THÔNG TIN TÀI LIỆU
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN" skkn A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Thực trạng Chương trình cải cách sách giáo khoa lớp 12 hành, bên cạnh toán bản, tương đối đơn giản như: Tìm tọa độ hình chiếu điểm lên đường thẳng lên mặt phẳng, hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng, viết phương trình mặt phẳng,… cịn có tốn phức tạp, địi hỏi người giải cần có kiến thức định, tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng, thuộc mặt phẳng cho thỏa biểu thức lớn nhất, nhỏ nhất, viết phương trình đường thẳng cách điểm cho trước lớn Đây dạng tốn khó, có chương trình nâng cao đề tuyển sinh Đại học cao đẳng Từ thực tế giảng dạy học sinh 12 trường, tơi nhận thấy dạng tốn khơng khó mà cịn hay, lơi em học sinh giỏi, em có nhu cầu học ôn thi đại học cao đẳng Đứng trước tốn loại người giải có lựa nhiều phương pháp khác cho lời giải hiệu Nếu ta biết sử dụng linh hoạt khéo léo kiến thức hình học túy, vectơ, phương pháp tọa độ đưa tốn tốn quen thuộc Từ ví dụ sau, phần thấy việc lựa chọn phương pháp quan trọng tiến hành giải tốn nói chung, giải tốn cực trị hình học giải tích khơng gian nói riêng Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(2;5;3) x 1 z 2 Viết phương trình mặt phẳng đường thẳng d: y 212 chứa ñường thẳng d cho khoảng cách từ A ñến lớn (ðề thi ñại học năm 2008, khối A) Phương pháp giải phổ biến skkn Phương trình mp dạng: ax +by +cz +d = 0, a2+b2+c2 >0 mp chứa d nên mp qua M,N Ta a 2c d 0 có: c a b d 0 a 2a d b 2 d a Phương trình mp viết lại: a ax +by b z +a +b = 2a 5b 3 (2a b) a b Khoảng cách từ A đến mp là: d(A, ) = a b 2a b 9b = 8a 5b2 4ab a= 0, ta có: d(A, (1) ) = skkn a 0, chọn a = ta có: d(A, 9b ) = = 9b 5b 4b 8 5b 4b 8 Đặt f(b) = 9b , f’(b) = 5b 4b 8 9b 5b 5b 4b 8 f’(b) =0 BBT hàm f(b) có f(b) 5b 4b 8 4b 8 2 9(5b 4b 8) = 9b(5b+2) 18b = -72 b = -4 lim f (b) b- f’(b) 5b 2 Ta b + -4 - + 9 skkn Dựa vào BBT suy với a 0, < d(A, 9(2) ) Từ (1) (2) suy d(A, ) lớn d(A, b = -4, (a = 1) ) = Vậy phương trình mp : x - 4y +z – = Nhận xét: Với phương pháp giải tổng quát có nhiều hạn chế: Dài dịng tổng hợp nhiều kiến thức khó, gây nhiều khó khăn cho học sinh việc luyện tập dạng toán Bài toán đơn giản ta giải theo hướng sau Đường thẳng d qua M(1;0;2) có u (2;1;2) d vtcp: Gọi H hình chiếu vng góc A lên d, AH = const Gọi K hình chiếu vng góc A lên mp Ta có khoảng cách từ A đến mp : d(A, )=AK AH, skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Do d(A, ) lớn H K mp(A,d) mp n MA , (9;0;9) Ta tìm VTPT mp(A,d) u d Mặt phẳng chứa d đồng thời mp mp(A,d) nên ta tìm VTPT mp n là u : n, (9;36;9) d Vậy phương trình mp là: 9x -36y +9z -27 = x - 4y +z – = Một toán có nhiều cách giải, song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Với tốn có đặc thù riêng, người giải cần lựa chọn phương pháp giải thích hợp, để mang lại hiệu Đứng trước thực trạng trên, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Được động viên, giúp đỡ q thầy giáo tổ Tốn Tin, Ban Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Giám hiệu Trường THPT Lý Tự Trọng, tơi mạnh dạn viết SKKN: “TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN” Thuận lợi - Đa số học sinh nắm tốt kiến thức môn hình học giải tích khơng gian - Đa số học sinh chịu khó, chịu nghiên cứu dạng tập - Được động viên BGH, góp ý nhiệt tình q thầy giáo tổ Tốn – Tin Trường THPT Lý Tự Trọng Khó khăn - Học sinh khơng mạnh mơn hình - Khơng có nhiều thời gian để đưa đầy đủ dạng tập cực trị - Đặc điểm phần cực trị kiến thức khó hiểu, gây khó khăn việc dạy Ý nghĩa tác dụng giải pháp Với toán, việc định hướng giải hiệu giúp cho người giải tiết kiệm thời gian, hạn chế việc vận dụng kỉ phức tạp, mà cịn vấn đề mang tính khoa học tư duy, cách suy nghĩ Với SKKN“ Tính hiệu lời giải tốn cực trị hình học giải tích khơng gian” Với việc định hướng lời giải cho loại toán cực trị, mang lại nhiều lợi ích cho người giải Người giải chuyển từ tốn khó, phức tạp thành toán dễ mang lại hiệu cao - Phạm vi nghiên cứu đề tài - Học sinh lớp 12A1, 12A2 Trường THPT Lý Tự Trọng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu hướng giải tốn cực trị hình học giải tích khơng gian hiệu - II Phương pháp tiến hành Cơ sở lý luận Trong thực tế dạy học, yêu cầu người giáo viên trang bị cho học sinh phương pháp giải tốn cực trị, mà cịn phải biết chọn lọc hướng giải toán cho ngắn gọn, đảm bảo tính hiệu Tránh trường hợp sử dụng cách giải phức tạp làm cho học sinh rối tính hiệu không cao Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên, không áp đặt kiến thức nâng cao Trong sáng kiến kinh nghiệm này, chủ yếu tập trung vào việc phân tích tìm lời giải tốn tính hiệu phương pháp lựa chọn, cho mang lại kết ngắn gọn hiệu Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Các biện pháp tiến hành Phương pháp phân tích tổng hợp Phương pháp thực nghiệm Phương pháp toán học để xử lý số liệu thu *) Số liệu thống kê trước thực đề tài Tiến hành điều tra mức độ hiểu biết học sinh lớp 12a1, 12a2 Trường THPT Lý Tự Trọng “Tính hiệu lời giải tốn cực trị hình học giải tích khơng gian” năm học, số lượng học sinh biết giải hiệu tốn thể qua bảng sau: Số Khơng biết Biết giải Biết giải lượng giải chưa hiệu Năm học Lớp hiệu toán 2010- 2011 12a1+ 12a2 95 83 87,4% 12 12,6% 0% 2011 - 2012 12a1+ 12a2 95 79 87,2% 16 12,8% 0% B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nhiệm vụ giải pháp đề tài Dạng toán cực trị hình học giải tích khơng gian nói chung đa dạng phong phú Mỗi toán lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn phương pháp giải hiệu quả, đôi với việc vận dụng linh hoạt kiến thức học, mang lại kết cao giải, mà làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Sáng kiến kinh nghiệm mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo học sinh để mang lại hiệu cao giải tốn cực trị hình học giải tích khơng gian Cũng nhằm mục đích giúp cho em tự tin hơn, trước bước vào kì thi quan trọng cuối cấp THPT Để đạt kết cao, học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan Các toán cực trị liên quan đến tìm điểm thỏa điều kiện cho Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an trước Bài toán 1: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d hai ñiểm phân biệt A, B khơng thuộc d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB có giá trị nhỏ Lời giải: TH1: Đường thẳng AB đường thẳng d đồng phẳng Phương pháp làm giống hình học phẳng TH2: Đường thẳng AB đường thẳng d khơng đồng phẳng - Khi có hai khả sau: Nếu d AB vng góc với Ta làm sau: - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, B vng góc với d - Tìm giao điểm M đường thẳng d mp(α) - Kết luận M điểm cần tìm Nếu d AB khơng vng góc với Ta làm sau: Đưa phương trình đường thẳng d dạng tham số, viết tọa độ M theo tham số t - -Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB -Tính giá trị nhỏ hàm số f(t), từ suy t -Tính tọa độ M kết luận Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bình luận phương pháp: +) Trong trường hợp đường thẳng AB đường thẳng d khơng đồng phẳng khơng vng góc nhau, ta sử dụng phương pháp phân tích để xác định vị trí điểm M cần tìm, tiến hành tìm tọa độ điểm M cách làm khó, tổng hợp nhiều kiến thức, phức tạp Phương pháp tiến hành giải tìm t để f(t) = MA + MB nhỏ cách giải ñơn giản mang lại hiệu +) Nghệ thuật toán xử lý tìm t để hàm số f(t) = MA + MB nhỏ Tơi vận dụng phương pháp chuyển từ hình học khơng gian hình học phẳng, tiến hành giải Bài giải ngắn gọn ñộc ñáo mà qua thí điểm, học sinh tiếp cận dễ dàng, hiệu mà sai sót Lớp tốn tơi trình bày cách cho dễ so sánh thấy ñược ưu việt việc chuyển hình học phẳng Ví dụ 1: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d : x-1= y + 2z-3 = 2 hai ñiểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3) Hãy tìm điểm M d cho MC + MD ñạt giá trị nhỏ Lời giải: x 1 2t Đường thẳng d có phương trình tham số : 2 2t z 3 t y Suy đường thẳng d qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp Với CD (7;5;4) u (2; 2;1) Ta có u CD = 14 -10 – = d CD Xét mặt phẳng (P) qua CD vng góc với đường thẳng d mp(P) qua điểm C(-4; 1; 1) u (2; 2;1) làm vectơ pháp tuyến nhận Phương trình mp(P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = hay 2x – 2y + z + = Điểm M thuộc đường thẳng d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ M giao điểm d mp(P) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: + 4t + + 4t + + t + = 9t + 18 0 t 2 Vậy M(-3; 2; 1) MC + MD đạt giá trị nhỏ bằng: 2 17 Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho hai ñiểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0) Hãy tìm điểm M trục Ox cho MA + MB ñạt giá trị nhỏ Lời giải: Ox vtcp i có i qua O(0; 0; 0), đường thẳng AB có AB (1;1; (1;0; vtcp 2) 0) AB 1 0 Ox đường thẳng AB không vng góc Ta có [i, AB]OA = (0; 2; 1).(3; 0; 2) = + +2 = nên đường thẳng AB đường thẳng Ox chéo x t Phương trình tham số đường thẳng y 0 Ox: z 0 M Ox M(t;0;0) S = MA + MB (t -3)2 0 4 (t -2)2 1 0 = (t = 4 -3)2 (t -2)2 1 Ta phải tìm t cho S đạt giá trị nhỏ - Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét điểm M(t; 0) Ox hai điểm P(3;-2), Q(2; 1) S = MP + MQ Ta thấy P, Q nằm hai bên so với Ox Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trong mp Oxy phương trình đường thẳng PQ : 3x + y – = S = MP + MQ nhỏ M giao điểm Ox PQ3t - = Hay 7 t Vậy M( ;0;0) điểm cần tìm 3 Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp giải để giải dạng toán : “ Cho điểm A, B đường thẳng d, tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d để MA đạt giá trị lớn nhất” MB Cách khác: Sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm tọa độ điểm M = Từ biểu thức S (t -3)2 4 (t -2)2 1 (t -3)2 4 Ta xét hàm số f t (t -2)2 ( t ℝ ) 1 Có đạo hàm f t f t 0 t 3 t 2 t 32 4 t 22 1 t 3 t 32 4 t 2 t 22 1 (t 3) 0 (t 2) (*) t 3 4 t 2 1 với điều kiện ≤ t ≤ ta có: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (*) 2 t 3 [t 2 1] 2 t 2 [t 3 4] t 1[2;3] t 2 t 3 4 t 2 t 3 2(t 3 2(t 2) 2) t Bảng biến thiên hàm số f(t) : t f’(t) - + 38 10 Từ bảng biến thiên suy f t 7 f = Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ M( 38 10 , đạt 38 10 ; 0; 0) t , tức 3 Nhận xét: Qua cách tiến hành phương pháp chuyển xét toán hình học phẳng dễ, ngắn gọn, hiệu quả, người giải không cần dùng kiến thức phức tạp, không cần kỉ cao Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cách giải thứ dùng công cụ đạo hàm, địi hỏi người giải phải có kỉ cao hơn, cách giải dài dòng phức tạp nhiều, khơng có sáng tạo, tính hiệu khơng cao Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng z d : xyvà hai ñiểm 111 A 0;0;3, B 0;3;3 Tìm tọa độ điểm M d sao cho: 1) MA MB nhỏ 2) MA MB lớn Lời giải: x t 1) Cách 1: Chuyển phương trình d dạng tham số d : z t Gọi tọa độ Ta có P M d có dạng y t M t;t;t , t ℝ P MA 4t 6 t 2 t 2 3 t 2t t 2 t 2 3 t 2 MB 3t2 6t 9 t 2t 3 3t2 12t 18 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an P 2 t 1 t 2 2 2 Trong mặt phẳng Oxy xét N H ) K (2; ) điểm t;0 (1; Ox ; Rõ ràng H K điểm nằm hai bên trục Ox Ta có P NH 3HK NK Dấu “=” xảy H , N thẳng ,K hàng N HK Ox Đường thẳng HK có vectơ HK phương (1;2 2) nên có vectơ pháp tuyến n 2; qua H nên có phương trình tổng qt 1 2 x 0 2 2x y 3 0 11y Tọa độ giao điểm N đường thẳng HK trục Ox nghiệm hệ 2 2x y 3 20 x y 0 y 0 N ;0 Vậy 2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vậy P HK 3 Đạt 2 N t;0 N ;0 t Suy MB 3 3 M ; ; nhỏ MA 2 2 Cách 2: Sử dụng đạo hàm để tìm tọa độ điểm M Làm cách 1, đến đoạn 2 t 1 t 2 2 P 2 Xét hàm số t 12 2 f t t 2 2 , (t R) ; lim f (t) với t Ta có f t t 1 t 12 2 f t 0 2 Xét hàm t 1 t 2 t 22 2 t 2 t 1 (*) t 1 2 t g u 2 t 2 t 1 2 u 2 , số Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an t 2 2 u2 2 Ta có g u u2 u 2 u 23 0 u u2 2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn nên hàm số g(u) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an u2 2 đồng biến ℝ có Do từ (*) ta g t 1g t 2 t 1 t 2 2 t Bảng biến thiên hàm số f (t): t f t f t Từ bảng biến thiên suy f t 3 f 3 2 Vậy MA 3 ; ; đạt t , M MB3 tức 2 2 Cách 3: Bước : Tìm tọa độ H H’ hình chiếu A, B lên d Bước : Tính AH BH’ Bước : Tìm M thỏa mãn AH MH MH ' =>ycbt BH ' Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ( Trong B’ điểm cho B’H’ = BH’, A, B’ khác phía với d A, B’, d đồng phẳng) Nhận xét: Với cách giải tốn trở nên phức tạp, học sinh tiếp nhận khơng tự nhiên mang tính áp đặt, lời giải khó hiểu 2) Tương tự câu 1), ta tính MA MB 12 t 4t 6 t MA 2t 3 MB t t 2 2 2 Trong mặt phẳng Oxy xét N H 1; ; K 2; điểm t;0 Ox ; Khi MA NH NK MB Nhận thấy H, K nằm phía so với trục Ox Suy MA NH 3HK MB NK Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài tốn vơ nghiệm KH || Ox Nhận xét: Rõ ràng với phương pháp qui hình học phẳng giúp người giải, giải toán hiệu quả, cho kết ngắn gọn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 4: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d : x 1 y 2 z 1 2 hai ñiểm A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0) Hãy tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ Lời giải: x 1 2t Đường thẳng d tham số có phương trình y 2 2t z 1 t qua điểm N(1; 2; 1), có u (2; 2;1) AB (2;3; 1) vtcp Ta có u CD = + – = ≠ d khơng vng góc với AB [u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – = d AB chéo - Chu vi tam giác MAB 2p = 2(MA + MB + AB), AB không đổi nên 2p đạt giá trị nhỏ MA + MB đạt giá trị nhỏ Xét điểm M d M(1 2t;2+2t;1 t) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ Xét (2t)2 (2t 2)2 (t 1)2 f t MA + MB = (2t 2)2 (2t 1)2 t f t = 5 9t 12t (3t 2)2 1 = 9t 6t 5 Đặt x = 3t, ta biểu thức: g(x) = 1 (3t 1)2 4 x 12 4x 22 Từ tốn tìm t để f(t) nhỏ nhất, chuyển tốn tìm x cho g(x) nhỏ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xét N(x;0) Ox, điểm P(-2;1), Q(1;2) g(x) = NP + NQ Ta thấy P; Q nằm hai bên Ox đường thẳng PQ: x - y + = g(x) = NP + NQ nhỏ N giao điểm Ox đường thẳng PQ x = -1 suy t = -1/3 M( ; ; ) 3 Cách khác: Có thể sử dụng cơng cụ đạo hàm để giải tìm t, suy tọa độ điểm M Nhận xét: Một lần nhận thấy ưu việt khâu xử lí tốn hình học phẳng Trong dạng tốn này, ta dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm t việc làm phức tạp, người giải phải có nhiều kỉ Giải phương pháp đạo hàm khó phải giải phương trình f’(t) = 0, khó khăn học sinh có học lực Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x 2 2t (t y R) A(1;1;3), , 1 t , z 1 B(1;2;2) tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho: a) MA +MB bé b) MA MB lớn Bài toán 2: Trong KG Oxyz, cho n ñiểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1 + k2 + …+ ñường thẳng d ( thuộc mp(α)) cho: k2 MA2 kn MAn có giá trị nhỏ a) k1 MA1 b) T = k1122 MA2 k MA2 k MA2 ñạt giá trị nhỏ giá trị lớn nn Phân tích tìm lời giải: 1) Nếu tốn thuộc loại: Tìm M thuộc đường thẳng Cách 1: Ta chuyển đường thẳng dạng tham số t chuyển At Bt C toán dạng: f (t) f (t) ( f (t) At Bt C ) ta nhóm lại dạng: ( f (t) A(t m)2 n ) từ ta suy GTLN A(t m)2 n GTNN tìm t suy tọa độ điểm M Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cách 2: thỏa: +) Dựng điểm I k IA1 + k IA + + k IA 0 2 n n +) Đi tìm tọa độ điểm M thỏa yêu cầu toán Cách làm khơng tự nhiên, áp đặt làm khó hiểu Trong sáng kiến kinh nghiệm tơi phân tích cách ưu việt cách để học sinh chọn phương pháp giải tối ưu 2) Nếu tốn thuộc loại: Tìm M thuộc mặt phẳng Để tìm điểm M, từ biểu thức người ta cho ta tìm điểm I cố định, ta vận dụng điểm I cố định để tìm M Trong toán điểm I phải thỏa: k1 IA1 + k2 IA2 + + k n IAn 0 *) Lưu ý với câu b) T = k MA2 k MA2 k MA2 1 = 2 n = n (k1 + + kn )MI + k1IA1 k2IA2 knIAn + MI(k1 IA1 + + kn IAn ) = kMI2 + k IA2 k IA2 k IA2 1 2 n n - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, biểu thức T đạt giá trị lớn MI nhỏ *) Từ nhận xét trên, giáo viên chủ động điều chỉnh k để Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an tập tìm M cho biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất, lớn mà mong muốn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an d : x- Ví dụ 1: Trong KG Oxyz, cho đường thẳng = A 0;1;5, B 0;3;3 Tìm điểm tọa ñộ ñiểm M d cho: 1) MA + MB có giá trị nhỏ 2) MA - 4MB có giá trị nhỏ y+1z =và hai điểm 1 Lời giải: 1) Cách 1: Phương trình tham số đường thẳng d: Với M thuộc d tọa độ M có dạng M x 4 (4 +t; -1+t; t) t (t R) y 1 t ; z t MA MB 12t 24t 164 12(t 1) 152 152 Vậy MA + MB nhỏ t = hay M(5;0;1) Cách 2: Gọi điểm I thỏa IA + IB = I trung điểm đoạn thẳng AB I(0; 2; 4) Khi MA MB + MI + IA + MI 2 MI có giá trị nhỏ IB MI nhỏ M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d x = + t Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Đường thẳng d có vtcp tham số d: u = (1; 1; 1) , phương trình y = -1 + t z = t Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d IM.u 0 hay 3t – = t = Vậy M( 5; 0; 1) Nhận xét: Rõ ràng với cách giải số 1, lời giải tốn tự nhiên Tính hiệu cao cách giải Với cách giải giáo viên cần cho học sinh kỉ thuật nhóm dạng bình phương biểu thức bậc Phân tích ý 2: Nếu áp dụng cách vào giải ý tốn, điểm J tìm có tọa độ lẻ, việc tìm tọa độ hình chiếu điểm J khó khăn Nếu dùng cách để giải ý lời giải cụ thể sau: 2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = Ta có: (0 –x; –y; – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0) =>x = 0; y = 11 ,z= , J(0; 11 ; ) 3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Khi MA 4MB - MJ+ JA- 4(MJ 3 3 MJ có giá trị nhỏ JB) MJ M hình chiếu vng góc J lên đường thẳng d 14 7 JM t 4;t ;t Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), M vng hình chiếu góc J lên đường thẳng d JM.u 0 hay 3t – = t = Vậy M( 5; 0; 1) MA - 4MB có giá trị nhỏ Vận dụng cách để giải ý toán xem tập Bài tập tương tự: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(1;4;2), B(-1;2;4) đường thẳng : x 1 1 y 2 z a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mp(OAB) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA + MB2 nhỏ ( Trích đề thi đại học khối D năm 2007) Bài 2: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d y hai điểm x z : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an A0;0;3 B 0;3;3 Tìm tọa độ M , điểm d 1) MA 1 cho: nhỏ 2MB2 2) MA 3MB ĐS: 1) nhỏ 5 M ; ; 2) M 3;3;3 2 2 Bài 3: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: x-1 y-2 = = z-3 điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M d cho: 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ ĐS: 1) M( ; ; ) 3 2) M( ;1; ) 2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = ba ñiểm A 1;0;1, B -2;1;2, C 1;-7;0 Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho : 1)MA + MB MC có giá trị nhỏ 2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ Lời giải: 1) Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = G trọng tâm tam giác ABC G(0;-2;1) Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC = MG có giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc G lên mặt phẳng (α) Đường thẳng MG n làm vectơ phương nhận (2;2;3) x = 2t Phương trình tham số đường thẳng y = -2-2t MG: z = 1+3t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 17t 17 0 t 1 Vậy với M(-2; 0; -2) MA + MB MC có giá trị nhỏ 2) Gọi I(x; y; z) điểm thỏa IA -2IB 3IC 0 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0) x = 4; y = - 23 ;z=- , I(4; 23 ; 3 ) 2 _ Ta có: MA -2MB 3MC = MI+IA -2(MI IB) 3(MI IC) = 2MI có giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (α) x = 4+2t Phương trình tham số đường thẳng y = 23 -2t MI: +3t z= Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 23 2(4 2t) 2( 2t) 3( 3t) 10 0 17t 73 73 0 t 245 ; ; Vậy với M( 135 ) 34 -2 3 đạt giá trị nhỏ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 17 34 17 MA MB MC Ví dụ 3: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = ba ñiểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 2 1)Tìm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ 2 2)Tìm M mặt phẳng (α) cho MA - MB – MC có giá trị lớn Lời giải: 1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = I trung điểm AB 3 I(2; ; ) Ta có: MA2 MB2 = IA2 Do IA2 + (MI IA)2 + +(MI + IB)2 + +2MI +2MI(IA + IB) = + +2MI2 IB2 IB2 IA2 + không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI2 có giá trị IB2 nhỏ nhất, hay M hình chiếu vng góc I lên mp(α) Đường thẳng IM qua điểm I có vtcp u nα (1; 2; 2) x = 2+t Phương trình tham số đường thẳng MI: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an + 2t y = +2t z= Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: t 2( 1 3 2t) 2( 2t) 7 0 9t 9 0 t 2 M(1; ; ) 2 Vậy với M(1; ; ) MA2 + MB2 có giá trị nhỏ Nhận xét: tam Có thể sử dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến giác (MA2 + MB2 = AB 2MI2 + ) để biện luận MA2 + MB2 nhỏ 2) Gọi J(x; y; z) điểm JA JB JC 0 thỏa Hay (1 x; y; 1 z) (3 x;1 y; 2 z) (1 x; 2 y;1 z) (0; 0; 0) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 3 x 0 3 y 0 J(3; 3; 0) z 0 Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + - (MJ + JB)2 (MJ + JC)2 JA) J A JB JA2 JB Do JA2 JB JC MJ + JB JC) 2MJ(JA 2 JC MJ 2 JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn MJ nhỏ hay M hình chiếu J mặt phẳng (α) Đường thẳng JM qua điểm J có nα (1; 2; 2) vtcp x = 3+t Phương trình tham số y = -3+ 2t MJ: z = 2t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an t 2(3 2t) 2.2t 7 0 9t 4 0 t M( 23 ; 35 ; ) 9 23 35 Vậy với M( ; ; MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn ) 9 Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz, cho mp P: x Tìm y z 4 0 điểm MA2 3MB2 nhất, biết 1) nhỏ A 1; 2;1 , MA2 3MB2 nhỏ biết 2MC 2) M cho: P B 0;1; nhất, A 1; B 0;1; , C 0;0;3 2;1, MA 3MB nhỏ 4MC biết 3) nhất, A 1; B 0;1; , C 0;0;3 2;1, Bài tốn 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 chéo Tìm điểm M d1, N d2 chân đoạn vng góc chung hai ñường thẳng Lời giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an - Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham số - Lấy Md1 Nd ( tọa độ theo tham số) Giải hệ phương MN.u1 0 MN.u2 trình phương d1 và 0 d2 ) - u1, véctơ ( u2 - Tìm tọa độ M, N kết luận x 2 t z 2 Ví dụ 1:Trong KG Oxyz,cho ñường thẳng d: y 4 t hai ñiểm A(1;2; 3), B(1; 0; 1) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Phân tích tìm lời giải: Gọi MH đường cao tam giác MAB Rõ ràng đoạn AB có độ dài không đổi, nên SMAB nhỏ MH nhỏ nhất, mà AB d chéo Vậy MH nhỏ MH đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo AB d -Bài toán giải dựa lập luận Lời giải: - Lấy điểm M đường thẳng d, gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng AB Tam giác MAB có diện tích S = MH nhỏ - AB.MH đạt giá trị nhỏ nhất, hay MH đoạn vuông góc chung đường thẳng AB đường thẳng d Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u (1;1;0) Đt AB qua A(1; 2; 3) AB (0; -2;-2) = 2u với u véc tơ phương đường thẳng AB (0;1;1) x 1 Phương trình tham số đường thẳng y 2 t ' AB z 3 t ' M(2 + t; 4+ t; -2) d ,H(1; 2+ t’;3+t’) AB , MH ( -t -1; t’ – t -2; t’ +5) MH.u 0 Ta có t '2t 3 t ' 3 2t 't 3 t 3 0 MH u1 Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) MH = SMA Diện tích B AB.MH , AB = 2 x 0 Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho đường thẳng d: y t Trong mặt cầu z 2 t tiếp xúc với hai ñường thẳng d trục Ox, viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ Lời giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d M, tiếp xúc với Ox N - Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, mặt cầu (S) có đường kính nhỏ 2R = MN MN nhỏ hay MN đoạn vng góc chung d Ox - Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có u (0;1; 1) vtcp Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0) [ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 0 nên d Ox chéo Với M(0; t; 2- t)d, N(t’; 0; MN ( t’; -t; t – 2) 0)Ox MN.u 0 t t 2 t 1 0 Ta có i 0 t ' 0 MN t ' 0 Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; 1 MN ; ) , bán kính R = 2 2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Phương trình mặt cầu (S): 1 x2 ( y )2 (z )2 2 Các toán cực trị liên quan đến vị trí đường thẳng, mặt phẳng Bài tốn 1: Trong khơng gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A ñường thẳng ∆ khơng qua A Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ cho khoảng cách từ A ñến mp(α) lớn Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (α), K hình chiếu vng góc A lên ∆, K cố định, đoạn AK khơng đổi Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK, d(A; (α)) lớn H ≡ K, mp(α) mặt phẳng qua ∆ vng góc với AK Hay mp(α) qua ∆ vng góc với mp(∆, A) *) Dựa vào tốn tổng quát trên, ta áp dụng vào giải chi tiết ví dụ 1, ví dụ sau: Ví dụ 1: Trong KG Oxyz, cho ba ñiểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) ñi qua hai ñiểm A, B cách C khoảng lớn Lời giải: Mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B cách C khoảng lớn mp(α) qua hai điểm A, B vng góc với mp(ABC) Ta có: AB (1; 1; 1) , AC (2; 3; 2) mp(ABC) có vectơ pháp n [AB, AC] (1; 4; 5) tuyến mp(α) có vectơ pháp n [n, AB] (9 6; 3) 3(3; 2;1) tuyến Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Phương trình mp(α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 3x + 2y + z – 11 = Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho hai ñường thẳng d : x 2 y 1 z 1 1 2 , d : 2 x y 3 4 z 1) Chứng minh hai ñường thẳng song song với 2) Trong mặt phẳng chứa d1, viết phương trình mặt phẳng (α) Lời giải: 1) Đường thẳng d1 qua M1(2; 1; -1), u (1; 2; 2) có vtcp Đường thẳng d2 qua M2(0; 3; 1), có u (2; 4; 4) vtcp Ta thấy u 2u d M1 nên hai đường thẳng song song với Xét mp(α1) mặt phẳng chứa d1 d2 mp(α1) có vectơ pháp tuyến 2) n1 [u1 , M1M ] (8; 2;6) 2(4;1;3) 2n Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Khoảng cách đường thẳng d2 mp(α) lớn mp(α) phải vng góc với mp(α1) Do mp(α) nhận [u1 , n ] (8; 11; 7) vectơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1) Phương trình mp(α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = hay 8x – 11y – 7z – 12 = Bài toán 2: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α) điểm A thuộc mp(α), điểm B khơng thuộc mp(α) Tìm đường thẳng ∆ nằm mp(α) qua A cách B khoảng lớn nhất, nhỏ Lời giải: Gọi H hình chiếu B lên đường thẳng ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn A ≡ H hay ∆ đường thẳng nằm mp(α) vng góc với đường thẳng AB Gọi K hình chiếu vng góc B lên mp(α) đó: d(B; ∆) = BH ≥ BK Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ H ≡ K hay ∆ đường thẳng qua hai điểm A, K Bình luận phương pháp: Bài tốn loại giải cách, dùng phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được, nhiên tính hiệu không cao, lời giải dài cần nhiều kỉ giải Minh chứng cách giải ví dụ sau: Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 2 y z 1 0 , ñiểm A(1; 0;0) ; B Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Gọi VTCP đường thẳng d Lời giải: là: ud (a;b;c) a b2 c 0 d (P) ud nP c a 2b 0 ( Với vectơ pháp tuyến mp(P)) nP (1;2 1) AB (1;2 ud ,AB ud, AB(2a 7b; 2a 2b; 2a b) 3) ; ud => d (B, d ) 2a 24ab 54b2 2a2 4ab 5b2 − TH1: Nếu b = d (B, d ) 0 ,Đặt t 12t 24t 54 − TH2: Nếu b a d (B, d ) 2t 4t 5 f (t) ; b Xét hàm số 12t2 24t 12t 24t 54 f (t) 54 , (t R) ; lim 6 với t 2t 4t 5 2t2 4t 5 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta có 96t 962 f '(t) 2t 4t 5 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bảng biến thiên hàm số f(t) t f t -1 + - 14 f t 6 Từ BBT => d (B, d ) 14 So sánh TH1 TH2 => d (B, d 14 ) +) Min(d (B, d )) 6 b chọn a =1 => c= 0 x 1 t => Phương trình đường thẳng cần tìm y 0 : z t +) M ax(d (B, d )) 14 a b chọn b = -1 => a =1 , c =-1 x 1t => Phương trình đường thẳng cần tìm : y t z t Nhận xét: Bài toán loại này, giải phương pháp ta thấy dài dịng, tốn trở nên phức tạp, người giải biết lập luận tí lời giải tập dạng trở nên ngắn gọn hiệu nhiều, minh họa lời giải ví dụ sau: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = ñiểm A (-3; 3; -3) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mp(α), qua ñiểm A cách ñiểm B(2; 3; 5) khoảng : 1) Nhỏ 2) Lớn Lời giải: Ta thấy mp(α) có vectơ pháp n (2; 2;1) Gọi K hình chiếu tuyến B lên ∆, d(B; ∆) = BK 1) Gọi H hình chiếu vng góc B lên mp(α) x 2 2 t Phương trình đường thẳng y 3 2t BH: z 5 t Tọa độ điểm H ứng với t nghiệm phương trình: 2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + + t + 15= t hay H(-2; 7; 3) 2 Ta thấy d(B; ∆) = BK BH, d(B; ∆) nhỏ đường thẳng ∆ qua hai điểm A, H AH (1; vectơ phương đường thẳng ∆ 4;6) Phương trình đường thẳng ∆: x+3 y-3 z +3 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2) Ta thấy d(B; ∆) = BK AB, d(B; ∆) lớn ∆ đường thẳng nằm mp(α), qua A vng góc với đường thẳng AB ∆ có phương vectơ u [AB, n] (16;11; 10) Phương trình đường thẳng ∆: x+3 16 Bài tập tương tự: y-3 z +3 10 11 Bài 1: Trong KG Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm C(2;1; 3) vng góc với đường thẳng d: 1) x-3 y+2 z +5 cách điểm D(4; -2; khoảng lớn (Đs: x-2 y+1 z -3 ) ∆: 8 Bài 2: Trong KG Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) đường thẳng x 1 t d: y 0 z t a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua đường thẳng d B b) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua B cắt đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆1 nhỏ c) Viết phương trình đường thẳng ∆2 qua B cắt đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆2 lớn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nhận xét : Có mở rộng tốn sau : +) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cách B khoảng thỏa mãn điều kiện Bài toán 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ñiểm A, B mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với mp sao cho khoảng cách từ B ñến ñường thẳng d lớn Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng d, khoảng cách từ B đến đường thẳng d:d(B,d)= BH BA = const, d(B,d) lớn H A, suy d AB Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Như đường thẳng d qua A song song với mp đồng thời d AB, từ dễ dàng xác định phương trình đường thẳng d Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ñiểm A(1;1;-1), B(2;1;0) mặt phẳng A : x+2y-z+3 = Viết phương trình đường thẳng d qua song song với mp cho khoảng cách từ B ñến ñường thẳng d lớn Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng d, khoảng cách từ B đến d: d(B,d)= BH BA = const, d(B,d) lớn H A, suy d AB VTPT là: song với mp mp n (1 BA(1;0;1) Đường thẳng d song ;2;1) , đồng thời d AB VTCP: nên đường thẳng d có u n , BA (2;2;2) Vậy phương trình đường thẳng d: x 1 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an y 1 2 z 1 2 Bài toán 4: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α) ñiểm A thuộc mp(α), ñường thẳng d cắt mặt phẳng (α) khơng qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm mp(α), qua A cho khoảng cách ∆ d lớn Lời giải: Gọi d1 đường thẳng qua A song song với đường thẳng d, B giao điểm đường thẳng d với mp(α) Xét mp(P) mặt phẳng (d1, ∆), H I hình chiếu vng góc B lên mp(P) d1 Ta thấy khoảng cách đường thẳng ∆ đường thẳng d đoạn BH BH ≤ BI nên BH lớn I ≡ H, đường thẳng ∆ có u [BI, vtcp n] Nhận xét: Với tốn loại ta tập trung tìm vectơ phương đường thẳng ∆, tốn giải trọn vẹn Ví dụ 1: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d: x-1 y-2 21 z -3 , mặt phẳng (α): 2x – y – z + = ñiểm A( -1; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mp(α Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời giải: u (1; 2; -1), mp(α) có Đường thẳng d có vtpt n = (2; -1; -1) vtcp x 1 t Phương trình tham số đường thẳng y 2 2t d: z 3 t Gọi B giao điểm đường thẳng d mp(α), tọa độ B ứng với t nghiệm phương trình: 2+ 2t – – 2t – 3+ t + = t = -1 B(0; 0; 4) Xét d1 đường thẳng qua A song song với đường thẳng d x 1 t Phương trình tham số đường thẳng y 1 2t d1: z 1 t Gọi I hình chiếu vng góc B lên đường thẳng d1 I(-1 + t; + 2t; – t), BI (-1 + t; + 2t;-3– t) Ta có BI.u 0 -1 + t + 2(1 + 2t) –(-3– t) = 5 ; t = I ; BI Ta ; ; 3 , chọn k (5;1;7) 3.BI 3 Đường thẳng ∆ có vtcp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 3 3 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an u k; n (6;19;7) Phương trình đường thẳng ∆: 19 x 1 y 1 z 1 7 Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, ñiểm A(1; -1; 2) ñường thẳng ∆: x+1 ==yz-4 Trong ñường thẳng ñi qua 13 A song song song với mp(P), viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách ñường thẳng d ñường thẳng ∆ lớn Lời giải: Mặt phẳng (α) qua A song song với mp(P) có phương trình: x + y – z + 2= => đường thẳng d nằm mp(α) Đường thẳng ∆ có u (2;1;-3), mp(α) có n (1;1;-1) vtcp vtpt x 1 2t Phương trình tham số đường thẳng y t ∆: z 4 3t Gọi B giao điểm đường thẳng ∆ mp(α), tọa độ B ứng với t nghiệm phương trình: -1+ 2t + t – (4- 3t) + = t = B(0; 2 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn ; ) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Xét ∆1 đường thẳng qua A song song với đường thẳng ∆ x 1 2t Phương trình tham số đường thẳng y 1 t ∆1: z 2 3t Gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ∆1 H(1+2t; -1+t; 2– 3t), BH (1 + 2t; t -3t) ; Ta có BI.u 0 (2+4t) + (t0 t = 5 ) +( 1 1 +9t) = 23 BH ; = ; 7 14 14 10;23; u1 1 14 14 Đường thẳng d có u d u1 , n= (24; 9; 33) vtcp Phương trình đường thẳng d x 1 y 1 z 2 : 24 33 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài tốn 5: Trong khơng gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñường thẳng và d Viết phương trình mp chứa đường thẳng và tạo với đường thẳng d góc lớn Lời giải: Gọi d’ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt đường thẳng tại A đó, , d = = ( , d ' = const ( ), d ' ), d Lấy B khác A đường thẳng d’ Gọi H, K hình chiếu B lên mp và lên đường thẳng Ta có: BH BK BH BK sinBAHsin BAK BAHBAK Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an AB AB Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mà BAK= d ' , = d , =const BAH = d ' , ( ) = d ) ,( Vậy d , ) lớn BH = BK ( mp( ,d’) H K mp Như mp chứa đồng thời mp mp( ,d’) Từ dễ dàng xác định phương trình mp Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng : x 1 y 1 2chứa z 1 1 d: x 1 y 1 z 1 Viết phương trình mp Lời giải: Đường thẳng qua M(-1;1;-1) có vtcp : N(-1;-1;1) vtcp: u (2;2;1) , đường thẳng d qua có v (2;3;2) Gọi d’ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt đường thẳng A Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lấy B khác A đường thẳng d’ Gọi H, K hình chiếu B lên mp và lên đường thẳng Ta có: BH BK BH BK sinBAH sinBAK BAHBAK AB AB Mà BAK= d ' , = d , =const BAH = d ' , ( ) = d , ) ( Vậy d , ) lớn BH = BK ( mp( ,d’) H K mp n u, v (7;6;2) + VTPT mp( ,d’) là: + Do mp chứa đồng thời mp mp( ,d’) nên VTPT mp là: u n , u (2;11;26) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vậy phương trình mp là: 2x +11y +26z + 17 = Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho ñường thẳng d: x-2 y+1 z-1 211 hai ñiểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ñường thẳng AB tạo với Lời giải: (Lập luận tương tự ta kết ngắn gọn sau) Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có u (2; AB (1;1; 2) vtcp 1; 1) , => n = [u, AB] (3; 3;3) 3(1;1; 1) Mặt phẳng (α) qua điểm A nhận [n, AB] (3; 3;0) làm vectơ pháp 3(1; 1;0) tuyến Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = hay x – y – = Bài toán 6: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α) ñiểm A thuộc mp(α), ñường thẳng d cắt mp(α) Tìm ñường thẳng ∆ nằm mp(α)( ∆//(α)), ñi qua A tạo với d góc lớn nhất, nhỏ Lời giải: Vẽ đường thẳng d1 qua A song song với đường thẳng d Trên d1 lấy điểm B khác A điểm cố định, gọi K, H hình chiếu vng góc B lên mp(α) đường thẳng ∆ Ta có góc (d, ∆) = BˆAH Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an sin(d, ∆) = sin BˆAH = AB BH ≥ BK Do góc AB (d, ∆) nhỏ H ≡ K hay ∆ đường thẳng AK Góc (d, ∆) lớn 900 vtcp ∆ d đường thẳng ∆ có u [ud , n] Nhận xét: Ta sử dụng cơng thức tính góc để tiến hành giải toán này, nhiên lời giải tốn dài, tính ưu việt khơng cao, tham khảo cụ thể phương pháp giải qua ví dụ sau: Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng d ñi qua A (1;-1;2),song song với mặt d ' : x 1 y 1 z phẳng (Q) : 2x y z 3 0 , ñồng thời d tạo với đường thẳng góc lớn , nhỏ Lời giải: ud Gọi VTCP đường thẳng d (a;b;c) a là: b c 0 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 22 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an d / /(P) ud nQ 0 c u (1; 2; 2) ' 2a b ; d Gọi góc hai đường thẳng d d’ ; 00 900 4b (5a 4b)5a 5a2 4ab 2b2 => cos() 5a2 4ab 2b2 − TH1: Nếu b = cos() − TH2: Nếu 0 ,Đặt t cos() (5t 4) f (t) ; b a 21 5t 4t 3 b 2 Xét hàm số f (t) (5t 4) t lim f (t) 5 , R t ; 5t 4t 2 f '(t) (5t 4t 2)2 100t 60t 16 ; Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an t f '(t) 0 t Bảng biến thiên hàm f(t) t f t -1/5 + 4/5 - + 25 f t 5 Từ BBT ta suy cos() So sánh TH1 TH2 => cos() +) Min(cos()) 0 => a 900 max b => Phương trình đường thẳng cần tìm x 1 y 1 z 2 : +) M ax(cos()) => b a 5 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an => Phương trình đường thẳng cần tìm x 1 y 1 z 2 : 5 Nhận xét: Với cách giải toán tương đối phức tạp, sử dụng đạo hàm tính hiệu khơng cao Ta áp dụng phương pháp giải cho toán tổng quát vào giải tập dạng minh họa cụ thể qua ví dụ sau, để thấy tính hiệu phương pháp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 2: Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – = 0, ñiểm A(1; 2; -2) ñường thẳng d: x+2 y-1 z -3 1 Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm mp(α), ñi qua A tạo với ñường thẳng d góc lớn Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm mp(α), ñi qua A tạo với ñường thẳng d góc nhỏ Lời giải: Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n (2; 2;-1) , đường thẳng d có vectơ phương ud qua điểm M(-2; 1; 3) Ta thấy Amp(α) mặt (1;1;1) khác n ud nên đường thẳng d không song song nằm mp(α) 0 1) Đường thẳng ∆1 tạo với đường thẳng d góc lớn ∆1 d Do đường thẳng ∆1 có vectơ u [u , n ]=(-3; 3; )=-3(1; d phương Phương trình tham số 1; 0) đường thẳng ∆1: x 1 t y 2 t z 2 2) Xét đường thẳng d1 qua A song song với đường thẳng d Phương trình đường thẳng x-1 y-2 z +2 , lấy điểm B(2; 3; -1)d1 d1: 1 Gọi K hình chiếu vng góc B lên mp(α) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x 2 2t Phương trình tham số đường thẳng BK y 3 2t , tọa độ K ứng với t z 1 t nghiệm phương trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- – t) – = 9t + = hay t = K(10 ;19 ; 5) 9 9 1 13 ∆2 tạo với d góc nhỏ qua hai điểm A AK ( ; ; K, 9 ∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ u 9.AK (1;1;13) phương Phương trình đường thẳng ∆2 : 1 x-1 y-2 z +2 13 Ví dụ 3: Trong KG Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 0; 0), B( 0; -2; 0) ñường d: x-1 y-2 z -3 thẳng Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc 21 với đường thẳng d tạo với đường thẳng AB góc nhỏ Lời giải: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn ) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Đường thẳng d có vectơ ud (2;1;1) phương Xét mặt phẳng (α) qua A vng góc với đường thẳng d∆ nằm mp(α) (α) nhận ud (2;1;1) làm vectơ pháp tuyến Phương trình (α): 2x + y + z – = Gọi H hình chiếu vng góc B lên (α), BH có ud (2;1;1) vectơ x 2t Phương trình tham số y 2 t , tọa độ H ứng với t BH nghiệm z t phương trình: 4t -2 + t + t – = 6t – t 4 hay H( ; ; ) 4=0 3 3 ∆ tạo với AB góc nhỏ qua hai điểm A 4 H, AH ( ; ; ) ∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ u 3.AH phương (1; 4; 2) Phương trình đường thẳng ∆ : y x-1 z 4 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 3 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài tốn 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A đường thẳng d Viết phương trình ñường thẳng qua A song song với mp cho khoảng cách từ ñường thẳng ñến ñường thẳng d lớn Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d, ta có AH =const khoảng cách từ đến d: d( ,d) AH Do d( ,d) lớn d( ,d)= AH AH đoạn vng góc chung d, suy AH Như đường thẳng qua A song song với mp đồng AH, từ dễ dàng xác định phương trình đường thẳng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn thời C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;-2) ñường x y 3 z 1 Viết phương trình đường thẳngqua A song song 24 1 thẳng d: với mp : x+y+z+1=0 cho khoảng cách từ ñến d lớn Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d, ta có AH =const khoảng cách từ đến d: d( ,d) AH Do d( ,d) lớn d( ,d)= AH AH đoạn vng góc chung d, suy AH + Vì H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d nên tọa độ điểm H thỏa hệ phương trình: x 2t x 2 y 3 4t z 1 t y Tọa độ điểm H=(2;1;0), AH (1;0;2) vectơ: 2x 4 y 1z z 0 8 0 t 1 ( Trong với mp( ) mặt phẳng qua A mp( ) d nên mp( ) có phương trình : Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2x 4 y 1z 8 0 ) + VTPT là: n mp (1;1;1) + đường thẳng song song với mp đồng thời AH nên có VTCP: u n , AH (2;1;1) x 1 Vậy phương trình đường thẳng : y 1 1 1 z 2 Bài tốn 8: Trong khơng gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng cắt mặt phẳng Viết phương trình mp (P) chứa ñường thẳng tạo với mp góc nhỏ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời giải: M B Đường thẳng cắt mặt phẳng B, A điểm (khác B) nằm đường thẳng d, H hình chiếu A lên mp Kẽ HM vng góc với giao tuyến d mp và mp(P) M Ta có: HM HB AH ta n MHtanABH AH AMHABH A HM HB Mà AMH = ( ), ( p ) ABH = , ) =const và ( Vậy ( ), ( p ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an nhỏ HB HM = M B, suy giao tuyến d mp(ABH), mp(P) mp(ABH) Như mp(P) chứa đường thẳng đồng thời mp(P) mp(ABH).từ dễ dàng xác định phương trình mp Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng : x 1 y 1 z 1 cắt mặt phẳng :x+y+z+1=0 Viết phương trình mp (P) 2 1 chứa ñường thẳng tạo với mp góc nhỏ Lời giải: Lập luận tương tự ta có mp(P) cần tìm mp chứa vng góc với mp(ABH) Đường thẳng qua M(-1;1;-1) có vtcp : u (2;2;1) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an mp(ABH) có vtpt: n , u (3;3;0) n n, u (3;3;12 ) Suy VTPT mp(P): n P Vậy phương trình mp(P): x+y+4z+4=0 Bài tập vận dụng x t Bài 1: Cho đường thẳng d : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua y 1 2t z 2 t đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q): 2x y góc nhỏ z 2 0 ĐS : x y z (BáoTHTT 2009) 3 0 Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z - = hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ (ĐH - B2009) ĐS : x 3 y Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 26 z 1 2 11 Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) mặt phẳng (α) có phương trình: x + 2y – 2z + = 1) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ 2) Tìm điểm N (α) cho NA + NC có giá trị nhỏ 3) Tìm điểm S (α) cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn 4) cho Tìm điểm P (α) PA +2PB 4PC có giá trị nhỏ Bài 4: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng y + z+2 hai x-2 = d : = -1 điểm A(3; 1; 1), B(-1; 2; -3) Hãy tìm điểm M d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng y - z-2 x-2 = hai d : = 2 điểm A(0; 1; 1), B(1; 2; 3) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ x 2 3t Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho đường hai thẳng d1: y 2t Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an z 4 2t Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x-1 y-2 z +1 Trong mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng d2: d1 d2, viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm C(1; -2; 2) đường thẳng d có phương trình: y- z +1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d x-1 2 1 khoảng cách từ C đến (P) lớn x 1 t m Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho họ đường thẳng d : y 1 (1 m)t , z 1 mt với t ℝ m tham số Chứng minh họ dm qua điểm cố định nằm mặt phẳng cố định 1) 2) Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ 3) Tìm m để khoảng cách từ dm trục Oy lớn 4) Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ Bài 9: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) đường thẳng d có phương y+2 z -1 x-3 Viết phương trình đường trình: thẳng ∆ qua Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2 điểm I(-1; 1; 0), vng góc với trục Oy tạo với d góc: a Nhỏ b Lớn Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm B(2; -1; -2), mặt x-1 y-2 z -3 phẳng (P): x – y + z + = đường thẳng d: Trong mặt phẳng qua 1 B vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với d góc lớn Bài 11: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(0; -1; 1) ba đường thẳng: x ∆: y 1 z x+1 = x+3 y = z-4 , = d2: = , y+1 = z-4 = d1: 3 1 3 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2 2) Trong đường thẳng qua A nằm (P), viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách d ∆ lớn Bài 12: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) đường thẳng d: x-1 y-2 z-3 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d cho Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an khoảng cách từ B đến ∆ lớn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Khả áp dụng 5.1 Quá trình áp dụng Qua kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích khơng gian hiệu Bài tập biên soạn phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tiện việc đọc, tham khảo tự giải 5.2 Thời gian áp dụng Chuyên đề thực giảng dạy tham gia dạy 12NC Luyện thi Đại học vài năm gần Trong trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu 5.3 Kết thu sau thực đề tài sáng kiến kinh nghiệm Kết thống kê năm học thực đề tài Trường THPT Lý Tự Trọng, Hồi Nhơn, Bình Định Số Khơng biết Biết giải Biết giải lượng giải chưa hiệu Năm học Lớp hiệu toán 2010- 2011 12a1+ 12a2 95 0% 41 43,2% 54 56,8% 2011 - 2012 12a1+ 12a2 95 0% 36 37,9% 59 62,1% Sau học sinh học xong chuyên đề này, em thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho em tự học tự nghiên cứu Cung cấp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an kiến thức cần thiết, tạo tâm lý vững vàng trước em bước vào kì thi quan trọng C KẾT LUẬN Kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp Đất nước ta bước đường xây dựng, phát triển giáo dục Đảng, Nhà nước coi quốc sách hàng đầu, để chấn hưng giáo dục nước nhà việc đổi phương pháp giảng dạy Bộ Giáo dục coi nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực cách có hiệu Muốn làm tốt cơng việc người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chun mơn, từ tìm cho phương pháp giảng dạy đạt hiệu cao nhất, tạo hứng thú niềm tin học trị nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một cách để tạo chuyển biến tích cực cơng tác giảng dạy giáo viên viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy học Từ nhận thức đó, hàng năm tơi chọn đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao lực chun mơn, góp phần chia sẻ đồng nghiệp, em học sinh ý tưởng phục vụ cho việc dạy học tốt Thực tế qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy đại đa số em học sinh ngại lúng túng gặp toán cực trị, bên cạnh việc sách giáo khoa lớp 12 giảm tải, nên gặp dạng toán chuyên đề trình bày em cảm thấy lúng túng, em học sinh lớp 12, ôn thi đại học cao đẳng thấy khó khăn Từ thực tế nhằm giúp em học sinh tự tin hứng thú học toán, biết cách vận dụng, giải tốn cực trị hình học giải tích khơng gian, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm: “TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN” Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chuyên đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh Một tốn có nhiều cách giải, song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc khơng dễ Do sáng kiến kinh nghiệm nhiều sáng kiến kinh nghiệm, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể tốn, từ học sinh vận dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu?, bắt đầu nào?, quan trọng để học sinh khơng sợ đứng trước tốn khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung sáng kiến kinh nghiệm không rộng, khuôn khổ thời gian có hạn tơi vài dạng tốn ví dụ điển hình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện Đề xuất, kiến nghị Qua thời gian nghiên cứu thực đề tài “TÍNH HIỆU QUẢ TRONG LỜI GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHƠNG GIAN” tơi xin có số kiến nghị trường THPT Lý Tự Trọng Nhằm để học sinh có hội tiếp cận giải toán giúp học sinh tự tin việc giải tốn cực trị hình học giải tích khơng gian hiệu Giúp cho em có kết cao kì thi cuối cấp, thi tốt nghiệp, thi đại học cao đẳng Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn
Ngày đăng: 03/08/2023, 21:24
Xem thêm: