(Luận văn) bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan

43 4 0
(Luận văn) bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ BÍCH HẠNH lu an n va BÀI TỐN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN p ie gh tn to d oa nl w fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC oi m ll z at nh z gm @ m co l an Lu Thái Nguyên - Năm 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ BÍCH HẠNH lu BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN an n va p ie gh tn to Chuyên ngành: Giải tích d oa nl w Mã số: 60.46.01.02 a lu oi m ll fu an nv LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC z at nh Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn z gm @ m co l an Lu Thái Nguyên - Năm 2015 n va ac th si Mục lục Mở đầu iv lu an n va tn to Một số kiến thức 1.1 Nón 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục theo nón 1.4 Tính lồi theo nón ánh xạ đa 1.5 Tính đơn điệu 1.6 Một số định lý bổ trợ toán quan hệ biến phân số vấn đề liên quan Bài toán quan hệ biến phân Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Định lý điểm bất động tồn tạị nghiệm toán quan hệ biến phân 2.4 Một số vấn đề liên quan 2.4.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai 2.4.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân 2.4.3 Bài toán tựa cân tổng quát Tài liệu tham khảo p ie gh Bài 2.1 2.2 2.3 trị 1 9 d oa nl w 11 11 15 oi m ll fu an nv a lu 23 26 26 28 29 31 z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th i si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp cơng trình nghiên cứu thực cá nhân tôi, thực sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát phân tích từ thực tiễn hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu trình bày luận văn hồn tốn trung thực chưa sử dụng để bảo vệ cho học vị nào, phần trích dẫn tài liệu tham khảo ghi rõ nguồn lu gốc an n va tn to Thái nguyên, ngày 20 tháng năm 2015 p ie gh Tác giả d oa nl w Trần Thị Bích Hạnh a lu Xác nhận Khoa Xác nhận giáo viên hướng dẫn oi m ll fu an nv z at nh GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn z gm @ m co l an Lu n va ac th ii Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thầy dành nhieuf thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới q thầy Khoa Tốn trường Đaị học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình học tập tơi Trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi hồn thành tốt nhiệm vụ d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th iii Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu Bài tốn: Tìm x ∈ D cho F (¯ x ≤ F (x)) với x ∈ D, ký hiệu: min{F (x)|x ∈ D}, lu an n va p ie gh tn to đó, D tập không gian X, gọi miền chấp nhận được, F : D → R hàm mục tiêu, đóng vai trị trọng tâm lý thuyết tối ưu Dựa vào cấu trúc tập D tính chất hàm F , người ta phân loại toán thành lớp toán khác Nếu D tập mở, F hàm khả vi, ta gọi toán toán tối ưu trơn Nếu F hàm số khơng có đạo hàm, tốn gọi tốn tối ưu khơng trơn Trong lớp tốn tối ưu khơng trơn, người ta phân loại thành nhiều toán toán quy hoach tuyến tính, quy hoạch lồi, quy hoạch Lipschits, quy hoạch liên tục, Bài toán tối ưu mở rộng cho trường hợp F ánh xạ từ tập D vào không gian tô pô tuyến tính có xác định thứ tự phần sinh nón Từ khái niệm thứ tự phần này, ta có khái niệm khác điểm hữu hiệu tập hợp như: hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu Pareto, hữu hiệu yếu, hữu hiệu thực sự, Từ đó, ta phát biểu toán tối ưu véctơ khác Cho X, Y hai không gian véctơ tôpô, D ⊂ X tập khác rỗng Cho C nón Y , A ⊂ Y tập điểm hữu hiệu A nón C ký hiệu αM in(A/C), với α = I, P, P r, W, tương ứng loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu thực điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm trình bày chương luận văn này) Cho F : D → Y Bài tốn: Tìm x¯ ∈ D cho F (¯ x) ∈ αM in(F (D)/C) gọi toán tối ưu véctơ α tương ứng với I, P, P r, W Tổng quát hơn, người ta phát triển toán tối ưu với F ánh xạ đa trị gọi toán tối ưu véctơ đa trị Ngồi ra, người ta cịn nghiên cứu tốn tối ưu với tập ràng buộc D tập nghiệm tối ưu toán tối ưu khác, toán gọi toán tối ưu hai cấp lý thuyết tối ưu, ta quan tâm đến lớp tốn tựa( hay cịn gọi tốn phụ thuộc tham số) năm 2001, A.Gueraggio N.X Tấn [4] d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th iv Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an đưa toán sau: A Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng C nón Z Cho ánh xạ đa trị S : D×K ⇒ D, T : D × K ⇒ K ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z Bài tốn: Tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K cho: i) x¯ ∈ S(¯ x, y¯); ii) y¯ ∈ T (¯ x, y¯); iii) F (¯ y , x¯, x¯) ∈ αM in(F (¯ y , x¯, S(¯ x, y¯))/C) lu an n va p ie gh tn to gọi toán tựa tối ưu véctơ α tổng quát loại ( α để từ: lý tưởng, Pareto, thực sự, yếu) Kí hiệu tốn (GV QOP 1)α Năm 2013, Đ.T.Lục N.X.Tấn [8] nghiên cứa toán tối ưu α tổng quát loại 2, kí hiệụ(GV QOP 1)α Bài tốn phát biểu trường hợp lý tưởng sau: d oa nl w B Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại a lu z at nh i) x¯ ∈ S1 (¯ x); oi m ll fu an nv Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng C nón Z Cho ánh xạ đa trị S1 , S2 : D ⇒ D, T : D × K ⇒ K ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z Tìm x¯ cho: ii) F (y, x, x¯) ∈ αM in(F (y, x¯, S(¯ x)+C) với x ∈ S2 (¯ x), y ∈ T (x, x¯) z gọi toán tựa tối ưu α loại Trong lý thuyết tối ưu, toán tối ưu có liên quan mật thiết đến tốn cân bằng, với lớp toán cân bằng, ta xét toán sau: gm @ m co l C Bài tốn điểm cân vơ hướng an Lu n va ac th v Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cho D tập khác rỗng khơng gian X, f : D × D → R, f (x, x) = 0, ∀x ∈ D Bài toán tìm x¯ ∈ D cho: f (¯ x, y) ≥ 0, ∀y ∈ D Tương tự toán tối ưu, người ta xét toán tựa cân bằng, cụ thể toán sau D Bài toán tựa cân lý tưởng đơn trị loại lu Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng C nón Z Xét ánh xạ đa trị S, T : D ×K ⇒ D ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z thỏa mãn F (y, x, x) ∈ C, với (x, y) ∈ D × K Tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K thỏa mãn: an va n i) x¯ ∈ S(¯ x, y¯); gh tn to ii) y¯ ∈ T (¯ x, y¯); p ie iii) F (¯ y , x¯, x) ∈ C, với x ∈ S(¯ x, y¯) d oa nl w Bài toán gọi toán tựa cân loại ký hiệu (IQEP 1) fu an nv a lu E Bài toán tựa cân lý tưởng đơn trị loại oi m ll Cho X, Y, Z W không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂ W tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D, S2 : D ⇒ E, T : K × D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị F : K × D × E ⇒ Y Tìm x¯ ∈ A cho: x¯ ∈ S1 (¯ x) ∈ F (y, x¯, x) với x ∈ S2 (¯ x) y ∈ T (¯ x, x) Bài toán giáo sư Nguyễn Xuân Tấn, Đinh Thế Lục đưa gọi tốn tựa cân lý tưởng loại kí hiệu (IQEP 2) Đối với lớp toán bao hàm thức biến phân, ta xét số toán tiêu biểu sau: z at nh z gm @ m co l an Lu F Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại n va ac th vi Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S : D × K ⇒ D, T : D × K ⇒ K với tập giá trị khác rỗng Xét ánh xạ đa trị F, G : K × D × D ⇒ Z Bài tốn tìm x¯ ∈ X cho: i) x¯ ∈ S1 (¯ x, y¯); ii) y¯ ∈ T (¯ x, y¯); iii) F (¯ y , x¯, x) ∈ G(¯ y , x¯, x¯) + C với x ∈ S(¯ x, y¯) Bài toán gọi toán tựa biến phân lý tưởng loại lí hiệu (IP 1) Các tốn tựa biến phân tìm tài liệu [5] Giáo sư Nguyễn Xuân Tấn đặt toán tựa biến phân sau: lu an G Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại n va p ie gh tn to Cho X, Y, Z W không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂ W tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D, S2 : D ⇒ E, T : K×D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị G, H : K×D×E → Y Giả sử C : K × D ⇒ Y ánh xạ nón (tức là, với (x, y) ∈ K × D, C(y, x) nón Y ) Bài tốn: Tìm x¯ ∈ D cho: oa nl w i) x¯ ∈ S1 (¯ x); d fu an nv a lu ii) y¯ ∈ T (¯ x, x¯); iii) G(y, x¯, x) ∈ H(y, x¯, x¯) + C(y, x¯) với x ∈ S2 (¯ x) y¯ ∈ T (¯ x, x¯) oi m ll gọi toán tựa biến phân lý tưởng loại Việc phân lớp toán với tốn khác có phương pháp giải hữu hiệu, đặc biệt áp dụng cho toán Tuy nhiên, việc xét toán mức tổng quát cần thiết mang lại hiểu biết sâu sắc vấn đề, đặc biệt liên hệ toán rời Người ta cịn phát biểu tốn cho ánh xạ đa trị Trong luận văn này, xét toán quan hệ biến phân loại 2, phát biểu sau: Cho A, B, Y tập khác rỗng Xét S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, A ⊆ X, B ⊆ Z T : A × B ⇒ Y ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng Giả sử R(a, b, y) ⊂ A × B × Y quan hệ ba a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y Nếu ba phần tử có quan hệ R đó, ta nói R(a, b, y) xảy hay R(a, b, y) ∈ R z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th vii Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va p ie gh tn to Ta quan tâm tìm a ¯ ∈ A cho: 1) a ¯ điểm bất động S1 , tức a ¯ ∈ S1 (¯ a); 2) R(a, b, y) xảy với b ∈ S2 (¯ a), y ∈ T (¯ a, b) Tương tự ta phát biểu toán quan hệ biến phân loại Các tốn có liê quan chặt chẽ với toán nêu trên.Ta ký hiệu toán (VR) Mục đích luận văn trình bày lại kết tốn quan hệ biến phân báo "An abstract problem in variational analysis " tác giả D.T.Luc [7] Hầu hết toán lý thuyết điều khiển tối ưu liệt kê trường hợp riêng toán quan hệ biến phân Việc nghiên cứu toán quan hệ biến phân cho ta cách tiếp cận thống việc nghiên cứu mơ hình khác lý thuyết điều khiển tối ưu đa trị, lý thuyết cân bao hàm thức biến phân Kết trình bày luận văn định lý tồn nghiệm tốn quan hệ biến phân, Từ với toán liên quan nhận điều kiện để tồn nghiệm Luận văn chia làm chương Chương chương chuẩn bị Trong chương người viết nêu lại cách ngắn gọn khái niệm, tính chất nón ánh xạ đa trị để tiện cho việc trình bày kết chương sau Các khái niệm tìm tài liệu [1] tài liệu khác tối ưu véctơ Một số định lý lý thuyết tối ưu liệt kê phần cuối chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi chứng minh định lý có chương sau Các định lý chứng minh lại luận văn, chúng tìm thấy tài liệu tham khảo Chương phần luận văn Trong chương này, người viết trình bày lại tốn quan hệ biến phân, chứng minh cách chi tiết định lý tồn tại, đồng thời đưa số ví dụ tốn liên quan Có thể nói tốn quan hệ biến phân toán tổng quát lý thuyết tối ưu bởi, với toán toán tối ưu, toán cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, cách trang bị quan hệ R thích hợp ta đưa tốn (VR) Nội dung trình bày chương gồm: Phát biểu tốn quan hệ biến phân (VR), ví dụ có liên quan, định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân (VR) Tiếp theo ta thiết lập số điều kiện tồn nghiệm toán: toán tối ưu loại 2, toán bao hàm thức tựu biến phân, toán tựu cân tổng quát cách sử dụng định lý tồn nghiệm d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th viii Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Vậy (VR) có lời giải theo Định lý 2.1 Định nghĩa 2.3 Quan hệ R gọi KKM với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } A với tổ hợp lồi a với {a1 , a2 , , ak } ta tìm số i ∈ {1, 2, , k} cho R(a, , y) xảy với y ∈ T (a, ) Trường hợp đặc biệt, a tổ hợp lồi Nhận xét sau có lợi lập luận sau Nhận xét 2.1 Nếu R KKM R(a, a, y) với y ∈ T (a, a) Định lý 2.2 Bài tốn (VR) có lời giải thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) Ánh xạ P ánh xạ có giá trị đóng lu iii) Với a ∈ A, bao lồi S2 (a) chứa S1 (a) an n va iv) Quan hệ R KKM p ie gh tn to Chứng minh Xét ánh xạ P : A ⇒ A xác định bởi: P (a) = [A \ S2−1 (b)] ∪ {´ a ∈ A ∈ S1 (´ a), R(´ a, a, y)} xảy ∀y ∈ T (´ a, a) Ta chứng minh P (a) 6= ∅ với a ∈ A P ánh xạ KKM Giả sử tồn a0 ∈ A a 6∈ A \ S21 (a0 ), điều dẫn đến a ∈ S2−1 (a0 ) với a ta có a0 ∈ S2 (a), với a Theo iii) ta có a0 ∈ S1 (a0 ) Vì R KKM nên R(a, a0 , y) xảy với a0 ∈ S1 (a0 ), y ∈ T (a0 , a0 ) Điều chứng tỏ a0 ∈ P (a0 ), mâu thuẫn với P (a0 ) = ∅ Vậy ta có P (a) 6= ∅ với a ∈ A Tiếp theo ta chứng minh P ánh xạ KKM Xét a1 , a2 , , ak ∈ a a ∈ A tổ hợp lồi chúng Nếu tồn i ∈ {1, 2, , k}, a 6∈ S2−1 (ai ) ta có a ∈ P (ai ) Nếu với i ∈ {1, 2, , k}, a 6∈ S2−1 (ai ) ta tồn i ∈ {1, 2, , k} cho a ∈ {´ a ∈ A ∈ S1 (´ a), R(´ a, , y xảy ∀y ∈ T (´ a, )} a ∈ P (ai ) Thật vậy, a 6∈ A \ S21 (ai ) với i = 1,¯k nên ta có a ∈ S2−1 (ai ) với i = 1,¯k tức ∈ S2 (a) Do a ∈ S2 (a) Theo iii) a ∈ S1 (a) Vì R KKM, nên tồn i ∈ {1, 2, , k} cho R(a, , y) xảy với y ∈ T (a, ) Điều chứng tỏ a ∈ P (ai ) Khi đó, P ánh xạ KKM Theo i),ii)\và ánh xạ P ánh xạ KKM, áp \ dụng Định lý KKM-Fan 1.6.2, ta có P (a) 6= ∅, tức tồn a ¯∈ P (a) Theo Định lý 2.1, d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l tốn (VR) có lời giải an a∈A Lu a∈A n va ac th 18 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Nhận xét 2.2 Định lý với điều kiện yếu đặt lên quan hệ R R(a, , y) xảy với y ∈ T (a, ) tổ hợp lồi a điểm cố định S1 Các điều kiện ii) iv) không thỏa mãn khẳng định định lý khơng cịn Sau số ví dụ rõ điều đó: Ví dụ 2.10 Xét tốn cân mơ tả ví dụ 2.4 X = [0, 1] ⊂ R, A = B = Y = X quan hệ R định nghĩa ánh xạ φ : X × X → R với: φ(x, y) = x2 − x − y + Đặt S1 (a) = S2 (a) = [0, 1], T (a, b) = {b}, lu với a ∈ A, b ∈ B Ta kiểm tra điều kiện Định lý 2.3: an n va gh tn to i) Vì X = [0, 1] tập khác rỗng, lồi, compact nên điều kiện i) thỏa mãn p ie ii) Ánh xạ P : [0, 1] ⇒ [0, 1] có giá trị đóng Thật vậy: ta có d oa nl w P1 (b) = A \ S2−1 (b) = [0, 1] \ [0, 1] = ∅ P2 (b) = {a ∈ A : a ∈ S1 (a), R(a, b, y)} a lu fu an nv xảy ∀y ∈ T (a, b) Suy P (b) = P1 (b) ∪ P2 (b) = [0, 1] đóng m ll iii) Với a ∈ [0, 1], bao lồi S1 (a) ⊂ S2 (a) = [0, 1] oi −1 = < Suy ra, quan 2 hệ R(a, b, y) không với a = Vậy quan hệ R KKM không đảm bảo tốn (VR) khơng có nghiệm, tồn y¯ = cho: φ(a, y) = a2 − a + ≤ với a ∈ [0, 1] Suy z at nh iv) Xét a = ta có φ(1, y) = 12 − − + z gm @ m co l an − ≤ 0, Lu φ(a, y) = a2 − a + n va ac th 19 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an với a ∈ [0, 1] hay với a ∈ X, tồn y¯ = để φ(a, y) ≤ khơng Vì điều kiện iv) chất Ví dụ 2.11 Cho X = [0, 1] ⊆ R, quan hệ R định nghĩa ánh xạ    − y, 0≤x≤ , φ(x, y) = 1  − + y, < x ≤ Đặt S1 (a) = S2 (a) = [0, 1], T (a, b) = {b} Ta kiểm tra điều kiện định lý 2.2: lu i) Vì X = [0, 1] tập khác rỗng, lồi, compact nên điều kiện i) thỏa mãn an va n ii) Ánh xạ P : [0, 1] ⇒ [0, 1] có giá trị đóng Thật vậy: P1 (b) = A \ S2−1 (b) = [0, 1] \ [0, 1] = ∅ p ie gh tn to ta có d oa nl w h1 i 1 P2 = ( , 1], lấy y ∈ , nên ta có φ(a, y) = − + y ≥ với 2 4 i a ∈ , Tức là: a lu m ll fu an nv P2 (a) = {a ∈ A : a ∈1 (a), R(a, b, y)} 1 i xảy ∀y ∈ T (a, b) = ,1 oi iii) Với a ∈ [0, 1], bao lồi S1 (a) ⊂ S2 (a) = [0, 1] z at nh h 1i iv) Lấy a = α1 a1 + α2 a2 với α1 , α2 ≥ 0; α1 + α2 = a ∈ 0, chọn = a1 ≤ a φ(a, ) = − ≤ hay R(a, b, y) xảy với y ∈ T (a, ) Vậy R KKM toán (VR) khơng có nghiệm Muốn điều kiện ii) iv) định lý thỏa mãn ta dựa theo tính liên tục ánh xạ đa trị z gm @ m co l Lu an Định nghĩa 2.4 Giả sử b điểm cố định A Quan hệ R(., b, ) gọi đóng biến thứ thứ ba dãy {aα , yα } hội n va ac th 20 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu an n va p ie gh tn to tụ tới (a, y) R(aα, b, yα ) với α R(a, b, y) Nhận xét 2.3 Đặt E = {a ∈ A : a ∈ S1 (a)}, PR (b) = {x ∈ A : R(x, b, y)} xảy với y ∈ T (x, b) Khi đó, P (b) = {A \ S2−1 (b)} ∪ {E ∩ PR (b)} a ∈ P2 (b) tức a ∈ A \ S2−1 (b) {a ∈ A : a ∈ S1 (a), R(a, b, y) xảy ∀y ∈ T (a, b)} Vì P (b) ⊇ {A \ S2−1 (b)} ∪ {E ∩ PR (b)} Ngược lại, giả sử a ∈ {A \ S2−1 (b)} ∪ {E ∩ PR (b)} Khi đó, a ∈ {E ∩ PR (b)} nên a ∈ E a ∈ PR (b) suy a ∈ P2 (b) Vì P (b) ⊇ {A \ S2−1 (b)} ∪ {E ∩ PR (b)} P (b) đóng {A \ S2−1 (b)} {E ∩ PR (b)} đóng Vì hợp hai tập đóng tập đóng E đóng S1 ánh xạ đóng Thật vậy: Giả sử, lấy lưới {an } ∈ E cho an hội tụ tới a ¯ ta chứng minh a ¯ ∈ E Xét lưới {zn } ∈ S1 (an ) cho zn hội tụ tới a ¯, suy {(an , zn )} ∈ graphS1 graphS1 đóng nên (an , zn ) hội tụ tới (¯ a, z¯) ∈ graphS1 Vì vậy, z¯ ∈ S1 (¯ a) Lấy lưới {zn } ≡ {an } nên z¯ = a ¯ ∈ S1 (¯ a), tức a ¯ ∈ E Vậy E đóng Ngược lại khơng cịn đúng, ta xét ánh xạ S1 : R → R cho   −1 , a > 0, S1 (a) = , a = 0,   , a < d oa nl w a lu fu an nv Tập E = {aR : a ∈ S1 (a)} = {0} tập đóng oi m ll graphS1 = {(x, 1), x < 0} ∪ {(0, 0)} ∪ {(x − 1), x > 0} 1  1  , −1 ∈ graphS1 Khi đó, , −1 → (0, −1) 6∈ graphS1 Vì Lấy n n graphS1 khơng đóng z at nh z Bổ đề 2.1 Giả sử b ∈ A và: @ gm i) A E tập đóng, m co l ii) S2−1 (b) tập mở A, iii) T (., b) ánh xạ nửa liên tục theo biến thứ nhất, Lu an iv) Quan hệ R(., b, ) đóng với biến thứ biến thứ ba Khi P (b) tập đóng n va ac th 21 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chứng minh Từ i) ii) ta có A \ S2−1 (b) tập đóng Ta cần PR (b) tập đóng Thật vậy, giả sử (aα ) ∈ A lưới hội tụ tới a R(aα , b.yα ) xảy với α Theo iv) R(a, b, y) xảy với α Do PR (b) tập đóng Vậy P (b) đóng Hệ 2.2 Bài tốn (VR) có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, đóng, compact, khác rỗng ii) E tập đóng iii) S2−1 (b) tập mở A với b ∈ A, convS2 (b) ⊆ S1 (b) iv) Với b ∈ b, T (., b) nửa liên tục với biến thứ lu v) Quan hệ R KKM với b ∈ A, R(., b, ) đóng với biến thứ thứ ba an n va p ie gh tn to Chứng minh Các điều kiện i) đến iv) chứng tỏ P ánh xạ đóng, điều kiện Định lý 2.2 thỏa mãn Vậy tốn (VR) có lời giải Tính chất KKM mơt quan hệ tìm đại phận báo bất đẳng thức biến phân phát biểu dạng khác qua ví dụ cụ thể sau: a Ánh xạ tựa lồi theo đường chéo Giả sử F : A × A ⇒ Y G : A ⇒ Y ánh xạ đa trị Ta nói F G-tựa lồi theo đường chéo với tập hữu hạn D A với tổ hợp lồi a phần tử D ta có F (a, D) 6= G(a) Định nghĩa T : A × A ⇒ Y, T (a, b) = {b} quan hệ R sau: R(a, b, y) xảy F (a, b) 6= G(a) Khi đó, F G-tựa lồi theo đường chéo R KKM Thật vậy, R KKM tức với {a1 , a2 , , ak } ⊆ A với tổ hợp lồi a a1 , a2 , , ak tồn i = 1, , k cho R(a, , y) xảy với y ∈ T (a, ) Điều tương đương với F (a, ) 6= G(a) với hay F (a, D) 6= G(a) với D = {a1 , a2 , , ak } Vậy F G-tựa lồi theo đường chéo b Ánh xạ tựa đơn điệu Giả sử ánh xạ φ : A × A × Y ⇒ R hàm thực, T : A × A ⇒ Y ánh xạ đa trị ta nói T φ-tựa đơn điệu với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } A với tổ hợp lồi a a1 , a2 , , ak tồn i = 1, , k cho φ(a, , y) − φ(a, a, y) ≥ 0, ∀y ∈ T (a, ) Quan hệ R định nghĩa sau: R(a, b, y) xảy φ(a, b, y) − φ(a, a, y) ≥ d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th 22 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an c Bao hàm thức tựa lồi Giả sử F, G : A × A × Y ⇒ R ánh xạ đa trị Z 6= ∅, T : A × A ⇒ Y ánh xạ đa trị Ta nói F G-bao hàm thức tựa lồi a a1 , a2 , , ak tồn i = 1, , k cho F (a, , y) ⊆ G(a, , y), ∀y ∈ T (a, ) Quan hệ R định nghĩa sau: R(a, b, y) xảy F (a, b, y) ⊆ G(a, a, y) Khi đó, R KKM tương đương với F G-bao hàm thức tựa lồi tương ứng với T 2.3 Định lý điểm bất động tồn tạị nghiệm toán quan hệ biến phân lu an n va p ie gh tn to Trong mục ta xây dựng số điều kiện để toán quan hệ biến phân (VR) có lời giải dựa Hệ 2.2.2 định lý điểm bất động Giả sử X không gian véctơ tôpô Hausdorff A = B ⊆ X Xét ánh xạ đa trị Q : A → A xác định Q(a) = {x ∈ A : R(a, x, y) không với y ∈ T (a, x) Ta có: ( S2 (a), a 6∈ S1 (a), A \ P −1 (a) = S2 (a) ∩ Q(a), a ∈ S1 (a) d oa nl w Thật giả sử x ∈ A \ P −1 (a) Suy ra, x ∈ A x 6∈ P −1 (a), tức x ∈ A, 6∈ P (x) nên a 6∈ P1 (x) a 6∈ P2 (x) lấy x ∈ S2 (a), a ∈ S1 (a) x ∈ {x ∈ A : R(a, x, y)} không với y ∈ T (a, x) Do đó: x ∈ S2 (a) ∩ Q(a) Mặt khác, a 6∈ S1 (a) với a 6∈ P1 (x) ta có x ∈ S2 (a) Vì vậy: ( S2 (a), a 6∈ S1 (a), x∈ S2 (a) ∩ Q(a), a ∈ S1 (a) oi m ll fu an nv a lu z at nh Tiếp theo ta trình bày mối quan hệ R, PR Q z Bổ đề 2.2 Các khẳng định sau đúng: @ gm i) Với a ∈ A, quan hệ R(a, b, y) với y ∈ T (a, a) a điểm bất động Q Đặc biệt, R KKM Q khơng có điểm bất động m co l an Lu ii) Nếu Q(a) lồi với a ∈ A ánh xạ Q khơng có điểm bất động R KKM n va ac th 23 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iii) Với a ∈ A, ta có A \ Q−1 (a) = PR (a) Do đó, Q có giá trị nghịch ảnh mở ánh xạ PR có giá trị đóng Chứng minh i) Giả sử với a ∈ A, quan hệ R(a, a, y) xảy với y ∈ T (a, a) mà a điểm bất động Q Khi đó, a ∈ Q(a) nên theo cách xác định ánh xạ Q R(a, a, y) khơng thỏa mãn với y ∈ T (a, a) Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy a điểm bát động Q Ngược lại, giả sử a điểm bất động Q mà với a ∈ A, quan hệ R(a, a, y) không xảy với y ∈ T (a, a) Vì thế, theo cách xác định Q ta có a ∈ Q(a) Điều mâu thuẫn với giả thiết với a ∈ A, quan hệ R(a, a, y) xảy với y ∈ T (a, a) lu Hơn nữa, R KKM Q(a) = ∅ với a ∈ A, tức Q khơng có điểm bất động an n va p ie gh tn to ii) Giả sử R khơng KKM tồn a1 , a2 , , ak ∈ A tổ hợp lồi a a1 , a2 , , ak cho với i ∈ {1, , k}, R(a, , yi ) không xảy với yi ∈ T (a, ) Ta suy ∈ Q(ai ) với i ∈ {1, , k} Mặt khác, a tổ hợp lồi a1 , , ak , Q(a) lồi với a ∈ A nên a ∈ Q(a) Vậy a điểm bất động Q, mâu thuẫn với giả thiết Q điểm bất động Vậy R KKM oa nl w d iii) Ta có: Q−1 (a) = {b ∈ A : a ∈ Q(b)}, PR (a) = {x ∈ A : R(x, a, y) xảy với y ∈ T (x, a) Q(b) = {x ∈ A : R(b, x, y) không xảy với y ∈ T (b, x) Giả sử a1 ∈ A \ Q−1 (a), tức a1 6∈ Q−1 (a) Ta suy a 6∈ Q(a1 ) Điều chứng tỏ với y ∈ T (a1 , a), R(a1 , a, y) xảy a1 ∈ PR (a) hay A \ Q−1 (a) = PR (a) oi m ll fu an nv a lu z at nh Tiếp theo, ta trình bày điều kiện tồn nghiệm dựa định lý điểm bất động Fan-Browder z Định lý 2.3 Bài tốn (VR) có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: @ gm i) A tập lồi, đóng, compact, khác rỗng m co l ii) E tập đóng n va iv) Ánh xạ Q có giá trị lồi khơng có điểm bất động an Lu iii) Ánh xạ S2 có giá trị lồi, ánh xạ ngược mở S2 (a) ⊆ S1 (a), ∀a ∈ A ac th 24 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chứng minh Xét ánh đa trị A \ P −1 A Nếu với a ∈ A mà A \ P −1 = ∅ theo hệ 2.2.2, a ∈ Sol(V R) [ (A \ P −1 )−1 (a) Ta giả sử A \ P −1 6= ∅, ∀a ∈ A, ta có A = a∈A Hơn nữa, ta có: [ {x ∈ A \ E : a ∈ S2 (x)} ∪ {x ∈ A \ E : a ∈ S2 (x) ∩ Q(x)} [A \ P −1 ](a) = a∈A = [ {(A \ E) ∪ Q−1 (a) ∩ {S2−1 (a)} a∈A −1 −1 Theo ii), iii), iv) [ ta có {(A \ E) ∪ Q (a) ∩ {S2 (a)} tập mở A Do A = int(A \ P −1 )−1 (a) Theo định lý Fan-Browder tồn lu a∈A an n va p ie gh tn to điểm bất động a ¯ ∈ A A \ P −1 Trong trường hợp đặc biệt ta có a ¯ ∈ S2 (¯ a) ⊆ E Do a ¯ ∈ Q(¯ a), mâu thuẫn với điều kiện iv) Điều giả sử không Vậy ∃a ∈ A cho A \ P −1 (a) = ∅ hay toán (VR) có nghiệm Xét trường hợp X khơng gian véctơ tơpơ lồi địa phương, A ⊆ X Ta có hệ sau: d oa nl w Hệ 2.3 Giả sử X không gian véctơ tôpô lồi địa phương, A ⊆ X Khi tốn (VR) có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: a lu i) A tập lồi, đóng, compact, khác rỗng fu an nv ii) Tập tất điểm bất động S1 tập đóng m ll iii) Ánh xạ S2 nửa liên tục dưới, có giá trị lồi, S2 (a) ⊆ S1 (a), ∀a ∈ A oi z at nh iv) Ánh xạ Q mở, lồi khơng có điểm bất động z Chứng minh Xét ánh xạ đa trị A \ P −1 A Nếu ∃a ∈ A cho A \ P −1 = ∅ a lời giải tốn (VR) Nếu A \ P −1 6= ∅, ∀a ∈ A theo ii), iii), iv) ánh xạ nửa liên tục dưới, có giá trị lồi Vì A tập lồi, compact nên áp dụng Định lý điểm bất động Tikhonov ánh xạ A \ P −1 có a điểm bất động Áp dụng bổ đề 2.2 hệ 2.1 ta có điều phải chứng minh gm @ m co l an Lu n va ac th 25 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.4 Một số vấn đề liên quan Trong chương trình bày số vấn đề liên quan đến toán quan hệ biến phân trình bày mục trước, cụ thể mối liên hệ toán quan hệ biến phân với toán khác toán tối ưu loại hai, toán bao hàm thức tựa biến phân toán cân tổng quát đưa điều kiện để tốn có nghiệm dựa định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 2.4.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai lu Phát biểu tốn Giả sử X, Y, Z khơng gian véctơ tôpô, A ⊂ X, B ⊂ Y, C nón Z Xét S1 , S2 : A ⇒ A, T : A × A ⇒ B ánh xạ đa trị Cho ánh xạ đơn trị F : B × A × A → Z Bài tốn đặt là: Tìm a ¯ ∈ S1 (¯ a) cho: an n va to gh tn F (y, b, a ¯) ∈ F (y, a ¯, a ¯) + C p ie với b ∈ S2 (¯ a), y ∈ T (b, a ¯) Tức oa nl w F (y, b, a ¯) ≥C F (y, a ¯, a ¯), ∀b ∈ S2 (¯ a), y ∈ T (b, a ¯) d Ví dụ 2.13 Một công ty xuất nhập X chịu điều hành ban giám đốc hội đồng quản trị Cơng ty X có tập kế hoạch sản xuất A Gọi B tập kế hoạch xuất nhập sản phẩm công ty Ứng với kế hoạch cơng ty tổng giám đốc đưa tập kế hoạch sản xuất tương ứng (được xác định ánh xạ đa trị S1 : A ⇒ A), Hội đồng quản trị đưa tập kế hoạch sản xuất mình, cơng ty X có kế hoạch xuất nhập cho ánh xạ đa trị T : A × A ⇒ B Vấn đề đặt là: Tìm kế hoạch sản xuất số kế hoạch tổng giám đốc a ¯ ∈ S1 (¯ a) để tổn thất công ty X nhỏ nhất, với kế hoạch sản xuất Hội đồng quản trị kế hoạch xuất nhập công ty Tức tổn thất công ty hàm F : B × A × A ⇒ R F (y, b, a ¯) ≥C F (y, a ¯, a ¯), ∀b ∈ S2 (¯ a), y ∈ T (b, a ¯) Dựa vào định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân (VR), ta suy định lý tồn nghiệm toán tựa tối ưu loại hai sau Lưu ý ta xét trường hợp A = B Định lý tồn nghiệm toán tựa tối ưu loại hai oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th 26 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định lý 2.4 Xét toán tối ưu loại hai Bài tốn có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) S2−1 (a) tập mở A S2 (a) 6= ∅, ∀a ∈ A iii) Tập {a ∈ A : a ∈ S1 (a)} điểm bất động tập S1 tập đóng co(S2 (a)) ⊂ S1 (a) iv) T (., b) nửa liên tục đôi với biến thứ F (−C)-liên tục theo biến thứ thứ ba v) T F -tựa đơn điệu A nón C lu an n va p ie gh tn to Chứng minh Quan hệ R xác định sau: R(a, b, y) xảy F (y, b, a) ∈ F (y, a, a) + C Nhận thấy toán tựa lồi tối ưu loại hai trường hợp riêng toán (VR) ta viết lại tốn (VR) là: Tìm a ¯ ∈ A cho a ¯ ∈ S1 (¯ a) F (y, b, a) ∈ F (y, a ¯, a ¯), ∀b ∈ S(2)(¯ a), y ∈ T (b, a ¯) Theo giả thiết, F C-liên tục theo biến thứ biến thứ ba nên ∀(aα , yα ) → (a, y) F (yα , b, aα ) ∈ F (yα , aα , aα) + C F (y, b, a) ∈ F (y, a, a) + C Khi R(., b, ) đóng biến thứ thứ ba Ta có T F -tựa đơn điệu A nón C, tức với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } ∈ A với tổ hợp lồi a {a1 , a2 , , ak } ta tìm số i ∈ {1, , k} cho F (y, , a) ∈ F (y, a, a) + C Vậy R KKM Áp dụng Định lý 2.2 Bổ đề 2.1 ta suy toán tựa tối ưu loại hai có nghiệm Định lý kết tốn [8] Nếu S2 = S định lý viết lại sau: Xét toán tối ưu loại hai tốn có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh i) A tập lồi, compact, khác rỗng z ii) S2−1 (a) tập mở S S(a) 6= ∅, ∀a ∈ A @ gm iii) Tập {a ∈ A : a ∈ S(a)} tất điểm bất động tập S tập đóng l m co iv) T (., b) nửa liên tục đôi với biến thứ F (−C)-liên tục theo biến thứ thứ ba an n va Khi ∃¯ a ∈ S(¯ a) cho F (y, b, a ¯) ≥ F (y, a ¯, a ¯) Lu v) F T -tựa đơn điệu A nón C ac th 27 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.4.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Phát biểu toán tựa biến phân tổng quát Giả sử X, Y, Z, W không gian véctơ tôpô, A ⊆ X, B ⊆ X, E ⊆ W tập khác rỗng Cho S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ E, G, H : B × A × E ⇒ Y ánh xạ đa trị Giả sử C : B × A ⇒ Y ánh xạ nón (tức ∀(y, x) ∈ B × A, C(y, x) nón trịn Y Bài tốn đặt là: Tìm a ¯ ∈ A cho a ¯ ∈ S1 (¯ a) G(y, a ¯, b) ⊆ H(y, a ¯, a ¯) + C(y, a ¯), ∀b ∈ S2 (¯ a) y ∈ T (¯ a, b) Định lý tồn nghiệm toán bao hàm thức biến phân Định nghĩa 2.1 Cho F : B × A × A ⇒ Y, T : A × A ⇒ B ánh xạ đa trị Giả sử C : B × A ⇒ Y ánh xạ nón Khi đó: lu i) F gọi (T, C)-tựa lồi theo đường chéo với biến thứ ba với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } ⊆ D, a ∈ co{a1 , a2 , , ak }, ∃i ∈ {1, 2, , k} cho: an n va tn to F (y, a, ) ⊆ F (y, a, a) + C(y, a), ∀y ∈ T (a, ) p ie gh ii) F gọi (T, C)-tựa lồi theo đường chéo với biến thứ ba với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } ⊆ D, a ∈ co{a1 , a2 , , ak } tồn i ∈ {1, , k} cho: oa nl w F (y, a, ) ⊆ F (y, a, a) − C(y, a), ∀y ∈ T (a, ) d fu an nv a lu Tiếp theo ta xét điều kiện để toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm có định lý sau Lưu ý ta xét trường hợp A = B = E oi m ll Định lý 2.5 Giả sử G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a) − C(y, a), ∀(y, a) ∈ B × A Khi đó, tốn bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: z at nh i) A tập lồi, compact, khác rỗng z ii) S1 (.) tập đóng, co(S2 (a)) ⊆ S1 (a) S2−1 (b) mở A với a, b ∈ A gm @ an Lu iv) G (T, C)-tựa lồi theo biến thứ ba m co l iii) Với b ∈ S2 (a), tập {a ∈ A : G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a)+C(y, a), ∀y ∈ T (b, a)} tập đóng n va ac th 28 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an lu Chứng minh Quan hệ R xác định sau: R(a, b, y) xảy G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a) + C(y, a) Bài toán (VR) viết lại sau: Tìm a ¯ ∈ A cho G(y, a ¯, a) ⊆ H(y, a ¯, a ¯) + C(y, a ¯), ∀b ∈ S2 (¯ a) y ∈ T (b, a ¯) Khi đó, tốn bao hàm thức biến phân trường hợp riêng toán (VR) Theo cách chứng minh bổ đề 2.1 điều kiện i), ii), iii) định lý chứng tỏ P (b) tập đóng Theo định nghĩa G (T, C)-tựa lồi với biến thứ ba tương đương với R KKM Vậy điều kiện định lý 2.2 thỏa mãn, tốn bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm Định lý kết tốn [5] Nếu cố định y ∈ A, ánh xạ G(., , y) : B × A × A ⇒ Y −C liên tục trên, ánh xạ F (y, a, a) −C liên tục có giá trị compact điều kiện iii) định lý thỏa mãn an n va gh tn to Hệ 2.4 Giả sử ta có G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a) + C(y, a), ∀(y, a) ∈ B × A Khi đó, tốn bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: p ie i) A tập lồi, compact, khác rỗng oa nl w ii) S1 (.) tập đóng, co(S2 (a)) ⊆ S1 (a) S2−1 (b) mở A với a, b ∈ A d iii) Với y ∈ A, ánh xạ G(., , y) : B × A × A ⇒ Y −C liên tục trên, ánh xạ F (y, a, a) C-liên tục có giá trị compact fu an nv a lu iv) G (T, C)-tựa lồi theo biến thứ ba m ll 2.4.3 Bài toán tựa cân tổng quát oi z at nh Phát biểu toán tựa cân tổng quát Giả sử X, Y, Z, W không gian véctơ tôpô, A ⊆ X, B ⊆ X, E ⊆ W tập khác rỗng Cho S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ E,, T : A × A ⇒ Zvà F : B × A × A ⇒ Y ánh xạ đa trị Bài tốn đặt là: Tìm a ¯ ∈ A cho a ¯ ∈ S1 (¯ a) ∈ F (y, a ¯, b), ∀b ∈ S2 (¯ a) y ∈ T (¯ a, b) Định lý tồn nghiệm z gm @ m co l an Lu Định nghĩa 2.2 Cho F : B × A × A ⇒ Y, T : A × A ⇒ B ánh xạ đa trị Ta nói F T -KKM với tập hữu n va ac th 29 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an hạn {a1 , a2 , , ak }, ∃ai ∈ {a1 , a2 , , ak } cho ∈ F (y, a, ), ∀y ∈ T (a, Xét trường hợp A = B, định lý sau cho ta điều kiện để toán cân có nghiệm Định lý 2.6 Bài tốn tựa cân tổng quát có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) S1 (.) tập đóng, co(S2 (a)) ⊆ S1 (a) S2−1 (b) mở A với a, b ∈ A lu iii) Với b ∈ S2 (a), tập {a ∈ A : ∈ F (y, a, b)∀y ∈ T (b, a)} tập đóng an n va iv) F : B × A × A ⇒ Y T-KKM p ie gh tn to Chứng minh Xét quan hệ R xác định sau: R(a, b, y) xảy ∈ F (y, a, b) Ta viết lại tốn (VR) sau: Tìm a ¯ ∈ A cho a ¯ ∈ S1 (¯ a) ∈ F (y, a ¯, b), ∀b ∈ S2 (¯ a) y ∈ T (b, a ¯) Khi toán tựa cân tổng quát trường hợp riêng toán quan hệ biến phân (VR) Theo cách chứng minh Bổ đề 2.1 điều kiện i), ii), iii) định lý chứng tỏ P (b) tập đóng Định lý 2.2 thỏa mãn tốn tựa cân tổng qt có nghiệm Nếu điểm cố định b ∈ A, tập {a ∈ A : 6∈ F (y, a, b)} với y ∈ T (a, b) tập mở A d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th 30 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Kết luận lu Luận văn trình bày chi tiết kết báo "An abstrct problem in variational analysis" cảu tác giả D.T.Lục [7] Cụ thể là: Trình bày chi tiết tốn quan hệ biến phân liên hệ với toán khác Lý thuyết Tối ưu Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Áp dụng định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân vào toán lý thuyết tối ưu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th 31 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

Ngày đăng: 31/07/2023, 20:41

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan