(Luận văn) kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp

lu an va n t to ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ng hi TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ep  - w nl oa d lu an va ul nf NGUYỄN THỊ QUYỂN oi lm nh at z z @ om l.c gm KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH HỖN HỢP an Lu n va ac th si LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 lu an va n t to ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ng hi TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ep  - w nl oa d lu an va NGUYỄN THỊ QUYỂN ul nf oi lm nh at z KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH HỖN HỢP z l.c gm @ om Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp an Lu Mã số: 8460113 n va ac th LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC si NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phƣợng THÁI NGUYÊN - 2018 lu an va n t to ng hi ep w Mục lục nl oa d lu va ul nf Phân loại số kĩ thuật chủ đạo giải bất phương trình hỗn hợp oi lm an Mở đầu at nh z z 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương @ gm 1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp 11 l.c 1.3 Kĩ thuật đặt ẩn phụ 16 om 1.4 Kĩ thuật hàm số 24 an Lu 1.4.1 Kĩ thuật sử dụng đạo hàm bậc 24 1.4.2 Kĩ thuật sử dụng đạo hàm bậc hai 29 va n 1.4.3 Kĩ thuật sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 34 40 1.7 Kĩ thuật hình học 41 Một số kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức 43 2.1 Các kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp 43 2.2 Các kĩ thuật tổng hợp chứng minh bất đẳng thức 60 Tài liệu tham khảo 65 si 1.6 Kĩ thuật lượng giác hóa ac th 1.5 Kĩ thuật véc tơ 38 lu an va n t to ng hi ep w Mở đầu nl oa d lu an Lí chọn đề tài va ul nf Bất phương trình hỗn hợp hiểu bất phương trình phức tạp, lm chứa nhiều loại hàm khác (đa thức, thức, mũ, logarit, ) Để oi at nh giải bất phương trình chứa nhiều loại hàm, ta thường phải "bóc lớp" để đưa bất phương trình đơn giản Tuy nhiên, có z z @ nhiều bất phương trình hỗn hợp địi hỏi sử dụng kĩ thuật giải tổng hợp, gm nói chung dùng kĩ thuật, mà phải sử dụng tổng hợp loại om l.c vài đồng thời nhiều kĩ thuật để giải bất phương trình Lu an Đã có số sách viết phương pháp giải bất phương trình bất va đẳng thức thí dụ, tài liệu [2], [5] Tuy nhiên, theo quan sát chúng n Trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia năm gần (trước năm 2017) câu khó thường tốn phương trình, bất phương trình tốn liên quan tới bất đẳng thức, bất phương trình hỗn hợp Để giải toán này, cần sử dụng thành thạo nhuần nhuyễn kĩ thuật tổng hợp Bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức hay gặp kì thi (thi học sinh giỏi, Olympic si kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức ac th tôi, nên sâu phân tích cụ thể chi tiết phương pháp lu an va n t to 30–4, vô địch Quốc gia, Quốc tế, ) ng hi Với lí trên, tác giả lựa chọn đề tài: "Kĩ thuật tổng hợp giải ep bất phương trình hỗn hợp" làm đề tài luận văn cao học w nl oa Lịch sử nghiên cứu d lu an Chủ đề bất phương trình bất đẳng thức có vị trí vai trị quan va trọng chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thông Kiến ul nf lm thức kĩ chủ đề có mặt xuyên suốt từ cuối Trung học Cơ oi sở, tới đầu cấp đến cuối cấp Trung học phổ thông, chí nh kì thi Olympic sinh viên Nó đóng vai trị chìa khóa để giải at z nhiều toán thực tế z gm @ om l.c Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn hệ thống hóa trình bày số kĩ thuật giải bất phương Lu trình hỗn hợp bất đẳng thức thường gặp kì thi Olympic, an n va thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế Tất toán luận sinh giỏi Quốc gia Quốc tế ngồi nước, từ báo chí, Bên cạnh việc hệ thống hóa đề thi, luận văn cịn cố gắng phân tích, tổng hợp phương pháp thơng qua tốn cụ thể Mục tiêu luận văn: Luận văn có mục tiêu trình bày phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức Các phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức áp dụng cho toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ bất phương trình, tốn cực trị Hy vọng luận văn góp phần làm sáng tỏ thêm kĩ si thí dụ, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ ac th văn chọn lựa từ đề thi vào đại học thi học lu an va n t to thuật phương pháp giải bất phương trình, bất đẳng thức áp ng dụng vào thực tế học tập giảng dạy hi ep Phương pháp nghiên cứu w nl oa - Phân tích lí thuyết, phân dạng loại tập d - Đưa tập minh họa phù hợp với nội dung lu an - Tổng hợp tài liệu từ sách tham khảo, sách liên quan đến đề tài va ul nf oi lm Cấu trúc luận văn Chương at nh Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm z z Chương 1: Phân loại số kĩ thuật giải bất phương trình hỗn hợp @ gm Trong chương này, chúng tơi trình bày kĩ thuật giải bất phương om l.c trình hỗn hợp Trong kĩ thuật, trước hết trình bày ý tưởng, sau chúng tơi trình bày nhiều ví dụ có lời giải chi tiết, thể rõ kĩ an Lu thuật nêu n Chương trình bày số tốn bất phương trình hỗn hợp mà số tốn bất đẳng thức Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đầu tiên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn để tơi hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy khoa Toán Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng si phải dùng tổng hợp kĩ thuật nêu chương để giải Cuối ac th bất đẳng thức va Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp lu an va n t to dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập, thực ng hoàn thành luận văn hi ep Xin cảm ơn nhà trường, Trường THPT Quế Võ Số 1, huyện Quế Võ, tỉnh Bắc Ninh tạo điều kiện giúp đỡ tôi, cảm ơn giúp đỡ w nl bạn bè, người thân đồng nghiệp suốt thời gian học tập oa d làm luận văn lu an Thái Nguyên, tháng năm 2018 va ul nf Tác giả oi lm at nh Nguyễn Thị Quyển z z om l.c gm @ an Lu n va ac th si lu an va n t to ng hi ep Chương w nl oa d Phân loại số kĩ thuật chủ đạo giải bất phương trình hỗn hợp lu an va ul nf lm oi Để giải bất phương trình, để chứng minh bất đẳng thức nh at toán cực trị loại khó ta sử dụng số kĩ thuật sau z z Kĩ thuật biến đổi tương đương gm @ 1.1 l.c Nói chung q trình giải bất phương trình trình biến đổi tương an Lu n va ac th si số tính chất hàm vơ tỷ, mũ, logarit, ví dụ: ( g(x) <   f (x) ≥ p  Tính chất 1.1 f (x) ≥ g(x) ⇔  (  g(x) ≥  om đương từ bất phương trình phức tạp bất phương trình đơn giản nhờ f (x) ≥ g (x)   g(x) ≥    p Tính chất 1.2 f (x) ≤ g(x) ⇔ f (x) ≥    f (x) ≤ g (x) Tính chất 1.3 f (x)g(x) ≥ f (x)h(x) tương đương với ( f (x) > g(x) ≥ h(x) ( < f (x) < f (x) = g(x); h(x) có nghĩa g(x) ≤ h(x) lu an va n t to Tính chất 1.4 f (x)g(x) ≤ f (x)h(x) tương đương với ( f (x) > ng g(x) ≤ h(x) hi ep ( < f (x) < f (x) = g(x); h(x) có nghĩa g(x) ≥ h(x) w nl Kỹ thuật biến đổi tương đương kĩ thuật bản, nhiên đối oa d với bất phương trình hỗn hợp, kĩ thuật khơng phải lúc áp lu an dụng cách hợp lí, mà phải kết hợp thêm số kĩ thuật khác va ul nf Các ví dụ (và chương 2) trình bày phân tích sâu oi lm nhận xét at nh Bài 1.1 (Đề thi học sinh giỏi lớp 10 - Kon Tum, năm học 2013 -2014) z Giải bất phương trình sau tập số thực p −x2 + 8x − 12 > 10 − 2x z gm @ (1.1) om l.c Bài giải Ta có ( ( 10 − 2x < x>5    − x2 + 8x − 12 ≥  2≤x≤6   (1.1) ⇔  ( ⇔ (  10 − 2x ≥  x≤5   − x2 + 8x − 12 ≥ (10 − 2x)2 5x2 − 48x + 112 <  5