Luận văn hàm hilbert và thực hành tính toán trên phần mềm cocoa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– LÊ THỊ MAI LÊ HÀM HILBERT VÀ THỰC HÀNH TÍNH TỐN TRÊN PHẦN MỀM COCOA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— LÊ THỊ MAI LÊ HÀM HILBERT VÀ THỰC HÀNH TÍNH TỐN TRÊN PHẦN MỀM COCOA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN DŨNG THANH HÓA, 2021 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 2182 ngày 15 tháng 11 năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng PGS.TS Nguyễn Tiến Quang Trường ĐHSP Hà Nội Chủ tịch HĐ TS Trần Nam Trung Viện Tốn học UV Phản biện TS Hồng Đình Hải Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện TS Phạm Thị Cúc Trường Đại học Hồng Đức Ủy viên TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức UV Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng 10 năm 2021 (ký, ghi rõ họ tên) TS Lê Xuân Dũng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Lê Thị Mai Lê i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Lê Xn Dũng Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc lịng u q tới Thầy Tơi xin cảm ơn tới tất quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc biệt thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số lý thuyết số K12 - Trường Đại học Hồng Đức, lớp học viên cho trải nghiệm, tự học, tập duyệt nghiên cứu khoa học mà phương pháp luận, giới quan khoa học niềm lạc quan, lĩnh nghiên cứu trình học tập rèn luyện Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng QLĐT Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ tơi hồn thiện luận văn Trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 10 năm 2021 Lê Thị Mai Lê ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành 1.2 Môđun 1.3 Vành môđun phân bậc 12 1.4 Vành đa thức 17 1.5 Cơ sở Groebner 17 Chương 2: THỰC HÀNH TÍNH TỐN HÀM HILBERT BẰNG PHẦN MỀM COCOA 26 2.1 Hàm Hilbert 26 2.2 Giới thiệu phần mềm CoCoA 2.3 Thực hành tìm hàm Hilbert phần mềm CoCoA 26 KẾT LUẬN 44 Tài liệu tham khảo 45 iii MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Hàm Hilbert hàm quan trọng lý thuyết vành môđun, hệ số đa thức Hilbert tương ứng ước lượng độ phức tạp tính tốn số bất biến như: số quy Castelnuovo – Mumford, kiểu quan hệ, Từ đó, ta hiểu rõ cấu trúc vành môđun Do đó, tốn tìm hàm Hilbert vành môđun phân bậc cho trước vấn đề quan trọng nhiều người quan tâm Trong trường hợp vành mơđun tổng qt, việc tìm hàm Hilbert khó khăn có cơng cụ để tìm lời giải đầy đủ Xét trường hợp vành thương vành đa thức K[x1 , , xn ]/I với I iđêan đơn thức quy đơn thức, tính tốn hàm Hilbert vành sử dụng phần mềm CoCoA Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài “Hàm Hilbert thực hành tính tốn phần mềm CoCoA” để tìm lời giải đầy đủ cho tốn tìm hàm Hilbert thực hành tính tốn phần mềm CoCoA Mục đích đề tài Tìm hiểu hàm Hilbert phần mềm CoCoA, thực hành tính tốn hàm Hilbert phần mềm CoCoA Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp, hệ thống tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn, đặc biệt toán liên quan đến hàm Hilbert phần mềm CoCoA - Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu thu để thực đề tài luận văn - Khái quát hóa, tổng quát hóa Kết đạt - Hệ thống kiến thức vành, vành phân bậc, vành đa thức, sở Groebner hàm Hilbert - Xây dựng hệ thống tập tìm hàm Hilbert vành R/I R vành đa thức, K[x1 , , xn ], I iđêan R trình bày lời giải chi tiết dựa phần mềm tính tốn CoCoA Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương: – Chương 1: Trình bày kiến thức liên quan đến hàm Hilbert Đây kiến thức sở cần thiết cho việc trình bày chương sau – Chương 2: Thực hành tính tốn tìm hàm Hilbert phần mềm CoCoA Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày kiến thức chuẩn bị vành, môđun, vành đa thức sở Groebner dựa tài liệu [1], [2], [3], [4] [5] 1.1 Vành Trong phần này, luận văn trình bày sơ lược vành iđêan dựa tài liệu [1], [2] Định nghĩa 1.1.1 Vành tập hợp R 6= 0/ trang bị phép toán cộng "+": (a, b) 7→ a + b phép toán nhân ".": (a, b) 7→ a.b thỏa mãn tính chất sau: (i) Đối với phép cộng, R nhóm giao hốn (ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức với a, b, c ∈ R: a.(b.c) = (a.b).c (iii) Phép nhân có tính chất phân phối với phép cộng, tức với a, b, c ∈ R: a.(b + c) = a.b + a.c (b + c).a = b.a + c.a Định nghĩa 1.1.2 Cho R vành a ∈ R Phần tử a gọi (i) ước không a 6= tồn 6= b ∈ R cho ab = 0, (ii) khả nghịch tồn c ∈ R cho ac = Vành R không chứa ước gọi miền nguyên Phần tử khơng vành kí hiệu Để cho tiện thơng thường ta viết ab thay cho tích a.b R gọi vành có đơn vị chứa phần tử thỏa mãn a1 = 1a = a với a ∈ R Khi cần nhấn mạnh vành R ta kí hiệu 0R , 1R để phần tử không đơn vị R R gọi vành giao hoán với a, b ∈ R, ab = ba Vành có phần tử kí hiệu Định nghĩa 1.1.3 Một tập S ⊆ R đóng phép cộng phép nhân R gọi vành chứa phần tử R thân với phép tốn cảm sinh lập thành vành Để kiểm tra tập R có phải vành hay không ta thường dùng tiêu chuẩn: Bổ đề 1.1.4 Cho R vành S ⊆ R Khi S vành có điều kiện sau: (i) ∈ S (ii) Nếu a, b ∈ S a − b ∈ S (iii) Nếu a, b ∈ S ab ∈ S Chứng minh Giả sử S vành Kí hiệu 0S phần tử khơng S Khi + 0S = 0S = 0S + 0S Từ = 0S ∈ S Cho b ∈ S b′ phần tử đối b S Khi b + b′ = 0S = = b + (−b) Do (−b) = b′ ∈ S Vì S đóng phép cộng nên với phần tử a ∈ S ta có a − b = a + (−b) ∈ S, tức điều kiện (ii) thỏa mãn Điều kiện (i) (iii) đương nhiên thỏa mãn theo Định nghĩa 1.1.2 Ngược lại, giả sử (i) (iii) thỏa mãn Khi đó, từ (i) (ii) suy = 1−1 ∈ S −a = − a ∈ S với a ∈ S Từ thấy S vành Trong toàn bộluận văn này, ta ln xem R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.5 Tập I 6= 0/ R gọi iđêan thỏa mãn hai điều kiện: (i) Với a, b ∈ I, a + b ∈ I (ii) Với a ∈ I r ∈ R, ∈ I Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [x2 + yz, xz − yz, y2 z + yz2 ] Suy in(I) = {x2 , xz, y2 z} Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(x2 , xz, y2 z); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(t) = 4t với t ≥ Bài tập 2.3.8 Cho vành đa thức R = [x, y, z], iđêan I = (x2 + zx, x2 + zy) Tìm hàm Hilbert R/I Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z]; I := Ideal(x2 + zx, x2 + zy); ReducedGBasis(I); Kết thu [x2 + yz, xz − yz, y2 z + yz2 ] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [x2 + yz, xz − yz, y2 z + yz2 ] Suy in(I) = {x2 , xz, y2 z} Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z]; I := Ideal(x2 + zx, x2 + zy); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(1) = H(t) = với t ≥ Bài tập 2.3.9 Cho vành đa thức R = [x, y, z], iđêan I = (x2 y8 − 7x3 y7 + 5xy6 z3 , xy7 z3 − 9x2 y8 z, y5 + y4 z = 12y2 z3 ) Tìm hàm Hilbert(R/I) 33 Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z]; I := Ideal(x2 y8 − 7x3 y7 + 5xy6 z3 , xy7 z3 − 9x2 y8 z, y5 + y4 z − 12y2 z3 ); ReducedGBasis(I); Kết thu 12 3 23 4 10 11 3 [xy3 z9 − 1885369 124240 xy z , xy z , y + y z − 12y z , x y z − 11 x y z + 77 x y z + 12 12 5 12 2 60 60 3 11 x y z − 77 x y z − 77 xy z − x y z − 77 xy z + 77 xy z , x y z −12x y z + 264 1046 132 2 341 341 12 11 161 x y z + 1449 xy z − 161 x y z + 483 xy z − 483 xy z , x y z − 23 x y z + 207 xy z − 132 2 4 9077 9077 4241 2 8 23 x y z − 69 xy z + 69 xy z , x y z − 8566 x y z + 925128 xy z − 77094 xy z , x y z − 8021 2 807853 69133 4536 2 4794 6132 2 59962 x y z − 6475896 xy z + 539658 xy z , xy z − 4283 x y z − 4283 xy z + 4283 xy z , x y z 3855613 10 13417920 xy z ] Vậy sở Groebner rút gọn thu 10 11 3 12 3 23 4 G = [xy3 z9 − 1885369 124240 xy z , xy z , y +y z−12y z , x y z − 11 x y z + 77 x y z + 12 12 5 12 2 60 60 3 11 x y z − 77 x y z − 77 xy z − x y z − 77 xy z + 77 xy z , x y z −12x y z + 11 264 1046 132 2 341 341 12 6 161 x y z + 1449 xy z − 161 x y z + 483 xy z − 483 xy z , x y z − 23 x y z + 207 xy z − 4 9077 9077 132 2 7 4241 2 8 23 x y z − 69 xy z + 69 xy z , x y z − 8566 x y z + 925128 xy z − 77094 xy z , x y z − 807853 69133 8021 2 8 4536 2 4794 6132 2 59962 x y z − 6475896 xy z + 539658 xy z , xy z − 4283 x y z − 4283 xy z + 4283 xy z , x y z 3855613 10 13417920 xy z ] Suy in(I) = {xy3 z9 , xy2 z11 , y5 , x3 y4 z3 , x3 y3 z5 , x2 y4 z5 , x2 y3 z7 , x3 y2 z7 , xy4 z7 , x2 y2 z9 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z]; I := Ideal(xy3 z9 , xy2 z11 , y5 , x3 y4 z3 , x3 y3 z5 , x2 y4 z5 , x2 y3 z7 , x3 y2 z7 , xy4 z7 , x2 y2 z9 ) ; Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = 1; H(1) = 3; H(2) = H(3) = 10; H(4) = 15; H(5) = 20 H(6) = 25; H(7) = 30; H(8) = 35 H(9) = 40; H(10) = 44; H(11) = 46 H(12) = 46; H(13) = 46 H(t) = 2t + 19 với t ≥ 14 34 Bài tập 2.3.10 Cho vành đa thức R = [x, y, z] iđêan I = (xyz2 − x2 y2 , xy2 z − x2 yz, x2 + y2 − 2xy + 3xz − 5yz) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z]; I := Ideal(xyz2 −x2 y2 , xy2 z−x2 yz, x2 +y2 −2xy+3xz−5yz); ReducedGBasis(I); Kết thu [y3 z2 +3xyz3 −5y2 z3 , y5 +69xyz3 −125y2 z3 , xyz4 , x2 −2xy+y2 +3xz−5yz, xy2 z− 2 3 y3 z − 3xyz2 + 5y2 z2 , xy3 − 21 y4 + y3 z − 5xyz2 + 15 y z , y z + 14xyz − 25y z ] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [y3 z2 + 3xyz3 − 5y2 z3 , y5 + 69xyz3 − 125y2 z3 , xyz4 , x2 − 2xy + y2 + 3xz − 2 5yz, xy2 z − y3 z − 3xyz2 + 5y2 z2 , xy3 − 12 y4 + y3 z − 5xyz2 + 15 y z , y z + 14xyz − 25y2 z3 ] Suy in(I) = {y3 z2 , y5 , xyz4 , x2 , xy2 z, xy3 , y4 z} Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z]; I := Ideal(y3 z2 , y5 , xyz4 , x2 , xy2 z, xy3 , y4 z); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = 1; H(1) = 3; H(2) = 5; H(3) = 7; H(4) = 7; H(5) = 5; H(t) = với t ≥ Bài tập 2.3.11 Cho vành R = [x, y, z,t, w], iđêan I = (x3 − xyz, y4 − xyz2 , xy − z2 ) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, w]; I := Ideal(x3 −xyz, y4 −xyz2 , xy−z2 ); ReducedGBasis(I); 35 Kết thu [xy − z2 , x3 − z3 , x2 z2 − yz3 , y4 − z4 , y2 z3 − xz4 , y3 z2 − xz4 , xz5 − z6 , yz5 − z6 ] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [xy − z2 , x3 − z3 , x2 z2 − yz3 , y4 − z4 , y2 z3 − xz4 , y3 z2 − xz4 , xz5 − z6 , yz5 − z6 ] Suy in(I) = {xy, x3 , x2 z2 , y4 , y2 z3 , y3 z2 , xz5 , yz5 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, w]; I := Ideal(xy, x3 , x2 z2 , y4 , y2 z3 , y3 z2 , xz5 , yz5 ); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(1) = H(2) = 14 H(3) = 29 H(t) = 21 t + 37 t − 33 với t ≥ Bài tập 2.3.12 Cho vành R = [x, y, z,t], iđêan I = (x3 − yz2 , y4 − x2 yz) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(x3 − yz2 , y4 − x2 yz); ReducedGBasis(I); Kết thu [x3 − yz2 , y4 − x2 yz] Vậy sở Groebner rút gọn G = [x3 − yz2 , y4 − x2 yz] Suy in(I) = {x3 , y4 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(x3 , y4 ); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = 36 H(1) = H(2) = 10 H(3) = 19 H(t) = 12t − 18 với t ≥ Bài tập 2.3.13 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t, w] iđêan I = (x3 − 2yzw, xy − z2 , x2 z − y2 w) Tìm hàm Hilbert R/I Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, w]; I := Ideal(x3 − 2yzw, xy − z2 , x2 z − y2 w); ReducedGBasis(I); Kết thu [xy − z2 , x2 z − y2 w, x3 − 2yzw, xz3 − y3 w, yz2 w, y2 zw, z4 w, z5 − y4 w, y4 w2 ] Vậy sở Groebner rút gọn G = [xy − z2 , x2 z − y2 w, x3 − 2yzw, xz3 − y3 w, yz2 w, y2 zw, z4 w, z5 − y4 w, y4 w2 ] Suy in(I) = {xy, x2 z, x3 , xz3 , yz2 w, y2 zw, z4 w, z5 , y4 w2 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, w]; I := Ideal(xy, x2 z, x3 , xz3 , yz2 w, y2 zw, z4 w, z5 , y4 w2 ); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = 1; H(1) = 5; H(2) = 14; H(3) = 28; H(t) = 18t − 27 với t ≥ Bài tập 2.3.14 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t, w, v] iđêan I = (x2 y2 − z4 , x2 yz − xz3 , xyz2 − y4 ) Tìm hàm Hilbert R/I 37 Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, w, v]; I := Ideal(x2 y2 − z4 , x2 yz − xz3 , xyz2 − y4 ); ReducedGBasis(I); Kết thu [y4 − xyz2 , x2 yz − xz3 , x2 y2 − z4 , xyz3 − z5 , x2 z4 − y2 z4 , y3 z4 − xz6 ] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [y4 − xyz2 , x2 yz − xz3 , x2 y2 − z4 , xyz3 − z5 , x2 z4 − y2 z4 , y3 z4 − xz6 ] Suy in(I) = {y4 , x2 yz, x2 y2 , xyz3 , x2 z4 , y3 z4 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, w, v]; I := Ideal(y4 , x2 yz, x2 y2 , xyz3 , x2 z4 , y3 z4 ); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(1) = H(2) = 21 H(3) = 56 H(t) = 32 t + 5t − 51 t + 49 với t ≥ Bài tập 2.3.15 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t], iđêan I = (x − z3 , y − z4 ) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(x − z3 , y − z4 ); ReducedGBasis(I); Kết thu [z3 − x, xz − y, yz2 − x2 , x3 − y2 z] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [z3 − x, xz − y, yz2 − x2 , x3 − y2 z] Suy in(I) = {z3 , xz, yz2 , x3 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(z3 , xz, yz2 , x3 ); Hilbert(R/I); 38 Kết thu H(0) = H(1) = H(t) = 4t + với t ≥ Bài tập 2.3.16 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t], iđêan I = (x4 y + xz, xy3 + z, xyz − x2 , yz4 + xy + z) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(x4 y + xz, xy3 + z, xyz − x2 , yz4 + xy + z); ReducedGBasis(I); Kết thu [xy + xz + z, y2 z + z3 − z, −x2 , xz, z2 ] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [x2 , xz, z2 , xy + z, y2 z − z] Suy in(I) = {x2 , xz, z2 , xy, y2 z} Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(x2 , xz, z2 , xy, y2 z); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(1) = H(t) = t + với t ≥ Bài tập 2.3.17 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t, v], iđêan I = (x3 + xy3 , y3 + z4 ) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, v]; I := Ideal(x3 + xy3 , y3 + z4 ); ReducedGBasis(I); 39 Kết thu [z4 + y3 , xy3 + x3 ] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [z4 + y3 , xy3 + x3 ] Suy in(I) = {z4 , xy3 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, v]; I := Ideal(z4 , xy3 ); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(1) = H(2) = 15 H(3) = 35 H(t) = 8t − 24t + 36 với t ≥ Bài tập 2.3.18 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t], iđêan I = (xy2t + y, x2 z2 − xy, y2 zt) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(xy2t + y, x2 z2 − xy, y2 zt); ReducedGBasis(I); Kết thu [y, x2 z2 ] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [y, x2 z2 ] Suy in(I) = {y, x2 z2 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(y, x2 z2 ); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(1) = H(t) = 4t − với t ≥ 40 Bài tập 2.3.19 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t, v], iđêan I = (x2 − xy, xy2 − y3 , xy3 + x, xyz) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, v]; I := Ideal(x2 −xy, xy2 −y3 , xy3 +x, xyz); ReducedGBasis(I); Kết thu [x2 − xy, xy2 − y3 , y3 z, y4 + x, xz] Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [x2 − xy, xy2 − y3 , y3 z, y4 + x, xz] Suy in(I) = {x2 , xy2 , y3 z, y4 , xz} Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, v]; I := Ideal(x2 , xy2 , y3 z, y4 , xz); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = 1; H(1) = 5; H(t) = 32 t + 92 t − với t ≥ Bài tập 2.3.20 Cho vành đa thức R = [x, y, z], iđêan I = (xyz + 3x4t, xzt + zxt + x, xt − y) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(xyz+3x4t, xzt +zxt +x, xt −y); ReducedGBasis(I); Kết thu [xt − y, yzt + yz + x, xyz + y2 z + x2 , x3 y − 13 y2 z − 31 x2 , x2 y2 + 13 y2 z, xy3 − 13 y2 z − 1 1 4 xy, y + y z + xy − y , x + x z] 41 Vậy sở Groebner rút gọn thu G = [xt −y, yzt +yz+x, xyz+y2 z+x2 , x3 y− 13 y2 z− 13 x2 , x2 y2 + 31 y2 z, xy3 − 31 y2 z− 1 4 xy, y + y z + xy − y , x + x z] Suy in(I) = {xt, yzt, xyz, x3 y, x2 y2 , y4 , x4 } Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(xt, yzt, xyz, x3 y, x2 y2 , y4 , x4 ); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = 1; H(1) = 4; H(2) = 9; H(3) = 14; H(t) = t + 10 vớit ≥ Bài tập 2.3.21 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t], iđêan I = (x2 y + z − 1, xy3 z + t − 5xt, y5t − zx + 3) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(x2 y + z − 1, xy3 z + t − 5xt, y5t − zx + 3); ReducedGBasis(I); Kết thu [x2 y + z − 1, xy3 z − 5xt +t, y5t − xz + 3, y2 z2 − y2 z + 5x2t − xt, x4t − 15 yz3 − 15 x3t + 2 3 3 3 25 yz − yz, xz +25x t −xz −10xt −3z +t +3z , xyz + z − xyt + xzt − 10 3 10 3 xyz2 − 23 z4 − 25 xt − zt + z + t , z − xyzt + 25xz t − 2z + 30xyt − 25xzt −10z2t +9yz3 +z4 −3yt +85zt −9yz2 −75t , yz4 + 35 z5 +x3 zt +625y2 zt + 125 65 1750 70 3 3 2 xyt + xzt + 75xyz − 125xz − 2yz + z − 15x t − 625y t + xt − 2 145 325 2 5yt − 50 zt −75xyz+125xz +16yz − z − t −15yz+400z −375z, xy t − 2 2 2 2 x z − y t + xz, y t + 25y zt − 5xz − 25y t − 3xyz + 5xz − z + 16z − 15z, x3 z2 + 15 x2 z2 + 15 y2t +5yzt −3x2 z−5yt − 35 xz, y4 zt −y4t +x3 z−3x2 , xy4t − x4 z − 5xyt + 3x3 + yt , x5 z + y3 zt − 3x4 − y3t − xyt − 5zt + 5t ] Vậy sở Groebner rút gọn thu 42 G = [x2 y + z − 1, xy3 z − 5xt + t, y5t − xz + 3, y2 z2 − y2 z + 5x2t − xt, x4t − 15 yz3 − 2 3 3 3 5 x t + yz − yz, xz +25x t −xz −10xt −3z +t +3z , xyz + z − xyt + 25 25 10 3 10 3 xzt − xyz − z − xt − zt + z + t , z − xyzt + 25xz t − 2z + 30xyt − 25xzt − 10z2t + 9yz3 + z4 − 3yt + 85zt − 9yz2 − 75t , yz4 + 35 z5 + 125 65 3 3 x3 zt + 625y2 zt + 70 xyt + xzt + 75xyz − 125xz − 2yz + z − 15x t − 3 50 2 145 325 625y2t + 1750 xt −5yt − zt −75xyz+125xz +16yz − z − t −15yz+ 400z2 −375z, xy2t − 51 x2 z2 − 15 y2t + 35 xz, y3t +25y2 zt −5xz3 −25y2t −3xyz+ 5xz2 − z3 + 16z2 − 15z, x3 z2 + 15 x2 z2 + 51 y2t + 5yzt − 3x2 z − 5yt − 35 xz, y4 zt − y4t + x3 z − 3x2 , xy4t − x4 z − 5xyt + 3x3 + yt , x5 z + y3 zt − 3x4 − y3t − xyt − 5zt + 5t ] Suy in(I) = {x2 y, xy3 z, y5t, y2 z2 , x4t, xz4 , xyz3 , z6 , xy2t , y3t , x3 z2 , y4 zt, xy4t, x5 z} Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t]; I := Ideal(x2 y, xy3 z, y5t, y2 z2 , x4t, xz4 , xyz3 , z6 , xy2t , y3t , x3 z2 , y4 zt, xy4t, x5 z); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = 1; H(1) = 4; H(2) = 10 H(3) = 19; H(4) = 30 H(5) = 34; H(t) = 29 với t ≥ Bài tập 2.3.22 Cho vành đa thức R = [x, y, z, w,t, v], iđêan I = (xt − 3y, xyz − 3t + 4tv − 1, x2tv − 3yv + 4wv) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z, w,t, v]; I := Ideal(xt − 3y, xyz − 3t + 4tv − 1, x2tv − 3yv + 4wv); ReducedGBasis(I); Kết thu 3 x v − 3xwv2 + [yzwv − 43 zw2 v − 3wt v + 41 x2 v − 41 xtv + 4wv2 , xzw2 v − 94 wt v − 16 3 2 3wtv2 + 27 ywv+ 16 yv− wv, xyz−3t +4tv−1, xt −3y, x tv−3yv+4wv, xyv− ytv + 43 wtv, yztv − 43 zwtv − 3t v + 4tv2 − v, yt v − 34 wt v − 3y2 v, xzwtv − 49 t v − 3 2 16 2 3xtv2 + 3t v2 + 27 ytv + xv − tv,t − t v − y z + t , y zv − zw v − 3yt v − 43 4wt v + 31 x2 v − 32 xtv + 4yv2 + 16 wv ] Vậy sở Groebner thu 3 G = [yzwv− 34 zw2 v−3wt v+ 41 x2 v− 14 xtv+4wv2 , xzw2 v− 49 wt v− 16 x v−3xwv2 + 3 2 3wtv2 + 27 ywv+ 16 yv− wv, xyz−3t +4tv−1, xt −3y, x tv−3yv+4wv, xyv− ytv + 43 wtv, yztv − 43 zwtv − 3t v + 4tv2 − v, yt v − 34 wt v − 3y2 v, xzwtv − 49 t v − 3 2 16 2 3xtv2 + 3t v2 + 27 ytv + xv − tv,t − t v − y z + t , y zv − zw v − 3yt v − 4wt v + 31 x2 v − 32 xtv + 4yv2 + 16 wv ] Suy in(I) = {yzwv, xzw2 v, xyz, x2tv, xyv, yztv, yt v, xzwtv,t , y2 zv} Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z, w,t, v]; I := Ideal(yzwv, xzw2 v, xyz, x2tv, xyv, yztv, yt v, xzwtv,t , y2 zv); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(1) = H(t) = 10t − 18t + 17 với t ≥ Bài tập 2.3.23 Cho vành đa thức R = [x, y, z,t, w, u, v], iđêan I = (x3 v − 5uv + 1, yzv − t + 1,tw3 − uv + 3) Tìm hàm Hilbert(R/I) Bài giải Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z,t, w, u, v]; I := Ideal(x3 v − 5uv + 1, yzv − t + 1,tw3 − uv + 3); ReducedGBasis(I); Kết thu [yzv−t +1,tw3 −uv+3, x3 v−5uv+1, x3t −x3 −5t u+yz+5u, x3 w3 −yzw3 + 3x3t − 5w3 u − 14tu] Vậy sở Groebner thu G = [yzv−t +1,tw3 −uv+3, x3 v−5uv+1, −x3t +x3 +5t u−yz−5u, x3 w3 − yzw3 + 3x3t − 5w3 u − 14tu] Suy in(I) = {yzv,tw3 , x3 v, x3t , x3 w3 } 44 Sử dụng phần mềm CoCoA với lệnh sau UseR ::= QQ[x, y, z, w,t, v]; I := Ideal(yzv,tw3 , x3 v, x3t , x3 w3 ); Hilbert(R/I); Kết thu H(0) = H(1) = H(2) = 28 H(3) = 83 203 H(t) = 7t − 69 t + t − 101 với t ≥ 45 KẾT LUẬN Sau nghiên cứu luận văn với đề tài “Hàm Hilbert thực hành tính tốn phần mềm CoCoA” đạt số kết sau: Hệ thống kiến thức vành, vành phân bậc, vành đa thức, sở Groebner hàm Hilbert Xây dựng hệ thống tập tìm hàm Hilbert vành R/I R vành đa thức, K[x1 , , xn ], I iđêan R trình bày lời giải chi tiết dựa phần mềm tính tốn CoCoA Mặc dù cố gắng chắn tránh khỏi sai sót, khiếm khuyết Rất mong thầy giáo, bạn bè, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tiếp tục chỉnh sửa, bổ sung để luận văn hoàn thiện 46 47 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Việt Nam [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính: sở Grobner, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội, Việt Nam [3] Nguyễn Tiến Quang, Bùi Huy Hiền (2013), Đại số đại cương, NXB Đại học Sư phạm [4] Nguyễn Tiến Quang (chủ biên), Phạm Thị Cúc, Đặng Đình Hanh (2013), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Hồng Xn Sính (2003), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục