THÔNG TIN TÀI LIỆU
Phòng giáo dục đào tạo huyện mỹ hào Trờng thcs tđ lê hữu trác a KINH NGHIM MT S PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ THCS Lĩnh vực/ mơn học: Tốn học Người thực hiện: Vũ Thị Hồng Liờn Chc v: Giỏo viờn Năm học 2015 2016 skkn CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc -O0O SƠ YẾU LÍ LỊCH Họ tên: VŨ THỊ HỒNG LIÊN Ngày, tháng, năm sinh: 01/ 02 / 1972 Năm vào ngành: 1992 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS trọng điểm Lê Hữu Trác Trình độ chun mơn: Đại học tốn Bộ mơn giảng dạy: Mơn tốn skkn A MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề nghiên cứu Toán học mơn học chiếm vị trí quan trọng trường phổ thơng Dạy tốn tức dạy phương pháp suy luận Học toán tức rèn luyện khả tư lơgic Các tốn phương tiện tốt việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ sảo Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( hay cịn gọi tốn cực trị ) tốn tìm lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài … để hình thành cho học sinh có thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc cụ thể thực tiễn sau Các toán cực trị toán tương đối hay tương đối khó, loại phong phú đa dạng đòi hỏi phải vận dụng kiến thức hợp lý, nhiều độc đáo bất ngờ Các toán cực trị thường đưa vào lớp chọn, trường chuyên với đối tượng học sinh giỏi, sách giáo khoa đề cập đến tập loại Toán cực trị loại toán gần gũi với thực tế, có nhiều ứng dụng thực tế Chẳng hạn: - Hai xóm A B cách sơng Tìm vị trí bờ sơng để bắc cầu cho quãng đường từ A đến B ngắn - Một cửa sổ hình chữ nhật cao h(m) Phần nửa đường tròn đường kính d(m); chu vi cửa sổ 6(m) Hãy xác định h, d cho cửa sổ có diện tích bé nhất.Điều chứng tỏ tốn học thực tiễn khơng tách rời Trong chương trình toán học THCS, học sinh thực làm quen với loại toán cực trị từ năm lớp 7, kiến thức loại toán nâng dần lớp lớp học nhiều chương trình THPT Tốn cực trị nhắc đến nhiều loại sách đọc thêm tài liệu tham khảo, giáo viên tốn thường vất vả việc sưu tầm, tuyển chọn gây hứng thú học tập, lịng say mê học tốn học sinh Với mong muốn có tài liệu hệ thống toán cực trị để dạy cho học sinh trung học sở sưu tầm, tuyển chọn số phương pháp giải toán cực trị số tốn cực trị thơng dụng bậc THCS viết thành đề tài: “Một số phương pháp giải tốn cực trị THCS” để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn trường trung học sở Ý nghĩa giải pháp Trên sở nghiên cứu đề tài, hệ thống lại phân loại tập giá trị lớn nhất, nhỏ sở hệ thức kiến thức liên quan, xây dựng mơ hình, giải pháp chung cho loại, có kế hoạch cho học sinh tiếp cận skkn cho phù hợp với thời lượng chương trình nội dung kiến thức, sau nội dung thực tơi có phương pháp kiểm tra đánh giá kịp thời nhằm đánh giá tiến học sinh, thu lại tín hiệu ngược từ q trình giảng dạy để từ có biện pháp cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy gây hứng thú say mê cho học sinh Trong trình dạy học để tránh khô khan, nhàm chán kết hợp nhiều phương pháp, kỹ thuật dạy học khác tổ chức hoạt động nhóm, dạy học nêu giải vấn đề, bàn tay nặn bột … nhằm phát huy tối đa tính tích cực học sinh giúp học sinh ghi nhớ vận dụng hiệu nội dung tri tức chiếm lĩnh Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu trường THCS trọng điểm Lê Hữu Trác, huyện Mỹ Hào, Tỉnh Hưng Yên Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 9B, 8B lớp thực nghiệm, lớp 8A, 9A lớp đối chứng Lĩnh vực khoa học nghiên cứu lĩnh vực toán học khối 8,9 II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Cơ sở lí luận Tri thức khoa học nhân loại ngày địi hỏi cao Chính vậy, việc giảng dạy nhà trường phổ thông ngày địi hỏi nâng cao chất lượng tồn diện, đào tạo hệ trẻ cho đất nước có tri thức bản, phẩm chất nhân cách, có khả tư duy, sáng tạo, tư độc lập, tính tích cực nắm bắt nhanh tri thức khoa học Mơn Tốn mơn học góp phần tạo u cầu Việc hình thành lực giải Tốn cho học sinh trung học sở việc làm khơng thể thiếu người thầy, rèn luyện cho em có khả tư sáng tạo, nắm kiến thức bản, gây hứng thú cho em u thích mơn Tốn Mơn Tốn có vị trí đặc biệt quan trọng trường phổ thơng, có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Tốn học mơn khoa học gây nhiều hứng thú cho học sinh, mơn học khơng thể thiếu q trình học tập, nghiên cứu sống hàng ngày Một nhà tốn học có nói: “Tốn học xem khoa học chứng minh” Thật vậy, tính chất trừu tượng, tính xác, tư suy luận logic Tốn học coi "mơn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo Trong các môn học ở trường phổ thơng, Tốn học coi mơn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an học bản, tảng để em phát huy lực thân, góp phần tạo điều kiện để em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Vậy dạy để học sinh nắm kiến thức bản, một cách có hệ thống mà còn phải nâng cao phát triển để em có hứng, thú say mê học tập là mợt câu hỏi mà mỗi thày cô đặt cho mình Tuy nhiên để học tốt mơn tốn thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tư tốn học, làm cho các em trở nên u thích tốn từ em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu thời đại Cơ sở thực tiễn Là giáo viên dược phân công giảng dạy môn toán lớp với đối tượng học sinh giỏi, em có tư nhạy bén nhu cầu hiểu biết ngày càng nâng cao, làm để phát huy hết khả em trách nhiệm giáo viên Qua giảng dạy chương trình toán nhận thấy đề tài giải toán cực trị đề tài thật lí thú, phong phú đa dạng thiếu ở mơn tốn THCS Giải bài toán về tìm cực trị là mợt dạng toán hay, khó, với mong muốn cung cấp cho em số phương pháp giải toán cực trị, giúp em làm tập tốt nhằm tích cực hố hoạt động học tập, phát triển tư Các biện pháp tiến hành Trong trình nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo… xu đẩy mạnh cơng đổi bản, tồn diện giáo dục, xuất phát từ mâu thuẫn thực tiễn dạy học đảm bảo chuẩn mục tiêu đầu ra, nhận thấy phải đổi toàn diện từ mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học, cho nội dung, bài, chương, nhằm tích cực hóa hoạt động người học, để người học tự giác tích cực chiếm lĩnh tri thức, hình thành phát triển lực nhận thức, lực hành vi Trong phạm vi đề tài, thực số biện pháp đat hiệu cao xây dựng cho em hệ thống kiến thức, em hiểu thật sâu kiến thức cách vận dụng kiến thức để giải tốn nào, xây dựng phương pháp giải cho loại có ví dụ minh họa Đổi phương pháp Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an dạy học đổi đánh giá, vừa thực tự đánh giá vừa đánh giá đồng đẳng, sau thực hện xong nhiệm vụ đưa đáp án chuẩn, học sinh tự đánh giá đánh giá chéo để đảm bảo tính khách quan , kết hợp với đánh giá giáo viên Giáo viên nhận xét đánh giá cách giải hay nhằm động viên khích lệ kịp thời học sinh, giúp em có hứng thú học tập phát huy hết khả sáng tạo thân, giúp cho em phát triển tồn diện trí tuệ, thể lực, nhân cách, đồng thời rèn cho em kỹ giao tiếp, nhận xét, đánh giá, … Thời gian tạo giải pháp Tôi nghiên cứu thực đề tài năm học 2014-2015 đầu năm học 2015-2016 hoàn thành vào tháng năm 2016 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an B NỘI DUNG I MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI - Giúp học sinh có hệ thống tập cực trị ,có phương pháp giải phù hợp cho loại - Giúp học sinh có hứng thú học tập mơn, từ tích cực chủ động việc chiếm lĩnh tri thức - Rèn tư sáng tạo, phân tích, tổng hợp kĩ vận dụng kiến thức giải toán Học sinh tự giác chủ động tìm tịi, phát giải nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức kỹ thu nhận được.Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập để nâng cao chất lượng dạy, nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho thân, Coi đề tài tài liệu nghiên cứu đê thông qua giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào q trình giảng dạy mơn Tốn trường THCS đạt hiệu cao II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 1.Mô tả giải pháp đề tài PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ Chương I Những kiến thức I- Khái niệm Cho hàm số f(x) xác định miền D M gọi giá trị lớn f(x) miền D điều kiện sau đồng thới thoả mãn: M, x D a, f(x) b, x0 D cho f(x0) = M Ký hiệu M = maxf(x), x D M gọi giá trị nhỏ f(x) miền D điều kiện sau đồng thời thoả mãn: a, f(x) M, x D b, x0 D cho f(x0) = M Ký hiệu M =minf(x), x D Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an II- Các kiến thức thường dùng: x2 với x Tổng quát [ f(x) ]2n 0, x R, n Z [ f(x) ]2n + M M Suy ra: -[ f(x) ]2n + M M a, với x b, + , dấu “=” xảy x, y dấu c, - , dấu xảy x,y dấu Chứng minh: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối a, xy b, Ta có xy x2 + ( Do Nên + y2 x2 + 2xy + y2 + 0; + 2xy )2 ( )2 0 + Dấu xảy x, y dấu, x y xy - c, Ta có: -xy Tương tự phần b ta chứng minh Dấu xảy x, y dấu, x y Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy) dạng bất đẳng thức Côsi a, ( a + b )2 4ab, dấu xảy a = b b, , ( a.b > ) dấu xảy a = b a+b2 c, , ( a 0, b ) dấu xảy a = b Hệ quả: + a 0, b a + b = k ( khơng đổi ) Thì (a.b) đạt giá trị lớn a = b Hai số khơng âm có tổng khơng đổi tích lớn hai số + a 0, b a.b = k ( không đổi ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Thì (a + b) đạt giá trị nhỏ a = b Hai số khơng âm có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số Suy ra: Trong hình chữ nhật có diện tích hình xng có chu vi nhỏ Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn Bất đẳng thức Bunhia cốpxki (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) Dấu xảy (a,b tỷ lệ với x, y) Chứng minh: Xét hiệu: (ax + by)2 – (a2 + b2) (x2 + y2) = a2x2 + b2y2 + 2abxy - a2x2 - a2y2- b2x2 - b2y2 = - (a2y2 - 2abxy - b2x2) = - (ay – bx)2 Do đó: (ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2) Dấu xảy ay = bx Tổng quát: (a1x1 + a2x2 + … + anxn)2 Dấu xảy khi: III- Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp bất đẳng thức Đây phương pháp sử dụng nhiều, hay gặp Ở cần sử dụng kỹ biến đổi đồng nhất, bất đẳng thức để xuất dấu hiệu nhận biết khái niệm (Phần I), từ xác định giá trị lớn hay giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: f(x) = x2 + x + Với biểu thức miền D toàn miền xác định biểu thức, tập R Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta có: f(x) = x2 + x + = x2 + x + f(x) = (x + )2 + Giá trị nhỏ biểu thức x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức A = Nhận xét: x2 – 4x + 10 = (x-2)2 +6 6, x D (D=R) Tử số dương Do đó: A lớn mẫu số đạt giá trị nhỏ Mẫu số có giá trị nhỏ x = Suy A đạt giá trị lớn x = Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn hàm số y = Trước hết xác định miền D = {x x 4} Ta viết y = Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốpxki ta có: y2 (12 + 12)(x – + - x) y2 hay x = D Do y > nên max y = Vậy giá trị lớn y x = Phương pháp miền giá trị hàm số Giả sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x D Điều có nghĩa phương trình f(x) = y phải có nghiệm với x D Sau giải phương trình điều kiện có nghiệm thường dẫn đến bất đẳng thức: m y0 M Từ suy ra: f(x) = m max f(x) = M Ví dụ 1: Trong cặp nghiệm phương trình: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x2 – ( x2 + )y + 8x + = (1) Hãy tìm cặp nghiệm (x,y) cho y lớn Trước hết: (1) (1-y)x2 + 8x + – y = (2) Nếu – y = y=1x =Nếu – y y ’ = 16 - ( – y )( – y ) ’ = - y2 + 8y + ’ = ( + y )( – y ) (x,y) nghiệm phương trình (1) phương trình (2) phải có nghiệm Do ’ ( + y )( – y ) -1y9 Suy ra: max y = ’ = 0, x = Vậy cặp nghiệm thoả mãn toán (1; 9) Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = Ta thấy (x2 + 1)2 > 0, x4 + > Nên A đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ ngược lại Ta có Ta thấy rằng: , x Nên nhỏ x = Do A đạt giá trị lớn x = Lại có x4 – 2x2 + Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 10 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x4 + 2x2 2x 1 2 A x 1 lớn x = Do A đạt giá trị nhỏ x = Chú ý: a, Muốn tìm cực trị hàm số ta khơng cần chứng minh f(x) m f(x) M mà phải tìm tồn biến để xảy dấu đẳng thức b, Nếu A = B + C + D + … (A, B, C, … biểu thức đại số) Để tìm cực trị A, ta tìm cực trị B, C, D… phải chứng minh với giá trị biến đồng thời biểu thức B, C, D,… đạt cực trị c, Khi tìm cực trị biểu thức A, có ta thay điều kiện để tìm cực trị biểu thức điều kiện tương đương để tìm cực trị biểu thức khác như: - A; A2; ; A m ( m số )… Chương II Những dạng toán thường gặp phương pháp giải I- Dạng 1: Đa thức bậc có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a, A = b, B = c, C = Bài giải a, A = x Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có: 0, x A = x đạt giá trị nhỏ x + = x = -1 Vậy MinA = x = -1 b, Ta có - 3x 3x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 11 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vậy biểu thức B đạt giá trị – 3x = x = Do MinB = x = c, Áp dụng bất đẳng thức: Dấu bẳng xảy x, y dấu x y Suy ra: C = C3 MinC = (x - 1997)(2000 - x) x 1997 x - 1997 - 2000 - x + (x- 1997)(2000 - x) - 0 2000 + + + - + - Vậy minC = 1997 x 2000 Kết luận: Các toán thuộc dạng thường gặp lớp Với dạng cách giải thường tương đối dơn giản, cần áp dụng: + + + x y x y , dấu xảy xy +A=m , tồn maxA hay minA phụ thuộc vào dấu m Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a, A = b, B = c, C = , với a < b d, D = e, G = Tìm giá trị lớn biểu thức: a, H = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 12 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an b, I = Các toán cực trị - Lê Mộng Ngọc – 1996 II- Dạng 2: Đa thức bậc Ví dụ 1: a, Tìm giá trị nhỏ A = x2 + 4x + b, Tìm giá trị lớn B = + 6x – x2 Bài giải a, A = x2 + 4x + = x2 + 4x + – A = (x + 2)2 – Nhận xét: (x + 2)2 (x + 2)2 – -3 A -3 Vậy: minA = -3 x + = x = -2 b, B = + 6x – x2 = – x2 + 6x - + 10 B = - (x - 3)2 + 10 10 - (x - 3)2 0, x Vậy maxB = 10 x – = x=3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức A = 2x2 – 20x + 53 Do A thoả mãn đẳng thức Nên phương trình 2x2 – 20x + 53 – A = có nghiệm Hay ’ = 100 – 2(53 – A) = 2A – A3 Do minA = ’ = x=5 Ví dụ 3: Với giá trị x, y a, D = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x + đạt giá trị nhỏ b, E = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2 đạt giá trị lớn Bài giải a, D = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x + Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 13 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an D = x2 – 4x + + 4x2 – 12xy + 9y2 D = (x – 2)2 + (2x – 3y)2 0, x, y Nên dấu xảy minD = b, E = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2 E = - (x2 + 10x + 25) – (9x2 – 24xy +16y2) + 40 E = 40 – (x + 5)2 – (3x – 4y)2 Ta thấy (x + 5)2 0; (3x – 4y)2 Vậy E 40 Dấu xảy Do maxE = 40 Kết luận: - Muốn tìm cực trị biểu thức A (đa thức bậc 2), ta viết biểu thức A dạng tổng biểu thức mà qua ta xét dấu cách thuận lợi Chẳng hạn A = m[f(x)]2 + n[g(x)]2 + p Tồn maxA hay minA phụ thuộc vào dấu m n - Dùng phương pháp miền giá trị thường đưa điều kiện để phương trình bậc có nghiệm Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ của: A = 2x2 + 3x + B = 4x2 + 4x + 11 C = 2x2 – 20x + 53 Tìm giá trị nhỏ của: a, x2 + 2y2 – 2xy – 4y + b, 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2024 Tìm giá trị lớn của: a, -5x2 - 5y2 + 8x – 6y – b, - a2 - b2 + ab + 2a + 2b Tìm cặp số (x, y) thoả mãn phương trình: x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + = Sao cho y đạt giá trị lớn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 14 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an III- Dạng 3: Đa thức bậc cao Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ đa thức A = (x2 + x + 1)2 Nhận xét: Theo tính chất luỹ thừa bậc A Nhưng giá trị nhỏ A x2 + x + Ta có: x2 + x + = x2 + x + = (x + + )2 + x 4 Do A (x2 + x + 1) Nên minA = ( )2 = x= 16 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ B = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + Ta thấy B = x4 – 6x3 + 9x2 + x2 – 6x + B = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 B 0, Dấu xảy x=3 Vậy minB = x = Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) Xét f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) f(x) = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) + – = (x2 + 3x + 1)2 – f(x) - 1, dấu xảy x2 + 3x + = Vậy minf(x) = - Chú ý: Khi giải toán cực trị cần trả lời đầy đủ hai nội dung: Cực trị A xảy Chẳng hạn: Với A = (x2 x + 1)2 minA = Sai lầm khơng có giá trị x để A = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 15 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) C = x6 – 2x3 + x2 – 2x + D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + E = x(x + 2)(x + 4)(x + 6) Tìm giá trị lớn M = x3(16 – x3) IV- Dạng 4: Phân thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn phân thức M = 4x 4x Ta thấy M = Do (2x + 1)2 (2x + 1)2 + M Vậy maxM = 2x + = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ A = Cách 1: x 2x x 1 A= 2 x 1 x 1 x 1 A = 1 x 1 x 1 A = m2 – m + Coi A= Nên A , dấu xảy m = Vậy minA = x=1 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 16 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cách 2: A = A= A= A= , dấu xảy x = minA = x=1 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ B = Ta có B= x2 + > B= (x + 2)2 Nên minB = -1 x + = x = -2 Mặt khác: B= x2 + > B= (2x - 1)2 Nên maxB = 2x – = x= Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức A= B= C= D= Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 17 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an G= H= I= K= V- Dạng 5: Căn thức giá trị tuyệt đối Ở cần ý + max f(x) = ,xD + f(x) = ,xD + Dấu xảy f(x).g(x) + Dấu sảy + Bất đẳng thức Bunhia cốpxki Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức A = Trước hết điều kiện xác định A x Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cơpxki ta có: A2 = A2 2.2 A2 Do A > Nên A Vậy maxA = x–2=4–x x = Thoả mãn điều kiện xác định Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = Điều kiện xác định B là: -1 < x < Khi đó: – 3x > B > Ta có: B2 = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 18 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an B2 = – x2 > Dấu xảy – 5x = x = B2 = Vậy minB2 = 16 x = MinB = x = Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức H = Cách 1: Ta chia khoảng xác định dựa vào định nghĩa: - Nếu x < 2001 Thì H = 2001 – x + 2002 – x H = 4003 – 2x > - Nếu 2001 x 2002 Thì H = x – 2001 + 2002 – x = - Nếu x > 2002 Thì H = x – 2001 + x – 2002 H = 2x – 4003 > Như minH = 2001 x 2002 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Dấu xảy f(x).g(x) Khi đó: H= H= Dấu xảy (x – 2001)(2002 – x) 2001 x 2002 Vậy minH = 2001 x 2002 Ví dụ4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = Nhận xét: Với điều kiện a Ta có: a+3–4 a + 15 – =a–1–4 = a – –8 +4= + 16 = Khi đó: M= Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 19 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an M= M M Dấu xảy a 17 Vậy minM = a 17 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x) = , xR Giả sử y0 giá trị tuỳ ý hàm số y = Khi ta có phương trình (ẩn x) có nghiệm: y0 = (1) Dễ thấy (1) (y0 – 2)x2 – (y0 + 1)x + y0 + = (2) Nếu y0 = Thì y0 + (2) có nghiệm Nếu y0 Thì (2) có nghiệm Hay (y0 + 1)2 – 4(y0 + 1)(y0 – 2) (y0 + 1)(-3y0 + 9) - 1 y0 y0 Như phương trình (2) có nghiệm - 1 y0 Do đó: max y = y = -1 với x R Theo nhận xét ta có: Maxf(x) = = max { ; }=3 R 0, x R Ta có xf(x) Dấu xảy 2x2 + x – = Vậy maxf(x) = x = 2; Chú ý: Minf(x) = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 20 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nếu f(x) nhận giá trị đoạn [m, M] Ở m = minf(x) M = maxf(x) Thì ta có: M.m M.m > 0trị nhỏ (nếu có) hàm Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớnnếu nhất, giá số sau: a, f(x) = 1997 + b, f(x) = 100 – c, f(x) = x – d, f(x) = e, f(x) = f, f(x) = g, f(x) = VI- Dạng 6: Cực trị có điều kiện Các tốn cực trị có điều kiện tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, hàm số ràng buộc điều kiện biến, hàm cho trước Để giải đượccác tốn dạng này, địi hỏi phải kết hợp thành thạo kỹ biến đổi khéo léo vận dụng triệt để điều kiện cho trước đầu Ví dụ 1: Cho x, y R x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x + y Thật x, y R ta có (x + y)2 + (x – y)2 = 2(x2 + y2) Theo giả thiết có x2 + y2 = (x + y)2 + (x – y)2 = Do (x – y)2 (x + y)2 Dấu xảy (x – y)2 = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 21 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x = y x2 + y2 = x=y= Vậy:max(x + y) = min(x + y) = - x=y= x=y=- Ví dụ 2: Cho số dương x, y có x + y = Tìm giá trị nhỏ P = (1Ta có )(1- ) P= Vì x + y = y – = - x x–1=-y Nên P = P= Vì xy > P nhỏ nhỏ Khi xy lớn Mà x + y = xy lớn x = y = Vậy minP = + = x = y = Ví dụ 3: Cho a > 1, b > Tìm giá trị nhỏ A = Đề kiểm tra đội học sinh giỏi toán TP HCM - 1995 Nhận xét: a > Nên ; tương tự Theo bất đẳng thức cơsi ta có: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 22 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Dấu xảy a = hay a = Vậy minA = a = b = Bài tập áp dụng: Cho biểu thức P = a3 + b3 + c3 + a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a+ b) Tìm giá trị lớn P với a + b + c = Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức f(x; y) = x2 + y2 Tìm giá trị lớn biểu thức A = 3xy – x2 – y2 biết x, y nghiệm phương trình 5x + 2y = 10 Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = a3 + b3 + ab Võ Đại Mau – 250 toán học sinh giỏi VII- Dạng 7: Các tập tổng hợp Đây tập mà u cầu khơng phải tìm giá trị lớn hay giá trị nhỏ Nhưng trình giải thực tế phải áp dụng kiến thức cực trị Ví dụ 1: Giải phương trình Ta có VP = x2 – 6x + 11 = x2 – 6x + + = (x – 3)2 + Dấu xảy x = VT = Điều kiện x Theo bất đẳng thức Bunhia côpxki VT2 = 2(x – + – x) VT2 Do VT > Nên VT Dấu xảy hay x = Vậy để VT = VP x = Do x = nghiệm phương trình cho Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 23 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 2: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Xác định hình dạng tam giác cho M = đạt giá trị nhỏ Trước hết đặt: x = b + c – a y=a+c–b z=a+b–c Vì a, b, c cạnh tam giác Nên x, y, z > Từ đẳng thức ta có: 2a = y + z a = b= ; c= Khi đó: M= = Với x, y, z > Theo bất đẳng thức cơsi ta có: , dấu xảy x = y , dấu xảy x = z , dấu xảy z = y Do M (2 + + 2) = 3, dấu xảy x = y = z minM = x = y = z Ví dụ 3: Cho a, b, c số dương có tổng khơng đổi Tìm a, b, c cho ab + bc + ca lớn Ta nhận thấy ln có (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Vì Dấu xảy a = b = c Suy ra: 2(a2 + b2 + c2) 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 3ab + 3bc + 3ca Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 24 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) Đặt a + b + c = s Ta có: s2 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca a=b=c= Do max(ab + bc+ ca) = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-2, 1), B(2, 3) Tìm trục hồnh điểm M cho MA + MB nhỏ Gọi A’ điểm đối xứng với A qua Ox, A’B Ox Mo Xét M Ox Ln có MA + MB = MA’ + MB A’B MoA’ + MoB = MoA + MoB = A’B Do tổng MA + MB nhỏ A’B M Mo Ta lại có A(-2; 1) A’(-2; -1) B(2; 3) Phương trình đường thẳng A’B có dạng y = ax + b(d) (d) qua A’ b – 2a = -1 (d) qua B 2a + b = Ta có hệ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 25 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Phương trình đường thẳng A’B y = x + (d) Giao điểm (d) với Ox Mo(-1; 0) Vậy điểm M phải tìm M(-1; 0) Bài tập áp dụng: Cho x1, x2 nghiệm phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức A = Cho a, b, c Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức B = a + b + c – ab – ac – bc Tìm giá trị lớn P = ab Biết a, b thoả mãn hệ thức a + 2b = Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t số ngun khơng âm Tìm giá trị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: Đề học sinh giỏi tồn quốc - 1985 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức N = 2x + 3y – 4z Biết rằng: x, y, z thoả mãn hệ phương trình sau PHẦN II: CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chương I Những kiến thức I- Toán cực trị hình học gì? - Tốn cửc trị hình học tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng y cho: y1 y y2 Ở y độ dài đoạn thẳng, tổng hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn góc, chu vi hay diện tích hình… y1, y2 giá trị cố định không đổi y - Giải tốn cực trị hình học phải rõ vị trí hình học y để y đạt giá trị nhỏ y = y1 hay y = y2 II- Các phương pháp giải tốn cực trị hình học Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 26 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Người ta giải tốn cực trị hình học phương pháp sau đây: Phương pháp Vẽ hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay điều kiện đại lượng đại lượng tương đương Người ta thường dùng cách đầu tốn cho dạng: “Tìm hình thoả mãn điều kiện cực trị toán.” Ví dụ 1: Trong tam giác có đáy diện tích, tam giác có chu vi nhỏ Qua A kẻ đường thẳng xy // BC (BC khơng đổi) Vì diện tích ABC khơng đổi nên đường cao AH ABC khơng đổi Do đỉnh tam giác thoả mãn điều kiện đầu phải nằm đường thẳng xy Ta có PABC = AB + AC + BC = AB + AC + a PABC nhỏ AB + AC nhỏ Gọi B’ điểm đối xứng với B qua xy, B’C cắt xy A’ Xét tam giác AB’C có AB’ + AC = AB + AC B’C Ta có: AB’ + AC A’B’ + A’C Dấu xảy A A’ Khi A’B’ = A’B = A’C Nên A’BC cân A’ Và PABC PA’BC hay minPABC = PA’BC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 27 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vậy tam giác có đáy diện tích tam giác cân có chu vi nhỏ Phương pháp Đưa hình theo yêu cầu đầu bài, sau chứng minh hình khác có chứa yếu tố mà ta phải tìm cực trị lớn bé yếu tố tương ứng hình đưa Người ta thường dùng cách chứng minh hình dạng hình đạt cực trị khẳng định rõ đầu Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Trong tam giác có đáy diện tích tam giác cân có chu vi nhỏ Để giải tốn trước hết ta vẽ tam giác cân ABC (cân A) Ta phải chứng minh tam giác A’BC có khoảng cách từ A’ đến BC khoảng cách từ A đến BC chu vi tam giác A’BC lớn chu vi tam giác ABC Thật vậy: * Ta có A’ xy, xy qua A song song với BC (A’ A) Gọi C’ điểm đối xứng với C qua xy Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng Khi PABC = BC’ + BC PA’BC = A’B + A’C + BC = A’B + A’C’ + BC Xét A’BC’ Theo bất đẳng thức tam giác ta có: A’B + A’C’ > BC’ Do PA’BC > PABC * Nếu xét trường hợp A’ khác phía A so với đường thẳng BC ta có tam giác đối xứng với ABC qua BC để so sánh với tam giác A’BC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 28 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Phương pháp Thay việc tìm cực trị đại lượng việc tìm cực trị đại lượng khác ngược lại Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD cạnh a Xét hình thang có đỉnh cạnh hình vng hai đáy song song với đường thẳng chứa đường chéo hình vng Tìm hình thang có diện tích lớn tính diện tích lớn Thật vậy: Gọi EFGH hình thang có E AB, F BC, G CD, H DA EH // BD, FG // BD Giả sử AE = x, FC = y Ta thấy EFGH hình thang cân Gọi S hiệu diện tích hình vng ABCD diện tích hình thang EFGH Nên S = SAEH + SEBF + SFCG + SDHG S = SAEH + 2SEBF + SDHG S= Biến đổi S = S= Để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị lớn S phải đạt giá trị nhỏ Mà S , dấu xảy x + y = a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 29 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an x+y=a Vậy maxSEFGH = a2 – Hay x=a–y Khi AE = BF = DG = AH Mà AE // DG, AH // BF Nên HF // AB // CD EG // AD // BC Vậy hình thang thoả mãn điều kiện đầu có diện tích lớn (nửa diện tích hình vng ABCD) hình thang có đường chéo song song với cạnh hình vng ABCD Chú ý: - Có trường hợp để tìm cực trị đại lượng A, ta chia A thành tổng A = B + C + D + … tìm cực trị B, C, D… Từ suy cực trị A Ta cần chứng minh A đạt cực trị đồng thời B, C, D đạt cực trị - Nếu tốn cho có nhiều khả tương ứng với trường hợp khác hình phải tìm cực trị trường hợp Cuối so sánh cực trị để tìm cực trị tốn Chương II Các dạng toán cực trị thường gặp phương pháp giải I- Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác - Với điểm A, B, C có AB + AC BC Dấu xảy A nằm B, C - Trong tam giác ABC ta có ABC ACB AC AB Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ xy a, Tìm điểm M xy cho MA + MB nhỏ b, Tìm điểm N xy cho lớn Bài giải Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 30 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an a, Gọi A’ điểm đối xứng với A qua xy Kẻ BA’ cắt xy Mo Ta thấy AMo = A’Mo Và AMo + BMo = A’B Gọi M điểm thuộc xy suy MA = MA’ Ta có MA + MB = MA’ + MB A’B Dấu xảy A’, M, B thẳng hàng Hay M Mo Vậy min(MA + MB) = A’B M Mo b, Lấy điểm N xy Ta ln có Dấu xảy B nằm A, N * Nếu AB // xy Do khơng tìm điểm N thoả mãn đầu * Nếu AB không song song với xy Gọi No giao điểm đường thẳng AB xy Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 31 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta có max No điểm cần tìm Ví dụ 2: Hai xóm A, B cách sơng Tìm địa điểm để bắc cầu qua sông cho quãng đường từ A đến B ngắn Bài tốn coi: Hai bờ sơng hai đường thẳng song song, cầu bắc vng góc với bờ sông để tiết kiệm nguyên vật liệu Biểu thị hai xóm A, B bên bờ sơng hai điểm A, B Hai bờ sông hai đường thẳng d1, d2 song song với Ta phải tìm địa điểm cầu CD cho: Tổng AC + CD + DB ngắn Ta thấy độ dài CD không đổi nên ta cần tìm vị trí điểm C, D cho AC + BD ngắn Qua A ta dựng đường thẳng xy vng góc với d1, d2 xy // CD Từ D kẻ đường thẳng song song với CA cắt xy A’ Như ACDA’ hình bình hành Do AC = A’D Khi DB + AC = DB + A’D BA’ Dấu xảy B, D, A’ thẳng hàng Tức D Do (Do giao điểm A’B với d2) Vậy địa điểm bắc cầu CoDo Ví dụ 3: Cho ABC O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Hãy tìm điểm M cho tổng MA + MB + MC + MO nhỏ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 32 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài giải Ta xét hai trường hợp: a, Tam giác ABC tam giác nhọn Nên tâm O nằm ABC Xét hình ( I ) Giả sử O điểm ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta chứng minh được: OB + OC < AB + AC Xét hình ( II ) Khơng tính tổng quát ta giả sử điểm O ACM MA + MC OA + OC hay MA + MC 2OA Dấu xảy M O Xét MBO Có MB + MO OB = OA Do MA + MB + MC + MO 3.OA = 3R Do min(MA + MB + MC + MO) = 3R M O b, Nếu tam giác ABC tam giác tù O nằm ngồi tam giác ABC Giả sử góc A tù Ta có MA + MB + MC + MO = (MA + MO) + (MB + MC) OA + BC Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 33 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Dấu xảy M OA M BC hay M giao điểm OA BC Vậy MA + MB + MC + MO nhỏ M giao điểm OA BC (M Mo) Bài tập áp dụng: Cho tam giác ABC cân A điểm D cố định đáy BC Dựng đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên E F cho DE + DF có giá trị nhỏ Cho góc nhọn xOy điểm M nằm góc cho M khơng thuộc Ox Oy Hãy xác địn điểm B Ox, điểm C Oy cho OB = OC MB + MC đạt giá trị nhỏ Cho góc vng xOy Điểm A thuộc miền góc Các điểm M N theo thứ tự chuyển động tia Ox, Oy cho MAN = 90o Xác định vị trí M, N để MN có độ dài nhỏ Cho tam giác ABC O tâm đường trịn ngoại tiếp Hãy tìm điểm M cho tổng MA + MB + MC + MO nhỏ II- Dạng 2: Dùng tính chất đường vng góc đường xiên - Trong đoạn thẳng nối từ điểm nằm đường thẳng đến điểm nằm đường thẳng đó, đoạn vng góc với đường thẳng đoạn ngắn Suy ra: tam giác vuông cạnh huyền cạnh lớn - Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường xiên có hình chiếu lớn lớn - Trong đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vng góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Qua trọng tâm O tam giác dựng đường thẳng cho tổng khoảng cách từ đỉnh tam giác đến đường thẳng lớn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 34 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an A d B' H' A' O C' C H B Gọi d đường thẳng qua O, H trung điểm BC nên O AH Kẻ AA’, BB’, CC’, HH’ vng góc với d Tứ giác BB’C’C hình thang nhận HH’ đường trung bình Nên 2HH’ = BB’ + CC’ OAA’ OHH’ Do AA’ = 2HH’ Suy ra: AA’ + BB’ + CC’ = 2HH’ + 2HH’ = 4HH’ = 2.AA’ 2.OA Do max(AA’ + BB’ + CC’) = 2.OA OA = AA’ d // BC (hoặc d // AB, d // AC) Như vậy: Qua O dựng đường thẳng song song với ba cạnh tam giác ABC tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác đến đường thẳng lớn Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC M điểm nằm cạnh BC Gọi E, F hình chiếu M AB, AC Tìm vị trí điểm M để EF có độ dài nhỏ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 35 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Gọi I trung điểm AM Khi IA = IM = IE = IF = Ta có EIF = EIM + MIF EIF = 2EAI + 2FAI EIF = 2A không đổi Tam giác EIF cân E, có góc đỉnh khơng đổi Nên cạnh đáy nhỏ cạnh bên nhỏ Mà IE = Do IE nhỏ AM nhỏ AM BC Vậy M chân đường cao hạ từ A tam giác ABC EF có độ dài nhỏ Bài tập áp dụng: Cho góc vng xOy, điểm A thuộc miền góc Các điểm M, N chuyển động tia Ox, Oy cho MAN = 90 o Xác định vị trí điểm M, N để tổng AM + AN có độ dài: a, Nhỏ b, Lớn Cho tam giác ABC Tìm đường thẳng qua đỉnh A tam giác cho tổng khoảng cách từ B, C tới đường thẳng nhỏ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 36 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh huyền BC = 2a Một đường thẳng d qua A không cắt cạnh BC Gọi I K theo thứ tự hình chiếu B C d H trung điểm BC Tính diện tích lớn tam giác HIK Cho (O; R) có AB dây cung cố định không qua tâm O C điểm di động cung lớn AB (C không trùng với A, B) Gọi d tiếp tuyến C đường tròn (O; R), M N chân đường vng góc kẻ từ A, B tới d Tìm vị trí điểm C cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn III- Dạng 3: Sử dụng tính chất độ dài đường gấp khúc Độ dài đường gấp khúc nối điểm không nhỏ độ dài đoạn thẳng nối hai điểm Cho điểm A1, A2, …, An A1A2 + A2A3 + … + An-1An A1An Dấu xảy A2, A3, …, An-1 nằm A1 An (kể từ A1 đến An) Ví dụ 1: Cho góc nhọn xOy điểm A góc Tìm điểm B thuộc Ox, C thuộc Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Thật vậy: Giả sử B C hai điểm Ox, Oy Ta phải tìm vị trí B, C cho chu vi tam giác ABC nhỏ Gọi A’, A” điểm đối xứng A qua Ox, Oy Do A’, A” cố định ta có: AB = A’B AC = A”C Nên PABC = AB + AC + BC = A’B + A”C + BC A’A” Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 37 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Do minPABC = A’A” B Bo, C Co Bo Co giao điểm A’A” với Ox, Oy Như ta cần dựng A’, A” đối xứng với A qua Ox, Oy, sau nối A’A” cắt Ox, Oy Bo, Co vị trí Bo, Co vị trí B, C cần tìm Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vng (Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vng) Tìm điểu kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ Gọi P chu vi hình tứ giác MNPQ I, J, K trung điểm PQ, QN, MN Như PQ = 2DI PN = 2IJ MQ = 2KJ MN = 2BK Do P = MN + NP + PQ + QM = 2KB + 2IJ + 2DI + 2KJ = 2(BK + KJ + JI + ID) 2BD Vậy minP = 2BD MQ // BD, MN // AC, NP // BD, PQ // AC Khi MNPQ hình chữ nhật Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 38 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120o Tìm điểm M nằm bên tam giác cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ C' A M' M C B Gọi M điểm tam giác ABC Thực phép quay tâm A, góc quay 60o ngược chiều kim đồng hồ Khi đó: M M’ C C’ AMM’ ACC’ tam giác Do AC’ = AC, MC = M’C’ Nên MA + MB + MC = MM’ + MB + M’C’ BC’ Nên min(MA + MB + MC) = BC’ B, M, M’, C’ thẳng hàng Khi AMB = 120o AMC = AM’C’ = 180o – 60o = 120o Còn lại BMC = 120o Vậy M giao hai cung chứa góc 120 o dựng hai cạnh tam giác ABC vào phía tam giác ABC Bài tập áp dụng: Cho hai đường trịn ngồi Đường nối tâm OO’ cắt hai đường tròn A, B A’, B’ (A, B (O); A’, B’ (O’); A, A’ nằm B, B’) Chứng minh AA’ khoảng cách ngắn nhất, BB’ khoảng cách lớn tất khoảng cách nối hai điểm hai đường trịn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 39 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ Tam giác DEF gọi nội tiếp tam giác ABC ba đỉnh tam giác DEF nằm ba cạnh tam giác ABC Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác nhọn ABC cho trước cho có chu vi nhỏ IV- Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức đường trịn - Đường kính dây lớn đường trịn - Trong hai dây khơng đường tròn, dây lớn gần tâm Trong chương trình Trung Học Cơ Sở tốn đường trịn sử dụng với học sinh lớp Các tập loại tương đối phong phú, giải ta cần sử dụng tốt kiến thức học trực tiếp sách giáo khoa Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường tròn (M không trùng với O) Qua M dựng dây AB cho độ dài a, Lớn b, Nhỏ Dựng điểm P đường tròn cho góc OPM lớn Bài giải 1.a, Theo định lý đường kính dây lớn đường tròn Nên cần dựng dây A’B’ qua M, O Thì A’B’ day cần phải dựng A’B’ dây qua M có độ dài lớn b, Giả sử AB dây qua M Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 40 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Hạ OH AB Gọi AoBo dây qua M cho AoBo OM Xét tam giác vng MOH Có: OM OH AB AoBo Dấu xảy H M Như dây AB có độ dài nhỏ AB AoBo Hay A Ao, B Bo Giả sử PQ dây đường tròn Tam giác cân OPQ có hai cạnh bên khơng đổi o 180 - POQ OPM = Nên để góc OPM đạt giá trị lớn góc POQ đạt giá trị nhỏ PQ nhỏ PQ OM M PQ P’Q’ Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM, cắt (O) P’ Q’ Ta có vị trí P’ vị trí P cần xác định Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng góc A.M trung điểm BC Hai đường thẳng di động vng góc với M cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Tìm giá trị nhỏ DE diện tích tam giác MDE Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 41 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Do tam giác ABC vuông A AM = Tứ giác ADME tứ giác nội tiếp (O) đường kính DE Do DE AM minDE = AM AM đường kính (O) Do AEM = 90o Suy ra: ME // AB E trung điểm AC Tương tự MD // AC D trung điểm AB Khi DE đường trung bình tam giác ABC Vậy đoạn DE ngắn DE đường trung bình tam giác ABC Ta lại có MDE = MAE Và tam giác AMC cân M Cho nên MAC = MCA MDE = MCA Do tam giác vuông ABC đồng dạng với tam giác vuông MED Do đó: Lại có tam giác ABC cố định SABC BC không đổi SMED nhỏ ED nhỏ Theo câu a: SMED nhỏ D, E trung điểm AB, AC Và ta có: BC = 2ED minSMED = Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O; R) Một tia Ax nằm hai tia AB AC cắt BC P cắt (O) E Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 42 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Tìm vị trí tia Ax cho độ dài DE lớn nhất? Bài giải Ta có DE = AE – AD AE dây (O) maxAE = 2R đường kính Nối AO kéo dài cắt BC D1, (O) E1 AD1 BC Ln có: AD AD1 Dấu xảy D D1 Tức minAD = AD1 AE AE1 đường kính Như AE đạt cực đại đồng thời AD đạt cực tiểu Cho nên vị trí DE đạt giá trị lớn Vậy maxDE = D1E1 Ax qua tâm O Bài tập áp dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) M điểm di động cung nhỏ BC Xác định vị trí M để tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác ABC có giá trị lớn Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Điểm M di chuyển nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A, B với nửa đường trịn C, D Tìm giá trị nhỏ tổng SACM + SBDM Trong tất tam giác ABC có độ dài cạnh BC góc A khơng đổi Hãy tìm tam giác có chu vi lớn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 43 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trong hình chữ nhật có đường chéo d khơng đổi, hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn V- Dạng 5: Sử dụng bất đẳng thức đại số Khi giải tốn cực trị hình học có số trường hợp ta phải đưa biểu thức đại số Khi ta vận dụng cách tìm cực trị biểu thức đại số cách sử dụng bất đẳng thức, phương pháp tìm cực trị phần I với điều kiện cụ thể yếu tố hình học tốn Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có diện tích S Các điểm D, E, F thứ tự thuộc cạnh AB, BC, AC cho AD = k.AB, BE = k.BC, CF = k.CA a, Tính diện tích tam giác DEF theo S k b, Với giá trị k diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ A F D B E C a, Hai tam giác ABC ACD có đường cao hạ từ C đến AB đó: SACD = k.SABC = k.S Tương tự SCDF = k.SACD = k2.S Nên SADF = k.S – k2S = k(1 – k)S Tương tự SBDE = k(1 – k)S SCEF = k(1 – k)S Do đó: SDEF = S – 3k(1 – k)S = [1 – 3k(1 – k)]S b, Do S không đổi Nên SDEF đạt giá trị nhỏ [1 – 3k(1 – k)] đạt giá trị nhỏ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 44 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta có: – 3k(1 – k) = 3k2 – 3k + = 3(k2 – k + = 3(k – ) )2 + Dấu xảy k = Vậy minSDEF = Sk= Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Gọi x, y, z theo thứ tự khoảng cách từ điểm M tam giác tới cạnh BC, AC, AB Xác định vị trí điểm M để tổng có giá trị nhỏ Gọi S diện tích tam giác ABC S = SMBC + SMAC + SMAB S= (ax + by + cz) ax + by + cz = 2S Ta xét biểu thức P = (ax + by + cz)( ) = a2 + b2 + c2 + ab( ) + bc( ) + ca( ) Theo bất đẳng thức côsi Với x, y, z > Ta có: , dấu xảy x = y , dấu xảy y = z Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 45 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an , dấu xảy x = z Do P a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ) (a + b + c)2 Hay 2S( Nên ( )= x=y=z M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ví dụ 3: Trong tam giác vng có tổng hai cạnh góc vng khơng đổi tam giác có chu vi nhỏ A c b B a C Gọi P chu vi tam giác ABC Ta có: P=a+b+c Do b, c khơng đổi P nhỏ a nhỏ Đặt b + c = 2m không đổi Suy ra: b=m+x c = m – x Áp dụng định lý Pitago Xét a2 = b2 + c2 a2 = (m + x)2 + (m – x)2 a2 = 2m2 + 2x2 2m2 2x2 Do a2 = 2m x = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 46 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an b=c Vậy chu vi tam giác vuông ABC nhỏ tam giác ABC tam giác vuông cân A Bài tập áp dụng: Cho hình vng KLMN có cạnh Người ta nội tiếp hình vng hình thang ABCD với đáy AB CD cho A trung điểm KN, đỉnh B, C, D thuộc cạnh KL, LM, MN Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ABCD BK = Cho đường tròn (O; R) đường kính AB M điểm di động đường trịn Vẽ MH vng góc với AB (H thuộc đoạn AB) Xác định vị trí M đường trịn (O; R) cho diện tích tam giác OMH lớn Cho tam giác ABC cân A Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động cạnh AB, AC cho AM = CN Xác định vị trí M, N để: a, MN có giá trị nhỏ b, Diện tích tam giác AMN có giá trị lớn Kế hoạch thực đề tài Biện pháp thực hiện: tích hợp nội dung vào học lớp, ôn tập bồi dưỡng buổi chiều, giao nhà cho học sinh Phần đại số: Dạng 1, dạng 2, dạng 3, dạng 4, dạng 5, dạng dạy chương trình đại số lớp 8B, kết hợp củng cố chương trình đại số 9B (thời gian tiết) Dạng 5, dạng 6, dạng dạy chương trình đại số 9B (thời gian tiết) Phần hình học Dạng 1, dạng 2, dạng 3, dạy chương trình hình học lớp 8B, kết hợp củng cố chương trình hình học lớp 9B (thời gian tiêt) Dạng 4, dạng dạy chương trình hình học (thời gian tiết) Phạm vi áp dụng Đề tài áp dụng thử nghiệm với học sinh lớp 8,9 Bước đầu khảo sát đánh giá chất lượng so với năm học trước so với chất lượng đối chứng 8a 9a thấy kết lớpthực nghiệm tiến vượt bậc hẳn, Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 47 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an thăm dị u thích thái độ học tập mơn thu kết tích cực Đề tài áp dụng cho học sinh khối 8, dành cho đội tuyển học sinh giỏi nhà trường để nâng cao hứng thú học tập kết môn Hiệu áp dụng Sau áp dụng đề tài tơi thấy có lợi ích sau: *.Về phía học sinh: Hình thành phát triển lực chun mơn cách có hệ thống rèn luyện kỹ phân tích, nghiên cứu, khái quát tổng hợp hoạt động nhóm, tư logic để giải vấn đề… hứng thú sôi học, hăng say học tập, thảo luận có tinh thần trách nhiệm, có khả giao tiếp, biết cách đưa đến tính thống nhận thức mơn học *.Về phía giáo viên Thu tín hiệu ngược từ phía học sinh, từ có cách đánh giá q trình học tập học sinh cách khách quan xác phát sai lầm học sinh để điều chỉnh kịp thời phù hợp với đối tượng học sinh *.Đối với trình dạy học nói chung Đề tài khơng áp dụng cho mơn tốn mà qua hình thành phát triển cho học sinh nhiều kỹ phương pháp học tập cho mơn học khác, hình thành lực hành vi, lực nhận thức thái độ học tập tích cực cho học sinh, xây dựng mơi trường học tập tích cực tự giác, chủ động, giúp em có kỹ năng, có tri thức tốt bước vào sống Kết thực Qua trình áp dụng thực tiễn tơi thấy học sinh tích cực chủ động, tự tin việc tiếp thu kiến thức Trong trình giảng dạy trường THCS trọng điểm Lê Hữu Trác- Mỹ Hào áp dụng đề tài vào lớp 8B năm học 2014-2015, vào lớp 9B năm học 2015-2016 đối chứng với lớp 8A năm học 2014-2015 lớp 9A năm học 20152016 sau dạy xong kiểm tra đánh giá kết đạt sau: Kết kiểm tra đợt (chưa áp dụng đề tài) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 48 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lớp Sĩ số Điểm giỏi SL Điểm % SL Điểm TB Điểm yếu % SL % SL % 21 50 0 43,6 0 8A 42 14,3 15 35,7 8B 39 20,5 14 35,9 17 Kết kiểm tra đợt (đã áp dụng đề tài vào lớp 8B năm học 2014-2015) Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu SL % SL % SL % SL % 18 43 0 12,8 0 8A 42 19 16 38 8B 39 19 48,7 15 38,5 Kết kiểm tra đợt (sau áp dụng đề tài vào học kỳ lớp năm học 2015-2016) Lớp Sĩ số Điểm giỏi SL % Điểm SL % Điểm TB SL Điểm yếu % SL % 9A 42 12 28,6 16 38,1 14 33,3 0 9B 39 25 64,1 12 30,8 5,1 0 Kết học tập 8B, 9B tốt hẳn lớp 8A, 9A trình học tập hướng dẫn giáo viên em chủ động tiếp thu kiến thức cách tốt nhất, em phát kiến thức, đưa phương pháp giải , thực tế làm lớp, có hệ thống tập vận dụng nhà giúp em nắm sâu , ghi nhớ lâu hơn, hào hứng học tập, chiếm lĩnh kiến thức Lớp 8A,9A đạt kết thấp 8B, 9B học theo phương pháp cũ, nặng nề, tẻ nhạt, không hào hứng học, tập sách giáo khoa, sách tập không hệ thống nên học sinh thấy khó khăn việc ghi nhớ phương pháp giải toán Mặt khác áp dụng đề tài vào bồi dưỡng học sinh giỏi trường Lê Hữu Trác cho kết tốt, toán tìm cực trị em giải thục Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 49 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài học kinh nghiệm Trên số dạng toán thường gặp chương trình tốn THCS Mỗi dạng có đặc điểm khác Việc phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu kiến thức thấy toán áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng tốn tơi chọn tốn điển hình để học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, tìm tịi phát cách giải cho loại hiểu cách làm, cách vận dụng để giải toán tương tự toán sở toán quen thuộc Trong q trình giảng dạy tơi đặc biệt ý đến nội dung tốn có xếp theo trình tự từ dễ đến khó, nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với lực học sinh để phát huy tối đa khả phát kiến thức, tư lôgic người học Bên cạnh thân giáo viên phải khơng ngừng lỗ lực trau dồi kiến thức, củng cố nâng cao chuyên môn nghiệp vụ , đổi phương pháp giảng dạy để xây dựng cho phương pháp giảng dạy thích hợp cho chủ đề phù hợp với đối tượng học sinh theo hướng tiếp cận lực người học.Tuy nhiên để chất lượng dạy học đạt kết tốt, tập phải đảm bảo mục tiêu học,phù hợp với chuẩn kiến thức kỹ trường THCS Khi đánh giá kết em, giáo viên cần công minh, đánh giá trình cố gắng học sinh, động viên kịp thời để kích thích tích cực, hăng say học tập khám phá tri thức học sinh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 50 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.KẾT LUẬN Nhận định chung Trên toàn nội dung tìm cực trị mơn tốn 8, 9, xếp chi tiết từ dễ đến khó, tơi hệ thống phân dạng có phương pháp giải cụ thể cho dạng, tích hợp tốn vận dụng thực tế, tơi lồng ghép vào tiết học, với nội dung, chương trình hợp lí nhất, phù hợp với nội nung kiến thức học lực học sinh tránh gây mệt mỏi, nhàm chán cho học sinh Ngoài cần quan tâm đến đối tượng học sinh, số dạng tập khó áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi Việc áp dụng chuyên đề thực cần thiết, đạt hiệu định vận dụng với đối tượng học sinh Từ hình thành cho em kỹ vận dụng học tập, lĩnh hội tri thức khoa học vận dụng thực tế vào sống Những điều kiện áp dụng * Đối với giáo viên: Phải tâm huyết với nghề, có kế hoạch cụ thể để triển khai nội dung đề tài giảng dạy bồi dưỡng học sinh * Đối với học sinh: Cần u thích mơn học, say mê tìm tòi khám phá kiến thức, chủ động tiếp lĩnh hội kiến thức cách tốt nhất, tích cực làm tập giao Triển vọng áp dụng phát triển đề tài Toán cực trị loại tốn hay khó THCS, cịn vận dụng vào thực tế sống, cần tiếp tục triển khai vận dụng vào thực tiễn trường THCS trọng diểm Lê Hữu Trác, áp dụng vào chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi qua để nghiên cứu sâu dạng tập đề cập đến chuyên đề, để bổ sung cách phù hợp cho học sinh trung học sơ sở Đồng thời rèn cho học sinh tư suy luận, phân tích, dự đốn, tổng hợp, giải vấn đề kỹ khác, giúp cho học sinh u thích mơn học, say mê học tập cịn sở cho em học môn học khác từ nâng cao chất lượng học tập học sinh Những kiến nghị đề xuất Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 51 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an *.Đối với cấc cấp quản lí: tơi xin đề xuất tăng cường tài liệu tham khảo, tổ chức chuyên đề, hội thảo bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên *.Đối với giáo viên: cần tích cực nghiên cứu tài liệu tự nâng cao kiến thức chuyên môn, chuẩn bị dạy chu đáo, tổ chức hoạt động dạy học đạt kết cao nhất, từ nâng cao chất lượng dạy giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức cách có hiệu Thường xun trao đổi kinh nghiệm với tổ nhóm chun mơn, bạn đồng nghiệp để phát huy ưu điểm, khắc phục hạn chế thân để nâng cao lực chuyên môn nghiệp vụ *.Việc đổi phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực phát huy tính độc lập sáng tạo học sinh,tiếp cận lực người học, chèc lát mà trình lâu dài Mục tiêu cuối hướng dẫn học sinh biết giải toán, học toán biết vận dụng tốn học vào mơn khác vào thực tế Đề tài đề cập tới vấn đề trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiên theo mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn lớp 8,9 Trên vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, với góp ý đồng nghiệp hy vọng đề tài tơi góp phần tăng thêm hiệu học tập học sinh Dù cố gắng học hỏi trau dồi kiến thức song khơng tránh khỏi thiếu xót, tơi mong nhận quan tâm góp ý chân thành đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để đề tài ngày hoàn thiện Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 52 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an TÀI LIỆU THAM KHẢO Các toán cực trị - Lê Mộng Ngọc ( Nhà xuất giáo dục – 1996 ) 250 toán đại số bồi dưỡng học sinh cấp - Võ Đại Mau ( Nhà xuất Thành phố Hồ Chí Minh ) Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 8, ( Nhà xuất Hà Nội – 1995 ) - Vũ Hữu Bình Tơn Thân Tốn nâng cao chuyên đề Đại số hình học lớp ( Nhà xuất Giáo dục – 2004 ) - Vũ Dương Thuỵ Nguyễn Ngọc Đạm Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 53 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG MỞ ĐẦU Sơ yếu lí lịch I Đặt vấn đề 1.Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.Ý nghĩa giải pháp Phạm vi nghiên cứu II.Phương pháp tiến hành 1.Cơ sở lí luận 2.Cơ sở thực tiễn Các biện pháp tiến hành 4 thời gian tạo giải pháp NỘI DUNG I Mục tiêu đề tài II Phương pháp tiến hành 1.Mô tả giải pháp PHẦN I: Các toán cực trị đại số Chương I: Những kiến thức I Khái niệm II Kiến thức thường dùng III Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1.Phương pháp bất đẳng thức 2.Phương pháp miền giá trị Chương II: dạng toán thường gặp Dạng 1:Đa thức bậc chứa dấu giá trị tuyệt đối 11 Dạng 2:Đa thức bậc hai 13 Dạng 3: Đa thức bậc cao 15 Dạng 4:Phân thức 16 Dạng 5: Căn Thức giá trị tuyệt đối 18 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 54 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Dạng 6: Cực trị có điều kiện 22 Dạng 7: tốn tổng hợp 24 PHẦN II: Cực trị hình học phẳng Chương I: kiến thức I.Toán cực trị hình học II.Các phương pháp giải tốn cực trị hình học 1.Phương pháp 28 28 2.Phương pháp 29 2.Phương pháp 30 Chương II Các dạng toán cực trị Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác 32 Dạng 2: dùng tính chất đường vng góc, đường xiên 36 Dạng 3: Sử dụng tính chất độ dài đường gấp khúc 38 Dạng 4: Sử dụng tính chất bất đẳng thức đường trịn 41 Dạng 5: Sử dụng bất dẳng thức đại số 45 Kế hoạch thực đề tài 48 Phạm vi áp dụng 48 48 .Hiệu sử dụng 49 Kết thực KẾT LUẬN Nhận định chung 52 2.Những điều kiện áp dụng 52 3.Triển vọng vận dụng đề tài phát triển 52 53 Kiến nghị, đề xuất 54 Tài liệu tham khảo Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 55 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS TRỌNG ĐIỂM LÊ HỮU TRÁC Tổng điểm…………………… Xếp loại……………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH – HIỆU TRƯỞNG ( Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MỸ HÀO Tổng điểm…………………… Xếp loại……………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH – TRƯỞNG PHÒNG ( Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn 56 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn
Ngày đăng: 03/08/2023, 21:23
Xem thêm: