Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 79 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
79
Dung lượng
844,89 KB
Nội dung
lu an n va tn to ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - gh p ie w nl oa d va an lu PHẠM HỒNG CẨM oi lm ul nf nh at z z gm @ KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, om l.c HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP an Lu n va ac th si LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 lu an n va tn to ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - gh p ie w nl oa d va an lu PHẠM HỒNG CẨM oi lm ul nf nh at KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, z z HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP gm @ : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 01 13 om l.c Chuyên ngành an Lu n va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ac th si NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2017 lu an n va tn to Mở đầu p ie gh MỤC LỤC w Chương 1: Phân loại phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải nl oa phương trình, hệ phương trình hỗn hợp d 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương an lu 1.1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp 1.2 Kĩ thuật đặt ẩn phụ fu n va 1.1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương ll m 1.2.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình dạng tổng tích ẩn oi 10 nh 11 1.3 Phương pháp điều kiện cần đủ 15 at 1.2.2 Một số phương trình hệ phương trình giải nhờ đặt ẩn phụ z z 19 1.4.1 Kĩ thuật sử dụng tính đồng biến ngặt hàm số gm @ 1.4 Phương pháp hàm số 19 co 22 m 1.4.1.2 Kĩ thuật chủ đạo l 1.4.1.1 Sử dụng tính đồng biến hàm 19 30 33 n va 1.4.2 Phương pháp giá trị lớn nhỏ đánh giá an Lu 1.4.1.3 Kĩ thuật chủ đạo 1.5 Bài tập tương tự 36 2.1 Phương trình với nhiều cách giải 40 2.2 Các kĩ thuật giải phương trình hệ phương trình 48 2.3 Bài tập tương tự 71 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 i si 40 ac trình hỗn hợp th Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương lu an n va tn to gh MỞ ĐẦU p ie Lí chọn đề tài Phương trình hệ phương trình hỗn hợp hiểu phương trình w nl hệ phương trình phức tạp, chứa nhiều loại hàm khác (đa thức, thức, oa d mũ, logarithm, ) Để giải phương trình chứa nhiều loại hàm, ta thường an lu phải “bóc lớp” để đưa phương trình hệ phương trình đơn giản Tuy fu n va nhiên, có nhiều phương trình, hệ phương trình hỗn hợp địi hỏi sử dụng ll kĩ thuật giải tổng hợp, nói chung dùng kĩ thuật, mà phải sử m oi dụng tổng hợp vài đồng thời nhiều kĩ thuật để giải nh phương trình, hệ phương trình loại at z Đã có số sách (xem, thí dụ, [1], [2], [5]–[9], [11]) số luận z gm @ văn cao học (xem, thí dụ, [3], [4]) viết phương pháp giải phương trình hệ phương trình, nhiên, theo quan sát chúng tôi, cần sâu phân l phương trình, hệ phương trình hỗn hợp m co tích cụ thể chi tiết phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải an Lu Trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia năm gần n va (trước 2017), hai câu khó (câu câu 10) thường toán ac th liên quan tới phương trình hệ phương trình hỗn hợp Để giải tốn trình hệ phương trình hỗn hợp hay gặp kì thi học sinh giỏi (Olympic 30–4, vơ địch Quốc gia, Quốc tế) Với lí trên, tác giả lựa chọn đề tài Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp làm đề tài luận văn cao học Lịch sử nghiên cứu Chủ đề phương trình, hệ phương trình có vị trí vai trị quan trọng chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thơng Kiến thức kĩ chủ đề có mặt xuyên suốt từ cuối Trung học Cơ sở, tới đầu cấp si này, cần sử dụng thành thạo nhuần nhuyễn kĩ thuật tổng hợp Phương lu an n va tn to ie gh đến cuối cấp Trung học phổ thơng Nó đóng vai trị chìa khóa để p giải nhiều toán thực tế Đã có nhiều tài liệu viết chủ đề phương trình, hệ phương trình nl w oa Tuy nhiên, theo quan sát chúng tôi, ngoại trừ [4], chưa có nhiều tài liệu d hay đề tài luận văn cao học phân tích sâu kĩ thuật giải phương trình, hệ an lu phương trình hỗn hợp n va Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu fu ll Luận văn hệ thống hóa trình bày số kĩ thuật giải phương trình, m oi hệ phương trình hỗn hợp thường gặp kì thi Olympic, thi học sinh nh at giỏi Quốc gia Quốc tế Tất tốn, ví dụ minh họa toán z tương tự luận văn chọn lựa từ đề thi vào đại học z @ gm thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế nước, chủ yếu l đề thi năm gần đây, dựa nhiều tài liệu ngồi nước, thí m co dụ, [10], [12] Bên cạnh việc hệ thống hóa đề thi, luận văn cố gắng Mục tiêu luận văn an Lu phân tích, tổng hợp phương pháp thơng qua ví dụ cụ thể va n Luận văn có mục tiêu trình bày phương pháp kĩ thuật tổng hợp th ac giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp Các phương pháp kĩ thuật dụng cho toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ bất phương trình, tốn cực trị Hi vọng luận văn góp phần làm sáng tỏ thêm kĩ thuật phương pháp giải phương trình, hệ phương trình áp dụng vào thực tế học tập giảng dạy Phương pháp nghiên cứu - Phân tích lí thuyết, phân dạng loại tập - Đưa ví dụ minh họa phù hợp với nội dung si tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp hồn tồn áp C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to gh - Tổng hợp tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, sách liên p ie quan đến đề tài Cấu trúc luận văn w nl Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm Chương oa d Chương 1: Phân loại số phương pháp kĩ thuật giải phương trình lu an hệ phương trình hỗn hợp n va Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình hệ phương fu ll oi m trình hỗn hợp nh at z z m co l gm @ an Lu n va ac th si Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to ie gh Chương p PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP nl w oa d Để giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp loại khó, lu an thường cần phải đồng thời kết hợp sử dụng vài kĩ thuật Tuy vậy, n va tốn thường có kĩ thuật chủ đạo Nhằm dễ dàng phân tích lời fu ll giải, phương trình hệ phương trình luận văn phân loại m oi theo phương pháp giải Các phương pháp kĩ thuật giải phân loại nh at z 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương z @ Nói chung, q trình giải phương trình, hệ phương trình gm l trình biến đổi tương đương từ phương trình, hệ phương trình phức tạp m co phương trình, hệ phương trình đơn giản nhờ số tính chất hàm vô g ( x) ≥ f ( x ) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x ) n va Tính chất 1: an Lu tỉ, mũ, logarithm, thí dụ: ac Tính chất 2: f ( x) g1 ( x ) = f ( x) g2 ( x ) ⇔ f ( x ) = Nhận xét: Nhiều học sinh thường quên trường hợp f ( x) = Tính chất 3: f ( x) > 0, f ( x) ≠ f ( x) > 0, f ( x) ≠ log f ( x ) g1 ( x) = log f ( x ) g ( x) ⇔ g1 ( x ) = g ( x) ⇔ g1 ( x) = g ( x ) g ( x) > g ( x) > Nhận xét: Chỉ cần giải hai hệ trên, chọn hai điều kiện g1 ( x) > g ( x ) > điều kiện dễ giải Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si f ( x) > 0, f ( x) ≠ g1 ( x) = g ( x ) th Nhận xét: Khơng cần địi hỏi giải điều kiện thừa f ( x) ≥ C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to ie gh Kĩ thuật biến đổi tương đương kĩ thuật bản, nhiên, p phương trình, hệ phương trình hỗn hợp, kĩ thuật lúc áp dụng cách hợp lí, mà phải kết hợp thêm với kĩ thuật khác w nl Các ví dụ cụ thể (các toán thi Olympic thi vào đại học), oa d Chương trình bày phân tích sâu nhận xét lu an 1.1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương n va Bài (Thi học sinh giỏi Việt Nam VMO 2002, Bảng A) Giải phương trình fu ll − 10 − x = x − (1) oi m nh Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa at z z gm @ 10 10 − x ≥ 10 x ≤ ⇔ ⇔ ≤ x ≤ (*) x − ≥ x ≥ ⇔ (10 − x ) = x ( − x ) ⇔ x − x + 16 x + 27 x − 29 = an Lu ⇔ ( x − 3)( x + ) ( x − x + 15 ) = m co l Với điều kiện (*) ta có: (1) ⇔ − 10 − x = x − x + n va ⇔ x = (vì x − x + 15 = vô nghiệm x = −2 không thỏa mãn điều Bài (Thi Olympic Trung Quốc CMO, 1998) Giải phương trình x = x− 1 + − (1) x x Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa x > (*) Với điều kiện (*) 1 1 1 (1) ⇔ x − x − = − ⇔ x − x − = − x x x x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si Đáp số: Phương trình có nghiệm x = ac th kiện (*)) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va p ie gh tn to ⇔ x − − x ( x − 1) + x = ⇔ ( x2 −1 − x ) = ⇔ x2 −1 = x 1+ 1− (x = không thỏa mãn điều kiện (*)) 2 nl w ⇔ x2 − x −1 = ⇔ x = oa d Đáp số: Phương trình có nghiệm x = an lu 1+ n va Nhận xét: Trong hai toán trên, ta sử dụng phương pháp biến đổi fu tương đương với kĩ thuật bình phương hai vế khơng âm phương trình ll oi m Bài (Thi học sinh giỏi Kiên Giang 2014–2015) Giải phương trình nh x + − x = x + + 10 − x − x − (1) at z Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa −2 ≤ x ≤ (*) z − x − x + = x+2 −2 )( ) x+ − 5− x = n va ac th Thử lại điều kiện (*) ta đến kết luận hai giá trị nghiệm phương trình Đáp số: x = 2; x = Nhận xét: Trước biến đổi tương đương, phải quan sát thấy phân tích 10 − 3x − x = ( x + 2)( − x ) Đây mấu chốt để giải toán Việc biến đổi tương đương giải phương trình vơ tỉ x + − = x + − − x khơng khó, với học sinh trung bình Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si x = x+2 −2=0 x+2 =2 ⇔ ⇔ ⇔ x = x + = − x x + − − x an Lu ( m ⇔ co ⇔ x + x + − − x − 2 x + − − x = l ( x + )( − x ) + gm (1) ⇔ x + − @ Với điều kiện C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to ie gh 1.1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp p Sử dụng biểu thức liên hợp dạng a − b = ( a+ b )( ) a − b , để biến nl w đổi tương đương phương trình cho dạng đơn giản oa Kĩ thuật sử dụng phổ biến thi vào đại học thi d an lu học sinh giỏi năm gần fu phương trình n va Bài (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, năm học 2010–2011, lớp 12) Giải ll oi m 2( x − 6) = x − − x + (1) nh Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa là: at z x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x ≥ (*) x + ≥ x ≥ −3 z gm @ Với điều kiện (*), nhân hai vế với biểu thức liên hợp l ⇔ 2( x − 6)(3 x − + x + 3) = x − 48 n th ( 2) va ⇔ ( x − ) (3 x − + x + 3) = 4( x − 6) an Lu (1) ⇔ 2( x − 6)(3 x − + x + 3) = 9( x − 5) − ( x + 3) m co x − − x + x − + x + 3, ta ac Trường hợp 1: x = thỏa mãn điều kiện (*) nên nghiệm (1) Trường hợp 2: x ≠ Chia hai vế phương trình (2) cho x − ta (2) ⇔ x − + x + = ⇔ ( x − ) + ( x + 3) + x − x + = 16 ⇔ x − x + = 29 − x 29 x≤ 29 − x ≥ 17 − ⇔ ⇔ ⇔ x= x − 17 x + 61 = x = 17 ± Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si Cũng thay x = vào phương trình (1) để tin x = nghiệm (1) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to gh Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: p ie x + ≥ 22 ⇔ −2 ≤ x ≤ (*) 22 − 3x ≥ nl w + y > y = y ≥ y nên + y − y > nên nhân (1) với biể u oa Do d y + + y an n va x2 + + x = y +1 + y fu (1) ⇔ y2 +1 − y = lu thức liên hợp (− y) + + ( − y ) , ta được: ⇔ x2 + + x = (− y) + − y ⇔ f ( x ) = f ( − y ) ll m f ′(t ) = có oi f (t ) = t + 1+ t số Hàm 1+ t2 + t nh 1+ t t2 + t = t +t ≥ l gm Do hàm số f ( t ) đồng biến chặt @ 1+ t2 z 1+ t z 1+ t > at 1+ t + t >0 m co Suy f ( x ) = f ( − y ) ⇔ x = − y (2) ⇔ x + + 22 − 3x = x + an Lu Thế vào (2) ta được: n va ⇔ ( − x2 + x + ) x+2 +x+4 + − x2 + x + + 3( − x2 + x + ) = 22 − 3x + 14 − x ⇔ ( − x + x + ). + + 3 = x + + x + 22 − 3x + 14 − x Do 22 + + > 0, ∀x ∈ −2; 3 x + + x + 22 − 3x + 14 − x x = −1 nên phương trình tương đương với − x + x + = ⇔ ( tm ) x = 62 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si ⇔ 3 x + − ( x + ) + 3 22 − x − (14 − x ) = ( x − x − ) ac th 14 1 ⇔ x + − x + + 22 − x − − x + = x − x − 3 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to gh x = −1 x = y = y = −2 p ie So với điều kiện (*), ta đến Đáp số: Tập nghiệm hệ S = {( −1;1) ; ( 2; −2 )} nl w oa Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm d an lu Ngồi ra, cần có lí luận đặc biệt n va Bài 23 (Thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm 2014) Giải hệ phương trình fu ( x − 1) x + y = ( − x − y ) − x 2 12 x + xy − 18 x = x − x − y + ll oi m (1) ( 2) nh Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: at z x + y ≥ 0, x ≤ (*) z gm @ Đặt a = − x ≥ ⇒ x = − a2; b = x + y ≥ Khi (1) ⇔( 3−2a2 ) b =( 6−b2 ) a ( 3) co l Do a = b = ⇔ x = 2, y = −2 không thỏa mãn hệ nên xét a > 0, b > 3− 2a2 − b2 − ( 2a) − b2 = ⇔ = ⇔ f ( 2a) = f ( b) Với a > 0, b > ( 3) ⇔ a b b ( 2a) m an Lu n va 6 Hàm số f ( t ) = − t có f ′ ( t ) = − − < 0, ∀t > nên f ( t ) đồng biế n t t th ac chặt ( 0, +∞ ) Suy f ( 2a ) = f ( b ) ⇔ b = 2a si x + y = 2 − x ⇔ x + y = ( − x ) ⇔ y = − 5x Hay Thế vào (2) ta được: ( ) ⇔ −3x + x = x3 − x − ⇔ ( x − 3x ) +2 3 x − x = ( x − 1) + ( x − 1) ⇔ f Hàm số f ( z ) = z + z có f ′( z ) = 3z2 + > ∀z ∈ chặt Suy f ( ) ( ) x − 3x = f ( x − 1) nên f ( z ) đồng biế n 6x − 3x2 = f ( x −1) ⇔ 6x − 3x2 = x −1 ⇔ x3 − 3x −1 = ( 4) Xét x ∈ [ −2;2] đặt x = 2cos u, ( u ∈ [0; π ]) 63 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va p ie gh tn to ( ) ⇔ 8cos3 u − 6cos u = ⇔ 4cos3 u − 3cos u = π + nl w ⇔u =± k 2π π 5π 7π k ∈ ; u ∈ [ 0; π ] nên u ∈ ; ; 9 9 oa π d Suy ra: x = 2cos π ⇔ cos3u = cos 5π 7π x = 2cos 9 an lu x = 2cos n va Do phương trình bậc ba khơng có q ba nghiệm nên ba fu nghiệm (4) ll oi m Đáp số: Các cặp nghiệm cần tìm hệ phương trình nh π π 5π 5π 7π 7π 2cos ;8 − 10cos ; 2cos ;8 − 10cos ; 2cos ;8 − 10cos 9 9 9 at z z Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ phương pháp @ gm đạo hàm co l Bài 24 (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Cần Thơ năm 2015) Giải hệ m phương trình )( ) r y r x y ; v = y + ; x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chọn u = x + ; 2 2 r r 3 Khi ta có u + v = x + y; ( x + y ) Suy ra: 2 2 r r 2 u +v = ( x + y) + ( x + y) = 2( x + y) 4 64 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si x2 + y + y+ + x =2( x+ y) ( 3) 2 ac y Với điều kiện ta có (1) ⇔ x+ 2 th Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: x ≥ 2, y ≥ n va ( (1) ( 2) an Lu x + xy + y + y + xy + x = ( x + y ) ( y − ) x − = + x − y + y − + C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to 2 p ie gh 2 r y r x u = x+ + y ; v = y + + x 2 2 r r r r Áp dụng bất đẳng thức véctơ u + v ≥ u + v , kết hợp với (3), ta có: nl w oa 2 d 2 y x ( 3) ⇔ ( x + y ) = x + + y + y + + x ≥ ( x + y ) 2 2 an lu fu n va r r Dấu bất đẳng thức xảy hai véctơ u v hướng, x y y + ⇔ x = y ⇔ x = y x ≥ 1, y ≥ 2 oi nh y x x + = 2 m ll nghĩa là: at ( )( z Thế vào ta được: (2) ⇔ (8 x − ) x − = + x − x + x − + )( ( + 4x − = + x − ) ( ) + (2 + x−2 ) n 4x − = f + x − ( ) ( ) 4x − = f + x − ⇔ x − = + x − x = ⇒ y = ⇔ x + + x − = x − ⇔ x − = 3x − ⇔ x = 34 ⇒ y = 34 9 Đáp số: Nghiệ m hệ ( x; y ) = ( 2;2 ) ; 34 34 ; 9 65 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si nên f ( t ) đồng biến Suy f ac th Hàm số f ( t ) = t + t có f ′ ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ) va ( ) an Lu 4x − ) x − + + 1 m ⇔ f ( x − + 1 x − = + x − + x − + + 1 co ( ) l ⇔ ( ) gm ⇔ x−2 @ ) ( z ( ⇔ ( x − 3) x − = + x − ) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to gh Bài 25 (Đề đề nghị Olympic 30/04/2014, THPT Chuyên Nguyễn Du, p ie Đắk Lắk) Giải hệ phương trình w nl xy + 3x + y + + ( x + 2) y + − xy + x + y + = x − + y − 3x + + x2 y − x3 + x2 − x = oa (1) ( 2) d an lu fu n va Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: x ≥ ; y ≥ −2 ll oi m Với điều kiện thì: y + − x ( y + 2) + ( y + 2) = nh (1) ⇔ x ( y + 3) + ( y + 3) + ( x + ) ⇔ ( x + 2)( y + + 2 an Lu Đặt u = x + ≥ , v = y + ≥ Khi ac th (1 + u )(1 + v ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 3 abc ≤ a + b + c cộng lại, ta được: (3") ⇔ = ⇔1= 3 uv + 2 (1 + u )(1 + v ) (1 + u )(1 + v ) 1 u v v 1 1 u 2v +3 ≤ + + + 1+ u 1+ v 1+ v 1+ u 1+ v 1+ v 1+ u 1+ v 1+ u 1+ v 66 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si ( ) = + uv 3' n Chia hai vế cho va ( 3) ⇔ (1 + u )(1 + v ) m ( 3) co ) y + + = + ( y + )( x + 1) l ( x + 2) ( y + − ( y + )( x + 1) = gm ) @ ⇔ y + − ( y + )( x + 1) = z ( y + 3)( x + ) + ( x + ) z at ⇔ C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to p ie gh 1 + u = + v u = v ⇔ ⇔ u = v Dấu đẳng thức xảy u (1 + v ) = v (1 + u ) u = v 1 + u + v nl w oa Suy ra: x + = y + ⇔ y = x + x − Thế vào phương trình (2), ta được: x ( x − 1) ll (x − x + 1) + x − x + + 2 + ( x − 1)( x − 1) ( x + ) = nh oi + m 2x − + ) x − x + − + x − 3x3 + x2 − x + = fu ( x − 1) n va ) ( 2x − −1 + an ⇔ ( x − + x − x + + x − 3x3 + x − x = lu ⇔ d ( 2) ⇔ at z x ⇔ ( x − 1) + + ( x − 1) ( x + ) = 2 x − + x2 − x + + x2 − x + + ( ) x + + ( 2x − 1) x + > 0, ∀x ≥ Do 2x −1 + x2 − x + + x2 − x + + z ( ) m ) co l gm @ ( an Lu nên phương trình có nghiệm x = Suy y = ( x; y ) = (1;2 ) (1) ( 2) Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa là: ≤ x; y ≤ Đặt u = x 2; v = y 2, u; v ∈ 0; 2 1 + = ( 3) ta có: (1) ⇔ 2 2 1+uv 1+u 1+ v 67 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si 1 + = 2 + xy + 2x 1+ 2y x (1 − x ) + y (1 − y ) = ac Bài 26 (Thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2009) Giải hệ phương trình th Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với đặt ẩn phụ n va Đáp số: Hệ có nghiệm C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to ie gh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: p 1+ u + 1 1+ v ≤ 12 + 12 nl w oa Mặt khác, ta ln có: 1 + 1+ u2 + v2 ( 4) d 1 + ≤ ∀u , v ∈ [ 0;1] ( ) 2 + u + v + uv lu n va u (v − u ) v (u − v ) uv − u uv − v + ≤0⇔ + ≤0 2 (1 + u ) (1 + uv ) (1 + v ) (1 + uv ) (1 + u ) (1 + uv ) (1 + v ) (1 + uv ) fu ll ⇔ an 1 − − + ≤0 2 + u + uv + v + uv Thật vậy: ( 5) ⇔ oi m ( v − u ) ( uv − 1) ≤ với ⇔ (1 + u )(1 + v ) (1 + uv ) nh at u , v ≥ 0; uv ≤ z z Từ (3), (4), (5) suy ra, với u , v ≥ 0; uv ≤ ta có: gm @ 1 = + ≤ 2 + uv + uv 1+ u 1+ v co l ( 3) ⇔ m Dấu đẳng thức xảy u = v ⇔ x = y ⇔ x = y an Lu n So sánh với điều kiện, ta đến va 1 ± 73 V ậy ( ) ⇔ x − x = ⇔ x − x + = ⇔ x = y = 81 36 Bài 27 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng 2014) Giải hệ phương trình 8 x + y = y + 5x + 2 3x + + x y + + y = ( )( ) (1) ( 2) Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa y + 5x + ≥ Do + y > y = y ≥ y nên + y − y > 68 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si Nhận xét: Đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương đánh giá bất đẳng thức ac ± 73 36 th Đáp số: So với điều kiện, nghiệm cần tìm hệ x = y = C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to gh Nhân ( ) với biểu thức liên hợp ta được: ) ie ( ) ⇔ (3x + p + x2 = ⇔ 3x + + ( x ) = + ( − y ) + ( − y ) 1+ y − y 2 w nl ⇔ f ( 3x ) = f ( − y ) oa d an lu Hàm số f ( t ) = t + + t có f ′ ( t ) = t2 + t = t +t 1+ t2 > 0, ∀t ∈ ≥ nên hàm số f ( t ) đồng biến m 1+ t 1+ t2 ll 1+ t > fu 1+ t2 + t n va Vì 1+ t2 + t oi Suy f ( x ) = f ( − y ) ⇔ x = − y ⇔ y = −3 x nh at Thế vào (1) ta được: (1) ⇔ x3 − x = x + ( 3) z 2cos t + ⇔ 2cos3t = (1 + cos t ) co l t t t π = cos3t ⇔ cos3t = cos , : t ∈ 0; ⇒ cos > 2 2 m n va ac th t 4kπ t = 3t = + k 2π ⇔ ⇔ ,k ∈ t = 4kπ 3t = − t + k 2π an Lu ⇔ cos gm ( 3) ⇔ ( 4cos3 t − 3cos t ) = @ π x = cos t , t ∈ 0; Khi đó: 2 z Đặt si π Vì t ∈ 0; nên t = 2 Với t = ta có x = ⇒ y = −3 Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; −3) Nhận xét: Đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương phương pháp hàm số Bài 28 (Thi học sinh giỏi lớp 12 Chuyên Vĩnh Phúc, năm học 2012– 2013) 69 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to p ie gh x + 3x + = y − y − Giải hệ phương trình y + y + = − z − z z + 3z + = x − 5x − ( x, y, z ∈ ) nl w oa d lu an fu n va Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: x, y , z ≥ ll 1 Xét hàm số f ( t ) = t + 3t + 2, g (u) = − 5u −1, liên tục ; +∞ u 5 oi m − < ∀t > u 5u − nh at Ta có f ′ ( t ) = 2t + > 0, g ′(u ) = z z gm @ 1 Suy f ( t ) đồng biến, g ( t ) nghịch biến ; +∞ co l Giả sử ( x0 , y0 , z0 ) nghiệ m hệ (I), tức f ( x0 ) = g( y0 ), f ( y0 ) = g( z0 ) m f ( z0 ) = g ( x0 ) an Lu Khơng tính tổng qt, giả sử x0 = { x0 , y0 , z0 } n va Nếu x0 < y0 ≤ z0 g ( z0 ) ≤ g ( y0 ) = f ( x0 ) < f ( y0 ) = g ( z0 ) Vơ lí Vậy ac th x0 = y0 ≤ z0 x0 = y0 ≤ z0 x0 = y0 = z0 Tương tự, x0 < z0 ≤ y0 x0 = y0 = z0 V ậy x + 3x + = ( x0 , y0 , z0 ) x0 nghiệm − x − (1) x 70 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn phương trình si Nếu x0 = y0 < z0 g ( z0 ) > g ( y0 ) = f ( x0 ) = f ( y0 ) = g ( z0 ) Vơ lí Vậy C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to p ie gh 1 Do f ( t ) đồng biến chặt, g ( t ) nghịch biến chặt ; +∞ nên hàm số 5 1 h(t ) = f ( t ) − g (t ) đồng biến chặt ; +∞ phương trình 5 nl w oa d h(t ) = f ( t ) − g (t ) = có nghiệm t0 = Suy phương trình (1) có lu an nghiệm x0 = n va Đáp số: Hệ phương trình cho có nghiệ m x = y = z = fu ll Nhận xét: Sử dụng phương pháp hàm số kết hợp với số lí luận đặc biệt oi m nh 2.3 Bài tập tương tự z ) phương trình + x − = x + x + z ( at Bài 2.1 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, năm học 2012–2013, lớp 12) Giả i @ ) 1+ x + 1− x − = m co ( l log (8 − x ) + log gm Bài 2.2 (Thi Đại học, khối D, 2011) Giải phương trình ( ) x + + 2 x − = x − Bài 2.5 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2012– 2013, lớp 12) Giải phương trình x +1 − = ( x ∈ ) 2x + − x + Bài 2.6 (Thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh, năm học 2011– 2012, lớp 12) Giải hệ phương trình x3 − x − 10 x − = x + 23x + 12 71 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si ac 1005 Giả i th phương trình sin 2012 x + cos2012 x = n Bài 2.4 (Thi học sinh giỏi Hải Dương, 2011–2012, lớp 12) va phương trình ( x − ) an Lu Bài 2.3 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2010– 2011, lớp 12) Giải C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to ie gh Bài 2.7 (Thi Đại học Khối D, 2010) Giải phương trình x+ p 42 x + + x = 42 + x+ + 2x + x −4 nl w Bài 2.8 (Chọn đội tuyển Đại học Vinh thi HSG Quốc gia 2010) Giả i 2x +1 log ( x + ) + x + = log + 1 + + x + 2 x x oa d phương trình an lu n va Bài 2.9 (Thi học sinh giỏi Long An, năm học 2012– 2013, lớp 12) 2.9.1 (Bảng A) Giải phương trình x + = ( x + 1) fu x + + ll m oi 2.9.2 (Bảng B) Giải phương trình x + x + + 3.( x + 1) = 3x nh at x + y − x − y = 2.9.3 (Bảng B) Giải hệ phương trình z 2 2 x + y + − x − y = z @ gm Bài 2.10 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, 2012– 2013, lớp 12) Giải hệ m co l x3 + xy + y = 0, phương trình 2 x − x + = y + y an Lu Bài 2.11 (Olympic Chinh phục đỉnh Vorobiev, Nga, Vòng chung kết, 2014) , ac ( x − 3) th ) n ( Bài 2.12 (Thi học sinh giỏi Nam Định, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ xy + = y x + 2, phương trình y + ( x + 1) x + x + = x − x Bài 2.13 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, 2010–2011, lớp 12) Giải hệ y + y = x3 + x + x + 2, phương trình − x − y = − y − 72 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si y − m + 5(m − 1) = m − 5m + x − + ( ) nghiệm: x + y = 2(3x − 4) va Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to p ie gh Bài 2.14 (Thi học sinh giỏi Thanh Hóa, 2011–2012, lớp 12) Giải hệ 22 x− y − x+ y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y , phương trình nl w y − 2( x − 1) + = oa Bài 2.15 (Thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ d an lu 2 y + y + x − x = − x , phương trình n va y + + y = + x + fu Bài 2.16 (Thi học sinh giỏi Hải Dương, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ ll m nh y − at 1 + x − = oi x − x = ( y − 1)3 − 9( y − 1), phương trình z Bài 2.17 (Thi đại học Khối A, 2010) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ z @ ( ): ) co l gm x + x + ( y − 3) − y = 0, 4 x + y + x = = m Bài 2.18 (Thi đại học Khối A, 2013) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ): an Lu n va x + + x − − y + = y , 2 x + x ( y − 1) + y − y + = x − 12 x − y + y − 16 = 0, 2 4 x + − x − y − y + m = Bài 2.20 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng, 2013–2014, lớp 12) Giải hệ ( )( ) 2 x + x + y + y + = 1, phương trình 8 x3 + y = x + y + 73 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si ): ac Tìm tất giá trị để hệ phương trình sau có nghiệm ( x, y ∈ th Bài 2.19 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2011–2012, lớp 12) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to gh Bài 2.21 (Thi học sinh giỏi Bắc Ninh 2013–2014, lớp 12) Giải hệ ( ) p ie ( x − 1) x + y = ( − x − y ) − x , phương trình 2 12 x + 3xy − 18 x = x3 − x − y + nl w oa d Tiểu kết chương giới thiệu hệ thống tập phương trình hệ an lu Chương n va phương trình hồn hợp (trong đề thi học sinh giỏi tỉnh fu năm gần đây) có nhiều cách giải áp dụng kết hợp hai phương pháp ll oi m kĩ thuật giải nh at z z m co l gm @ an Lu n va ac th si 74 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va tn to ie gh KẾT LUẬN p Sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu với hướng dẫn tận tình nl w PGS TS Tạ Duy Phượng, hoàn thành luận văn Thạc sĩ theo kế oa hoạch đề Luận văn thu số kết sau: d an lu Trình bày chi tiết số kiến thức liên quan đến phương trình hệ n va phương trình hỗn hợp số kĩ thuật giải, số phương pháp giải fu Trình bày chi tiết lời giải số tốn khó phương trình, hệ ll oi m phương trình hỗn hợp đề thi học sinh giỏi, thi olympic nh Tổng hợp trình bày lời giải số thi học sinh giỏi phương at z trình hệ phương trình hỗn hợp, chọn lọc qua đề thi chọn học sinh giỏ i z tỉnh, thành phố, nhằm hiểu biết sâu phương pháp k ĩ l gm @ thuật giải phương trình hệ phương trình hỗn hợp co Ngoài đề thi nước, cố gắng sưu tầ m thêm m số đề thi nước ngồi Chúng tơi cố gắng tìm ghi lại địa gốc an Lu đề thi, với hi vọng qua ta có tranh tương đối rõ nét n va khả đề thi (trắc nghiệ m, tự luận, kết hợp), mức độ yêu cầu ac th kì thi (đề thi học sinh giỏi nhiều tỉnh, thành phố, dạng), đặc thù kì thi nước Hy vọng điều trợ giúp giáo viên kì thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp phổ thông trung học thi vào đại học 75 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si thiết kế đề thi, bạn học sinh tham khảo chuẩn bị tốt cho C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn