Skkn rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạng toán tổng của một dãy số viết theo quy luật

Phòng giáo dục & đào tạo Trờng trung học së -***** - BÁO CÁO SÁNG KIẾN "RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO HỌC SINH THƠNG QUA DẠNG TỐN TỔNG CỦA MỘT DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT" Tác giả: Trình độ chun mơn: Chức vụ: Giáo Viên Nơi cơng tác: Trƣờng THCS …., ngày tháng năm 2018 skkn THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠNG TOÁN TỔNG CỦA MỘT DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT" Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 09 năm 2017 đến tháng năm 2018 Tác giả: Đơn vị áp dụng sáng kiến: skkn I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Tốn học mơn khoa học bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác Các thành tựu tốn học ln góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho sống lồi người ngày tốt đẹp Chính việc mong muốn học học giỏi mơn Tốn nguyện vọng nhiều học sinh Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân Là giáo viên trường THCS trực tiếp giảng dạy lớp có học sinh chủ yếu học sinh giỏi Tơi nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS không đơn giản đảm bảo kiến thức sách giáo khoa, mà điều kiện cần chưa đủ Muốn học tốt toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải dạng toán đa dạng, giải toán tỉ mỉ khoa học, kiên nhẫn để tự tìm đáp số chúng Muốn giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác để tạo hứng thú học tập cho học sinh Phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức bản; sau cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt kiến thức đó; phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước tốn khó mà dần tạo tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn Từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Một tốn có nhiều cách giải, toán thường nằm dạng toán khác đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực, nhiều mặt cách sáng tạo, học sinh phải biết sử dụng phương pháp cho phù hợp Trong chương trình Tốn THCS nói chung phần Số Học nói riêng có nhiều dạng tốn hay Đặc biệt dạng toán “ Tổng dãy số viết theo quy luật” học sinh học tiểu học, hệ thống lại mở rộng chương trình tốn lớp Tơi thấy dạng tốn đa dạng, phong phú có nhiều dạng khác nhau; dạng quy luật dãy số tổng không giống Trong dạng tốn phần trọng tâm việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS thường xuất đề kiểm tra Phòng giáo dục Sở giáo skkn dục Đối với em học sinh lớp để có điểm số tuyệt đối kiểm tra t nh nđ đ c sinh phải vượt qua Mặt khác Tuy nhiên sách tham khảo có trình bày có tập phần đơn lẻ mà chưa liệt kê, hệ thống theo dạng bài; chưa đưa phương pháp giải cụ thể; đòi hỏi học sinh tự vận động kiến thức Do học sinh lúng túng giải tập thể loại kể em có lực học khá, giỏi Thường em chưa biết phát quy luật dãy số; khơng biết cách phân tích để tìm lời giải; chưa biết tự hệ thống lại để ôn luyện theo dạng khác nhau; biết hướng giải lại lời giải Để giúp học sinh biết cách tự tìm tịi, phân tích, tổng hợp kiến thức liên quan cách có hệ thống để giải tốt dạng tốn Thơng qua rèn luyện khả tư cho em Chính chọn đề tài: “ Rèn luyện tư cho học sinh thơng qua dạng tốn tổng dãy số viết theo quy luật” Qua sáng kiến, mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, phát nhanh quy luật dãy số tổng Biết hệ thống, phân loại nắm phương pháp giải cho dạng tập Từ có phương pháp truyền thụ kiến thức để học sinh dễ hiểu tự làm tốt tốn dạng Qua nội dung tơi hy vọng học sinh phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái qt hố qua tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả tư sáng tạo học tập II MÔ TẢ GIẢI PHÁP: Mô tả giải pháp trƣớc tạo sáng kiến: Khi nhà trường phân công dạy Toán lớp Đây lớp chủ yếu em có lực học khá, giỏi Trong q trình giảng dạy nhận thấy em gặp tốn có dạng “ Tổng dãy số viết theo quy luật” em lúng túng giải Từ thực tế tơi cho em làm kiểm tra với dạng: Tính tổng A dãy số viết theo quy luật, chứng tỏ tổng A < m tổng A > m ( m số), chứng tỏ A số tự nhiên, so sánh tổng A tổng B Từ tơi đánh giá khả thực em với dạng toán skkn Qua điều tra học sinh nhiều biện pháp kết điều tra 35 kiểm tra lớp 6A Trường THCS B Hải Minh trước áp dụng sáng kiến sau: Lớp Sĩ số 6A 35 Giỏi Khá Yếu- TB SL % SL % Sl % SL % 5,714 32 15 42,857 10 28,57 Sau kiểm tra tơi thấy học sinh hiểu làm tốn tổng dãy số viết theo quy luật mơ hồ, học cách máy móc thụ động Nhiều em chưa biết cách phát quy luật dãy số tổng có phát lại chưa nắm phương pháp giải, chưa phân biệt cách giải dạng với Khi em gặp tốn địi hỏi phải vận dụng có tư học sinh không xác định phương hướng để giải tốn dẫn đến lời giải sai khơng làm Trước thực trạng trên, giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn tơi thấy: Việc hệ thống, phân loại dạng cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát, số kỹ để giải tốn nói chung tốn tổng dãy số viết theo quy luật giúp học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi điều cần thiết Vì viết sáng kiến với mong muốn giúp học sinh biết cách hệ thống, phân loại vận dụng tốt phương pháp để giải dạng tổng dãy số viết theo quy luật Mô tả giải pháp sau tạo sáng kiến Đối với học sinh lớp việc tổng hợp kiến thức học chủ đề khó khăn Qua nghiên cứu tơi thấy chủ đề tổng dãy số viết theo quy luật đa dạng có nhiều tốn địi hỏi có suy luận, có tư lơgic Có dạng có phương pháp giải chung có dạng phải qua việc phân tích tìm lời giải số tốn Trong dạng ta lại đúc rút tìm quy luật, phương pháp giải chung cho dạng tốn Do để học sinh học tập có hiệu cao với chủ đề theo giáo viên cần phải sưu tầm, hệ thống thành dạng xếp theo chuỗi lơ gic dạng với nhau; phân làm dạng toán từ đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp để luyện tập cho học sinh Trong giảng dạy giáo viên cần tổng hợp kiến thức có liên quan; phân tích tìm lời giải cho dạng bài, hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác Trong dạng cần ý khắc sâu cho học sinh phương pháp giải dạng Chỉ điểm nhấn thể đặc điểm chung skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an dạng đặc điểm riêng dạng khác nhau, chỗ mà học sinh hay mắc sai lầm Đồng thời phải giúp cho em biết liên kết kiến thức dạng với dạng khác theo hệ thống Chính sáng kiến phân dạng Trong dạng chọn lọc số tốn, phân tích tìm hướng giải; đúc rút phương pháp giải có thể; khai thác, mở rộng thành tập có nội dung đề khác cuối đưa đến có phương pháp giải tương tự với tốn gốc Thơng qua giúp giáo viên rèn kỹ trình bày làm học sinh, giúp học sinh biết cách phân tích tìm lời giải làm tốn tương tự; biết cách vận dụng linh hoạt kiến thức học để giải tốt tình tốn cụ thể Qua hình thành tư lơgíc, sáng tạo cho em việc giải tốn Các dạng mà tơi phân cụ thể là: * Dạng : Tổng dãy cộng * Dạng 2: Tổng dãy số số nguyên viết theo quy luật có đan dấu cộng trừ * Dạng 3: Tổng dãy nhân số nguyên * Dạng 4: Tổng dãy số nguyên số có số với số mũ cách * Dạng 5: Tổng tích cặp số nguyên mà cặp số nguyên cách * Dạng 6: Tổng bình phương dãy số có số cách * Dạng 7: Tổng lập phương dãy số có số cách * Dạng 8: Tổng dãy nhân phân số * Dạng 9: Tổng dãy phân số có tử, mẫu tích cặp số nguyên cách * Dạng 10: Tổng dãy phân số có tử, mẫu bình phương mà số cách * Dạng 11: Tổng dãy phân số có tử, mẫu số tự nhiên liên tiếp tổng dãy số viết theo quy luật học sinh : Một số cơng thức tính dãy số cách học tiểu học: Số số hạng Tổng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + = ( số hạng đầu + số hạng cuối ) số số hạng : Số hạng thứ n = ( số số hạng – ) khoảng cách + số hạng đầu Một số công thức lũy thừa với số mũ tự nhiên: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an am an = am+n ; am: an = am-n ( a 0, m n); (a m ) n a m n Tính chất chia hết tổng: a  m, b  m c  m (a + b+c)  m Quy đồng mẫu số nhiều phân số: - Tìm mẫu số chung (tìm BCNN mẫu) - Tìm thừa số phụ mẫu - Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng Các phép tính phân số: a Cộng, trừ phân số mẫu: A B M M A B A B M M (M 0); M A B (M 0) M b Cộng, trừ phân số không mẫu: - Quy đồng mẫu phân số - Cộng tử phân số quy đồng giữ nguyên mẫu chung A C A C B D B D c Nhân phân số: d Chia phân số: A : B C A D D B.C (B, D 0) (B, C, D 0) Tính chất phép cộng nhân phân số: a Tính chất giao hốn: - Phép cộng: - Phép nhân: a c c a b d d b a c c a b d d b (b, d 0) (b, d 0) b Tính chất kết hợp : - Phép cộng : - Phép nhân: a c m a c m b d n b d n a c m a c m b d n b d n (b, d, n 0) (b, d, n 0) c Tính chất phân phối phép nhân phép cộng (trừ): a c m a m c m b d n b n d n (b, d, n 0) Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b Tính chất: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an - Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c a > c - Tính chất đơn điệu phép cộng: Nếu a > b a + c > b + c - Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a > b a c > b c (c > 0) - Cộng vế bất đẳng thức chiều: Nếu a > b, c > d a + c > b + d Công thức giai thừa: n! = 1.2.3… n (n N*) Sau tơi xin trình bày cụ thể dạng toán tổng dãy số viết theo quy luật mà hệ thống: 2.1 Dạng 1: Tổng dãy cộng Dãy cộng dãy số có số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) lớn số hạng liền trước số đơn vị Dãy cộng dãy số cách Một số phƣơng pháp giải: Phương pháp 1: +Tính số số hạng tổng theo cơng thức : Số số hạng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + +Nhóm hai số hạng thành cặp cho giá trị cặp (Lưu ý nhóm vừa hết số hạng thành cặp số số hạng số chẵn thừa số hạng số số hạng số lẻ) Cách tính số hạng thứ n dãy là: Số hạng thứ n = ( số số hạng – ) khoảng cách + số hạng đầu + Tính tổng dựa vào giá trị cặp số cặp vừa nhóm Lưu ý tìm số cặp mà cịn dư số hạng tìm tổng ta phải cộng số hạng dư vào Phương pháp 2: Dựa vào công thức : Số số hạng Tổng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + = ( số hạng đầu + số hạng cuối ) số số hạng : Phương pháp 3: Dựa vào toán Gau-xơ : Viết tổng A theo thứ tự ngược lại tính A + A Từ tính tổng A Phương pháp 4: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Phương pháp khử liên tiếp: Tách số hạng thành hiệu số trừ hiệu trước số bị trừ hiệu sau: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , , an = bn – bn+ Khi ta có An = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Phương pháp 5: Phương pháp dự đốn quy nạp Bài tốn 1: Tính tổng A = + + + + … + 2019 Phân tích: Nhận thấy dãy số 1, 2, 3, 2019 dãy số tự nhiên cách Khoảng cách hai số hạng liền kề Để tính tổng A ta vận dụng bốn phương pháp đầu nêu cụ thể ta có cách giải sau: Hƣớng giải: Cách 1: Tổng A có số số hạng là: ( 2019 – ): + = 2019 Do ta chia A thành 1009 cặp dư 1số hạng chẳng hạn số 2019 A = + + + + … + 2019 A = (1 + + + + … + 2018) + 2019 A = (1+2018) + ( 2+2017) + + ( 1009+1010) + 2019 A = 2019 1009 + 2019 A = 2019 1010 = 2039190 Vậy A = 2039190 Cách 2: Áp dụng cơng thức tính: Số số hạng Tổng = ( số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + = ( số hạng đầu + số hạng cuối ) số số hạng : Ta có :Tổng A có số số hạng là: ( 2019 – ) : + = 2019 A =( 1+ 2019) 2019 : = 2019 1010 = 2039190 Cách 3: A = +2 +3 + + 2018 + 2019 (có 2019 số hạng) + A = 2019 + 2018 + 2017 + + Do đó: +1 2A = 2020 + 2020 + 2020 + + 2020 + 2020 (có 2019 số hạng) 2A = 2019.2020 A = 2019 2020 : = 2019 1010 = 2039190 Cách 4: Dùng phương pháp khử liên tiếp: Trước hết ta tách số hạng A (là 1) thành hiệu có số hạng tích hai số hạng liên tiếp tổng A ( thừa số số hạng 1): 1= ( 1.2 – 0.1) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Từ ta tách số hạng lại tổng A thành hạng tử mà tính tổng A hạng tử triệt tiêu hàng loạt: = ( 2.3 – 1.2); = 2019 = Do A = ( 3.4 – 2.3); ; 2018 = ( 2018 2019 – 2017.2018); ( 2019 2020 – 2018.2019) ( 1.2 – 0.1 + 2.3 – 1.2 + 3.4 – 2.3+ + 2018 2019 – 2017.2018 + 2019 2020 – 2018.2019) Vậy A = 2019 2020 = 2019 1010 = 2039190 Từ cách phân tích để có lời giải cách nghĩ đến trình bày toán theo cách sau gọn hơn: Cách 5: A = + + + + … + 2019 2A = ( + + + + … + 2019) 2A = 1.2 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + + 2019 2A = (2 – 0) + (3 – 1) + (4 – 2) + + 2019 (2020 – 2018) 2A = 1.2 + – 1.2 + – 2.3 + – 2018 2019 + 2019 2020 2A = 2019 2020 A = 2019 2020 : = 2019 1010 = 2039190 Nhận xét : Ở cách dùng phương pháp khử liên tiếp Mỗi số hạng A (chỉ có thừa số ) khoảng cách hai số hạng ta nhân A với lần khoảng cách Cụ thể với cách làm ta xét thêm ví dụ sau: Tính: B = + + + 10 + … + 70 + 73 Dãy số 1, 4, 7, 10, , 70, 73 dãy số chia cho dư Mỗi số hạng B (chỉ có thừa số ) khoảng cách hai số hạng ta nhân B với lần khoảng cách tức nhân B với nghĩ đến cách tách tương tự Ta có lời giải sau: B = + + + 10 + … + 70 + 73 6B = 1.6 + 4.6 + 7.6 + 10.6 + + 70.6 + 73.6 6B = ( + ) + ( 7– 1) + ( 10 – 4) + +73 ( 76 – 70 ) 6B = 1.4 + 1.2 + 4.7 – 1.4 + 7.10 – 7.4 + + 73.76 – 73.70 6B = 2+ 73.76 6B = 5550 B = 925 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn