TỔNG hợp CHUYÊN đề TRỌNG tâm THI vào lớp 10 CHUYÊN và học SINH GIỎI PHẦN đại số 9

yemy=ustl 1 Cho hệ phương trình: ¬ * my +t=3m>—L 2 Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của mì thì hệ phường trình cỏ nghiệm duy nhất?. toán về đại số là nội dung kh

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC

Mién

1: Hệ ` 2: Nhà

3: Hệ ]

4: Nhà 5: Cửa 6: Cửa

mee te ae

Dikll ULI Ud! SU

a yemy=ustl (1) Cho hệ phương trình: ¬

* my +t=3m>—L (2)

Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của mì thì hệ phường trình cỏ nghiệm duy nhất?

Giải vá biện luận hệ phương trình trên theo z

Tìm số nguyễn ø sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y) ma x,y deu là số nguyen

Chứng mình rằng khi hệ có nghiệm duy nhật (x,#) thì điểm A/(x,y) luện chạy trên một

N————_ an

| ai todn giai duge bing hàng đẳng thức thường có dang:

| ug phap chung de gidi các bài toán này là: ĐẠT 4 ƒ(x)=y với n=2 hoặc "=3 xương trình bạn đâu vẻ đạng „„( 2ix+8)! +n(2lx+ B) =imy) +ip

các phương trình:

| |

Tổng hợp những chuyên đề đại số hay

và khó trong chương trình Toán THCS 19 đề với hơn 100 bài ôn luyện kèm

lời giải và hướng dẫn chỉ tiết |

toán về đại số là nội dung không thể thiếu trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi

Nhằm giúp các em học sinh ôn thi vào lớp 10 cũng như các em học sinh chuyên

Toán có một tài liệu mang tính hệ thống để ôn luyện, nâng cao kiến thức kỹ năng

10 chuyên và học sinh giỏi Đại số 9”

Nội dung cuốn sách được chia làm 9 chủ đề từ cơ bản đến nâng cao:

Trong môi đề tôi luôn cố gắng hệ thống phương pháp, phân tích, định hướng cách giải, cuối cuốn sách là hệ thống bài tập rèn luyện từ cơ bản đến nâng cao

Tôi hy vọng cuốn sách sẽ là tài liệu bổ ích cho các em học sinh học tốt môn hình

học phẳng và đạt kết quả cao trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 cũng như kỳ thi học sinh giỏi

_ Mặc dù đã cố gắng dành nhiều tâm huyết cho việc biên soạn cuốn sách song thiếu sót là điều không thể tránh khỏi Rất mong sự đóng góp phê bình của bạn

đọc để lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bạn bè, đồng nghiệp, các diễn đàn toán đã cung cấp một số tài liệu quý giá để hoàn thiện cuốn sách

r a woe Sa < r ; Xứ a “y 2 “ “ & dể ` `

1 * Khi bién d6i cdc biéu thitc lién quan dén căn thức bậc 2 ta cân lưu ý:

với 4>0; (Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)

‹ - Mỗi số thực a déu cé duy nhất một căn bậc 3

| Cho sb ae R, ne N, n=2 Can bac n của một số z là một số mà lũy thừa bậc ø của nó bang a

- Mọi sỐ thuc a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: - ¬ 2

Ngoài ra cân năm được các đắng thức cơ bản quen thuộc: -

Rut gon cac biéu thitc:

`a, A=dx- rove +2 khi x>0

+ Nếu Vez sexes thi

Hay B=, |( Vax—i-1) + (Jae +1) =|N4x~1~1|+|M4x~1 +] =|V4x—1-1]+J4x-1 +1

+ Néu J4x-1-1206 4x-121@ reo thi }V/4x—1-1]=/4x—1-1 suy ra B=2V4x—1

' Mi | : e, Cho cac s6 thuc x, y thỏa mãn: (x+ +1)(y+z'+1]=1.Tính gia tri cua x+y

- Ching minh:

+ Tinh 4=V8-4V3 -V844V3

: b, B =; 1h là một số nguyên (Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyé

ˆ Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006)

c, Chứng minh rằng: _—" s5 —.-= VỚI a>— là số tự nhiề

F "Tổng hợp chuyên đề trọng tâm thi vào 10 chuyên

và học sinh giỏi Đại số 9

c Áp dụng hằng đẳng thức: (u+v} =u’ +v +3uv(utv)

Ta cé x? =2a+(I=2a)x© x`+(2a~1)x=2a=0 © (x-1)(x* +x+2a)=0 (1)

Xét đa thức bậc hai x”+x+2z với A=l—-§z>0

Kết hợp với giả thiết ta suy ra ^/x2+ 2019 ~x=4/y? +2019 + y

ị = Jy? +2019 + y+Vx? +2019 +x =x? +2019 x4 Jy? +2019 ~y xt y=0

Tổng quát ta có: (+ +a+x][02+a+y]=a thì x+y=0 |

e, Nhan 2 về đẳng thức với: (x-v+z?]y-vi->] ta có:

(x -y?-1)(9? =x -1) =29 xi —y fy? + (sy)

(x?-y? -1)(y?-x?-1)=22y +2 (I+x*)(1+y7)-(x+ V+" )(y+vi+2)

©1I-(x°~»°] =2xy+2 (1+x7) (1+?) -1 2(1-ay) =(x?-y*) +2 (1+x?)(1+y’)

b Cho x =142/2 Tinh giá trị của biểu thie B=x*—2x* +x —3x? +1942 (Trich đề tt:

PR GGES ORs BH

C

vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 - 2016)

_c Cho x=1+Ÿ2+Ÿ4 Tính giá trị biểu thức: P= xï —4x!+xÌ—x?—2x+2015

Z xv 2u, G27 O2 Q32 &jw 4À? Ã 2 Ww`© 3 + CIF COL 4S Oe

thức: a® —b° =(a—b)(a? +ab+b*) Khi dé ta có: (2 1)x=(2 —1)(Ä2° +2 +1] S (#2-1)x=1e Y2x=x+1 c© 2x =(x+1)’ & x? —3x? -3x-1=0

Ta bién déi: P=x° —4x4 +x? —x? -2x +2015 = (x? —x+1)(x° —3x7 —3x-1) +2016 = 2016

MEM LOY EOS Re Cte a a

- rằng: a4 +b + =3,

b Tìm các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện: xJl-y? + y\2-z? +z\3—x” =3

(Trích đẻ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - Trường chuyên ĐHSP Hà Nội, 2014) c, Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện: 2 (x./y-4 +yx-4) = wy j 8

Ầ j

; d, Giả sử (x; y) là các số thực thỏa mãn |x+ X3+x” ||» +/3+y? = 9 Tim gid tri nho oh

‘ "Tổng hợp chuyên đề trọng tâm thi vào 10 chuyên ' SG? |

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có

Ta viết lại giả thiết thành: 2x41— y nã z”+2z\3—x? =6

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

° g=Nx~4,b=Jy-4 với a,b>0 thì phương trình đã cho trở thành:

2(z tayo 2(0 +4)a=(a?+4)(b? +4) Chia 2 vé cho (a? +4)(b? +4) thi phuong trình

trở thành: Bề atl Dé y rang a=0 hoặc ö=0 không thỏa mãn phương trình ¬"

Xét a,b >0 Theo bất đẳng thức AM - GM ta có: b)+4>24|4b2 =4b a2+4>4a Suy ra

x +xyty =š(+y'+2(x-yŸ >5(x+zỶ = x” +xy+y >3 Dấu đẳng thức xảy ra

min

e, Dat a=V1+x,b=41-x => a,b>0,a*+b* =2 Taco:

P=a+b+ab Áp dụng bất đẳng thức ở (**) ta có

7 Hệ 8 Nhi

Ta cting cé: a* +b* <a" +2a°b’? +b’ < (2 +b?) = +b? >J2,ma

P=a+b+ab>a+b > ŸJ2 dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=0 hoặc b=0 tức là x=

x=-l

— Víidụ5

_ Cho x,y,z>0 và xy+ yz+Zx=]

: mẹ nợ Bế eyes)

Lời giải:

Tương tự đối với I+y1+Z ta CÓ:

1+x? (x+y)(x+z) my

Suy ra P=x(yt+z)+y(z+) )+z(x+y)= 2(xy+yz+zx)=2

b, Twong ty nhu cau a)

J2nt+1+vV2n-1

Đạng 2: Các câu hói liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số

Phương pháp: Đề giải quyết các bài tập dạng này ta cần chú y cac tinh chat co ban:

+A? +B? +VC? + D? > |(A+C) +(B+C) voi các số thực 4,B,C, D>0,

+ (A+B) $2(4?+B?), (A+B) <4(448) voi 44220

_a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4= Tea x+ x+2Vx 45

Vx +] b

c, Tim gia tri nhỏ nhât của C=

a>lb>4,c>9

d, Cho x20 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thitc: D=Jl—x+V14+x+2Vx

(Tuyển sinh Hà Nội 2018)

x+y =4n b, Dat x=V2n+1,y=V2n-1=> xy =V4n’ -1

x=⁄az,y=Ab,z=xlec=x?+y?+z? =xty+z=2=2(x+yz+zz)=(x+y+z) ~(x°+y°+z?)=2

tuong tu 1+b=(y+z)(y+z), l+c=(z+x)(z+y) suy ra

OND 1% 10P chuyen de rong tém thi vao 10 chuyén ggg

ap dung bat " thức AM-GM dạng 4+ B>2.|A.B_ với các số thực không âm 4, B

Ten 2Ñ ea

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng | tai x=1

Jva-1 VJa-1 Va-1 ca

dụng bất đắng thức AM-GM cho 2 số-thực dương ta có: '*a-—1+

1 ah

-d, Điều kiện 0<x<1,Ta viết lại D=x=x+xll+x+2Äx =V1—-x+Ax+xl+x+Vx, do-

x20 suyra Vi+x+Vx>1.Tacd (V¥x+Vi- x) =x+I- —z+2qjz(I- x)=l+2./x(1-x) >1

suy ra D>2, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0

x=5—x hay x=5 Vay GTNN cia P là 5/3 , GTLN của P l 2."

f, Diéu kién dé biéu thitc A xdc dinh 1a x>4

Do 4<x<8 nên <x—4<4— 4>8 +Nếu x>®§ thì 2/x—4—2>0 nên

thức AM-GM cho các số thực đương ta có: vx+— + > 23h - 6 suy ra ty 4>B< = dau dang thức xảy ra khi và chỉ khi x=9 (2)

Kết hợp (1),(2) ta suyra GTLN của B bang ; tai x=9

Chú ý: Học sinh hay mắc sai lầm khi đưa về = ma khéng xét x =0 (Biéu thirc = chi xac dinh khi x>0)

Kết hợp (3),(4) ta suy ra GTLN của € bằng : tai x=16

d, Điều kiện O< x<0 Ta có D? =9+2.jx(9—x) theo bắt đẳng thức AM-GM ta có:

x=9-xe©x =< Vay GTLN của D bằng 32 tại ras

è Điều kiện (9—x)(I+3x)>0 © (3x~27)(3x+1)<0 do 3x—27<3x+l nên suyra È xác

©——<x<9

Áp dụng bắt đẳng thức AM-GM ta có: 2Í(1+3x)(9—x) <1+3x+9~x=10+2x Suy ra #<~x” +2(10+2x)=20+4x—x? =24—(x—2)” <24, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi định khi và chỉ khi |

Điêu kiện: |

Ta viết lại F = Jx( 5—x)+ \( 6—x)(x+3), dp dung bat đẳng thức Cauchy- Schwarz dạng

+ Đôi với các biêu thức P= 4 + voi A,B là sô hữu tỷ, Œ nhận giá trị thực Ta thường tìm

cách đánh giá ?, tức là chặn P theo kiểu 1< P<N từ đó suy ra các giá trị có thể của P Hoặc ta tìm điêu kiện của P' để tôn tại biến x, y thỏa mãn yêu câu bài toán từ đó suy ra các giá trị nguyên có thê của P

+ Đôi với các bài toán tông hợp học sinh cần chú ý điều kiện ban đâu đề loại các giá trị không

thỏa mãn

và học sinh giỏi Đại số 9

Jx+1 la uée cia 3 Chú ý Nx+1>1= vx+1e{I;3}© xe {0;2} xe {0;4]}

Vay xe {0;4} thi P nhan gid tri nguyén b, Điều kiện x>0

Doi chiéu voi diéu kién bai toan ta thay x =1,x=2 thda man

a, Rút gọn biểu thức

c, Tim gia tri nho nhat cha P

TH 2: Vx-2<0 = [x<4 => x<4 đôi chiêu với điêu kiện suy ra 0<x<4

và học sinh giỏi Đại số 9

=0<C<Š, kế hợp với điều kiện C là một số nguyên suy ra Ce {1;2}

+ Nếu C=1 5# =2Jx +1=s ý =2 £s x= thỏa mãn điều kiện

+ Nếu = 2© 5Jx=4\x+2©xx=2©x=4 không thỏa mãn điều kiện Vay x= T } tà C nhận giá trị là nguyên

Vậy dé A>B thi diéu kién là: x >1

LINE) Cho biéu thttc A=

16 b, Rut gon B

c,Tim x dé B=24

Lời giải:

5 5 a, Khi x=25 thi Vx =5 suy ra A =———_ = —

45-3 17

b, Taco:

vx, vx-10_ Vx Vx -10 _Yz(jx+2+vx~10- x+3/x—10

A“ n ằnNcCC (vx-2)(vx+5) Jess

b, Tinh gia tricta P khi x=4

_c Tìm các giá trị của x để P là sô tự nhiên

b, Tính giá trị biểu thức P khi a=3—^/5 và b=0,5

'[WIWa-) va(d-va)| \Yabalo Jab la

ab(Ja-vb) Jab (Ja-Vb)

PK a=s-jf=2= s=2- 8 0 SNE A EI) = p= Jab = 2 4

Hay P=

c, Theo bat dang thitc AM-GM ta có: a2+4b? >2A|a?.4b? =4ab => 4ab <8 = ab<2 Vậy

Vậy GTLN của P là A2

TWx-2 p_ Vx+3 Vx-3 36

a, Rut gon B,tim x dé A=B

EVA) Cho 2 bidu thite A= vol x20,x #9

b, Tìm tất cả các giá trị của x để 4 nhận giá trị nguyên dương

‘ (Teng hợp chuyên, đề trọng tâm thi vào 10 chuyên ;

| và học sinh giỏi Đại số 9

a Tim diéu kién cia x dé biéu thitc P có nghĩa và rút gon P

` su , 2 A 4

b Tìm giá trị của x đê LẦN G c Khi x>25 hãy tìm GTNN của P

a, Rut gon P =A: B

b, Tìm các giá trị m để tồn tại x sao cho P4x=m+4lx Lời giải:

BT EGA) ae) EME” Ys

Vvx+1 x-1_x-1 Vx Ve+l

nghiệm tổn tại ít nhất 1 nghiệm đương Như vậy ta chỉ cần tìm điều kiện dé =1 không phải là

c Với giá trị nào của x thì —— P

Lời giải:

a, Ta co:

ta có: —=+Vx >2 suy ra P>3 Dâu đăng thức xảy ra khi va chỉ khi *x=-=e©x=l không

thỏa mãn điêu kiện xl Vậy P>3 với mọi x>0,x#]

a, Rút gon P _ b So sánh P với 4

ˆ c Tìm x thỏa mãn điều kiện: x4/x.(P—2)+x+4=3\x)+4x

c, Tìm x thỏa mãn điều kiện: xVJx.(P—2)+x4+4=3V2x° +44

2t* -3t+1=0 @ (2/—1)(/—1)=0 1: 2

a, Hàm số bậc nhất, xác định với mọi giá trị xe

b, Trên tập số thực, hàm số „= ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a< 0

3 Đô thị hàm số y= ax+b với (a#0)

+ Đồ thị hàm số y= ax+b là đường thắng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ð và cắt trục

hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

a

+ a goilahé sé géc cha dwong thang y=ax+b

4 Cách vẽ đô thị hàm số y= ax+b

+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thắng di qua 2 điểm

+ Thường vẽ đường thắng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ là Á-s: 0 } B(0;ð) a ` | + Chú ý: Đường thẳng đi qua Ä⁄ (z;0) song song với trục tung có phương trình: x—zz=0,

đường thẳng đi qua W (0:z) song song với trục hoành có phương trình: y—z=0

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(x,;y,),B(x,;y,) thi AB= (x -x,) +(y, -y) |

6 Điều kiện để hai đường thẳng song song hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thắng (đ,): y=ax+b và đường thẳng (đ,): y=a'x+b' với a,a'#0

Chú ý: Gọi ø là góc tạo bởi đường thắng y=ax+b và trục Óx, nếu a>0 thì tang=a

iy sit

ll MOT SO BAI TOAN

_b, Gọi 4 là điểm thuộc đường thẳng (đ)) có hoành độ x=2 Viết phương trình đường -

thắng (đ,) đi qua 4 vuông góc với (4/)

c, Khi (4,) //(đ,) Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thắng (d,), (đ;)

d, Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thăng (d,) va tinh dién tich tam gidc OMN

voi M,N lan lugt la giao điểm của (d,) véi cdc truc toa dé Ox, Oy

Hình vẽ: Gọi là giao điểm của đường thăng |

wee ee eee ee ee ee ee ee

(d,) va (d,) Phuong trinh hoành độ giao diém cia (d,) và (d,) 1a:

1 Zo 23 25 23 —=x+6=xz——€©x=——=y=—B|—:— |

4 8 8 8 8

Vậy độ dài đoạn thắng 4B là: AB= (22) d4] 22

d Goi M,N lần lượt là giao điểm của đường thắng (4) VỚI các trục tọa độ Ox,Ớy Ta có:

Cho y=0=x=-2= A(-2;0), cho y=0= x=-2> N(-2;0) Ti dé suy ra OM =ON =2

= MN =2V2 Tam giác OẢMN vuông eân tại Ó Gọi # là hình chiếu vuông góc của O lên

thắng (d) ta lam theo cách: A \

+ Tìm các giao điểm 1, N của (đ) với các trục tọa độ

+ Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông @MN (công thức (*))

dé tinh doan OH

Bằng cách làm tương tự ta có thế chứng minh được công thức sau:

Cho Ä⁄(xạ;yạ) và đường thắng ax+by+c =0 Khoảng cách từ điểm é⁄ đến đường thẳng là: d= Jax, + by, +¢|

Na” +Pˆ

- Vídụ2 `

_ Cho đường thẳng øx+(2—3m) y+m—1=0 (đ)

a Tìm điểm cố định mà đường thăng (2) luôn đi qua

| b Tìm zz để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thăng (2) là lớn nhất

c, Tìm ø để đường thăng (đ) cắt các trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại 4, sao cho tam giác ; OAB cân