Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 178 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
178
Dung lượng
4,64 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ TỔNG HỢP 453 BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HSG Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 11) a.Tìm hai chữ số tận số sau: b.Tìm bốn chữ số tận số sau: 2100 ; 71991 51992 Lời giải a.Tìm hai số tận 2100 210 = 1024, bình phương hai số có tận 24 tận 76, có số tận 76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) tận 76 Do đó: 2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = (…76)5 = …76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 * Tìm hai chữ số tận 71991 Ta thấy: 74=2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa tận 01 Do đó: 71991 = 71988 73= (74)497 343 = (…01)497 343 = (…01) x 343 =…43 Vậy 71991 có hai số tận 43 Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 12) Tìm chữ số tận số sau: a) 571999 b) 931999 Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho Cho số 155 * 710 * *16 có 12 chữ số chứng minh thay dấu * chữ số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ thì số ln chia hết cho 396 Lời giải Tìm chữ số tận số sau: ( ) Để tìm chữ số tận số cần xét chữ số tận số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy chữ số tận ỵVậy số 571999 có chữ số tận : b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499 33 = 81499.27 Suy chữ số tận Cho A = 9999931999 - 5555571997 chứng minh A chia hết cho Để chứng minh A chia hết cho , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận Vậy A có chữ số tận 0, A chia hết cho 4.Ta nhận thấy , vị trí chữ số thay ba dấu số ĐỀ HSG 6u hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng chúng 1+2+3=6 Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đơi ngun tố nên ta cần chứng minh A = 155 * 710 * *16 chia hết cho ; 11 Thật : +A số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho + A tổng chữ số chia hết cho : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho + A 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 Vậy A 396 Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 13) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Lời giải Từ 1; 2; ………; n có n số hạng (n 1).n Suy +2 +…+ n = Câu Mà theo ta có +2 +3+… +n = aaa (n 1).n Suy = aaa = a 111 = a 3.37 Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a Vì tích n(n+1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n n+1 Chia hết cho 37 (n 1).n Vì số có chữ số Suy n+1 < 74 n = 37 n+1 = 37 37.38 703 ( loại) +) Với n= 37 36.37 666 ( thoả mãn) +) Với n+1 = 37 Vậy n =36 a=6 Ta có: 1+2+3+… + 36 = 666 (ĐỀ HSG SỐ D - 13) a.Chứng minh : ab cd eg 11 : abc deg 11 b.Cho A = 22 23 260 Chứng minh : A ; ; 15 Lời giải a.Tách sau : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd ab cd eg Do 9999 11;99 11 9999ab 99cd 11 Mà : ab cd eg 11 (theo ra) nên : abc deg 11 b.Biến đổi : *A 1 1 1 = *A = = = 1 1 1 = *A = = = 1 1 1 = = 15 15 4 59 60 = 59 59 2 5 58 Câu 5 58 59 60 57 57 58 58 59 60 57 (ĐỀ HSG SỐ D - 15) Cho S = + 52 + 53 + ………+ 52006 a, Tính S b, Chứng minh S 126 Lời giải a, Ta có 5S = 52 + 53 +54 +………+52007 5S –S = (52 + 53 +54 +………+52007) – (5 + 52 + 53 + ………+ 52006) 4S = 52007-5 52007 4 b, S = (5 + ) + (52 + 55) +(53 + 56) +……… + (52003 +52006) Biến đổi S = 126.(5 + 52 + 53 +………+ 52003) Vì 126 126 S 126 Vậy S = Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 15 ) Tìm số tự nhiên nhỏ cho số chia cho dư 1; chia cho dư ; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11 Lời giải Gọi số phải tìm x Theo ta có x + chia hết cho 3, 4, 5, x + bội chung 3, 4, 5, BCNN(3;4;5;6) = 60 nen x + = 60.n Do x = 60.n – (n = 1;2;3… ) Mặt khác x 11 cho n = 1;2;3… Ta thấy n = x = 418 11 Vậy số nhỏ phải tìm 418 Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 15) Tìm giá trị nguyên n để phân số A = 3n có giá trị số nguyên n 1 Lời giải 3n 3n 3(n 1) 5 3 n 1 n 1 n 1 n 1 Để A có giá trị nguyên nguyên n 1 Mà nguyên (n-1) hay n-1 ước n 1 Do Ư5 = 1;5 Ta tìm n{4;0;2;6} Ta có Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 15) Cho số 18, 24, 72 a, Tìm tập hợp tất ước chung số b, Tìm BCNN số Lời giải a, Tìm Ư(18); Ư (24) ; Ư(72) cho 0,5đ ƯC (18;24;72)= 1; 2; 3; 6 b, Ta có 72 B(18) 72 B(24) BCNN (18;24;72) = 72 Câu (ĐỀ HSG SỐ D - 16) Cho tập hợp A n N | n n 1 12 B x Z | n n 1 12 a.Tìm giao tập hợp b có tích ab (với a A;b B) tạo thành, cho biết tích ước Lời giải Liệt kê phần từ tập hợp a A = 0, 1, 2, 3 B= A ∩ B = 0, 1, 2, b Có 20 tích tạo thành -2 0 -2 -4 -6 - 2, -1, 0, 1, 2, -1 -1 -2 -3 0 0 1 Câu 10 (ĐỀ HSG SỐ D - 16) a.Cho C 32 33 34 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40 b Cho số 0; 1; 3; 5; 7; Hỏi thiết lập số có chữ số chia hết cho từ sáu chữ số cho Lời giải a C 32 33 34 397 398 399 3100 2 1 32 33 397 1 32 33 40 35 39 397 : 40 b Mỗi số có dạng abc0 , abc5 Với abc0 - Có cách chọn chữ số hạng nghìn (vì chữ số hàng nghìn khơng phải số 0) - Có cách chọn chữ số hàng trăm - Có cách chọn chữ số hàng chục Vậy = 180 số Với abc5 cách chọn tương tự có 180 số Vậy ta thiết lập 360 số có chữ số chia hết cho từ chữ số cho Câu 11 (ĐỀ HSG SỐ D - 17) Có số có chữ số có chữ số 5? Lời giải Chia loại số: * 5ab Trong số a có cách chọn ( từ đến 9, trừ số ) Số b vậy.Nên số thuộc loại có : 9.9 = 81 ( số ) * a5b Trong số a có cách chọn ( từ đến 8, trừ số ).Số b có cách chọn Nên số thuộc loại có: 9.8 = 72 ( số ) * ab5 Trong số a có cách chọn , số b có cách chọn.Nên số thuộc loại có : 8.9 = 72 ( số ) Vì dạng bao gồm tất dạng số phảI đếm dạng phân biệt.Nên số lượng số tự nhiên có chữ số có chữ số là: 81 + 72 + 72 = 225 ( số ) Đáp số: 225 ( số ) Câu 12 (ĐỀ HSG SỐ D - 17) Tìm 20 chữ số tận 100! Lời giải * Các thừa số 100! ( phân tích thừa số chia hết cho ) là: 100 100 24 ( thừa số) 25 * Các thừa số có 100! là: 100 100 100 100 100 100 16 32 64 = 50 + 25 + 12 + + + = 97 ( số ) Tích cặp thừa số tận chữ số Do đó: 100! Có tận 24 chữ số Vậy 20 chữ số tận 100! 20 chữ số Câu 13 (ĐỀ HSG SỐ D - 17) Tìm hai số a b ( a < b ), biết: ƯCLN( a , b ) = 10 BCNN( a , b ) = 900 Lời giải Vì ƯCLN( a, b)= 10, suy : a = 10x ; b = 10y (với x < y ƯCLN(x, y)= ) Ta có : a.b = 10x 10y = 100xy (1) Mặt khác: a.b = ƯCLN(a, b) BCNN(a, b) (2) a.b = 10 900 = 9000 Từ (1) (2), suy ra: xy = 90 Ta có trường hợp sau: x y 90 45 30 18 10 Từ suy a b có trường hợp sau: a 10 20 30 50 90 b 900 450 300 180 100 Câu 14 (ĐỀ HSG SỐ D - 18) Với q, p số nguyên tố lớn chứng minh rằng: P4 – q4 240 Lời giải Ta có: p4 - q4 = (p4 – ) – (q4- 1); 240 = 2.3.5 Chứng minh p4 –1 240 - Do p >5 nên p số lẻ + Mặt khác: p4 –1 = (p-1) (p+1) (p2 +1) (p-1 (p+1) hai số chẵn liên tiếp (p-1) (p+1) + Do p số lẻ nên p2 số lẻ -> p2 +1 - p > nên p có dạng: + p = 3k +1 p – = 3k + – = 3k > p4 – + p = 3k + > p + = 3k + + = 3k +3 > p4 -1 - Mặt khác, p dạng: + P = 5k +1 p – = 5k + - = 5k > p4 - + p = k+ p2 + = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 p4 - + p = 5k +3 p2 +1 = 25k2 + 30k +10 > p4 –1 + p = 5k +4 p + = 5k +5 > p4 – Vậy p4 – hay p4 – 240 Tương tự ta có q4 - 240 Vậy: (p4 - 1) – (q4 –1) = p4 – q4 240 Câu 15 (ĐỀ HSG SỐ D - 18) Tìm số tự nhiên n để phân bố A 8n 193 4n a Có giá trị số tự nhiên b Là phân số tối giản c Với giá trị n khoảng từ 150 đến 170 phân số A rút gọn Lời giải 8n 193 2(4n 3) 187 187 2 4n 4n 4n Để A N 187 4n + => 4n +3 17;11;187 A + 4n + = 11 n = + 4n +3 = 187 n = 46 + 4n + = 17 4n = 14 -> khơng có n N Vậy n = 2; 46 b.A tối giản 187 4n + có UCLN -> n 11k + (k N) -> n 17m + 12 (m N) 77 ; c) n = 156 A 19 89 n = 165 A 39 139 n = 167 A 61 Câu 16 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) Cho A = + 22 + 23 + 24 + … + 220 Hỏi A có chia hết cho 128 không? Lời giải 2A – A = 221 27 A 128 Câu 17 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) a, Cho A = + 32 + 33 + …+ 32009 Tìm số tự nhiên n biết 2A + = 3n b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho biết chữ số hàng chục trung bình cộng hai chữ số Lời giải a, Tìm n = 2010 abc theo ta có a + b + c 2b = a + c nên 3b b b 0;3;6;9 b, Gọi số phải tìm abc c 0;5 abo ta số 630 Xét số ab5 ta số 135 ; 765 Xét số Câu 18 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) Cho p p + số nguyên tố( p > 3) Chứng minh p + hợp số Lời giải P có dạng 3k + 1; 3k + k N Dạng p = 3k + p + hợp số trái với ĐỀ HSG p = 3k + p + = 3k + p + hợp số Câu 19 (ĐỀ HSG SỐ D - 19) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84 ,ƯCLN chúng Lời giải Gọi số phải tìm a b ( a b) ta có (a,b) = nên a = 6a’ b= 6b’ (a’,b’) = ( a,b,a’,b’N) a’ + b’ = 14 a’ ’ a 13 11 A 18 30 B 78 66 54 Câu 20 (ĐỀ HSG SỐ D - 20) Thay (*) số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho b) 261* chia hết cho chia dư Lời giải a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì: + + + * chia hết cho 3; từ tìm * = 0; 3; 6; b) Để 261* chia hết cho chia dư thì: * chẵn + + + * chia dư 1; từ tìm * = Câu 21 (Đề thi HSG 6) Tìm cặp số (a,b) cho : 4a5b 45 Lời giải *b = + a a = *b = 14 + a a = Câu 22 (Đề thi HSG 6) Dùng chữ số 3; 0; để ghép thành số có chữ số: a Chia hết cho b Chia hết cho c Không chia hết cho Lời giải a 308; b 380; c 803 380; 830 830 Câu 23 (Đề thi HSG 6) Tìm hai chữ số tận 2100 Lời giải Ta có: 210 = 1024 210 = 210 10 = 102410 = 10242 = ( 76)5 = 76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Câu 24 (Đề thi HSG 6) Chứng minh rằng: C 22 23 2100 chia hết cho 31 Lời giải C 22 23 299 2100 = 2(2 22 23 24 ) 26 (2 22 23 24 ) 96 (2 2 ) = 2.31 26.31 296.31 31(2 96) Vậy C chia hết cho 31 Câu 25 (Đề thi HSG 6) Một số chia hết cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số chia cho1292 dư Lời giải Gọi số cần tìm A: A 4q1 17q 19q3 13 (q1,q ,q3 N) A 25 4(q1 7) 17(q 2) 19(q3 2) A + 25 chia hết cho 4; 17; 19 A + 25 =1292k A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267 chia A cho 1292 dư 1267 Câu 26 (Đề thi HSG 6) Cho ba đường a1, a2, a3 từ A đến B, hai đường b1, b2 từ B đến C ba đường c1, c2, c3, từ C đến D (hình vẽ) A a1 a2 b1 B C c1 c2 D b2 a3 c3 Viết tập hợp M đường từ A dến D qua B C Lời giải Nếu từ A đến D đường a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; Đi từ A đến D đường a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; Đi từ A đến D đường a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; Vậy tập hợp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Câu 27 (Đề thi HSG 6) Cho số có chữ số: *26* Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có chữ số khác chia hết cho tất 4số : 2; ; ; Lời giải Để số có chử số *26* , 4chữ số khác mà chữ số *26* chia hết cho số 2; 5;3;9 Ta cần thoả mãn : Số đảm bảo chia hết số số chẳn Số chia hết số phải có chữ số tận số Số vừa chia hết cho Nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Vậy : Chữ số tận số *260 Chữ số đầu số Do số cho 1260 Câu 28 (Đề thi HSG 6) Tìm số tự nhiên n cho : 1! +2! +3! + +n! số phương? Lời giải Tìm số tự nhiên n Mà 1! +2!+3! + +n! bình phương số tự nhiên Xét : n = 1! = 12 n = 1! +2! = n=3 1! + 2! + 3! = =32 n = 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 n! = 1.2.3 .n mội số chẳn Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với số chẳn số có chữ số tận tổng chữ số Nên khơng phải số phương Vậy có hai giá trị n=1 n=3 1! +2! + 3! +4! + .+n! số phương Câu 29 (Đề thi HSG 6) Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho: a b 12 c ; ; b c 21 d 11 Lời giải b)Để 261* chia hết cho chia cho dư * chẵn * chia dư 1, từ tìm * Câu 412 (NGA SƠN, 2018-2019) Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư ? Lời giải Gọi số cho A Theo ta có: A 7.a 17.b 12 32.c Mặt khác A 39 7.a 39 17b 12 39 23c 39 a 6 17 b 3 23 c Như A 39 đồng thời chia hết cho Nhưng 7,17 23 7,17 23 đôi nguyên tố nên A 39 7.17.23 nên A 39 2737 Suy A 39 2737k A 2737k 39 2737 k 1 2698 Do 2698 2737 nên 2698 số dư phép chia A cho 2737 Vậy M số phương Câu 413 ( LÝ NHÂN, 2018-2019) a)Tìm chữ số tận số P 14 1414 99 23 b)Tìm ba số nguyên dương biết tổng ba số nửa tích chúng Lời giải a) P 14 1414 99 23 14 Chữ số tận 1414 Chữ số tận 99 Chữ số tận 23 Chữ số tận P chữ số tận tổng b)Gọi số ngun dương cần tìm Ta có: a b c a, b, c abc Giả sử a b c a b c 3c , đó: Có trường hợp sau: abc 3c ab *) ab c 3,5 (loại) *) ab a 1, b 5, c 4(ktm) a 1, b 4, c 5(tm) a 2, b 2, c 4(tm) *) ab *) ab 2(ktm) *)ab a 1, b 3, c 8(tm) *)ab (ktm) Vậy ba số cần tìm 1,4,5 2,2,4 boặc1,3,8 Câu 414 (THẠCH THÀNH, 2018-2019) Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn: 100a 3b 1 2a 10a b 225 Lời giải Ta có: 100a 3b 1 10a b 225 a 100a 3b Vì 225 lẻ nên a 2 10a b lẻ (1) (2) *) Với a : 1 100.0 3b 1 20 10.0 b 225 3b 11 b 225 32.52 Vì 3b 1chia cho dư 3b b nên 3b 25 b8 1 b 3b 11 b 25.9 *)Với a số tự nhiên khác 0: Khi 100a chẵn, từ 3b 1lẻ b chẵn 2a 10a b chẵn, trái với (2) nên b Vậy a 0; b Câu 415 ( LÝ NHÂN, 2018-2019) Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab cd Chứng minh A a n bn cn d n hợp số với số tự nhiên n Lời giải Giả sử t a, c Đặt a a1t; c c1t với a1 , c1 ab cd a1bt c1dt a1b c1d Mà a1 , c1 b c1, đặt b c1k , đó: d a1k Ta có: A a1n t n c1n k n c1n t n a1n k n A a1n c1n k n t n Vì a1 , c1 , t1 , k nguyên dương nên A hợp số Câu 416 ( NGỌC LẶC, 2018-2019) Cho ba chữ số a, b, c với a b c a)Viết tập hợp A chữ số có ba chữ số, số gồm ba chữ số b)Biết tổng hai chữ số nhỏ tập hợp A 499 Tìm tổng chữ số a b c Lời giải Tập hợp A abc; acb; bac; bca; cab; cba b)Hai số lớn tập A cab, cba Ta có: abc acb 499 200a 11b 11c 499 * Nếu a vế trái * lớn 499, vơ lý, a 1;2 Với a c b 499:11không số tự nhiên Với a c b 99:11 Vậy a b c 11 Câu 417 (HSG6 LƢƠNG TÀI , 2015-2016 ) Chứng tỏ rằng; 100 a) 19990 b)Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho ĐÁP ÁN 100 a)Ta có lẻ nên 990 lẻ, 19 lẻ nên 19 100 lẻ nên 19990 b)Gọi số tự nhiên liên tiếp a; a 1 ; a ; a 3 a Ta có : a a 1 a a 3 4a Vì 4a 4;6 khơng chia hết 4a không chia hết cho Câu 418 (HSG 2019-2020 ) Chứng minh phân số sau tối giản với số tự nhiên n : Lời giải Gọi d UCLN 2n 3, n 1 n 1 2n 2n d ; n d n 1 d 2n n 1 d d d UCLN 2n 3; n 1 Hay n 1 phân số tối giản với số tự nhiên n 2n Câu 419 ( NGỌC LẶC, 2018-2019) 7n2 n n Chứng tỏ phân số số tự nhiên với n phân số phân số tối giản Lời giải 7n2 Vì phân số số tự nhiên vơi n 7n n lẻ không chia hết n n cho ; phân số tối giản Câu 420 (HSG6 LƢƠNG TÀI , 2015-2016 ) Tìm tất số nguyên n để: a)Phân số n 1 có giá trị số nguyên n2 b)Phân số 12n phân số tối giản 30n ĐÁP ÁN a) n 1 số nguyên n 1 n n2 Ta có: n n , n 1 n n n 2 U (3) 3; 1;1;3 n 1;1;3;5 b)Gọi d ƯC 12n 30n d * 12n d ,30n d 512n 1 30n d 60n 60n d d mà d * d 1 Vậy phân số cho tối giản Câu 421 ( BẠCH LIÊU, 2018-2019) Cho A 2n n 1 a)Tìm n số nguyên cho giá trị A số nguyên b)Chứng minh với n số nguyên dương A phân số tối giản Lời giải a) A n 1 A n 1U (1) 1 n 0; 2 n 1 b)Gọi d UCLN 2n 3, n 1 Ta có: 2n d , n d 2n 3 n 1 d d d Vậy A phân số tối giản Câu 422 (THẠCH THÀNH, 2018-2019) Tìm số nguyên n để phân số 4n có giá trị số nguyên 2n Lời giải Ta có: 4n n 7 n 2n 2n 2n Vì n nên để 4n nguyên 2n 1 U (7) 1; 7 n 3;0;1;4 2n Câu 423 (ĐỒNG THÁP, 2018-2019) Tìm hai số tự nhiên a, b biết: BCNN (a, b) 420;UCLN (a, b) 21 a 21 b Lời giải a 21m , m, n b 21n Vì UCLN (a, b) 21 Vì BCNN (a, b) 420 BCNN (21m,21n) 420 21.20 BCNN (m, n) 20 Vì a 21 b 21m 21 21n m n (*) m 4, n thỏa (*) m 2, n Trong trường hợp cần xét có m 4, n a 21.4 84 m 2, n b 21.5 105 Vậy với Câu 424 (ĐỒNG THÁP, 2018-2019) Chứng minh rằng: Nếu x y 37 13x 18 y 37 Lời giải Ta có 513x 18 y x y 65x 90 y 28x 16 y 37 x 74 y 37 x y 37 Hay 13x 18 y x y 37(*) Vì x y 37 mà 4,37 x y 37 Do đó, từ (*) suy ra: 13x 18 y 37 mà 5,37 nên:13x 18 y 37 Câu 425 (HSG6, 2017-2018) a)Cho A 999993 1999 555551997 Chứng minh A chia hết cho n b)Chứng minh 11 122n1 chia hết cho 133 Lời giải a)Nhận thấy: 9999931999 có chữ số tận (vì 1994 : dư 3, ứng với 33 27) 5555571997 có chữ số tận 7(vì 1997 : dư 1, ứng với 71 7) 9999931999 5555571997 có chữ số tận hiệu chia hết cho n2 b)Đặt S 11 122n1 112.11n 12.122n 121.11n 12.144n S 133 12 .11n 12.144n 133.11n 144n 11n .12 n Ta có 133.11 chia hết cho 133 144n 11n =chia hết cho 144 11 144n 11n chia hết cho 133 n1 Vậy S 11 12 n1 133 Câu 426 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) Tìm số tự nhiên n để phân số n3 có giá trị số nguyên 2n Lời giải n3 có giá trị ngun n 2n 2n 2 n 3 2n Để phân số 2n 6 2n 2n 2n 2n 2n 2n Suy 2n 2; 4; 8 Sau thử trường hợp n Câu 427 (Đề thi HSG HUYỆN TĨNH GIA 2018 -2019) 3n a) Cho A , tìm n để A có giá trị nguyên n4 b) Tìm số tự nhiên a, b biết tổng BCNN với UCLN chúng 15 Lời giải 3n 17 3 n4 n4 n 4 U (17) 1; 17 a) Ta có A Để A Lập bảng xét giá trị ta có n 5; 3;21;13 A nguyên b) Gọi UCLN (a,b)=d a dm suy , m, n b dn Mặt khác ta có tích số tích BCNN với UCLN số nên: d mn BCNN a, b dmn d Vậy BCNN a ,b UCLN a ,b dmn d d mn 1 15 Giả sử a b m n mn Lập bảng ta thu a, b 1;14 ; 2;7 ; 3;12 ; 5;10 Câu 428 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) a) Tìm chữ số tận số sau: 571999 ; 931999 b) Cho A 9999931999 5555571997 Chứng minh A chia hết cho Lời giải a) +) Ta có: 71999 74 499 73 2401499.343 nên chữ số tận Vậy số 571999 có chữ số tận +) Ta có: 31999 34 499 33 81499.27 nên có chữ số tận Vậy 931999 có chữ số tận Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Theo câu 1b, 9999931999 có chữ số tận Tương tự câu 1a, ta có: 74 499 2401499.7 có chữ số tận Vậy A có chữ số tận 0, nên A chia hết cho Câu 429 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay dấu * chữ số khác ba chữ số 1, 2,3 cách tùy ý số ln chia hết cho 396 Lời giải Ta nhận thấy, vị trí chữ só thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, nên tổng chúng Mặt khác: 396 4.9.11 4;9;11 đơi ngun tố nên cần chứng minh A 155*710* 4*16 chia hết cho 4, 9, 11 Thật vậy: Vì A tận 16 chia hết A A tổng chữ số chia hết cho A 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 Vậy A 396 Câu 430 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) a Cho phân số a b thêm m đơn vị vào tử mẫu phân số lớn hay bé b a ? b Lời giải Theo toán cho a b am bm ab am ab bm a b m b a m a am b bm Câu 431 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) a) Tìm n để n2 2006 số phương b) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 2006 số nguyên tố hay hợp số Lời giải a) Giả sử n 2006 số phương ta đặt n2 2006 a a a2 n2 2006 a n a n 2006(*) Thấy a, n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) Nếu a, n tính chẵn lẻ a n 2, a n nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết cho Vậy không tồn n để n2 2006 số phương b) n số nguyên tố nên n không chia hết cho Vậy n chia cho dư n2 2006 3m 2006 3m 2007 m 669 Vậy n2 2006 hợp số Câu 432 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc n2 cba n Lời giải abc 100a 10b c n (1) cba 100c 10b c n 4n 4(2) Từ (1), (2) 99 a c 4n 44n 99 , mặt khác: 100 n2 1 999 4n 99 n 26 Vậy abc 675 Câu 433 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) a 2a a 2a 2a a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tố giản Lời giải Cho biểu thức A a 1 a a 1 a a a 2a a) Ta có: A a 1 a 2a 2a a 1 a a 1 a a b) Gọi d UCLN a a 1; a a Vì a a a a 1 số lẻ nên d số lẻ Mặt khác, a a a a d Nên d tức a a a a 1là nguyên tố Vậy biểu thức A phân số tối giản Câu 434 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) Thay (*) số thích hợp: a) 510*;61*16 chia hết cho b) 261* chia hết cho chia dư Lời giải a) Để 510*;61*16 chia hết cho * chia hết cho 3, từ tìm * 0,3,6,9 b) Để 261* chia hết cho chia cho dư * chẵn * chia dư 1, từ tìm * Câu 435 (Đề thi HSG Cấp trƣờng) Cho A 9999931999 5555571997 Chứng minh A chia hết cho Lời giải Để chứng minh A ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Ta có: 31999 34 71997 74 499 499 33 81499.27 nên 31999 có tận 7 2401499.7 71997 tận Vậy A có tận nên A Câu 436 (Đề thi HSG 2018 - 2019 ) Chứng minh rằng: ab cd eg 11 abc deg 11 Lời giải Tách sau : abc deg 10000ab 100cd eg 9999ab 99cd ab cd ed Do 9999 11,99 11 9999ab 99cd 11 Mà ab cd eg 11 abc deg 11 Câu 437 (Đề thi HSG 2018 - 2019 ) Cho A 22 23 260 Chứng minh A 3,7,15 Lời giải Biến đổi: A 22 23 24 259 260 1 23 1 259 1 23 259 A 22 23 24 25 26 258 259 260 1 22 24 1 22 258 1 2 24 258 A 22 23 24 25 26 27 28 257 258 259 260 1 22 23 25 1 22 23 257 1 2 23 15 25 257 15 Câu 438 (Đề thi HSG6 năm 2019 - 2020 ) Tìm cặp số a, b cho 4a5b 45 Lời giải b 09a 9 a b 14 a a Câu 439 (Đề thi HSG huyện ABC 2019-2020) Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số chia cho 1292 dư Lời giải Gọi số cần tìm A A 4q1 17q2 19q3 13 A 25 q1 17 q2 19 q3 A 25 4,17,19 A 25 1292k A 1292k 25 1292 k 1 1267 Nên chia A cho 1292 ta dư 1267 Câu 440 (Đề thi HSG6 - 2018-2019 ) Cho số có chữ số *26* Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có chữ số khác chia hết cho số 2;3;5;9 Lời giải Để số có chữ số *26* , chữ số khác mà chia hết cho 2,3,5,9 tận (vì chia hết cho 5) Để *260 * * Do số cho 1260 Câu 441 (Đề thi HSG6 - 2018-2019 ) Tìm số tự nhiên n cho : 1! 2! 3! n! số phương Lời giải Xét : n 1! 12 n 1! 2! n 1! 2! 3! 32 n 1! 2! 3! 4! 33 Với n n! 1.2.3 .n số chẵn Nên 1! 2! n! 33 cộng với số chẵn số có chữ số tận nên khong phương Vậy n 1, n thỏa đề Câu 442 (Đề thi HSG cấp huyện 2019-2020) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a 5 a Lời giải Vì a số tự nhiên với a nên từ a ta a 0,1, 2,3, 4 Nghĩa a 0;1; 1;2; 2;3; 3;4; 4 Biểu diễn trục số số lớn -5 nhỏ 5, 5 a Câu 443 (Đề thi HSG cấp huyện 2019-2020) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a) Nếu a dương số liền sau a dương b) Nếu a âm số liền trước a âm c) Có thể kết luận số liền trước số dương số liền sau số âm ? Lời giải Nếu a dương số liền sau dương Ta có: a) Nếu a dương a số liền sau a lớn a nên lớn nên số dương b) Nếu a âm số liền trước âm Ta có: Nếu a âm a< số liền trước a nhỏ a nên nhỏ nên số âm Câu 444 (Đề thi HSG cấp huyện 2019-2020) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số dương Lời giải Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số chúng số âm trái với giả thiết Tách riêng số dương cịn 30 số chia nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương Câu 445 (Đề thi HSG - huyện Thanh Oai - 2018 -2019 ) a)Chứng tỏ x y chia hết cho x y chia hết cho b)Tìm số tự nhiên có bốn chữ số cho chia cho 130, cho 150 số dư 88 108 Lời giải a) Ta có: x y x y 16 x 12 y 14 x y x y Ma`14 x y x y Vậy x y x y b) Gọi số phải tìm a Ta có: a 42 chia hết cho 130;150 a 42 BC 130;150 a 1908;3858;5808;7758;9708 Câu 446 (Đề thi HSG cấp Huyện 2018 -2029 ) Cho M 32 10 2011 102012 102013 102014 a) Chứng minh rằng: M b) Tìm số dư chia M cho 24 Lời giải M 32 102011 1 10 102 103 32 102011.1111 Có 103 102011 32 102011.1111 A 1111000 0032 có tổng chữ số nên chia hết cho Do 3,8 Vậy M chia 24 dư Câu 447 (Đề thi HSG ) Chứng minh A 10n 18n chia hết cho 27 (n số tự nhiên) Lời giải A 10n 9n 27n 9999 9n 27n 1111 111 n 27n nchu so1 nchu so Vì n tổng chữ số 111 nên 1111 11 n chia hết cho nchu so1 n chu so1 Vậy A 27 Câu 448 (Đề thi HSG - 2016 - 2017 ) Tìm số tự nhiên nhỏ cho số chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 11 Lời giải Gọi số phải tìm x Theo ta có: x chia hết cho 3,4, 5,6 x BC (3;4;5;6) BCNN (3, 4,5,6) 60 x 60n x 60n Mặt khác x 11, cho n 1, 2,3, n 7(tm) x 418 Vậy số nhỏ phải tìm 418 Câu 449 (Đề thi HSG - 2016 - 2017 ) Tìm giá trị nguyên n để phân số A 3n có giá trị số nguyên n 1 Lời giải Ta có: A 3n 3n 5 3 n 1 n 1 n 1 Để A có giá trị nguyên n 1 U (5) 1; 5 n 2;0;6; 4 n 1 Câu 450 (Đề thi HSG - 2016 - 2017 ) Cho số 18, 24,72 a) Tìm tập hợp tất ước chung số b) Tìm BCNN số Lời giải a) Tìm Ư(18); Ư(24); Ư(72) UC (18, 24,72) 1;2;3;6 b) Ta có: 72 B(18);72 B(24) BCNN (18;24;72) 72 Câu 451 (Đề thi HSG - Việt Yên 2019-2020) Chứng minh rằng: p p số nguyên tố p3 số nguyên tố Lời giải Ta nhận xét với số nguyên tố lớn chia cho có dạng p 3k p 3k k * Với p 3k p 9k 6k chia hết cho Với p 3k p 9k 6k chia hết cho Vì p nguyên tố nên p , trường hợp p đền lớn chia hết cho Tức p hợp số p số nguyên tố p (khi p 11 số nguyên tố) p3 27 29 số nguyên tố Vậy p p số nguyên tố p3 số nguyên tố Câu 452 (Đề thi HSG - Việt Yên 2019-2020) 2n Tìm số tự nhiên n để phân số phân số rút gọn n2 Lời giải Gọi d UCLN 2n 1, n d * Ta có: 2n d , n d 2n 2n 1 d d Vì d * nên d 1;3 Để phân số 2n rút gọn d n2 n 3k n 3k k * Vậy với n 3k k * phân số 2n phân số rút gọn n2 Câu 453 (Đề thi HSG - Việt Yên 2019-2020) Tìm ba số nguyên dương a, b, c cho 1 a b c Lời giải Không làm tính tổng quát, ta giả sử a b c , ta có: Nếu a khơng thể ,do a a Nếu a 1 3 20 , suy b b c 10 b 10 3 15 a a Suy b b b 10 Suy số a, b, c thỏa mãn a 2, b 4, c 20 a 2, b 5, c 10 Nếu a Từ 1 b c 15 30 b suy b 15 b b Khơng có trường hợp thỏa mãn Vậy có 12 số thỏa mãn hoán vị hai ba số 2, 4, 20 2,5,10