ỨNG DỤNG CỦA TRỊ RIÊNG VECTƠ RIÊNG ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 BÀI 1: Trong một khu rừng già có 2 loài động vật là Rắn và Chuột cùng sinh sống với nhau .Loài này có ảnh hưởng đến tốc độ sinh trưởng của loài kia .Qua nghiên cứu người ta có được mô hình phát triển của 2 loài này như sau : , BÀI LÀM : Hệ phương trình trên được viết lại : BƯỚC 1: Ta đi chéo hóa ma trận A Đặt BƯỚC 2: Thực hiện phép đổi biến Từ phương trình đầu ta được : Nhân 2 vế phương trình này với ma trận Thay thế vào ta được : Vậy ta có hệ phương trình sau : Từ điều kiện đầu : Đáp số của bài toán là :
ỨNG DỤNG CỦA TRỊ RIÊNG -VECTƠ RIÊNG ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BÀI 1: Trong khu rừng già có lồi động vật Rắn Chuột sinh sống với Loài có ảnh hưởng đến tốc độ sinh trưởng lồi Qua nghiên cứu người ta có mơ hình phát triển lồi sau : { x ( )=2100 x'1 ( t )=3 x ( t )−2 x2 (t ) , thời điểmt=0 ' x ( )=700 x2 ( t )=−3 x ( t ) +8 x2 (t ) { Hãy tìm x (t ) , x ( t ) BÀI LÀM : Hệ phương trình viết lại : X ' = A X với X= x1 ( t ) , A= −2 −3 x (t) ( ) ( BƯỚC 1: Ta chéo hóa ma trận A Đặt P= −3 theo chéo hóa ta có : ( −1 P A P=D , D= (20 09 ) ) ) BƯỚC 2: Thực phép đổi biến X =P Y Từ phương trình đầu ta : P Y ' =A P Y Nhân vế phương trình với ma trận P−1 ta : P−1 P Y ' =P−1 A P Y (2 ) ' Thay vào ta : Y =D Y , D= Vậy ta có hệ phương trình sau : { y '1 ( t )=2 y (t) ⟺ y ( t )=C e t y '2 ( t )=9 y (t) y ( t )=C e t { 2t 9t Màta có : X =P Y ⇔ x ( t )=2 C 2te +C2 e t x ( t )=C e −3 C e { x ( ) =2100 C =1000 Từ điều kiện đầu : x1 ( ) =700 ta tìmđược C1 =100 2 { Đáp số toán : { x ( t )=2000 e 2t +100.e t x2 ( t )=1000 e2 t −300 e9 t { BÀI 2: Trong khu rừng già có lồi động vật Sói Thỏ sinh sống với Lồi có ảnh hưởng đến tốc độ sinh trưởng lồi Qua nghiên cứu người ta có mơ hình phát triển loài sau : { x ( )=2000 x '1 ( t ) =0,5 x1 ( t )+ 0,3 x (t) , thời điểmt=0 ' x ( )=1000 x2 ( t )=−0,2 x ( t )+ 1,2 x (t) { Hãy tìm x (t ) , x ( t ) BÀI LÀM : Hệ phương trình viết lại : X ' = A X với X= x1 ( t ) , A= 0,5 0,3 −0,2 1,2 x (t) ( ) ( ) BƯỚC 1: Ta chéo hóa ma trận A Đặt P= theo chéo hóa ta có : ( ) −1 P A P=D , D= (0,60 1,10 ) BƯỚC 2: Thực phép đổi biến X =P Y Từ phương trình đầu ta : P Y ' =A P Y Nhân vế phương trình với ma trận P−1 ta : P−1 P Y ' =P−1 A P Y (0,6 ' Thay vào ta : Y =D Y , D= Vậy ta có hệ phương trình sau : { 1,1 ) y '1 ( t )=0,6 y (t) ⟺ y ( t )=C e 0,6 t y '2 ( t )=1,1 y (t) y ( t )=C e 1,1 t { e 0,6 t +C e 1,1 t Màta có : X =P Y ⇔ x ( t )=3 C1 0,6t x ( t )=C e +2 C e 1,1 t { { x ( ) =2000 C =600 { Từ điều kiện đầu : x1 ( ) =1000 ta tìmđược C 1=200 2 Đáp số toán : { x1 ( t )=1800 e0,6 t +200 e1,1t x ( t ) =600 e0,6 t +400 e 1,1 t