LÍI CM ÌN · t i ÷đc thüc hi»n v ho n thnh tÔi trữớng Ôi hồc Hỗng ực dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa thƯy ThiÃu Minh Tú, ngữới  hữợng dăn v truyÃn cho em nhỳng kinh nghiằm quỵ bĂu hồc têp v nghiản cựu khoa hồc Em xin by tọ lỏng biát ỡn, lỏng kẵnh trồng sƠu sưc ối vợi thƯy Em xin chƠn thnh gỷi lới cÊm ỡn án nh trữớng, khoa v cĂc thƯy cổ  trỹc tiáp giÊng dÔy suốt qua trẳnh rn luyằn v hồc têp tÔi trữớng Ôi hồc Hỗng ùc Ci cịng, em xin gûi líi c£m ìn ¸n nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh, bÔn b  luổn giúp ù, ởng viản v tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho em suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh khõa luên ny Em xin chƠn thnh cÊm ỡn! Thanh Hõa, thĂng nôm 2018 Sinh viản PhÔm Thà Nhung MƯC LƯC LÍI CM ÌN MÖC LÖC MÐ U CC KÞ HIU Ch÷ìng 1: MËT SÈ KIN THÙC CÌ SÐ V KHỈNG GIAN SOBOLEV 1.1 Khæng gian Lebesgue 1.2 Friedrichs mollifiers 11 1.3 Ôo hm yáu 12 1.4 Khæng gian Sobolev 13 1.5 T¿ sè sai ph¥n 15 Chữỡng 2: NH Lị NHểNG V CC VN LIN QUAN.18 2.1 B§t ¯ng thùc Gagliardo - Nirenberg - Sobolev 18 2.2 B§t ¯ng thùc Morrey 20 2.3 ìợc lữủng Sobolev cho tẵch hai hm 22 2.4 Ph²p nhóng compact Rellich - Kondrachov 24 2.5 ành lỵ vát 27 2.6 Sè mô cõa b§t ¯ng thùc nëi suy Sobolev 29 KT LUN 31 TI LIU THAM KHO 32 MÐ U Lẵ chồn à ti Khi nghiản cựu phữỡng trẳnh vi phƠn v phữỡng trẳnh Ôo hm riảng, khỉng gian h m âng vai trá l y¸u tè then chốt xem xt nghiằm v nghiản cựu tẵnh chĐt nh tẵnh cừa nghiằm Mởt nhỳng lợp khổng gian h m l n·n t£ng cì sð vi»c nghi¶n cùu phữỡng trẳnh vi phƠn v Ôo hm riảng l khổng gian Sobolev Nhên thực ữủc tƯm quan trồng viằc n y v º phưc vư cho vi»c nghi¶n cùu sau n y cõa tỉi, tỉi ¢ chån · t i: Mët sè vĐn à và khổng gian Sobolev lm khõa luên tốt nghiằp cho mẳnh Mửc ẵch nghiản cựu Tẳm hiu v vên dửng cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt, nh lỵ, h» qu£, v· khỉng gian Sobolev Qua â, x¥y dỹng cho bÊn thƠn cỡ s kián thực nhĐt nh và hữợng nghiản cựu phữỡng trẳnh vi tẵch phƠn Phữỡng phĂp nghiản cựu Phữỡng phĂp nghiản cựu nh tẵnh: Nghiản cựu ti liằu giĂo viản hữợng dăn cung cĐp v họi ỵ kián cừa giĂo viản ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn cừa à ti Khõa luªn n y l mët t i li»u tham kh£o cho sinh viản, hồc viản v giĂo viản nghiản cựu và phữỡng trẳnh vi phƠn - tẵch phƠn CĐu trúc à ti Ngoi phƯn m Ưu, cĂc kỵ hiằu, lới cÊm ìn, , t i li»u tham kh£o, nëi dung cõa khâa luên ữủc chia lm hai chữỡng sau: Chữỡng 1: Mët sè ki¸n thùc cì sð v khỉng gian Sobolev Trong chữỡng ny, tổi xin trẳnh by tõm tưt mởt số kát quÊ cỡ bÊn và giÊi tẵch Chữỡng 2: nh lỵ nhúng v cĂc vĐn à liản quan Trong chữỡng ny, tổi xin trẳnh by cĂc kát quÊ và nh lỵ nhúng khổng gian Sobolev v cĂc vĐn à liản quan CC Kị HIU Trong khõa luên ny, tổi sỷ dửng mởt số kẵ hiằu sau: p: p≥1 cho p−1 + (p )−1 = 1; p Ω: p l sè thüc ta x¡c ành l tªp mð 0 l sè thỹc xĂc nh thọa mÂn ữủc gồi l liằn hủp Holder cõa p Rd ∂Ω: l bi¶n cõa : l Ôo hm riảng cừa ch số Ω, Ω Ω α α = (α1 , α2 , , d ) (N)d vợi chuân || = Ω1 b Ω2 : Dα : f: αi = 11 dd tỗn tÔi têp compact l Ôo hm yáu cừa supp X K cho Ω1 ⊂ Ω2 α f l gi¡ cõa h m C(Ω): l khỉng gian c¡c h m li¶n tưc nhên giĂ tr thỹc trản C(): l khổng gian cĂc hm liản tửc nhên giĂ tr thỹc trản ∂Ω C0 (Ω): l khỉng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n C k (Ω): l khỉng gian c¡c hm cừa ám ữủc cĐp Cck (): k thuởc p k,p chuân trản k.kp,k : s,p C k (Ω) cho supp Khỉng gian Sobolev Lp chu©n trản trản W k,p gỗm cĂc hm cõ Ôo hm khổng gian Lebesgue W k,p (Ω), Wloc (Ω), W0 (Ω): k.kp : b¬ng C(Ω) l khæng gian cõa Lp (Ω), Lloc (Ω): C(Ω) Ω, f b Ω Ch÷ìng MËT SÈ KIN THC Cè Sé V KHặNG GIAN SOBOLEV Trong phƯn ny ta tr¼nh b y tâm tt mët sè kh¡i ni»m cì b£n sau: 1.1 Khæng gian Lebesgue Cho ≤ p < ∞, Ω l mët tªp mð cõa Rd v Lp () l têp hủp cĂc p, vợi chuân: p1 Z = |u|p dx h m o ữủc, khÊ tẵch lụy thứa kukp; (1.1) Chú ỵ 1.1 Náu |.| u s l chuân cừa Cho nhên giĂ tr khổng gian tuyán tẵnh nh chuân thẳ u p = , L () l têp hủp cĂc hm o ữủc vợi chuân: kuk; = sup |u| (1.2) Ω Cho ≤ p ≤ ∞, khæng gian L2 (Ω) khæng gian Lp (Ω) l khæng gian Banach Hỡn nỳa, l khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng hu, vi = hu, vi0,Ω = Z uv dx Ω (1.3) Chú ỵ 1.2 Náu h., iH u, v nhên giĂ tr khổng gian Hilbert thẳ hm dữợi dĐu tẵch phƠn s ữủc thay thá bi R H vợi chuân hu, viH d(x) Chú ỵ 1.3 Trong trữớng hủp c biằt náu chúng nhên giĂ tr phực thẳ hm dữợi dĐu tẵch phƠn s l Mởt chuân |.| trản V l mởt Ănh xÔ thọa mÂn cĂc i·u ki»n sau: (1) |v| ≥ 0, ∀v ∈ V , (2) |sv| = |s| |v|, (3) |u + v| ≤ |u| + |v| Khi â c°p vỵi (V, |.|) uv ¯ng thùc x£y v ch¿ v = 0; ∀s ∈ R; ∀v ∈ V u, v V (bĐt ng thực tam giĂc.) ữủc gồi l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Ta cõ thº x¡c ành mët metric tr¶n (V, |.|) bði d(v, w) = |v − w| Thªt vªy d(v, w) = |v − w| > vỵi v 6= w d(v, w) = ⇔ |v − w| = ⇔ v = w d(v, w) = |v − w| = |w − v| = d(w, v), ∀v, w ∀v, w, s ta câ: d(v − w) = |v − w| = |v − s + s − w| ≤ |v − s| + |s − v| = d(v, s) + d(s, w) ⇒ d(v, s) ≤ d(v, s) + d(s, w) Khi â ta câ thº sû dưng kh¡i ni»m cõa s÷ hëi tư khỉng gian metric Khổng gian nh chuân (V, |.|) l Ưy ừ náu nõ l khổng gian metric, cõ nghắa l mồi d¢y Cauchy ·u hëi tư Khi â ta nâi (V, |.|) l khỉng gian Banach B¥y gií gi£ sû V tẵch vổ hữợng trản l mởt khổng gian tuyán tẵnh trản trữớng số thỹc Mởt V l mởt Ănh xÔ tø m¢n: (1) hv, wi = hw, vi; V × V → R, k½ hi»u l h., i thäa (2) hav + bw, xi = ahv, xi + bhw, xi vỵi måi (3) hv, vi ≥ 0, v = ¯ng thùc x£y n¸u (V, h., i) l khæng gian p kvk = hv, vi Khi â ta câ: Khi â ta gåi c°p °t |hv, wi| ≤ kvk kwk a, b ∈ R; ti·n Hilbert (B§t ¯ng thùc Schwarz) kv + wk ≤ kvk + kwk (B§t ¯ng thùc tam gi¡c) kv + wk2 = 2kvk2 + 2kwk2 ( ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh) Khi õ, tẵch vổ hữợng sinh mởt chuân trản thnh mởt khổng gian nh chuân Náu hữợng l Ưy ừ th¼ L2 (Ω) V V (V, h·, ·i) v (V, hÃ, Ãi) tr vợi chuân cÊm sinh tứ tẵch vổ ÷đc gåi l mët khỉng gian Hilbert l mët khỉng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng: hu, vi0, = Z u(x)v(x)dx Ω B§t ¯ng thùc Young: Cho a, b l c¡c sè thùc d÷ìng, v p ≥ Khi â ta câ: 0 ap b p ab ≤ + ≤ ap + b p p p p = p = Tr÷íng hđp °c bi»t, Cauchy Vợi php thá Young vợi a a v (1.4) b§t ¯ng thùc l b§t ¯ng thùc b → 1 b ta nhên ữủc bĐt ng thực 0 ab ≤ p ap + −p bp (1.5) Sû dưng b§t ¯ng thùc Young ta câ thº chùng mành b§t ¯ng thùc Holder: Cho u ∈ Lp (Ω); v ∈ Lp (Ω) Khi â: Z uvdx ≤ kukp; kvkp0 ; (1.6) Thêt vêy Vẳ bĐt ng thực l thuƯn nhĐt nản ta ch cƯn chựng minh vỵi kvkp0 = kukp = Ta câ: Z uvdx ≤ Ω Z |u||v|dx Ω ≤ |u|p |v|p + dx p p Z Ω 1 p p ≤ kukp;Ω + kvkp0 ;Ω p p 1 = + =1 p p M»nh · 1.1 N¸u q≥p N¸u p≤r≤q v |Ω| < ∞ th¼ th¼ Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) Lp (Ω) ∩ Lq (Ω) ⊂ Lr (Ω) (1.7) (1.8) Chùng minh ¦u ti¶n ta chùng minh X²t sû XΩ 1.7: l mët h m °c tr÷ng cõa u ∈ Lq (Ω) Ω, XΩ (x) = n¸u x ∈ Ω, x 6= Gi£ Khi â ta câ: kukpp;Ω Z = p |u| dx = Ω Sû dưng b§t ¯ng thùc Holder Z X |u|p dx Ω ≤ kXΩ k1/(1− p1 );Ω kup kq/p;Ω p = |Ω|1− q kukpq;Ω v ta câ 1 kukp;Ω ≤ |Ω| p − q kukq;Ω Ti¸p theo ta chùng minh 1.8: Ta câ: kukrr;Ω = Z |u|λr |u|(1−λ)r dx = kuλr kp/(λr);Ω ku(1−λ)r kq/(1−λ)r;Ω Ω (1.9) 0≤λ≤1 vỵi λ 1−λ = + r p q p ≤ r ≤ q ta ln v Chó ỵ rơng náu tẳm ữủc mởt cho: kukr; ≤ kukλp;Ω kuk1−λ q;Ω (1.10) Ta câ i·u c¦n chùng minh m P Chú ỵ 1.4 Náu (pi )1 = v sỷ dửng bĐt ng thực Holder lp lÔi i=1 nhiÃu lƯn thẳ: Z f1 f2 fm dx m Y kfi kpi ;Ω i=1 Ω Bê · 1.1 (BĐt ng thực Minkowski) Cho Rd1 ì Rd2 nh trản vỵi p/q Z Z Rd2 vỵi x ∈ Rd1 |u(x, y)|q dx u(x, y) l h m o ÷đc x¡c y ∈ Rd2 Khi â: 1/p 1/q q/p Z Z dy ≤ |u(x, y)|p dx dx v Rd1 Rd1 Rd2 ≤ q < p < Chựng minh Vợi php thá u trữớng hủp bði |u|p , |u|q ta bði câ thº chùng minh bĐt ng thực q = Trong trữớng hủp p=q=1 bĐt ng thực chẵnh l nởi dung cừa nh lỵ Fubini Vỵi p > 1, °t: Z |u(x, y)|dx S(y) := Rd1 Ta câ S(y)p = Z |u(x, y)|dzS(y)p−1 Rd1 Khi â: Z Z p Z |u(x, y)|dzS(y)p−1 dy S(y) dy = Rd2 Rd2 Rd1 Z Fubini Z |u(x, y)|S(y)p−1 dydz = Rd1 Rd2 Z Z Holder = R |u(x, y)| dy p Z dz Rd2 Rd1 B¥y gií ta °t p 10 p1 (p−1)p0 S(w) dw Rd2 p = (p − 1)p v chia c£ hai v¸ mët c¡ch phị hđp cho S(w)p dw, ta câ: 1/p 1−1/p0 Z Z Z |u(x, y)|p dy dz S(y)p dy ≤ Rd2 Rd2 Rd1 ta câ i·u ph£i chùng minh 1.2 Friedrichs mollifiers ành ngh¾a 1.1 Friedrichs mollifiers l mët h m (B = B1 (0)) thäa m¢n i·u ki»n R ψ khỉng ¥m Cc∞ (B) ψdx = Rd Mët v½ dư v· Friedrichs mollifiers l h m sè: c exp( 21 ) |x| ≤ |x| (x) = |x| vợi c ữủc chồn thọa mÂn tẵch phƠn trản Xt biu thực, vợi >0 Rd cừa l xĂc nh bơng tẵch chªp: uδ (x) = d δ Z ψ( x−y )u(y)dy δ (1.11) Bδ (x) V¸ ph£i cõa 1.11 l nh nghắa tốt náu u ữủc xĂc nh v khÊ tẵch trản B (x), GiÊ sỷ thọa mÂn u Lp (Ω) Theo M»nh · 1.1, u ∈ L1loc (Ω) Do â vỵi δ > 0, dist(x, ∂Ω) > δ, uδ (x) l ành ngh¾a tèt Hìn núa, sû dưng tẵnh 10 Khi ta bt kẵn hai Ưu ta cõ kuk2γdp d−p ;Rd ≤p d−1 C1,d kuk2γ−1 k∂ukp;Rd dp d d−p d−p ;R Rót gån c¡c y¸u tè khỉng cƯn thiát ta cõ 2.1 nhữ mong muốn Xt phƯn cừa bĐt ng thực cƯn chựng minh trữớng hủp Nhên thĐy vợi mội p = 1 i ≤ d, |u(x)| ≤ Zxi |∂i u(x1 , , xi−1 , y, xi+1 , , xd )|dy −∞ Ta câ thº vi¸t d |u(x)| d−1 ≤ d Y Zxi d−1 |∂i u|dyi i=1 −∞ Ta cõ th lĐy tẵch phƠn cÊ hai vá trản Rd v sỷ dửng bĐt ng thực Holder lp (nhẳn ỵ 2.1) Ta thỹc hiằn theo ỵ Ưu ti¶n Z R 1 d−1 x d−1 d−1 xi xi i Z Z Z Z d d Y Y dxj = |∂i u|dyi dxj |∂i u|dyi |∂i u|dyi i=1−∞ i6=j −∞ R | −∞ } | {z (d−1)×Ld−1 {z 1×L∞ v Zxi sup xj LĐy chuân Ld1 d1 |i u|dyi Zxi = d−1 |∂i u|dyi −∞ −∞ cừa số hÔng khĂc ta cõ th lĐy tẵch phƠn b¶n d−1 Zxi |∂i u|dyi −∞ Zxi = d−1;−∞ d2 Vỵi 2k = d, Z ta câ: dξ ≤ C1 + C2 (1 + |ξ|2 )k log(2 + |ξ|2 ) Z∞ r−1 (log r)−2 dr, Rd Sû dưng h m trìn h¼nh cƯu bĂn kẵnh bơng Chú ỵ rơng r1 (log r)−2 , ta câ u H k (Rd ) l h m H» qu£ 2.1 (B§t ¯ng thùc Sobolev) Cho W0k,p (Ω) → Lq (Ω) q n¸u dp d−kp 1≤q≤ vỵi = 2k = d Ω ⊂ Rd < ∞ d −1 dx (log r) l mi·n bà ch°n Ta cõ Hỡn nỳa, vợi u W0k,p () v nhữ tr¶n kukq;Ω ≤ C X kDα ukp;Ω |α|=k Chùng minh BĐt ng thực ny ữủc suy tứ W0k,p () v nh lỵ 2.1, tẵnh trũ mêt cừa Cc (Ω) M»nh · 1.1 ta câ i·u c¦n chùng minh 2.2 B§t ¯ng thùc Morrey B§t ¯ng thùc Morrey - Sobolev ữủc phĂt biu nhữ sau: nh lỵ 2.2 (Morrey - Sobolev) Cho h¬ng sè C phư thc v o p v d u Cc (Rd ) Khi õ tỗn tÔi mởt thọa mÂn 1 sup |u| C|suppu| d − p k∂ukp;Rd vỵi (2.2) p > d ≥ Chùng minh °t u (x) = u(λx), M°t kh¡c ta câ 0 d ∂u (x) = λ(∂u)(λx), k∂u kp = λ1− p k∂ukp |supp u | = d |supp u|, cụng nhữ bĐt ng thực c¦n chùng minh khỉng thay êi giúa t¿ l» thc khæng gian cè ành Khi â nâ õ º chùng minh bĐt ng thực vợi hm Hỡn thá vợi php th¸ câ thº gi£ sû u → λu, u cho |supp u| = ta th§y b§t ¯ng thùc l khæng êi v ta k∂ukp = 20 Khi õ nõ thọa mÂn chựng minh rơng tỗn tÔi nhiÃu h¬ng sè v o p v d cho phư thc sup |u| ≤ C B¥y gií ta gi£ sû γ>1 C p > d ≥ 2, cơng nh÷ p p−1 p = v °t kuk η k d0 ;Rd Vỵi tr÷íng hđp k=0 γ = ηk ≤η k/η k Vỵi k > 0, ta câ 1− η1k kukηk−1 d0 ;Rd ta sû dưng b§t ¯ng thùc Gagliardo - Nirenberg - Sobolev mởt lƯn nỳa vợi bĐt ng thực Holder ta câ kukd0 ;Rd ≤ k∂uk1;Rd ≤ |supp u|1−1/p kukp;Rd = Sỷ dửng bĐt ng thực mởt lƯn núa ta câ kukηk d0 ;Rd = kukηk d0 ;supp u ≤η P jη −j = C(p; d) Sau còng ¡p döng c¡c dú ki»n ta câ 1/p lim p→∞ |Ω| Z |u|p dx = sup |u| (2.3) vợi miÃn b chn bĐt ký, ta câ sup |u| = sup |u| ≤ C supp u ta cõ iÃu phÊi chựng minh é nh lỵ 2.1 ta thĐy cĂc dỳ kiằn  cõ cừa u câ gi¡ compact l i·u ki»n quan trång i·u â cõ nghắa l biát Ôo hm cừa mởt hm l 21 khÊ tẵch cĐp p khổng ữủc bÊo Êm nâ bà ch°n Mët v½ dư ìn gi£n l x²t u(x) = (1 + |x|)1/3 khæng gian mët chi·u Nõ cõ th cõ mởt Ôo hm cõ nghắa l lĐy tẵch phƠn Lp vợi mồi p nâ khæng ph£i l h m bà ch°n H» qu£ 2.2 Cho p v d u ∈ C ∞ (Rd ) v p > d, tỗn tÔi hơng số C phử thuëc v o thäa m¢n: d 1− d sup |u| ≤ Ckukp;Rpd kukp;p Rd (2.4) Chựng minh Cho t>0 tũy ỵ v kỵ hiằu Cho v rng v W01,p (t ) l h m sè cho Sû dưng gi£ thi¸t Ωt Khi â Ωt v=0 l tªp {|u| > t} b¶n ngo i Ωt v v = |u| − t tr¶n Ωt Rã u l h m trìn, v = u t vợi mội phƯn tỷ liản hủp cừa kvkp;t kukp;Rd Nhên thĐy sup |u| t + sup |v| p dửng nh lỵ 2.2 ta cõ: 1 sup |v| ≤ C|Ωt | d − p kukp;t Ta cõ th ữợc lữủng sai số cừa t bơng cĂch sỷ dửng Ănh giĂ yáu Lp (cụng nhữ cĂc kián thực và bĐt ng thực Chebyshev hoc bĐt ¯ng thùc Markov) ta câ: |Ωt | ≤ kukpp;Rd p t Khi â p p −1 sup |v| ≤ Ct1 d kukp;d Rd kukp;Rd vợi gủi ỵ p − dp d −1 sup |u| ≤ t + Ct kukp;Rd kukp;Rd BƠy giớ ta Ănh giĂ bơng c¡ch chån v k∂ukp;Rd (2.5) t cơng nh÷ chån mët h m cõa kukp;Rd Trong tr÷íng hđp °c bi»t ta cõ th chồn 22 t cho số hÔng dĐu ngoc ỡn 2.5 l hơng số Ta °t: p −1 p Ckukp;d Rd k∂ukp;Rd = t d Vợi gủi ỵ rơng sup |u| 2C d p 1− dp kukp;Rd d p k∂ukp;Rd ta câ i·u ph£i chùng minh H» qu£ 2.3 (1) Cho (2) Ph²p nhóng (3) N¸u n¸u p>d ph²p nhóng W01,p → C(Ω) W0k,p → C l (Ω), ≤ l ≤ k − d/p l li¶n tưc l li¶n tưc u ∈ W k,p (Rd ) thẳ vợi mồi vợi bao õng compact, ta câ u ∈ C l (Ω) ≤ l < k d/p 2.3 ìợc lữủng Sobolev cho tẵch hai hm nh lỵ 2.3 (ìợc lữủng tẵch Sobolev) Cho u2 ∈ W k2 ,p2 min(k1 , k2 ) (ho°c W0k2 ,p2 ) Khi â u1 ∈ W k1 ,p1 (ho°c u1 u2 ∈ W k,p (Rd ) (W0k,p (Ω)), v k≤ v k1 k2 k − > − + − p d p1 d p2 d Nõi cĂch khĂc tỗn tÔi hơng số bĐt kẳ W0k1 ,p1 ) C = C(k1 , k2 , k, p1 , p2 , p, d) u1 , u2 ∈ Cc∞ (Rd ) ku1 u2 kp,k;Rd ≤ Cku1 kp1 ,k1 ;Rd ku2 kp2 ,k2 ;Rd Thªt vªy Theo quy tưc tẵch chêp vợi php lĐy vi phƠn α (u1 u2 ) = X ∂ β u1 ∂ γ u2 β+γ=α Sû dưng b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta câ ku1 u2 kp,k;Rd ≤ X β+γ≤k 23 k∂ β u1 ∂ γ u2 kp;Rd (2.6) cho vỵi Vợi mởt cp (, ) ta ỵ rơng k β u1 ∂ γ u2 kp;Rd ≤ k∂ β u1 kr;Rd k∂ γ u2 kq;Rd p−1 = q −1 + r−1 theo Holder Sû dưng b§t ¯ng thùc Sobolev k∂ β u1 kr;Rd ≤ Ckukp1 ,k1 ;Rd k1 > |β| v q −1 > p−1 − k1 − |β| d Cơng nh÷ k∂ β u1 ∂ γ u2 kp;Rd ≤ Cku1 kp1 ,k1 ;Rd ku2 kp2 ,k2 ;Rd 1 k1 − |β| k2 − |γ| k1 k2 k > − + − ≥ − + − − p p1 d p2 d p1 d p2 d d ta câ i·u c¦n chùng minh Ta câ h» qu£ sau: H» qu£ 2.4 Khổng gian cụng nhữ l tẵch W k,p vợi kp > d l Ôi số náu u1 , u2 W k,p u1 u2 2.4 Ph²p nhóng compact Rellich - Kondrachov ◦ 1,p Bê · 2.1 Ph²p nhóng Sobolev W0 (Ω) dp → L d−p (Ω) khæng l compact Chùng minh Khi Ω l tªp mð, nâ bao h m nhi·u hẳnh cƯu metric Trong trữớng hủp tờng quĂt ta cõ th giÊ sỷ nõ bao hm hẳnh cƯu ỡn v mët h m l 1/2 u Cc∞ (B) cho u=1 B bao cÊ gốc LĐy trản hẳnh cƯu ỡn v cõ bĂn kẵnh DÂy cĂc hm số d um (x) = 2m( p −1) u(2m x) câ thº biºu diạn ró rng bơng cĂc php tẵnh tợi tĐt cÊ c¡c chu©n gièng kum k dp d−p ;B = kuk dp d−p ;B k∂um kp;B = k∂ukp;B 24 , 1,p Ơy l cĂc dÂy b chn dp W0 (Ω) → L d−p (Ω) M°t kh¡c ta câ thº t½nh kum − un k dp d−p ;B = ku|m−n| − uk dp ;B d−p dp d−p |m−n|( dp −1) −d−|m−n|d ≥ −1 |B| d−p 1− dp 1− dp 1−2 |B| dp ≥2 v c¡c d¢y n y khỉng ph£i d¢y Cauchy Bê · 2.2 Ph²p nhóng Lq (Ω) → Lp (Ω) khỉng l compact Chùng minh Sû dưng gi£ thi¸t lơy thøa [0, 1] b Ω Ω l tªp mð, khỉng mĐt tẵnh tờng quĂt ta giÊ sỷ rơng Xt cĂc h m sè sau sin(2πmx1 ) um (x) = 0 nõ b chn trản thẳ nõ b chn x ∈ [0, 1]d x∈ / [0, 1]d Lq b§t ký M°t kh¡c ta câ kum − un k22;Ω ≤ kum − un k1;Ω kum − un k∞;Ω ≤ 2kum − un k1;Ω Trong kum − un k22;Ω = Z [0,1] u2m + u2n − 2um un dx = Z1 sin (2πmy)2 + sin (2πny)2 dy = d Do â d¢y khỉng câ d¢y l d¢y Cauchy câ d¢y Cauchy n o Lp (Ω) vỵi p nhóng Sobolev W01,p (Ω) → Lq (Ω) q< dp d−p l compact 25 k²o theo khỉng b§t ký nh lỵ 2.4 (Bờ à Rellich - Kondrachov) Cho L1 (Ω) Ω l tªp mð bà ch°n Ph²p Chùng minh Ta cõ th dng chựng minh vợi q = dp d−p W01,p (Ω) → L (Ω) li¶n töc ta dp måi ≤ q < theo ph²p nởi suy Holder dp 1,p Cho A l hẳnh cƯu ìn W0 (Ω); cè Khi bao h m Aδ ⊂ Cc∞ (Rd ) gi£ sû ngo i Ω bði l quy tưc tữỡng ựng cõ ữủc tẵnh compact vợi nh δ > 0, ψ {uδ |u ∈ A} thay êi v (mð rëng u b¶n 0) L1 (Ω) Z Z =