(Skkn 2023) sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp thpt

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu ơn thi tốt nghiệp THPT” Mơn: Tốn học Năm học: 2022 - 2023 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu ôn thi tốt nghiệp THPT” Mơn: Tốn học Tổ chun mơn: Tốn - Tin Tác giả: Nguyễn Thị Hương Đơn vị : Trường THPT Quỳnh Lưu Số ĐT: 0346431688 Năm thực hiện: 2022 - 2023 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ: Lý chọn đề tài: Trong đề thi tốt nghiệp THPT tốn tính tích phân ứng dụng phép tính tích phân vào giải tốn diện tích, thể tích, đồ thị chiếm phần khơng nhỏ từ dễ đến khó, dạng có cách giải khác có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn cách giải phụ thuộc vào tốn trình độ học sinh phương pháp dạy học giáo viên Vì tơi ln tìm tịi học hỏi, nghiên cứu để đưa cho học sinh phương pháp giải nhanh nhất, phù hợp ứng dụng nhiều dạng tập Tích phân hàm ẩn dạng tốn nói mẻ xuất nhiều từ năm 2017 trở sau, đề thi tốt nghiệp THPT mơn tốn thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, với thời gian 90 phút, học sinh phải thật nỗ lực làm để nhớ tất kiến thức, phương pháp giải để trả lời, giải hết toán đề thi vấn đề khó, phương pháp giải có áp dụng cho đươc toán này, toán khơng? Làm để giải tốn phạm vi thời gian nhanh hiệu nhất.Với phương pháp tính tích phân đề thi tự luận trước khơng cịn phù hợp đặc biệt tích phân hàm ẩn tốn vận dụng cao Đối với học sinh tốn tính tích phân hàm tường minh biết cách áp dụng phương pháp tính tích phân hàm tường minh vấn đề khó chưa nói đến việc tính tích phân hàm ẩn (Tức hàm khơng tường minh) lại khó Đề thi đổi mà SGK chưa đổi chưa đề cập đến việc tính tích phân hàm ẩn học sinh giáo viên phải tự mày mị, suy luận để tìm phương pháp giải cho dạng toán Qua đề thi tốt nghiệp THPT năm gần đây, đề tham khảo Bộ giáo dục, đề minh họa, đề thi thử trải qua công việc ơn thi tốt nghiệp THPT tơi tìm tịi nghiên cứu mạnh dạn định xây dựng đề tài “Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu ôn thi tốt nghiệp THPT ” giúp học sinh giải số toán đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi học sinh giỏi hàng năm Tính khoa học, tính Hình thành cho học sinh phương pháp vận dụng vào tính tích phân hàm ẩn số tốn khác tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đồ thị hàm số Mục đích nghiên cứu: Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh nhà trường có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp tốn tính tích phân hàm ẩn tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số nhằm giúp em có khả lấy điểm cao kỳ thi tốt nghiệp THPT Bản thân nhận thấy toán tính tích phân hàm ẩn tốn ứng dụng tích phân vào tính diện tích, thể tích có lớp toán việc sử dụng đưa hàm đại diện học sinh thích thú đạt hiệu rõ q trình ơn thi tốt nghiệp THPT Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Vì đối tượng học sinh lớp dạy học sinh có học lực yếu, trung bình, nên tập đưa phù hợp với đối tượng học sinh đề tài dùng cho trường bán cơng, cơng lập, có phù hợp với đối tương ôn thi học sinh giỏi, thi đánh giá lực, phù hợp cho đối tượng học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT đạt mức điểm từ đến - GV giảng dạy mơn tốn bậc THPT - GV dạy bồi dưỡng HSG, giáo viên dạy ôn thi tốt nghiệp THPT - Học sinh THPT ôn thi tốt nghiệp THPT Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp tính tích phân hàm ẩn - Đề thi tốt nghiệp THPT năm, đề minh họa Bộ giáo dục, đề thi thử - Dựa vào thực tiễn trình giảng dạy - Dựa vào định nghĩa tính chất tích phân - Lấy ý kiến đồng nghiệp mức độ khả thi đề tài PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Cơ sở khoa học: 1.1 Cơ sở lý luận: Trong thời đại công nghệ thông tin ngày phát triển, kéo theo loại máy tính cầm tay ngày đại việc sử dụng máy tính cầm tay tính tích phân hàm tường minh dễ dàng đề thi tốt nghiệp THPT địi hỏi phải đổi tốn tìm tích phân hàm tường minh đa số chuyển sang tính tích phân hàm ẩn Tổng quan lý luận định hướng tìm lời giải tốn tìm tích phân hàm ẩn thực chất đưa hàm tường minh hàm ẩn vỏ bọc bên mà ta cần phá bỏ lớp vỏ Đề tài cung cấp cho học sinh không kiến thức phương pháp khả tư duy, khả quy lạ quen đưa toán phức tạp trở thành toán tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi dạng toán đề tài cung cấp cho học sinh hệ thống tập trắc nghiệm phù hợp với xu đề thi tốt nghiệp THPT Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm bảng nguyên hàm số sơ cấp, nguyên hàm hàm hợp, định nghĩa tích phân tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học Bảng Nguyên hàm hàm số sơ cấp, nguyên hàm hàm hợp u hàm số theo biến x, tức u  u ( x) * Trường hợp đặc biệt u  ax  b, a  *Nguyên hàm hàm số đơn giản  dx  x  C  k.dx  k.x  C ,k số x 1   x dx     C  x dx  ln x  C 1  dx    C x x  x dx  x  C  du  u  C  k.du  k.u  C u 1   u du     C  u du  ln u  C (ax  b) 1   (ax  b) dx  a    C 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C 1  dx    C u u du  u  C u   1 du  ax  b  C a ax  b *Nguyên hàm hàm số mũ  e x dx  e x  C e  x dx  e x  C x  a dx  ax  C,  a  ln a u du  eu  C e e u du  eu  C u  a du  au C ln a e axb dx  eaxb  C a mxn dx  a a mxn  C, m  m ln a *Nguyên hàm hàm số lượng giác  cos x.dx  sin x  C  cos u.du  sin u  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin x.dx   cos x  C  sin u.du   cos u  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1  cos2 u du  tan u  C dx   cot(ax  b)  C  sin u du   cot u  C  a sin (ax  b)  cos2 x dx  tan x  C  sin x dx   cot x  C 1 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C 1 1.1.1 Định nghĩa tích phân Cho hàm số f(x) liên tục  a, b  , với a  b Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f(x)  a, b  giá trị F (b)  F (a) gọi tích phân từ a đến b hàm số f(x)  a, b  b Ký hiệu: b  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) (1) a Công thức (1) gọi công thức Newton-Leibnitz, a cận dưới, b cận tích phân 1.1.2.Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y  f ( x) hàm số liên tục không âm  a, b  Khi tích b phân  f ( x)dx diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f ( x) , trục a hoành Ox hai đường thẳng x  a, x  b, Với a  b b S   f ( x)dx a 1.1.3 Tính chất tích phân Cho hàm số f(x) g(x) hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn a,b,c  K Khi đó: b a) Nếu b = a  f ( x)dx  a b) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục  a, b  ta có: b  f ( x)dx  f ( x) a b a  f (b)  f (a) c) Tính chất tuyến tính: b b b a a a   k f ( x)  h.g ( x)dx  k  f ( x)dx  h  g ( x)dx , với b c b a a a c b a b d) Tính chất trung cận e) Đảo cận k, h  R  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , với c   a; b   f ( x)dx   f ( x)dx f) Nếu f ( x)  0, x   a; b  b  b f ( x)dx  a g) Nếu f ( x)  g ( x), x   a; b   f ( x)dx  f ( x)  a b b a a  f ( x)dx   g ( x)dx b h) Nếu m  f ( x) M  max f ( x) m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) a ;b    a ;b  a i) Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức ta có: b b b a a a  f ( x)dx   f (t )dt  f (u)du  1.2 Cơ sở thực tiễn 1.2.1 Thuận lợi: - Bản thân nhà trường giao nhiệm vụ ôn thi tốt nghiệp THPT nhiều năm - Ln nhiệt tình học hỏi từ tài liệu, từ đồng nghiệp học sinh tin tưởng 1.2.2 Khó khăn: - Các tốn tính tích phân hàm ẩn tốn khó vừa toán mức độ từ vận dụng vận dụng cao - Học sinh chưa quen với dạng tốn có đề thi mà khơng có tập sách giáo khoa - Đa số học sinh theo phương pháp biến đổi trực tiếp dùng phương pháp biến đổi phương trình hàm thời gian em dành để tìm đáp số toán nhiều thời gian - Một số tốn phức tạp em gặp khó khăn việc định hướng tìm lời giải Thực trạng đề tài 2.1 Nguyên nhân - Các tốn tích phân hàm ẩn xuất nhiều đề thi tốt nghiệp THPT - Học sinh không định hướng phương pháp giải - Điểm thi tốt nghiệp chưa đạt kết mong muốn 2.2 Nhu cầu Từ nguyên nhân nhận thấy cần xây dựng cho học sinh phương pháp tính tích phân hàm ẩn qua lớp toán đưa hàm tường minh 2.3 Thái độ Học sinh tích cực, hứng thú học tập 2.4 Kết khảo sát Khảo sát tình hình trước thực đề tài giáo viên cho học sinh làm đề kiểm tra lớp dạy trường THPT Quỳnh Lưu sau: Đề số (Trước thực đề tài) Bài (VD) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm, liên tục a dx  f ( x) a D f ( x)  0x   0; a  Biết f ( x) f (a  x)  Tính tích phân I   A a B 2a C Bài (VD) Cho  f (2 x  1)dx  12 a   f (sin x) sin xdx  Tính 0  f ( x)dx A 26 B 22 C 15 D 27 Bài (VDC)Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f  x   f 1  x   x  x, x  0;1 Tính I   f 1  x  dx 2 A I   15 B I  C I  15 D I  15 “Chọn đáp án trình bày cách thức làm để chọn đáp án đó” (thời gian làm 45 phút) Kết thu đươc sau làm đề kiểm tra: * Năm học 2021 - 2022 tiến hành thực nghiệm đề tài cho học sinh có lực học từ trung bình, khá, giỏi lớp lớp dạy trường THPT Quỳnh Lưu Tôi thu kết sau: Bảng 2.Kết kiểm tra số (Trước dạy chuyên đề) Số lượng học Số học sinh Số học sinh Số học sinh Đơn vị lớp sinh không làm không đủ thời làm khảo sát gian làm 12A5 20 11 12A7 20 14 12A10 20 12 Các giải pháp: 3.1 Lựa chọn hàm đại diện hàm - Giải pháp 1: Các hàm số có biến x thay đổi hàm số không thay đổi ta chọn hàm đại diện hàm đặt f(x) = a ( a số ) Bài tốn Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục dương , f (0) f (2018  x)  2018 Tính I   A dx  f ( x) I = 2018 B I = 1009 C I = D I = 4016 Bài giải Chọn f(x) = k > ( k số) Ta có f (0) f (2018  x)   k   k  2018  I dx   f ( x) 2018  dx x 2018   1009 20 Chọn B Bài toán Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục dương  0;e , thỏa mãn f  x  f  e  x   1; x   0; e  Tích phân nguyên dương e be b, c hai số d x  0  f  x  c b phân số tối giản Khi b  c có giá trị c A.3 B.4 C.5 D.6 Bài giải Phân tích: Giả thiết cho điều kiện f  x  f  e  x   1; x  0; e hàm số f  x  không thay đổi x thay đổi nên chọn hàm đại diện hàm Vì vậy, dự kiến chọn hàm đại diện f  x   k (là hàm hằng) Ta có f  x  f  e  x   1; x  0; e  k   k  1 Vậy ta chọn hàm đại diện f  x   e b e eb e b dx      , b, c hai số nguyên dương c 1 f  x c c  phân số tối giản  c  2, b   b  c  Chọn A Bài toán Cho hàm số f(x) chẵn liên tục [-1;1]  f  x  dx  Kết 1 I f ( x)  1 e x dx  ? 1 A I = B I = C I = D I = (BỘ ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT) Bài giải Vì f(x) hàm số chẵn liên tục [-1; 1] nên ta chọn hàm đại diện hàm số f(x) = a Khi 1 1 1  f  x  dx   adx  2a   a  f ( x) ex 1  ex ex I dx   dx   dx   (1  )dx   ex  ex  ex  ex 1 1 1 1 1 = ( x  ln |1  e x |) 1 1  Chọn A  0 Bài toán Cho  1  x  f  x  dx  10 Tính I   cos3 xf  sin x  dx A.I  5 B.I  10 C I  10 D.I  Bài giải Phân tích: Giả thiết cho điều kiện  1  x  f  x  dx  10 hàm số f  x  chưa đánh giá có thay đổi x thay đổi hay không nên chọn hàm đại diện f  x   ax f  x   a có tham số Vì vậy, thử chọn f  x   a Ta có  1  x  f  x  dx  10   1  x  adx  10  a  10  a  2 0 Suy f  x   30 30   2 30 cos3 xdx  10 Ta có: I   cos xf  sin x  dx   Chọn C Bài tập Bài Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm, liên tục f ( x)  0x  0; a  Biết a dx  f ( x) f ( x) f (a  x)  Tính tích phân I   A a B 2a Bài Cho hàm số C a D a y  f ( x ) có đạo hàm, liên tục f ( x)  0x  0;5 Biết 1 2 0 x f ( x)dx  3, f (1)  0, 0  f ( x) dx  Tính 7 A I  B I  C I   f ( x)dx D I  3.5 Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng Giải pháp 5: Qua lớp toán học sinh chủ động vận dụng phương pháp tìm hàm đại diện vào giải tốn tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số Bài toán Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( x)  xf ( x)  x  x  2, x  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f  x  y  f   x  A B C D [ĐỀ MINH HỌA NĂM 2023 –BỘ GIÁO DỤC] Bài giải Quan sát vế phải hàm bậc nên ta chọn hàm đại diện hàm số bậc 3: Chọn f ( x)  ax3  bx2  cx  d  f ( x)  3ax2  2bx  c f ( x)  xf ( x)  ax  bx  cx  d  x(3ax  2bx  c )  4ax  3bx  2cx  d  x  x  a  b    c  d   f ( x)  x3  x   f ( x)  3x  Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x3  x   3x   x3  3x  x  x    x   x  Khi diện tích hình phẳng giới hạn f  x  f   x  là: S   [f ( x)  f ( x)]dx   [f ( x)  f ( x)]dx   ( x3  x  x)dx   ( x  3x  x)dx  (dvdt ) Chọn C 30 y  f ( x ) có đạo hàm liên tục Bài tốn Cho hàm số f ( x)  f ( x)  x  3x  x  4, x  thỏa mãn f(1) = Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f  x  y  f   x  A 35 B 131 C 203 D 125 [ĐỀ THI THỬ CHUYÊN HẠ LONG 2022-2023] Bài giải Chọn f ( x)  ax3  bx2  cx  d  f ( x)  3ax2  2bx  c f ( x)  f ( x)  x  x  x  4, x  R  ax  (3a  b) x  (2b  c) x  c  d  x  3x  x  a  b    c  4 d   f ( x)  x  x   f ( x)  3x  Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x3  x   3x   x3  3x  x  12  x    x  2  x  Khi diện tích hình phẳng giới hạn f  x  f   x  là: 2 S   [f ( x)  f ( x)]dx   [f ( x)  f ( x)]dx   (x 2 3  x  x  12)dx   ( x  3x  x  12)dx  2 131 (dvdt ) Chọn B Bài toán 3.[ĐỀ THAM KHẢO – 2022] Cho hàm số f  x   3x  ax3  bx  cx  d  a, b, c, d   có ba điểm cực trị 2 , 1 ,1 Gọi y  g  x  hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f  x  y  g  x  A 500 81 B 36 C 2932 405 D 2948 405 Bài giải Ta có f  x   3x  ax  bx  cx  d  f   x   12 x  3ax  2bx  c Do f  x  có ba điểm cực trị 2 , 1 , nên: 31  f   1   3a  2b  c  12 a  8     f  1    3a  2b  c  12  b  6  f   2  12a  4b  c  96  c  24     f  x   3x  x3  x  24 x  d Khi đồ thị hàm số f  x  có ba điểm cực trị A  1; 19  d  , B 1;13  d  C  2;8  d  Gọi g1  x   mx  nx  k parabol qua điểm A '  1; 19  , B ' 1;13 C '  2;8  , đó:  g1  1  19 m  n  k  19  m  7     g1 1  13   m  n  k  13   n  16  g  2   4m  2n  k   k 4     g1  x   7 x  16 x   g  x   7 x  16 x   d Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x  x  x  24 x  d  7 x  16 x   d  3x  x  x  x    x  1  x   x 1   x  Khi diện tích hình phẳng giới hạn f  x  g  x  là: S  f  x   g  x  dx   3x 1  x3  x  x  dx  1 2948  dvdt  405 Chọn D Bài tốn [THANH HỐ – LẦN – 2022] Cho hàm số f  x   x  ax3  bx  cx  d  a, b, c, d   thỏa mãn 1 f ''  x   f ''   hàm 4 f  x Biết đồ thị hàm số y  g  x  có ba điểm cực trị x2  A  m; g (m)  , B  0; g (0)  , C 1; g (1)  Gọi y  h  x  hàm số bậc hai có đồ thị qua số g  x   ba điểm A, C D  2; b   Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  y   x  1  h( x)  x  1 A 64 15 B 44 15 C 56 15 D 46 15 Bài giải a 3a Ta có f '  x   x3  3ax  2bx  c  f ''  x   12 x  6ax  2b  12  x    2b   4 a Suy f ''  x   f ''    a  1   32 x Ta có: g '  x    1 f '  x   x f  x  x  1 Vì hàm số g  x  đạt cực trị điểm 0;1 , suy c  g '    g ' 1    d  b  Xét x0  thỏa mãn g '  x0     x02  1 f '  x0   x0 f  x0    hay g  x0   f  x0  f '  x0   x02  x0 f '  x0  x03  3x02  2bx0   x02  x0  b x0 x0 Suy A, C D  2; b   thuộc ( P) : y  h  x   x  x  b Xét phương trình: f  x    x  1  h  x   x  1   2 x  x3  x  x     x  1  Suy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  S   2 x  x3  x  x   dx  1 44 15 Bài toán 5.[ĐỀ THI THỬ SỞ GDĐT HỊA BÌNH 2022-2023] Cho hai hàm số f  x   ax  bx3  cx  3x g ( x)  mx3  nx  x với a, b, c, m, n  Biết hàm số y  f ( x)  g ( x) có ba điểm cực trị , 1 , Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f   x  y  g   x  A B C 37 D 16 Bài giải y  f ( x)  g ( x)  ax  bx  cx  cx  3x  (mx  nx  x )  ax  (b  m) x3  (c  n) x  x  y  4ax3  3(b  m) x  2(c  n) x  y(1)  0, y(1)  0, y(2)  Vì hàm số có ba điểm cực trị -1,1,2 suy 4a  3(b  m)  2(c  n)     4a  3(b  m)  2(c  n)   32a  12(b  m)  4(c  n)     a     b  m    c  n  1   33 f ( x)  4ax3  3bx  2cx  g ( x)  3mx  2nx  Phương trình hồnh độ giao điểm y  f ( x) y  g ( x) là: y  f ( x)  g ( x)  x  x  x  Do diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f   x  y  g   x  S |  (2 x  x  x  4)dx |  |  (2 x3  x  x  4)dx | 2 1 37 (dvdt ) Chọn C Bài toán [ĐỀ THI THỬ SỞ GD HÀ TĨNH– 2023] Cho hàm số bậc ba f  x   ax3  bx  cx  d Có đồ thị hình vẽ Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f   x  g ( x)  f   x   bx  c A 145 B 125 C 25 D 29 Bài giải f  x   ax  bx  cx  d  f ( x)  3ax  2bx  c  f ( x)  6ax  2b Ta thấy đồ thị hàm qua điểm (-2;0), (3;-5), hàm số đạt cực trị -1, ta có hệ phương trình: 8a  4b  2c  d  27 a  9b  3c  d  5   3a  2b  c  27 a  6b  c   a    b     c     d    x  1 12 f ( x)  g ( x)  x  x     5 x  34 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f   x  g ( x)  f   x   bx  c 12 25 S   ( x  x  )dx  (dvdt ) 5 1 Chọn C Bài tâp y  f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( x)  xf ( x)  x  x  3, x  Giá trị diện tích hình phẳng giới hạn Bài Cho hàm số hai đường y  f  x  y  f   x  thuộc khoảng A.(27;28) B.(26;27) C.(28;29) D.(29;30) [ĐỀ THI THỬ SỞ GD NINH BÌNH 2023] Bài Cho hàm số f  x   4 x3  ax  bx  c có đồ thị cắt trục hồnh ba điểm có hồnh độ -3; -1; F(x) nguyên hàm hàm số f(x) g(x) hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị hàm số F(x) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f  x  y  g  x  A 128 15 B 64 15 C 16 D 64 Bài Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị đường cong hình bên Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị thỏa mãn x2  x1  f  x1   f  x2   đồ thị qua M ( x0 ; f ( x0 )) x0  x1  g ( x) hàm số bậc hai có đồ thị qua S1 ( S1 S diện tích hai hình S2 phẳng tạo đồ thị hai hàm f ( x), g ( x) hình vẽ ) điểm cực trị M x1  x0  Tính tỉ số A 32 B 35 C 33 D 29 Bài Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị  C  , Biết f  1  Tiếp tuyến d điểm có hồnh độ x  1  C  cắt  C  điểm có hồnh độ 2, Gọi S1 ; S diện tích hình phẳng (phần gạch chéo hình vẽ) Tính S , biết S1  401 2022 35 A 12431 2022 B 37 12 B 5614 1011 C 12 C 2005 2022 D 11 12 D 2807 1011 Bài Hình phằng  H  giới hạn đồ thị  C  hàm đa thức bậc ba parabol  P  có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích A 12 4.Thực nghiệm sư phạm 4.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm Kiểm tra tính hiệu Sáng kiến kinh nghiệm 4.2.Nội dung thực nghiệm Thực theo nội dung sáng kiến kinh nghiệm 4.3.Tổ chức thực nghiệm 4.3.1.Địa điểm đối tượng thực nghiệm - Thực nghiệm sư phạm tiến hành Trường THPT Quỳnh Lưu 4, Quỳnh Lưu, Nghệ An - Đối tượng thực nghiệm lớp 12A5, 12A7, 12A10 năm học 2021-2022 4.3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm Thời gian thực nghiệm từ 15/3/2021 đến 15/5/2022 với số tiết dạy 12 tiết có hai kiểm tra phần lớn tiết dạy dạy tiết học tự chọn, luyện tập, ôn thi tốt nghiệp THPT 36 4.3.3.Tổ chức thực nghiệm +) Lớp dạy thực nghiêm: - Dạy theo nội dung sáng kiến kinh nghiệm, nhiên có số tập tương tự cập nhật năm 2023 - Quan sát hoạt động học sinh xem có phát huy tính tích cực tự giác có phát triển khả tư sáng tạo hay không - Tiến hành hai kiểm tra trước sau thực nghiệm +) Lớp đối chứng 12A5, 12A7, 12A10 Trường THPT Quỳnh Lưu 4.3.4 Kết thực nghiệm: Kết thực nghiệm thể rõ qua kiểm tra số Dựa vào kết thi THPT học sinh năm 2022 Đề số 2.( Sau thực đề tài ) Bài Cho  f ( x  1) xdx  Tính tích phân I   f ( x)dx  ? A 2 B C -1 D Bài Cho hàm số y  f ( x) liên tục , thỏa mãn  f ( x) dx  x  Và  f (sin x)cosxdx  Tính I   f ( x)dx A.I = 10 B I = C I = D I = Bài Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn: 1 2 0 x f ( x)dx  3, f (1)  0, 0  f ( x) dx  Tính 7 A I  B I  C I   f ( x)dx D I  (thời gian làm 45 phút) “Chọn đáp án trình bày cách thức làm để chọn đáp án đó” Bảng 3.Kết kiểm tra số (Sau dạy chuyên đề) Đơn vị lớp Số lượng học sinh khảo sát Số học sinh không làm Số học sinh làm Số học sinh không đủ thời gian làm 12A5 20 18 12A7 20 17 12A10 20 18 37 - Học sinh chủ động, bình tĩnh khơng bị ngợp hay băn khoăn gặp dạng tốn - Đa số học sinh có hứng thú phương pháp giải dạng toán đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT - Học sinh giải hầu hết tập giáo viên đưa toán tích phân hàm ẩn đề thi tốt nghiệp THPT Khảo sát cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 5.1.Mục đích khảo sát: Đánh giá cấp thiết tính khả thi đề tài 5.2.Nội dung phương pháp khảo sát 5.2.1.Nội dung khảo sát Các giải pháp đề xuất có thực cần thiết vấn đề nghiên cứu hay không? Các giải pháp đề xuất có khả thi vấn đề nghiên cứu hay không? 5.2.2.Phương pháp khảo sát Phương pháp sử dụng để khảo sát Trao đổi bảng hỏi; với thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ đến 4): Sử dụng Googleforms theo địa link Khơng cấp thiết; Ít cấp thiết; Cấp thiết Rất cấp thiết Khơng khả thi; Ít khả thi; Khả thi Rất khả thi 5.3 Đối tượng khảo sát Bảng Tổng hợp đối tượng khảo sát Đối tượng TT Số lượng Giáo viên 15 Học sinh THPT 81 Σ 96 5.4.Kết khảo sát cấp thiết khả thi giải pháp đề xuất Chúng sử dụng phần mềm microsoft Excel 2010 để tính điểm trung bình X Giá trị khoảng cách = (Maximum – Minimum)/4 =(4-1)/4 = 0.75 Chúng ta có đoạn giá trị: 38 + 1.00 – 1.75: Khơng cấp thiết + 1.76 – 2.51: Ít cấp thiết + 2.52 – 3.27: Cấp thiết + 3.28 – 4.00: Rất cấp thiết + 1.00 – 1.75: Không khả thi + 1.76 – 2.51: Ít khả thi + 2.52 – 3.27: Khả thi + 3.28 – 4.00: Rất khả thi 5.4.1 Kết cấp thiết giải pháp đề xuất Link khảo sát: https://docs.google.com/forms/d/1YDvivOwOTAwFdJwiF3CZetOX9nQ7 -Q1fMIH85qV2R0o/edit biểu đồ 39 Bảng Đánh giá cấp thiết giải pháp đề xuất Các thông số Các giải pháp TT X Các hàm số có biến x thay đổi hàm số khơng thay đổi ta chọn hàm đại diện 3.35 hàm đặt f(x) = a (trong a số ) Nếu toán cho giả thiết hàm 3.43 số thay đổi biến x thay đổi ta chọn hàm đại diện hàm bậc có tham số f(x) = ax Nếu toán cho hai giả thiết hàm số thay đổi biến x thay đổi ta chọn hàm đại diên hàm bậc có hai tham số thường ta chọn f(x) = ax + b Mức Rất cấp thiết Rất cấp thiết 3.55 Rất cấp thiết 3.73 Rất cấp thiết 3.59 Rất cấp thiết 3.53 Rất cấp thiết Nếu hàm số cho ba giả thiết trở lên ta chọn hàm đại diện hàm bậc hai trở lên - - Quan sát số mũ x hai vế để lựa chọn hàm đại diện sau sử dụng phép đồng thức Vận dụng phương pháp tìm hàm đại diện vào giải tốn tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số Điểm trung bình chung Từ số liệu thu bảng rút nhận xét sau Giá trị trung bình chung đánh giá cấp thiết giải pháp đề xuất cấp thiết, đặc biệt giải pháp đánh giá cao 3.73.Thực tế cho thấy giải pháp thứ áp dụng vào nhiều dạng tập với giả thiết cho khác áp dụng giải pháp thứ toán trở nên nhẹ nhàng quen thuộc với học sinh Nhìn chung cho thấy kết học sinh thấy rõ số giải pháp sử dụng hàm đại diện vào tính tích phân hàm ẩn cấp thiết 40 5.4.2 Kết khảo sát tính khả thi giải pháp đề xuất Link khảo sát: https://docs.google.com/forms/d/1YDvivOwOTAwFdJwiF3CZetOX9nQ7Q1fMIH85qV2R0o/edit Bảng Đánh giá tính khả thi giải pháp đề xuất TT Các thông số Các giải pháp X Mức Các hàm số có biến x thay đổi hàm số khơng thay đổi ta chọn hàm đại diện hàm đặt f(x) = a ( a số ) 3.38 Rất khả thi Nếu toán cho giả thiết hàm số thay đổi biến x thay đổi ta chọn hàm đại diện hàm bậc có tham 3.49 Rất khả thi 41 số f(x) = ax Nếu toán cho hai giả thiết hàm số thay đổi biến x thay đổi ta chọn hàm đại diên hàm bậc có hai tham số thường ta chọn f(x) = ax + b 3.58 Rất khả thi 3.72 Rất khả thi 3.61 Rất khả thi - Nếu hàm số cho ba giả thiết trở lên ta chọn hàm đại diện hàm bậc hai trở lên - Quan sát số mũ x hai vế để lựa chọn hàm đại diện sau sử dụng phép đồng thức Vận dụng phương pháp tìm hàm đại diện vào giải tốn tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số Điểm trung bình chung 3.56 Rất khả thi Từ số liệu thu bảng rút nhận xét sau: Như vậy, qua khảo sát nhận thấy giáo viên học sinh nhận thấy tính khả thi giải pháp đề xuất, có năm giải pháp đạt mức khả thi, đặc biệt giải pháp đánh giá cao 3.72 Nói chung giải pháp triển khai, áp dụng trường THPT Quỳnh Lưu năm học 2021 - 2022 có tính khả thi cao, có khả áp dụng trọng phạm vi rộng dễ thực thi cho tất trường THPT Đặc biệt đề tài gởi mở vấn đề liên quan để GV HS tiếp tục nghiên cứu, nhằm nâng cao mức độ hiểu biết phương pháp tính tích phân hàm ẩn PHẦN III KẾT LUẬN: Kết luận Như vào trình giảng dạy, kết thực nghiệm, kết tốt nghiệp THPT, kết việc khảo sát cấp thiết tính khả thi đề tài thấy đề tài thiết thực bổ ích, đạt hiệu rõ rệt Trong q trình nghiên cứu, tơi ln cố gắng tìm tịi bổ sung cập nhật đề thi thử, đề minh họa Bộ giáo dục, tập từ dễ đến khó xây dựng cách logic chặt chẽ Bên cạnh cịn phải ln trăn trở để có định hướng đắn để học sinh tiếp thu vận dụng vào tập từ hình thành cho em lực tư duy, lực mở rộng phát triển từ tốn tính tích phân hàm ẩn đơn giản đến tốn nâng cao tính diện tích hình phẳng Qua q trình nghiên cứu đề tài tơi nhận thấy: Đối với thân: Bản thân phần rèn luyện lực chuyên môn, tiếp xúc cọ xát với học sinh thông qua lời giải phương pháp lựa 42 chon hàm đại diện vào tính tích phân hàm ẩn từ rút nhiều kinh nghiệm việc giải tốn tích phân hàm ẩn Đối với học sinh: Các em trang bị thêm phương pháp tính tích phân hàm ẩn, em chủ động tiếp xúc với tốn tính tích phân hàm ẩn tốn tính diện tích hình phẳng Đặc biệt phát triển cho em tư tương tự hóa tổng quát hóa Đối với lĩnh vực toán học: Đề tài xem phương pháp việc giải toán tích phân hàm ẩn Kiến nghị: - Đề tài có khả áp dụng cho khối 12 ơn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh - Dù cố gắng nhiên khơng thể tránh khỏi sai sót Để đề tài hoàn thiện áp dụng giảng dạy tơi mong nhận góp ý chia sẻ quý thầy cô đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Đại học sư phạm G Polya, Toán học suy luận có lí, NXB Giáo dục Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Giáo dục 1992 Đặng Việt Đông (Chủ biên) chun đề dạng tích phân hàm ẩn điển hình mức độ VD -VDC BGD - ĐT, Đề minh họa mơn Tốn năm 2017,2018, 2019, 2020, 2021 2022,2023 Đề thi thử THPT QG năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 2022,2023 trường THPT chuyên không chuyên - Violet đề thi Lê Bá Hạo, ngân hàng câu hỏi tích phân ứng dụng tính diện tích hình phẳng, CLB Giáo viên trẻ TP Huế 44