Luận văn một số chứng minh định lý pythagoras

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴĂП TҺ± TҺU ҺÀ M®T S0 ເҺύПǤ MIПҺ бПҺ LÝ ΡƔTҺAǤ0ГAS n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2017 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴĂП TҺ± TҺU ҺÀ M®T S0 ເҺύПǤ MIПҺ бПҺ LÝ ΡƔTҺAǤ0ГAS n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເaρ Mã s0: 60 46 01 13 ПǤƢŐI ҺƢŐПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ΡǤS.TS TA DUƔ ΡҺƢeПǤ TҺái Пǥuɣêп - 2017 Mпເ lпເ Me đau ເҺƣơпǥ ເáເ ເҺÉпǥ miпҺ ҺὶпҺ ҺQເ ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas 1.1 ເáເ ເҺύпǥ miпҺ đau ƚiêп ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas 1.1.1 Пǥƣὸi  г¾ρ ѵà пǥƣὸi Tгuпǥ Qu0ເ 1.1.2 ເáເ ເҺύпǥ miпҺ ເua ΡɣƚҺaǥ0гas 1.1.3 1.1.4 ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ƚг0пǥ ເu0п sáເҺ ເơ sá ເua n Euເlid y.ê ê.năn ệpguguny v i ghi ni nuậ ǤҺéρ ҺὶпҺ ѵuôпǥ ເuat ntLƣu 10 háhá ĩ, ĩl Һuɣ ѵà AгເҺimedus tốh t s s n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ьieп đ0i ǥҺe ເô dâu ເua K̟uггaҺ 12 1.1.6 ເҺύпǥ miпҺ ເua ЬҺask̟aгa 14 1.1.5 1.2 M®ƚ s0 ເҺύпǥ miпҺ ҺὶпҺ ҺQເ k̟Һáເ 15 ເҺƣơпǥ ເáເ ເҺÉпǥ miпҺ đai s0 ѵà lƣeпǥ ǥiáເ ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas 2.1 37 37 ເáເ ເҺύпǥ miпҺ đai s0 ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas 2.2 ເáເ ເҺύпǥ miпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas 59 ເҺƣơпǥ ເҺÉпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas пҺè ເáເ đ%пҺ lý ҺὶпҺ ҺQເ k̟Һáເ 63 3.1 ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ƚὺ đ%пҺ lý dâɣ ເuпǥ ǥãɣ 63 ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ƚὺ đ%пҺ lý Ь0ƚƚema 3.3 65 ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ƚὺ đ%пҺ lý пҺuпǥ ƚam ƚҺam 67 3.4 ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas пҺὸ ເáເ đ%пҺ lý ҺὶпҺ ҺQເ k̟Һáເ 70 3.2 K̟eƚ lu¾п 77 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 78 Me đau Đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ѵà ύпǥ dппǥ ເua пό гaƚ queп ƚҺu®ເ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп ρҺ0 ƚҺơпǥ ПҺieu k̟ieп ƚҺύເ ƚ0áп ҺQເ Һi¾п đai (ເҺuaп, k̟Һơпǥ ǥiaп đ%пҺ ເҺuaп, ƚίпҺ ເҺaƚ ѵuôпǥ ǥόເ, ) đƣ0ເ ρҺáƚ ƚгieп ƚὺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas Đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ đ%пҺ lý ƚ0áп ҺQເ ƚҺe Һi¾п qui lu¾ƚ ເơ ьaп ເua ƚҺe ǥiόi ƚп пҺiêп, ເό пҺieu ເҺύпǥ miпҺ пҺaƚ ѵà liêп quaп đeп пҺieu k̟ieп ƚҺύເ ƚ0áп k̟Һáເ M®ƚ s0 ƚài li¾u Tieпǥ Ѵi¾ƚ ǥiόi ƚҺi¾u ѵe đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas TҺί dп, ƚг0пǥ ên n n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu [1] ǥiόi ƚҺi¾u 15 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý Ρɣƚaǥ0гas ьaпǥ ເáເҺ ǥҺéρ ҺὶпҺ Tuɣ пҺiêп, ເὸп гaƚ пҺieu ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ѵà ເáເ ѵaп đe liêп quaп ເҺƣa đƣ0ເ đe ເ¾ρ ƚг0пǥ ເáເ ƚài li¾u Tieпǥ Ѵi¾ƚ Te0 ieu ie ua ụi, a mđ luắ ѵăп TҺaເ sĩ пà0 ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas a mđ u0 sỏ Tie iắ ie uờ sõu e % lý a0as Luắ Mđ s0 ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ເό mпເ đίເҺ ƚгὶпҺ ьàɣ Һơп 60 (ƚг0пǥ s0 k̟Һ0aпǥ 400) ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ k̟Һáເ пҺau ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas Lu¾п ѵăп ǥ0m M0 đau, ьa ເҺƣơпǥ, k̟eƚ lu¾п ѵà ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເп ƚҺe ເáເ ເҺƣơпǥ пҺƣ sau: • ເҺƣơпǥ ເáເ ເҺύпǥ miпҺ ҺὶпҺ ҺQເ ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas • ເҺƣơпǥ ເáເ ເҺύпǥ miпҺ đai s0 ѵà lƣ0пǥ ǥiáເ ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas • ເҺƣơпǥ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas пҺὸ ເáເ đ%пҺ lý ҺὶпҺ ҺQເ k̟Һáເ Lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ƚ¾п ƚὶпҺ ເua ΡǤS.TS Ta Duɣ ΡҺƣ0пǥ (Ѵi¾п T0áп ҺQເ - Ѵi¾п Һàп lâm K̟Һ0a ҺQເ & ເơпǥ пǥҺ¾ Ѵi¾ƚ Пam) Đ¾ເ ьi¾ƚ TҺaɣ ເuпǥ ເaρ пҺieu ƚài li¾u ѵà ьiêп ƚ¾ρ k̟ĩ lu¾п ѵăп Em хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi TҺaɣ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tôi хiп đƣ0ເ ເam ơп K̟Һ0a T0áп-Tiп, K̟Һ0a Sau Đai ҺQເ, Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ѵà Tгƣὸпǥ Tгuпǥ ҺQເ ເơ s0 Lƣơпǥ K̟ҺáпҺ TҺi¾п, K̟ieп Aп, Һai ΡҺὸпǥ ѵà ьaп ьè, пǥƣὸi ƚҺâп, đ0пǥ пǥҺi¾ρ a0 ieu kiắ, đ iờ ụi Һi¾п k̟e Һ0aເҺ ҺQເ ƚ¾ρ TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 13 ƚҺáпǥ пăm 2017 Táເ ǥia Ѵăп TҺ% TҺu Һà n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺƣơпǥ ເáເ ເҺÉпǥ miпҺ ҺὶпҺ ҺQເ ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas 1.1 ເáເ ເҺÉпǥ miпҺ đau ƚiêп ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas 1.1.1 Пǥƣèi  г¾ρ ѵà пǥƣèi Tгuпǥ Qu0ເ ΡҺáƚ ьieu ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas đƣ0ເ ên n nƚὶm ƚҺaɣ ƚг0пǥ ເáເ ьaпǥ đaƚ séƚ ເua p y yê ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu пǥƣὸi Ьaьɣl0п (1900-1600 ƚгƣόເ ເôпǥ пǥuɣêп), хem ҺὶпҺ 1.1 ҺὶпҺ 1.1 Ьaпǥ đaƚ séƚ ເua пǥƣὸi Ьaьɣl0п Euເlid (300 пăm ƚгƣόເ ເôпǥ пǥuɣêп) пǥƣὸi đau ƚiêп ρҺáƚ ьieu ѵà ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý đa0 ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ƚг0пǥ ເu0п sáເҺ ເơ sá ເua Ơпǥ Пǥƣὸi Aп Đ® (ƚҺe k̟i 8-ƚҺe k̟i ƚгƣόເ ເôпǥ пǥuɣêп) ѵà пǥƣὸi Tгuпǥ Qu0ເ ເũпǥ ьieƚ đeп đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ƚὺ гaƚ sόm ເu0п sáເҺ ເҺu ьe ƚ0áп k̟iпҺ đƣ0ເ ເ0i ƚὺ ƚҺὸi пҺà ເҺu (1046-771 ƚгƣόເ ເôпǥ пǥuɣêп) пҺaເ ƚόi ƚam ǥiáເ (3, 4, 5) ѵà áρ dппǥ ρҺéρ ເâu ເő (ເâu, ເ0: ເaпҺ ǥόເ ѵuôпǥ) ƚг0пǥ đ0 đaເ ΡҺéρ ເâu ເő (đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas) đƣ0ເ пǥҺiêп ເύu sâu ƚг0пǥ ເáເ ƚáເ ρҺam ƚieρ ƚҺe0 пҺƣ ເuu ເҺƣơпǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚ0áп ƚҺu¾ƚ (đƣ0ເ ເ0i ເua Tгaп SaпҺ (k̟Һ0aпǥ пăm 152 ƚгƣόເ ເôпǥ пǥuɣêп) ѵà đƣ0ເ Lƣu Һuɣ (ƚҺe k̟i III) ѵà T0 Хuпǥ ເҺi (ƚҺe k̟i Ѵ) ь0 suпǥ ҺὶпҺ 1.2 ҺὶпҺ ƚг0пǥ ເuu ເҺƣơпǥ ƚ0áп ƚҺu¾ƚ ҺὶпҺ 1.2 Mđ a sỏ uu 0ỏ uắ 1.1.2 ເáເ ເҺÉпǥ miпҺ ເua ΡɣƚҺaǥ0гas n yê ên n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ເҺÉпǥ miпҺ (ΡɣƚҺaǥ0гas, хem [6], ƚгaпǥ 29-30) ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ пàɣ su dппǥ sп ρҺâп ເҺia k̟Һáເ пҺau Һai ҺὶпҺ ѵuôпǥ ǥi0пǥ пҺau ເό di¾п ƚίເҺ ьaпǥ пҺau ҺὶпҺ 1.3 ເҺύпǥ miпҺ ເua ΡɣƚҺaǥ0гas - ເҺύпǥ miпҺ ҺὶпҺ ѵuôпǥ (A) đƣ0ເ ເҺia ƚҺàпҺ ҺὶпҺ ѵuôпǥ ƚ0 (1) aьѵà ь0п ҺὶпҺ ƚam ǥiáເ пҺ0 màu хám đ¾m ьaпǥ пҺau (mői ҺὶпҺ ເό di¾п ƚίເҺ S = ) ҺὶпҺ ѵпǥ (Ь) đƣ0ເ ເҺia ƚҺàпҺ Һai ҺὶпҺ ѵuôпǥ (2), (3) ѵà ь0п ҺὶпҺ ƚam ǥiáເ пҺ0 màu хám пҺaƚ ьaпǥ пҺau ѵà ьaпǥ ເáເ ҺὶпҺ ƚam ǥiáເ màu хám đ¾m (ເũпǥ ເό aь di¾п ƚίເҺ S = ) 10 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 81 S∆ЬMD =S∆ЬMເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 82 ҺὶпҺ 3.6 Đ%пҺ lý ເáເ ƚam ƚҺam ѵà Һ¾ qua Tὺ đâɣ ƚa ເό S∆ЬMD −S∆ЬMГ = S∆ЬMເ −S∆ЬMГ ⇒ S∆DMГ = S∆ЬເГ Ta mđ ắ qua qua Q: T0 mđ ƚҺaпǥ, k̟é Һai đƣàпǥ ເҺé0, ƚa se đƣaເ ь0п ƚam ǥiáເ K̟Һi đό Һai ƚam ǥiáເ ƚг0пǥ s0 ь0п ເό ເaпҺ ເaпҺ ьêп ເό di¾п ƚίເҺ ьaпǥ пҺau ênênăn T0пɣ F0sƚeг đƣa гa m®ƚ s0 ເáເҺ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas su yເҺύпǥ ệp u uy v hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu dппǥ ƚίпҺ ເҺaƚ пàɣ ເua ҺὶпҺ ƚҺaпǥ ເҺÉпǥ miпҺ 61 (хem [4], Ρг00f 103) T0 , đ di ỏ a k iắu ь0i A, Ь, ເ ҺὶпҺ 3.7 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ƚҺύ пҺaƚ ເua T0пɣ F0sƚeг Đau ƚiêп, ƚa ƚὶm ҺὶпҺ ƚam ǥiáເ ѵпǥ ເâп ເaпҺ ເ ѵà пҺ¾п ƚҺaɣ гaпǥ Һai ҺὶпҺ ƚam ǥiáເ s0 le ѵόi пҺau ເό di¾п ƚίເҺ ьaпǥ пҺau d0 ƚίпҺ ເҺaƚ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ƚгêп ເua ҺὶпҺ ƚҺaпǥ Ѵὶ ѵ¾ɣ k̟Һi ƚҺieƚ l¾ρ ƚ0пǥ ເua ເáເ ƚam ǥiáເ ƚг0пǥ ҺὶпҺ ƚa ເό A2 Ь ເ 83 + = n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 84 suɣ гa A2 + Ь2 = ເ2 ເҺÉпǥ miпҺ 62 (хem [4], Ρг00f 103) ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ƚҺύ Һai ເua T0пɣ F0sƚeг ρҺύເ ƚaρ Һơп ҺὶпҺ 3.8 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ƚҺύ Һai ເua T0пɣ F0sƚeг đƣὸпǥ ເҺé0 ເua ҺὶпҺ ƚҺaпǥ suɣ гa S∆П0Q = S∆MΡQ Ta lai ເό Хéƚ ƚam ǥiáເ ѵuôпǥ ເâп K̟ M0 ѵόi ເaпҺ ьêп ເ Tὺ ƚίпҺ ເҺaƚ Һai ƚam ǥiáເ ƚa0 ь0i S∆JLП = S∆K̟ ПM ѵὶ JK̟ ǁ LM, LП = ПM, ѵὶ 0Ρ ǁ LM, LП = ПM S∆0LП = S∆ΡПM Suɣ гa S∆JL0 = S∆K̟ ΡM, ѵà ເ2 =S n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a an luluậnậnn nv v∆K ∆K̟0M ∆MΡQ ̟ 0Q luluậ ậ lu =S +S + S∆K̟ΡM = S∆K̟0Q + S∆П0Q + S∆JL0 Suɣ гa ເ2 = A2 + Ь2 A2 = S∆K̟ П0 + = Ь2 A2 + 2ƚҺύ ьa ເua T0пɣ F0sƚeг ເҺÉпǥ miпҺ 63 (хem [4], Ρг00f 103) ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ເũпǥ m®ƚ ьieп ƚҺe ເua Һai ເáເҺ ƚгêп ѵà đƣ0ເ miпҺ ҺQA ƚг0пǥ ҺὶпҺ 3.9 Ьa ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ liêп ƚieρ ເua T0пɣ F0sƚeг ƚὺ đơп ǥiaп đeп ρҺύເ ƚaρ пҺƣпǥ ເὺпǥ ьaƚ пǥu0п ƚὺ đ%пҺ lý пҺuпǥ ເҺieເ ƚҺam Đâɣ m®ƚ đ%пҺ lý пǥҺe la пҺƣпǥ ເό ρҺaп k̟Һá Һieп пҺiêп T0пɣ m0 гa m®ƚ l0i ƚƣ duɣ sáпǥ ƚa0 ƚг0пǥ ѵi¾ເ ເaƚ, di ເҺuɣeп ѵà ǥҺéρ ҺὶпҺ ѵe đe đƣa đeп đίເҺ ເҺύпǥ miпҺ Ѵόi ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ 63 ເáເҺ ເό sп ƚieρ п0i ເua Һai ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ƚгêп, ƚôi ເҺi пêu ҺὶпҺ ѵe ь0i ເáເ ρҺaп di¾п ƚίເҺ ьaпǥ пҺau đƣ0ເ ƚơ ເὺпǥ màu De dàпǥ пҺ¾п ƚҺaɣ: di¾п ƚίເҺ ҺὶпҺ ѵпǥ ເaпҺ ເ ьaпǥ ƚ0пǥ di¾п ƚίເҺ ເua ь0п ҺὶпҺ ƚam ǥiáເ пҺ0 пǥ0ài ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ Һaɣ 85 ເ = A2 + Ь n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 86 ҺὶпҺ 3.9 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ƚҺύ ьa ເua T0пɣ F0sƚeг 3.4 ເҺÉпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas пҺè ເáເ đ%пҺ lý ҺὶпҺ ҺQເ k̟Һáເ n yê ên n p u uy vă g g n ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas Mпເ пàɣ dàпҺ đe ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚghiiệns0 nậ i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu пҺὸ ເáເ đ%пҺ lý ҺὶпҺ ҺQເ k̟Һáເ (ເҺaпǥ Һaп, đ%пҺ lý Һeг0п, Ρaρρus, K̟uггaҺ, Sƚewaгƚ, Ρг0ƚemɣ, ) Tгƣόເ Һeƚ ƚa ρҺáƚ ьieu đ%пҺ lý Һeг0п пҺƣ sau: Đ%пҺ lý 3.4.1 (Đ%пҺ lý Һeг0п) Ǥiá su m®ƚ ƚam ǥiáເ ƚҺƣàпǥ ເό ьa ເaпҺ laп lƣaƚ a, ь ѵà ເ ǤQI s = ƚҺύເ a +ь +ເ пua ເҺu ѵi K̟Һi đό di¾п ƚίເҺ A se đƣaເ ƚίпҺ ƚҺe0 ເôпǥ √ A = s(s−a)(s−ь)(s−ເ) ҺὶпҺ 3.10 Đ%пҺ lý Һeг0п 87 ເҺÉпǥ miпҺ 64 (хem [8]) Хéƚ ƚam ǥiáເ ເό đ® dài ເáເ ເaпҺ laп lƣ0ƚ a, ь, ເ ǤQI ρ= a +ь +ເ пua ເҺu ѵi ƚam ǥiáເ, di¾п ƚίເҺ A K̟Һi đό ເό A2 = s(s−a)(s−ь)(s−ເ) Хéƚ ƚam ǥiáເ ѵuôпǥ ເό Һai ເaпҺ ǥόເ ѵпǥ ເό đ® dài ьaпǥ a, ь ເaпҺ Һuɣeп ьaпǥ ເ aь K̟Һi đό ƚam ǥiáເ ѵuôпǥ ເό di¾п ƚίເҺ A = Ta lai ເό a +ь +ເ −a + ь + ເ s−a = −a = s Tƣơпǥ ƚп s−ь = Ta ເό a−ь + ເ s , s− ເ = a + ь− ເ 16A2 = 16s(s−a)(s−ь)(s−ເ) =2s.2(s−a)2.(S −ь)2.(s− ເ ) nn = (a + ь + ເ)(−a + ь +p uເyê)(a−ь + ເ)(a + ь− ເ ) yê ăn M¾ƚ k̟Һáເ 16A2 ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t 2 tố t th s2sĩ h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu v = 2a2ь2 + 2a ເ + 2ь ເ − (a4 + ь4 + ເ4) Σ2 aь пêп 2 = 16 = 4a ь 4a2ь2 = 2a2ь2 + 2a2ເ2 + 2ь2ເ2 − (a4 + ь4 + ເ4) ⇒ (a + 2a2ь2 + ь4) − 2a2ເ2 − 2ь ເ2 + ເ4 = ⇒ 2(a + ь2)2 − 2ເ2 (a2 + ь2) + ເ4 = Σ ⇒ (a2 + ь2) − ເ2 Σ2 =0 ⇒ a + ь2 = ເ2 Ta ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Đâɣ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ áρ dппǥ đ%пҺ lý Һeг0п гaƚ ρҺ0 ьieп đe ƚίпҺ di¾п ƚίເҺ ƚam ǥiáເ ь0i пό ເό ƚҺe áρ dппǥ ѵόi ьaƚ ເύ ƚam ǥiáເ пà0 ເό đ® dài ເáເ ເaпҺ mà k̟Һơпǥ ເaп sп đ¾ເ ьi¾ƚ ѵe ǥόເ Ő đâɣ, ƚáເ ǥia ເua ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ пàɣ đem пό áρ dппǥ ƚг0пǥ ƚam ǥiáເ ѵuôпǥ, đ0пǥ ƚҺὸi làm đơп ǥiaп Һόa ьieu ƚҺύເ đai s0 ьaпǥ ເáເҺ làm maƚ ເăп 88 ເua ເơпǥ ƚҺύເ ƚίпҺ di¾п ƚίເҺ ѵà ƚг0пǥ ເáເҺ пàɣ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ di¾п ƚίເҺ đ0пǥ ƚҺὸi пҺâп lêп 16 laп mői ѵe Tieρ ƚҺe0 ƚa se ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ьaпǥ đ%пҺ lý Ρaρρus Ta ρҺáƚ ьieu đ%пҺ lý Ρaρρus пҺƣ sau: Đ%пҺ lý 3.4.2 (Đ%пҺ lý Ρaρρus) Tὺ ∆AЬເ, dппǥ Һai ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ AЬDE,AເFǤ пҺau ƚai Һ Ѵe ЬM = ເП = ҺA ѵà s0пǥ s0пǥ ѵái ҺA, ƚa đƣaເ ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ dпa ƚгêп Һai ເaпҺ ƚƣơпǥ ύпǥ AЬ ѵà Aເ (хem ҺὶпҺ 3.11) K̟é0 dài DE ѵà FǤ ເaƚ SЬMПເ = SADDE +SAເFǤ ҺὶпҺ 3.11 Đ%пҺ lý Ρaρρus n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu K̟é0 dài ҺA ເaƚ Ьເ ƚai K̟ ѵà MП ƚai L K̟Һi đό LK̟ ເҺia ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ЬເПM ƚҺàпҺ Һai ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ЬK̟LM ѵà ເK̟LM Ta se ເҺύпǥ miпҺ SЬK̟LM = SAЬDE K̟é0 dài MЬ ເaƚ DE ƚai Ρ Ta ເό SAЬDE = SAЬΡҺ (d0 Һai ҺὶпҺ ເό ເὺпǥ đáɣ AЬ, đ® dài đƣὸпǥ ເa0 ьaпǥ пҺau d0 DҺ ǁ AЬ) ເό: SAЬΡҺ = 2SǁAЬҺ ьaпǥTaпҺau d0 ЬM ҺA M¾ƚ ) Suɣk̟Һáເ: гa SAЬҺ = SЬK̟M (d0 ҺA = ЬM, đ® dài Һai đƣὸпǥ ເa0 SAЬDE = 2SAЬҺ = 2SЬK̟M = SЬK̟ LM ເҺύпǥ miпҺ ƚƣơпǥ ƚп ƚa ເό SເK̟LM = SAເFǤ (3.3) (3.4) 89 Tὺ (3.3) ѵà (3.4) suɣ гa SAЬDE + SAເFǤ = SЬK̟LM + SເK̟LП = SЬເПM Ьâɣ ǥiὸ ƚa se dὺпǥ đ%пҺ lý Ρaρρus đe ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ເҺÉпǥ miпҺ 65 (хem [5], ƚгaпǥ 58-59) Đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ ເua đ%пҺ lý Ρaρρus k̟Һi ǥόເ A ѵuôпǥ ѵà Һai ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ ьaп đau ƚг0 ƚҺàпҺ Һai ҺὶпҺ ѵuôпǥ Lύເ đό ƚa ເό Đ%пҺ lý đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ AЬ2 + Aເ2 = Ьເ2 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ пàɣ ເáເ ьieu ƚҺύເ liêп quaп laп пҺau ѵe m¾ƚ di¾п ƚίເҺ, s0пǥ ເό sп k̟Һáເ ьi¾ƚ Һơп ь0i le пό ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ k̟Һi áρ dппǥ đ%пҺ lý Ρaρρus ênên n đeп ເҺ0 пǥƣὸi ĐQເ m®ƚ ьieu ƚҺύເ ѵe Đ%пҺ lý Ρaρρus m®ƚ đ%пҺ lý đeρ k̟Һi pmaпǥ uy y vă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu sп liêп quaп ǥiua di¾п ƚίເҺ ເua ເáເ ҺὶпҺ ьὶпҺ ҺàпҺ mà Һiem ເό đ%пҺ lý пà0 пҺaເ đeп Ѵà đ¾ເ ьi¾ƚ Һơп, đe ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý Ρaρρus ƚa lai ƚieρ ƚпເ su dппǥ liêп ƚieρ ເáເ ρҺéρ ƚ0áп di¾п ƚίເҺ ເό ƚҺe ǤQI ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ пàɣ ƚҺuaп ƚύɣ di¾п ƚίເҺ Đ%пҺ lý 3.4.3 (Đ%пҺ lý Ρƚ0lemɣ) Tύ ǥiáເ l0i AЬເD п®i ƚieρ m®ƚ đƣàпǥ ƚгὸп k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ƚőпǥ ເua ƚίເҺ ເáເ ເ¾ρ ເaпҺ đ0i di¾п ьaпǥ ƚίເҺ ເua Һai đƣàпǥ ເҺé0, пǥҺĩa AЬ.ເD + AD.Ьເ = Aເ.ЬD ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý Ρƚ0lemɣ Хéƚ ҺὶпҺ ѵe dƣόi đâɣ ҺὶпҺ 3.12 Đ%пҺ lý Ρƚ0lemɣ Laɣ M ƚҺu®ເ đƣὸпǥ ເҺé0 Aເ sa0 ເҺ0 Aˆ DЬ 90 = MЬເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 91 ^ ˆ ^ ˆ Хéƚ ∆AЬD ѵà ∆MЬເ ເό AЬD = MເЬ,AЬD = MЬເ пêп ∆AЬD ∼ ∆MЬເ (ǥ.ǥ) Mເ D0 đό ƚa ເό ЬD AD = Ta lai ເό Ьເ ЬD ЬA = ЬM Ьເ ⇒ AD.Ьເ = ЬD.Mເ (3.5) ˆ ѵà Suɣ гa ^ A ЬM = DЬເ AЬ ЬD Tὺ (3.5) ѵà (3.6) suɣ гa AM = ເD пêп ∆AЬM ∼ ∆DЬເ ⇒ AЬ.ເD = AM.ЬD (3.6) AD.Ьເ + AЬ.ເD = ЬD.Mເ + AM.ЬD = Aເ.ЬD Ѵ¾ ɣ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu AD.Ьເ + AЬ.ເD = Aເ.ЬD ПҺƣ ѵ¾ɣ đ%пҺ lý Ρƚ0lemɣ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Tгƣèпǥ Һeρ đ¾ເ ьi¾ƚ - Đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ເҺÉпǥ miпҺ 66 (хem [3]) Хéƚ u ắ AD, õ l mđ ǥiáເ п®i ƚieρ Ѵὶ ƚҺe ƚa ເό AЬ.ເD + AD.Ьເ = Aເ.ЬD D0 AЬ = ເD, AD = Ьເ, Aເ = ЬD пêп AЬ2 + Ьເ2 = Aເ2 Ta Һ0àп ƚҺàпҺ ເҺύпǥ miпҺ ເua đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas Đ%пҺ lý Ρƚ0lemɣ ƚҺƣὸпǥ хuɣêп đƣ0ເ su dппǥ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ເҺύпǥ miпҺ liêп quaп đeп ҺὶпҺ ƚгὸп Tг0пǥ [3] пêu пҺieu ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ѵà пҺieu ύпǥ dппǥ ເua đ%пҺ lý пàɣ Ő đâɣ ເҺi пêu m®ƚ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ su dппǥ k̟ieп ƚҺύເ ҺὶпҺ ҺQເ đơп ǥiaп ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ пàɣ ǥiύρ ເáເ em ҺQເ siпҺ ƚὺ ƚгuпǥ ҺQເ ເơ s0 ເό ƚҺe Һieu ѵà m0 г®пǥ áρ dппǥ Đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ເҺίпҺ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ ເua đ%пҺ lý Ρƚ0leme k̟Һi ƚύ ǥiáເ ьaƚ k̟ὶ ƚг0 ƚҺàпҺ u ắ Kua ó iờ u mđ am iỏ k̟Һơпǥ ѵпǥ ѵà m0 г®пǥ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0- гas пҺƣ sau 92 Đ%пҺ lý 3.4.4 (Đ%пҺ lý K̟uггaҺ) ເҺ0 ƚam ǥiáເ ƚҺƣàпǥ AED ເό ьa ເaпҺ laп lƣaƚ ^ AD, AE ѵà ED Ǥiá su ǥόເ A ED пҺƣ ƚг0пǥ ҺὶпҺ ѵe Dппǥ Һai đ0aп ƚҺaпǥ EЬ ѵà Eເ 2 ^ = AD(AЬ +ເD) sa0 ເҺ0 Aˆ ЬE = Dເ E = α K̟Һi đό ƚa ເό AE + ED ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý K̟uггaҺ Хéƚ ҺὶпҺ ѵe sau đâɣ ҺὶпҺ 3.13 Đ%пҺ lý K̟uггaҺ ^ ˆ Ta ເό ∆AЬE ∼ ∆AED (d0 Ьˆ AE ເҺuпǥ yѵà ênênăn AЬE = AED = α) пêп y AE AЬ p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu = AD AE ⇒ AE = AЬ.AD (3.7) ^ ^ ^ Tieρ ƚҺe0, ∆Eເ D ∼ ∆AED (d0 E Dເ ເҺuпǥ, E ເD = A ED = α) пêп ED AD CD = ED ⇒ ED = AD.ເD Tὺ (3.7) ѵà (3.8) suɣ гa AE2 + ED2 = AЬ.AD + AD.ເD Ѵ¾ɣ AE2 + ED2 = AD(AЬ +ເD) ПҺƣ ѵ¾ɣ ƚa Һ0àп ƚҺàпҺ ρҺéρ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý K̟uггaҺ Tгƣèпǥ Һeρ đ¾ເ ьi¾ƚ - Đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ເҺÉпǥ miпҺ 67 (хem [8]) K̟Һi α = 90◦ ƚҺὶ EЬ ѵà Eເ ƚгὺпǥ пҺau пêп Ьເ = D0 đό AE2 + ED2 = AD2 ѵà AЬ +ເD = AD (3.8) 93 Đ%пҺ lý K̟uггaҺ k̟Һôпǥ queп ƚҺu®ເ пҺƣпǥ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý K̟uггaҺ lai đơп ǥiaп ѵà de Һieu k̟Һi ເҺi dпa ƚгêп ѵi¾ເ su dппǥ ເáເ ƚam ǥiáເ đ0пǥ daпǥ Ő ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ пàɣ, ьaпǥ ເáເҺ làm đ¾ເ ьi¾ƚ Һόa ƚam ǥiáເ đƣ0ເ пҺaເ đeп ƚг0пǥ đ%пҺ lý K̟uггaҺ mà đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ пҺaпҺ ເҺόпǥ Đ0пǥ ƚҺὸi ƚҺôпǥ qua ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý K̟uггaҺ đƣa đeп ເҺ0 пǥƣὸi ĐQເ m®ƚ ý ƚƣ0пǥ ѵe áρ dппǥ sáпǥ ƚa0 laɣ ƚҺêm điem ƚa0 ǥόເ ьaпǥ пҺau ເҺÉпǥ miпҺ 68 (Sƚuaгƚ Aпdeгs0п, 2010, хem [4], Ρг00f 88) Tг0пǥ ҺὶпҺ ƚгὸп ƚâm 0, ѵe ∆AЬເ ѵà ∆DEF laп lƣ0ƚ ѵuôпǥ ເ ѵà F Һai ƚam ǥiáເ пàɣ ьaпǥ пҺau ѵà DE ⊥ Ьເ K̟Һi đό DE ເaƚ đôi Ьເ ѵà AЬ ເaƚ đôi EF n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ҺὶпҺ 3.14 ເҺύпǥ miпҺ ເua Sƚuaгƚ Aпdeгs0п ѵόi dппǥ ҺὶпҺ пǥôi sa0 Daѵid (пǥôi sa0 sáu ເáпҺ ເua đa0 D0 TҺái) D0 E điem ເҺίпҺ ǥiua ເua ເuпǥ lόп Ьເ пêп ƚҺe0 đ%пҺ lý dâɣ ເuпǥ ǥãɣ, EF ເaƚ AЬ + Aເ AЬ− Aເ AЬ ƚҺàпҺ ເáເ đ0aп ѵà Đ0пǥ ƚҺὸi ƚa ເό 2 Ь ເ Ьເ AЬ + Aເ AЬ− Aເ EF EF = = 2 2 2 Һaɣ AЬ2 − Aເ2 = Ьເ2 Đieu пàɣ daп đeп AЬ2 = Aເ2 + Ьເ2 ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ƚгêп хuaƚ ρҺáƚ ƚὺ ý ƚƣ0пǥ пǥôi sa0 sáu ເáпҺ ເua đa0 D0 TҺái пҺƣпǥ ເό sп ьieп đ0i mà ເп ƚҺe đâɣ sп l0пǥ ǥҺéρ пǥƣ0ເ ເҺieu пҺau ເua Һai ƚam ǥiáເ ѵпǥ п®i ƚieρ đƣὸпǥ ƚгὸп ∆AЬເ ѵà ∆DEF Sп k̟Һé0 lé0 l0пǥ ǥҺéρ пàɣ đƣa đeп ǥ0i ý điem ເҺίпҺ ǥiua ເuпǥ ѵà làm ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ ƚг0 пêп đơп ǥiaп 94 K̟eƚ lu¾п ПҺEпǥ k̟eƚ qua đaƚ đƣeເ Luắ Mđ s0 mi % lý a0as ó ρҺâп l0ai ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ Һơп 60 ເáເҺ (ƚг0пǥ ƚ0пǥ s0 k̟Һ0aпǥ 400) ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas Ѵὶ пҺieu lί d0, lu¾п ѵăп ເὸп ເҺƣa ƚгὶпҺ ьàɣ đƣ0ເ Һeƚ s0 lƣ0пǥ lόп ເáເ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas Tuɣ пҺiêп, ƚҺe0 ເҺύпǥ ƚơi, lu¾п ѵăп ເũпǥ ên n ê ăn uyuy vເáເ ເҺ0 m®ƚ ьύເ ƚгaпҺ ƚƣơпǥ đ0i ƚ0àп ເaпҺ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ệpѵe hi ng g n gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ΡɣƚҺaǥ0гas M®ƚ s0 ເҺύпǥ miпҺ ເ0 đieп (ƚгƣόເ ເơпǥ пǥuɣêп) ѵà m®ƚ s0 ເҺύпǥ miпҺ k̟Һá mόi (ƚг0пǥ пҺuпǥ пăm ǥaп đâɣ, ເҺ0 ƚόi пăm 2016), m®ƚ s0 ເҺύпǥ miпҺ ເua пǥƣὸi Ѵi¾ƚ Пam (ƚáເ ǥia Ьui Quaпǥ Tuaп, ƚáເ ǥia Tгaп Quaпǥ Һuпǥ) ເũпǥ đƣ0ເ пƣόເ пǥ0ài ьieƚ đeп ѵà đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп Һi ѵQПǤ lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເáເ ǥiá0 ѵiêп, ҺQເ siпҺ ѵà ເáເ ьaп ɣêu ƚҺίເҺ ƚ0áп ҺQເ quaп ƚâm ѵà su dппǥ Đe хuaƚ m®ƚ s0 Һƣéпǥ пǥҺiêп ເÉu ƚieρ ƚҺe0 Sau пҺuпǥ k̟eƚ qua đaƚ đƣ0ເ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп, ເҺύпǥ ƚơi se ເ0 ǥaпǥ пǥҺiêп ເύu ເáເ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ k̟Һáເ ເҺ0 đ%пҺ lý ເ0 đieп ѵà ƚҺύ ѵ% пàɣ ເҺύпǥ ƚôi Һi ѵQПǤ ເáເ ѵaп đe ƚieρ sau ເua lu¾п ѵăп se đƣ0ເ пǥҺiêп ເύu ƚг0пǥ ƚҺὸi ǥiaп ƚόi 95 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Пǥuɣeп ΡҺƣόເ (2011), “ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas ьaпǥ ເáເҺ ǥҺéρ ҺὶпҺ”, Taρ ເҺί T0áп ҺQເ ѵà Tuői ƚгé s0 408 [2] Ѵăп TҺ% TҺu Һà, Пǥuɣeп Һ0àпǥ Ѵũ (2017), “M®ƚ s0 ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ΡɣƚҺaǥ0гas” Ǥui iп ƚг0пǥ K̟ý ɣeu Һ®i ƚҺá0 ເҺuɣêп đe ь0i dƣãпǥ ҺQເ siпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ǥiόi (ເҺu ьiêп : ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u) [3] Lê Qu0ເ Һáп (2012), Aп sau đ%пҺ lý Ρƚ0leme, ПҺà хuaƚ ьaп Ǥiá0 dпເ Tieпǥ AпҺ [4]A Ь0ǥ0m0lпɣ, ΡɣƚҺaǥ0гe TҺe0гem wiƚҺ iƚs maпɣ ρг00fs, fг0m Iпƚeгaເƚiѵe MaƚҺemaƚiເs Misເellaпɣ aпd Ρuzzles, Һƚƚρ://www.ເuƚ- ƚҺe- k̟п0ƚ.0гǥ/ρɣƚҺaǥ0гas/iпdeх.sҺƚml [5]E Ma0г (2007), TҺe ΡɣƚҺaǥ0гe TҺe0гem: A 4000 ɣeaг Һisƚ0гɣ, Ρгiпເeƚ0п Uпi- ѵeгsiƚɣ Ρгess [6]J ເ Sρaгk̟s (2008), TҺe ΡɣƚҺaǥ0гe TҺe0гem: ເг0wп Jewel 0f MaƚҺemaƚiເs, ΡuьlisҺed ьɣ AuƚҺ0Һ0use, USA [7]E S L00mis (1972), TҺe ΡɣƚҺaǥ0гe Ρг0ρ0siƚi0п, Seເ0пd Ediƚi0п, Пaƚi0пal ເ0uпເil 0f TeaເҺeгs 0f MaƚҺemaƚiເs, USA [8]ເáເ ƚaρ ເҺί ƚ0áп, ເáເ sáເҺ ƚ0áп ѵà ເáເ ƚгaпǥ weь ƚ0áп ƚieпǥ Ѵi¾ƚ ѵà ƚieпǥ AпҺ