Skkn một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học khơng gian tổng hợp Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn Tốn: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng năm 2014 đến tháng năm 2015 Tác giả: Họ tên: Nguyễn Thị Huyền Năm sinh: 1986 Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xn Trường - Tỉnh Nam Định Trình độ chun mơn: Cử nhân Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường Địa liên hệ: Xóm - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 0944.347780 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503.886.167 Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 I ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong chương trình hình học lớp 11, 12 toán khoảng cách không gian nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Các toán khoảng cách phong phú đa dạng, đòi hỏi người học phải có tư tốt, có trí tưởng tượng khơng gian phong phú có kĩ tính tốn tốt Do học sinh có lực học trung bình, trung bình tốn khoảng cách thường mảng kiến thức khó dễ điểm, cịn học sinh có lực học khá, giỏi em Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 làm tốt phần thân nhiều em chưa tổng quát phương pháp giải cụ thể cho dạng tập nên gặp toán dạng em thường nhiều thời gian để giải Với mong muốn giúp em có nhìn tổng qt hơn, hệ thống hơn, có phương pháp giải cho dạng tập khoảng cách không gian định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giải tốn khoảng cách hình học khơng gian tổng hợp” Từ giúp học sinh đỡ e ngại gặp tốn khoảng cách khơng gian tổng hợp II MÔ TẢ GIẢI PHÁP Thực trạng trƣớc tạo sáng kiến Hình học khơng gian mảng khó tốn học phổ thơng khó học sang quan hệ vng góc Đối với quan hệ song song không gian, tính chất hình vẽ khơng có nhiều khác biệt hình học phẳng nên em dễ nắm bắt dạng tốn phương pháp giải Cịn quan hệ vng góc, tính chất có nhiều khác biệt, khó hình vẽ vng góc khơng gian hồn tồn khơng giống hình học phẳng Do qua quan sát để ý tìm hiểu tơi, tơi nhận thấy học sinh hạn chế sau: + Khả tưởng tượng không gian kĩ vẽ hình khơng gian khơng tốt, đặc biệt tốn liên quan đến quan hệ vng góc + Chưa có kĩ vận dụng kiến thức linh hoạt giải tập Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 + Chưa tự tổng quát phương pháp giải tập sau dạng tập Mà nguyên nhân hạn chế là: + Học sinh chưa quen với cách vẽ hình hình học không gian, đặc biệt tốn quan hệ vng góc + Giáo viên chưa phân loại đưa cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinh dạng tập + Giáo viên chưa trọng rèn kĩ vẽ hình, kĩ tính tốn, kĩ tổng hợp vấn đề cho học sinh + Giờ học hình học khơng gian chưa thực hấp dẫn lơi cuốn, cịn rời rạc tẻ nhạt Từ tơi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn em từ kiến thức Trên sở thấy học sinh yếu phần ta bổ sung kịp thời với hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan đến học Trong đề tài cố gắng đưa số phương pháp giải dạng tập cụ thể hay gặp để từ giúp học sinh có nhìn tổng qt cụ thể Mơ tả giải pháp sau áp dụng sáng kiến A- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Các phƣơng pháp chứng minh đƣờng thẳng d vng góc với mặt phẳng : Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cách 1: Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng mà Cách Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với Cách Chứng minh d đường thẳng thuộc mặt phẳng d vng góc với giao tuyến a ( ) Các định nghĩa khoảng cách a Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng khoảng cách A với hình chiếu vng góc H A Kí hiệu: d(A, ) Như d(A, ) = AH { b Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm A mặt phẳng ( ), gọi H hình chiếu vng góc A lên ( ) Khi khoảng cách hai điểm A H gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu: d(A,( )) Như d(A, ( )) = AH { ( ) ( ) c) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( )là khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu: d(a,( )) d Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng e Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b + Nếu đường vng góc chung cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Một số công thức cần nhớ a/ Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có: 1 2 + b/ Định lí Cosin tam giác: Trong tam giác ABC có 2 + –2 cos ̂ Trong tam giác bình phương độ dài cạnh tổng bình phương độ dài hai cạnh cịn lại trừ lần tích hai cạnh với cosin góc xen Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 c/ Các cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi p, R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, S diện tích tam giác ABC Khi ta có: S S √ ( – )( – )( – ) , S sin S S Công thức Hê rông * Đối với phương pháp tọa độ khơng gian cịn có S |[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]| Cơng thức khoảng cách hình học khơng gian Oxyz Trong không gian Oxyz cho điểm M ( ; ; ), mp(P): a + b + c + d Khoảng cách từ M đến mặt phẳng P) là: d( ,( )) a +b +c +d √a2 + b2 + c2 B- BÀI TẬP I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƢỜNG THẲNG Phƣơng pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ta thực sau: Bước Trong mặt phẳng , hạ , Bước Tính d( , ) dựa vào cơng thức học Đặc biệt: + Nếu tồn đường thẳng qua A song song với Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI d , + Nếu đường thẳng d , NĂM HỌC 2014 – 2015 d , qua A cắt , I với điểm B thuộc có: d , d , Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O, Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC AB SA = a, a) Chứng minh rằng: b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM Từ suy khoảng cách từ S đến CM Giải: a) Trong tam giác SAC có I, O trung điểm SC, AC nên IO // SA Mà nên b) +/ Tính khoảng cách từ I tới CM Gọi trọng tâm tam giác ABC Trong tam giác ABC có √2 , √2 Gọi H hình chiếu I CM ta có: { d Trong tam giác vuông vuông Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI có 2 + NĂM HỌC 2014 – 2015 √20 Trong tam giác vng √ có + √30 10 √30 10 Vậy d +/ Tính khoảng cách từ S đến CM d( ) √30 Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a ( ), Vì nên d( d( ) ) IC SC vuông 300 Gọi M điểm di động cạnh AC, H hình C với AB = 2a, ̂ chiếu vng góc S BM a) Chứng minh b) Đặt AM = x với √3 Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm x để khoảng cách từ S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất? Giải } a) Có Mà nên Vì nên b) Vì d( , ) Trong tam giác vng SAH có 2 + Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI NĂM HỌC 2014 – 2015 Trong tam giác vng ABC có { sin ̂ cos ̂ √3 Trong tam giác vng MBC có: √ + 2 √( √3 - ) + √ - 2√3 √ +4 - 2√3 +4 Thay AH SA vào ta được: √ 22 8√3 - √3 + 16 +4 Từ suy ra: +/ SH lớn AH lớn nhất, √3 +/ SH nhỏ AH nhỏ nhất, Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ trụ tam giác ’ ’ ’ có đáy ABC tam giác tâm O cạnh a Hình chiếu ’ mặt phẳng ABC trùng với tâm tam giác ABC Cạnh ’ hợp với mặt phẳng ABC góc Gọi I trung điểm AB Tính khoảng cách: a) Từ O đến b) Từ C đến ’ ’ c) Từ C đến ’ ’ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường skkn