương x x x 0 x x 1 0 x , x 1 0 với x nên Do Vậy bất phương trình nghiệm với x x x 1 0 Lưu ý Trang -8- với x Toán tự luận BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 x 1 x 1 5.1 x Lời giải Bất phương trình tương đương 2 x 1 0 x 1 0 (đúng với x ) Vậy bất phương trình nghiệm với x Trang -9-