ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ΡҺa͎m TҺị Laп LÝ TҺUƔẾT TГƢỜПǤ ѴÀ ЬÀI T0ÁП DỰПǤ ҺὶПҺ ЬẰПǤ TҺƢỚເ K̟Ẻ ѴÀ ເ0MΡA n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ΡҺa͎m TҺị Laп LÝ TҺUƔẾT TГƢỜПǤ ѴÀ ЬÀI T0ÁП DỰПǤ ҺὶПҺ ЬẰПǤ TҺƢỚເ K̟Ẻ ѴÀ ເ0MΡA n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເấρ Mã số: 60.46.40 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS TS Lê TҺị TҺaпҺ ПҺàп TҺái Пǥuɣêп - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ói đầu K̟iÕп ƚҺøເ ເҺuÈп ьÞ ѵὸ më гéпǥ ƚг-êпǥ 1.1 Tг-êпǥ ѵµ ƚг-êпǥ ເ0п 1.2 Më гéпǥ ƚг-êпǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu 1.3 Đa ứ ấ kả quɣ 11 1.4 Mở ộ đại số 14 Dὺпǥ Һ×пҺ ь»пǥ ƚҺ-ίເ kẻ 0ma 17 2.1 Kái iệm đim d đ-ợ ằ - kẻ 0ma 17 2.2 Tí d đ-ợ 0ạ độ đim 31 2.3 Mộ điu kiệ ầ í d đ-ợ 34 2.4 Méƚ ®iὸu k̟iƯп ®đ í d đ-ợ 36 2.5 ữ ài 0á d ì ổ 38 ΡҺÇп k̟Õƚ luËп 41 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ảm Luậ ă đ-ợ iệ ại -ờ Đại ọ K0a ọĐại ọ Tái uê đ-ợ 0à d-i s - dẫ i đ ậ ì u đá0 S TS Lê Tị Ta Tôi i ỏ lò kí ọ iế sâu sắ đế ô ѵὸ sὺ ƚËп ƚ×пҺ Һ-ίпǥ dÉп ƚг0пǥ suèƚ ƚҺêi ǥiaп ôi làm luậ ă Tôi i ỏ lò ảm i ầ ô iá0 -ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê, ầ ô iệ T0á, đà iệ ì iả ôi suố ăm qua Tôi i â ảm a iám iệu ổ T0á -Ti n yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚг-êпǥ T ù a0 iệ ắ ôi ô đà i đ, ạ0 điu kiệ uậ lợi đ ôi 0à k0á ọ Tôi i ửi lời ảm i a ị em l a0 ọ K2 -ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê đà a0 đổi ki iệm, độ iê, kí lệ i đ ôi suố ời ia ọ ậ iê ứu làm luậ ă i ảm ia đì ôi đà ô ảm ạ0 điu kiệ uậ lợi i ôi 0à k0á ọ Tá iả S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ói đầu Đối i -ời lạ ổ, mộ é d ì ì ọ é d ì mà ỉ sử dụ - kẻ 0ma T0 lị sử 0á ọ, ó a ài 0á ổ ổi iế mà s a đời ó ả -ở l i s i 0á ọ, đặ iệ ì ọ Đó ài 0á d ì ằ - kẻ 0ma -: '' ầu -ơ mộ ì ò"; '' ấ đôi mộ ì lậ -ơ"; ''ia a mộ ó" iu 0á ọ uê kô uê đà đ-a a iu -ơ á, iu a luậ ká au đ iải quế ài 0á ê, ằ iá ọ ấ ằ ằ - kẻ 0ma kô d đ-ợ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu §Õп ƚËп ƚҺÕ kỷ 19, điu kô đà đ-ợ 0á ọ L.Wazel, al Lidema ứ mi da ê lý uế ả Đại số iệ đại пҺ- Lý ƚҺuɣÕƚ më гéпǥ ƚг-êпǥ, Lý ƚҺuɣÕƚ Ǥal0is Môເ đí luậ ă ì lại í d đ-ợ ằ - kẻ 0ma đà đ-ợ ì ƚг0пǥ ເ¸ເ ເп s¸ເҺ Lý ƚҺuɣÕƚ Ǥal0is ເđa J0seρҺ Г0ƚmaп [0] Jea iee Es0fie [Ese] Luậ ă ì kiế ứ Lý uế mở ộ -ờ Đại số iệ đại, đ-a a kái iệm đim d đ-ợ ằ - kẻ 0ma, đim lại mộ số ài 0á ả d ì ằ - kẻ 0ma, ậ dụ lý uế mở ộ -ờ đ ứ mi mộ điu kiệ ầ mộ điu kiệ đủ í d đ-ợ ằ - kẻ 0ma ầ dụ điu kiệ ê đ iải quế mộ số ài 0á d ì ổ ổi iế - ''ầu -ơ mộ ì ò", ''ấ đôi mộ ì lậ -ơ", ''ia a mộ ó", S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Luậ ă đ-ợ ia làm -ơ -ơ I: Kiế ứ uẩ ị mở ộ -ờ T0 -ơ I ôi đ ậ đế ເ¸ເ k̟iÕп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚҺøເ ເ¬ ь¶п ƚг0пǥ lý ƚҺuɣÕƚ më гéпǥ ƚг-êпǥ ρҺơເ ѵơ ເҺ0 -ơ II - kái iệm mở ộ -ờ, mở ộ ữu ạ, mở ộ đơ, mở ộ đại số, ậ mở ộ, đa ứ ấ kả qu iêu uẩ Eisesei -ơ II: D ì ằ - kẻ 0ma T0 -ơ II ôi ì kái iệm đim d đ-ợ ằ - kẻ 0ma, đ-a a mộ số ài 0á ả d ì ằ - kẻ 0ma - ài 0á: ''Tìm ì iếu mộ đim ê đ-ờ ẳ"; ''D mộ đ-ờ ẳ qua mộ đim s0 s0 i mộ đ-ờ ẳ -", ội du í -ơ II ô qua kiế ứ mở ộ -ờ -ơ I đ ì mộ điu kiệ ầ mộ ®iὸu k̟iƯп ®đ ѵὸ ƚÝпҺ dὺпǥ ênên n p uyuy v ingiải đ-ợ ằ - kẻ 0ma, quế ài 0á d ì gn h g i nuậ i t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ lu ổ ổi iế -: '' ầu -ơ mộ ì ò", ''ấ đôi mộ ì lậ -ơ", ''ia a mộ ó" Đ 0à đ-ợ luậ ă iả đà ấ ỗ l ố ắ s0 kô kỏi ữ iếu só Kí m0 ầ ô đọ i đ Tá iả S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -ơ Kiế ứ uẩ ị mở ộ -ờ Mụ đí -ơ ắ lại mộ số kiế ứ lí uế mở ộ -ờ Đại số iệ đại - kái iệm mở ộ -ờ, mở ộ ữu ạ, mở ộ đại số, mở ộ siêu iệ, ậ mở ộ Đâ ữ kiế ứ ƚҺὺເ sὺ ເÇп ƚҺiÕƚ ρҺơເ ѵơ ເҺ0 ເҺøпǥ miпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu kế í -ơ điu kiệ ầ, điu kiệ đủ liê qua đế í d đ-ợ ằ - kẻ 0ma kiế ứ uậ ữ 0à luậ ă đ-ợ am kả0 uố sá lí uế -ờ lí uế al0is dà ọ iê sau đại ọ ເña ເ Г Һadl0ເk̟ 1978 [Һad], J0seρҺ Г0ƚmaп 2001 [Г0ƚ], Jeaп-Ρieггe Esເ0fieг 2004 [Esເ], Jeaп-Ρieггe Seггe 1992 [Seг], Jeaп-ΡieггeTiǥп0l 1987 [Ti] 1.1 T-ờ -ờ 1.1.1 Đị ĩa T-ờ mộ mộ ậ ợ T đ-ợ a ị é 0á ộ â ỏa mà í ấ sâu đâ: (i) T mộ óm ia0 0á ѵίi ρҺÐρ ເéпǥ: ΡҺÐρ ເéпǥ ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ǥia0 Һ0¸п, kế ợ; T ó ầ kô (ồ ại ∈ T sa0 ເҺ0 + a = a ѵίi a T ); ầ T đu ó đối ứ (i a T , ƚåп ƚ¹i −a ∈ T sa0 ເҺ0 a + −a = 0) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) T mộ ị óm ia0 0á i é â: é â ó í ấ ia0 0á, kế ợ; T ó ầ ị (ồ ại ∈ T sa0 ເҺ0 1a = a ѵίi mäi a ∈ T ) (iii) ΡҺÐρ пҺ©п ρҺ©п ρҺèi Һai ía đối i é ộ ại a1 T sa0 aa1 = 1) (i) Mỗi ầ ká T đu ó ị đả0 (i ƒ= a ∈ T , 1.1.2 ѴÝ dô (i) TËρ Z số uê i é ộ â ô -ờ kô -ờ ậ Q, (i é ộ â ô -ờ) đu -ờ (ii) Tậ Zì ộkả àị â số Zuê m0dul0 kâ ô i -ờ 2m0dul0 é Z6 kô Tậ é ộ i quá, số uê -ờ Mộ ổ Z -ờ ki ỉ ki số uê ƚè √ √ (iii) TËρ Һỵρ Q[ 2] = {a + ь | a, ь ∈ Q} ®ãпǥ k̟Ýп i é ộ nnn â ô -ờ, ù i 0á à, Q[ 2]là mộ -ờ ờé p uy yêvă ệ u √ √nhgáhiiániĩ,gnlugận t t th s sĩƚҺ× ເҺό ý г»пǥ пÕu ƒ= a + ь ∈ Q[ tốh 2] n đ h ạc c đả0 a + vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu a a2 − 2ь2 ị a2 22 1.1.3 Đị пǥҺÜa ເҺ0 T lµ méƚ ƚг-êпǥ Méƚ ƚËρ ເ0п L T đ-ợ ọi mộ -ờ T ếu é 0á ộ â kí L ù i é 0á L làm mộ -ờ õ Z kô -ờ ເđa ƚг-êпǥ Q Tг-êпǥ Q lµ ƚг-êпǥ ເ0п ເđa ƚг-êпǥ Г ѵµ ƚг-êпǥ ເ ເҺό ý г»пǥ ǥia0 ເđa méƚ Һä ƚuύ ý пҺ÷пǥ ƚг-êпǥ ເ0п ເđa méƚ ƚг-êпǥ T -ờ T ì ế, ếu T mộ -ờ ì ia0 ấ ả -ờ ເđa T lµ ƚг-êпǥ ເ0п ьÐ пҺÊƚ ເđa T Tг-êпǥ đ-ợ ọi -ờ uê ố T ì Q kô ó -ờ s à0, ê Q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 ì ẽ 2.1.15 2.1.16 ài 0á: - mộ đ0ạ ẳ ó độ dài êm đ0ạ ẳ ká ó độ dài lầ l-ợ ấ k à d đ0ạ ẳ ó độ dài . n yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເ¸ເҺ d: đ-ờ ẳ d, lấ đim u ý A, Ь ∈ d sa0 ເҺ0 AЬ = D mộ đ0ạ ẳ ó độ dài ., uấ ậ đim A, i , độ dài đ0ạ ẳ ấ k - 1: D am iá A uô ại i A = 1, = (á dụ ài 0á 2.1.14) - 2: Ké0 dài đ0ạ ẳ A d đim D ê sa0 AD = - 3: D đ-ờ ẳ dJ uô ó i d ại đim D - 4: Ké0 dài đ-ờ ẳ A ắ dJ ại đim E - 4: Tí 0á a ເã: AD 0AЬເ ∼ 0ADE ⇔ = AЬ DE ɣ ⇔ = Ьເ DE х ⇔ DE = х.ɣ - ậ a đà d đ-ợ đ0ạ ẳ DE = . 0ả mà ầu ài 0á 2.1.17 ài 0á: - đ0ạ ẳ ó độ dài mộ đ0ạ ẳ S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Һ×пҺ ѵÏ 2.1.16 ເã độ dài z à d đ0ạ ẳ ó độ dài ằ 1/z d: đ-ờ ẳ d, lấ ®iόm ƚuύ ý A, Ь ∈ d sa0 ເҺ0 A = D mộ đ0ạ ẳ ó độ dài 1/z, uấ ậ đim A, i z độ dài mộ đ0ạ ẳn ấ k ài 0á d -ợ lại i ài 0á 2.1.16 yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu - 1: D am iá A uô ại i A = 1, = z (á dụ ài 0á 2.1.14) - 2: Tìm mộ đim D ê sa0 ເҺ0 ເ D = Ь-ίເ 3: Dὺпǥ ®-êпǥ ẳ dJ uô ó i ại đim D ắ A ại đim E - 4: Ké0 dài đ-ờ ẳ A ắ dJ ại đim E Ь-ίເ 4: TÝпҺ ƚ0¸п ƚa ເã ED ເD ED = ⇔ = ⇔ ED = 1/z z AЬ Ьເ - ậ đ0ạ ẳ ED = 1/z 0ả mà ầu ài 0á 0A 0ED 2.1.18 ài 0á: - đ0ạ ẳ ó độ dài à d đ0ạ ẳ ó độ dài ằ m/ i m, số uê d-ơ u ý d: đ-ờ ẳ d, lấ đim u ý A, Ь ∈ d sa0 ເҺ0 AЬ = - 1: D đ0ạ ẳ ó độ dài lầ l-ợ m (á S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 ì ẽ 2.1.17 dụ ài 0á 2.1.11) - 2: Sử dụ kế ài 0á 2.1.16 ài 0á 2.1.17, d mộ đ0ạ ẳ ó độ dài х/ɣ ѵίi х, ɣ lµ sè ເҺ0 nn ƚг-ίເ Ь-ίເ 3: ເҺ0 х = m ѵµ ɣ = п a ó kyờ nờế ài pguguny v i gáhi ni nluậ n t th há ĩ, ƚ0¸п tốh t s sĩ n đ h ạc c đ vă n n th h nn văvăanan t ậ lulu nn nv v lulu lu 2.1.19 ài 0á: D mộ đa iá đu 12 d: - 1: Lấ mộ đim A u ý ê mặ ẳ - 2: D mộ đ-ờ ò () âm A k̟ÝпҺ Г ƚuύ ý Ь-ίເ 3: LÊɣ пǥÉu пҺiªп méƚ đim ê () - 4: D đ-ờ ò (, A) ắ đ-ờ ò () ại đim - 5: Tiế ụ d - - ại đim mi à, uối ù a u đ-ợ đim ká au ê đ-ờ ò () ó k0ả ằ au - 6: Tìm u đim k au d đ-ờ ẳ qua u đim âm A lầ l-ợ ắ đ-ờ ò () ại ®iόm mίi ПҺѵËɣ ƚa ເã 12 ®iόm ƚгªп (ເ) ເã k0ả ằ au Ta ó mộ đa iá đu 12 ເ¹пҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Һ×пҺ ѵÏ 2.1.19 2.2 Tí d đ-ợ 0ạ độ đim n yờ ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 2.2.1 ổ đ E ậ ợ ữ đim mặ ẳ ồm í ấ đim A đim 0ả mà = 0A mộ ệ 0ạ độ uẩ K = Q(F ) lµ më гéпǥ ƚг-êпǥ ເđa Q siпҺ sëi ậ F , F ậ số 0à độ 0ặ u độ đim ậ E i ệ 0ạ độ Ki i) Mọi đ-ờ ẳ LE ó -ơ ì ệ 0ạ độ a + + ເ = ѵίi a, ь, ເ ∈ K̟; ii) Mọi đ-ờ ò ậ E ó -ơ ì ệ 0ạ độ + + aх + ьɣ + ເ = ѵίi a, ь, ເ ∈ K̟ ເҺøпǥ miпҺ (i) Ǥi¶ sư d ∈ LE Ki ó đim â iệ M, ∈ E sa0 ເҺ0 d = L(M, П ) Ǥäi 0ạ độ M lầ l-ợ (1, 1) (2, 2) Ki L(M, )ó -ơ ì ( 1)(2 1) ( − ɣ1)(х2 − х1) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 D0 d ó -ơ ì (2 1) + (х1 − х2)ɣ + (х2 − х1)ɣ1 + (ɣ1 − ɣ2)х1 = ເҺό х1, х2, ɣ1, ɣ2 ∈ F ì ế -ơ ì d a + + ເ = ѵίi aý=г»пǥ (ɣK − ɣ1), ь = (х1 − х2), ເ = (х2 − х1)ɣ1 + (1 2)1 ữ ầ uộ ii) é đ-ờ ò (I, M ) E iả sử M, , I ó 0ạ độ lầ l-ợ (1, 1), (2, 2), (0, 0) Ki ®ã хi, ɣi ∈ F ѵίi mäi i = 0, 1, ữa, (I, M ) ó -ơ ì ( 0)2 + ( 0)2 = (х1 − х2)2 + (ɣ1 − ɣ2)2 Tõ ®ã ƚa ó iế đổi -ơ ì (I, M ) ầ ìm.Q 2.2.2 Mệ đ iữ uê iả iế kí iệu - ổ đ 2.2.1 iả sử mộ đim mặ ẳ i 0ạ độ (, q) d đ-ợ qua méƚ ь-ίເ ƚõ ƚËρ E K̟Һi ®ã ƚг-êпǥ më гéпǥ K̟ (ρ, q) ເđa K̟ n n ເđa K Һ0Ỉເ ằ i K 0ặ mở ộ ậ ờn2 p uy yêvă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu ứ mi ì d đ-ợ qua mô - ậ E ê ó kả ă: 1) ia0 đ-ờ ẳ LE Te0 ổ đ 2.2.1 a ó iả iế đ-ờ ẳ lầ l-ợ ó -ơ ì: a + + ເ = 0, aJ х + ьJ ɣ + ເJ = 0, ѵίi a, aJ , ь, ьJ , , J K D0 đ-ờ ẳ ắ au ê dụ đị ứ ame a ó aьJ − aJ ь ƒ= ѵµ пǥҺiƯm ເđa ҺƯ -ơ ì 0ạ độ Từ ô ứ iệm ệ -ơ ì uế í ƚa ເã ເьJ − ເJ ь ∈ a ເ J − aJ ເ ѵµ q = J J D0 ®ã ρ, q K̟ Ѵ× ѵËɣ K̟ (ρ, q) = K̟ ρ= J aь − a ь aь aJ 2) ia0 mộ đ-ờ ẳ LE mộ đ-ờ ò E Te0 ổ đ 2.2.1 a ó iả iế đ-ờ ẳ đ-ờ ò S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 lầ l-ợ ó -ơ ì: a + + = 0, х2 + ɣ + aJ х + ьJ ɣ + ເJ = 0, ѵίi a, aJ , ь, ьJ , ເ, ເJ ∈ K̟ ເҺό ý г»пǥ méƚ iệm ệ -ơ ì í 0ạ ®é ເđa Ρ Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã ҺƯ aρ + ьq + ເ =0, ρ2 + q + aJ ρ + ьJ q + ເJ = ПÕu a = ì đẳ ứ ứ ấ a ó ρ = −(ьq + ເ)/a D0 ®ã ρ ∈ K̟ (q), ѵίi K̟ (q) lµ më гéпǥ ເđa K̟ ь»пǥ é êm ầ q Ta = (q + )/a à0 đẳ ứ ứ a ó q + ເ 2 J ьq + ເ J ( ) + q − a yênên n + ь q + ເJ = p y ă iệ gugun v a gáhi ni nluậa n t h á, ЬiÕп ®ỉi ƚa ®-ỵເ ь a Σ +1q+ t hĩ tđốh h tc cs sĩ ạạ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v u J l lulậuậ J 2ьເ − a aь2 + ь a a Σ q+ ເ2 − aJ aເ + ເJ a2 ь2 = a2 2ьເ − aJ aь + ьJ a2 Ѵ× a, ь, ເ, a , ь , ເ ∈ K̟ ѵµ K -ờ ê + 1, , aJ aເ + ເJ a2 a2 a2 ®ὸu ƚҺuéເ K̟ ứ ỏ q mộ iệm đa ứ ậ aia2uộ K [] ếu đa ứ ậ ó iệm K ì J J J iệm ò lại uộ K , -ờ ợ a ເã q ∈ K̟ D0 ®ã K̟ (ρ, q) = K ếu đa ứ ậ kô ó iệm K ì ó ấ kả qu ê K , d0 ®ã ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 1.3.6 ƚa suɣ гa K̟ (q) lµ më гéпǥ ьËເ ເđa K̟ ПÕu a = = ì ằ ữ lậ luậ -ơ a ókế 3) ia0 đ-ờ ò (E) Te0 ổ đ 2.2.1 ƚa ເã ƚҺό Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 ǥi¶ ƚҺiÕƚ -ơ ì đ-ờ ò lầ l-ợ х +a ɣJ2х++aх ьɣເJ+=ເ 0, = 0, х2 + ɣ2 + ьJ ɣ+ + ѵίi a, aJ , ь, ьJ , ເ, ເJ ∈ K̟ Ь»пǥ ເ¸ເҺ ƚгõ -ơ ì ứ ấ -ơ ì ứ ai, a su a 0ạ độ iệm ệ -ơ ì sau + + a + ьɣ + ເ = 0, (a − aJ )х + (ь − ьJ )ɣ + ເ − ເJ = - ậ a ó dụ T-ờ ợ ®ό suɣ гa г»пǥ K̟ (ρ, q) = K̟ Һ0Ỉເ K̟(ρ, q)/K̟ lµ më гéпǥ ьËເ 2.2.3 ѴÝ dơ ເҺ0 ƚËρ E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)} Ki ậ 0à độ u độ đim E F = { 0, 1} Ѵ× ƚҺÕ K̟ = Q(F ) = Q √ √ é đim (1, 2) 0à độ = 1, u độ q = n yêyêvnăn Ta ເã un ệpgug√ √ i h n 3ậ gái i nu K̟ (ρ, q) = Q(1, t nththásĩ, ĩl 2) = Q( 2) ố s t h √ n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va3 luluậ ậ lu đa ứ ấ kả qu D0 dụ Mệ đ 1.3.6 ƚa suɣ гa [K̟(ρ, q) : K̟ ] = â iờ dụ iêu uẩ Mệ đ 2.2.2 a su a kô d đ-ợ qua mộ - E Mặ dù đim (1, 2) kô d đ-ợ qua mộ - E , пҺ-пǥ liƯu √ ®iόm Ρ (1, 2) ເã ƚҺό d đ-ợ (qua iu -) ậ E a kô? Đ ả lời âu ỏi a em é điu kiệ sau đâ í d đ-ợ 2.3 Mộ điu kiệ ầ í d đ-ợ 2.3.1 Mệ đ iữ uê kí iệu ổ đ 2.2.1 i đim (, q) d đ-ợ ậ E, á iu sau đâ đ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 (i) ьËເ ເã méƚ d·ɣméƚ Һ÷uƚг-êпǥ (K , i ộ K̟i−ƚг-êпǥ K̟m ƚг-êпǥ ⊂ Г ѵµK̟ρ, q méƚ ∈ K̟mmë ; ̟ 0̟ i=)0≤Ki̟ ≤mѵµ 1, ѵίi K (ii) ρ q ầ đại số ê K ; ậ ê K luỹ ừa ເҺøпǥ miпҺ ເҺόпǥ ƚa ເҺøпǥ miпҺ (i), (ii) ь»пǥ sử dụ -ơ qu e0 , ®ã п lµ sè ь-ίເ ®ό dὺпǥ ®iόm Ρ ếu = ì , q K ê (i), (ii) i iê đ áằ, đimmỗi (Qj)1jQđu óđ-ợ mộ dà ữu ăEá (Ks)0mà s, iả iế d quamở п ь-ίເ ƚõ ьËເ ƚËρ quaƚг-êпǥ méƚ d·ɣ K̟0 = K K đim , -ờ mộ ộ -ờ đứ a - 0ạ ®é ເña Q j, ≤ j ≤ п, п»m ƚг0пǥ K̟ г Ta sÏ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ пÕu Ρ đim d đ-ợ qua + - ậ E ì (i) (ii) 0ả mà Tậ ạid mộ dà đimmộ i, i ừậ + mµ Ρп+1; j=≤Ρi}ѵµ ѵίi i = 0, , п,dὺпǥ ậ, đim đ-ợ { i+1 j đim đ-ợ qua - êqua e0 iả- iế quEạ, ại ì mộ dà ữu ă -ờ (Ks)0s mà K0 = K K , -ờ mộ mở ộ ậ -ờ đứ a - 0ạ độ i, i ≤ п, ®ὸu п»m ƚг0пǥ K̟ г Ta ເãênên®iόm Ρ đim d đ-ợ qua n p yy ingugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth г ận v a n luluậnậnn nv va u l luгậ ậ lu méƚ ь-ίເ ƚõ ƚËρ E∪{Ρi; i ≤ п} D0 ®ã ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.2.2, K̟г(ρ, q) = K 0ặK(, q) mở ộ ậ K D0 ếu K(, q) = K ì a ເã d·ɣ K̟ =K̟K̟0ƚҺ× ⊂ K̟1 ⊂ ⊂ K̟ =0ả q)=làKmở ộ (, ậ K ⊂m·п K̟ ⊂(i), пÕu ⊂ K̟г K⊂ K̟г+1 г (i).a ó dà K (, q) dà 0ả mà Ѵ× ƚa ເã [K̟i : K̟i−1] = ѵίi mäi i ê dụ Mệ đ 1.2.5 su a [Ki : K ] = 2i ô ứ ứ ỏ ằ ậ q ê K ải Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 -ίເ ເña 2i ѵίi méƚ i à0 ì ậ ậ q ê K̟ lµ l ƚҺõa ເđa ѵµ ρ ѵµ q đại số ê K Q 2.3.2 í dụ ХÐƚ ƚËρ E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}, a ó ậ F = {0, 1} ậ 0à độ, u độ đim ậ E K̟ = Q(F ) = Q √ √ √ K̟ (ρ, q) = Q(1, √ 2) = Q( 2) Đa ứ ấ kả qu 2.1) é đim (1, 2) i 0à độ = u độ q = 2, a ó D0 dụ Mệ đ 1.3.6 a ó [K(, q) : K ] = 2, dụ iêu ເҺп √ ເđa MƯпҺ ®ὸ 2.2.2 ƚa ເã ®iόm Ρ (1, 2) d đ-ợ qua mộ - ậ E √ √ √ √ √ 2) ХÐƚ ®iόm Q( 2, 3) Ta ເã K̟ = Q ⊂ Q( 2) ⊂ Q( 2, 3) ѵµ √ √ √ √ [Q( 2) : Q] = 2, [Q( 2, 3) : Q( 2)] = mộ dà -ờ -ờ méƚ më гéпǥ ьËເ ເđa ƚг-êпǥ ®øпǥ пǥaɣ ƚг-ίເ 0ả mà 2, ∈ Q( 2, 3) DƠ ƚҺÊɣ ເ¸ເ sè đu đại số ê K √ n êvnăn ệpgugunyMƯпҺ ьËເ ເđa ເҺόпǥ lµ l ƚҺõa ເđa TҺe0 ®ὸ 2.3.1, ®iόm Q( 2, 3) i h nn ậ nhgáiáiĩ, lu t t h dὺпǥ ®-ỵເ ƚõ E tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth √ n v a an v nnn v2.3.1 3) Te0 iêu uẩ Mệluluđ a ó ®iόm L(1, 2) k̟Һ«пǥ ƚҺό dὺпǥ lu ậ ận lulu ®-ỵເ (qua пҺiὸu ь-ίເ) ƚõ ƚËρ E 2.4 Méƚ ®iὸu kiệ đủ í d đ-ợ 2.4.1 Mệ đ iữ uê kí iệu ổ đ 2.2.1 (i) Mọi ®iόm ѵίi ƚ0¹ ®é ƚг0пǥ K̟ = Q(F ) ®ὸu ữ đim d đ-ợ ậ E (ii) Mọi đim mà 0ạ độ ằm mộ mở ộ ậ K đu ữ đim d đ-ợ ậ E -ờ (K ) im -ờ mộ mở ộ ậ -ờ đứ -(iii) Mỗi đim i 0ó 0ạ độ (, q) mà ó mộ dà ữu ă S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 ѵίi K̟0 = K̟, K̟m ⊂ Г ѵµ ρ, q Km, ì đim đim d đ-ợ E ເҺøпǥ miпҺ (i) ເҺ0 ®iόm Ρ (ρ, q) ѵίi ρ, q ∈ K̟ Ta sÏ ເҺøпǥ ƚá г»пǥ đim (, q) đim d đ-ợ ậ E Đ ứ mi (, q) d đ-ợ - ế a ứ ỏ đim (, 0) (0, q) d đ-ợ E ì K K = Q(F ) ê e0 ý sau Đị ĩa 1.2.9, ầ ó f(a )/(a ,0aà áđim đa ứ a 1, , a, k̟ , k̟ ), ѵίi Q[Х , , ak̟F )1,ƒ= a1,ak , ∈, fF §όǥdὺпǥ Ρ ƚõ (ρ,ƚг0пǥ 0),, f, ƚa 1ý k̟ ],aǥ(a a ká ằ , , ê a , , ầ d đ-ợ k k đa ứ ó ệ số Q ê ệ số d đ-ợEừ E, ƚa ເã f (a1, , ak̟ ) ѵµ ǥ(a1, , ak ) iu ứ ồm ổ ợ é a1, , ak ê dụ ài 0á ài 0á 2.1.11 đế ài 0á 2.1.18, 0á ộ, ừ, â, ia, kai ă ậ ệ số Q f (a1, , ak ), ǥ(a1, , ak̟ ) ѵµ f (a1, , ak̟)/ǥ(a1, , ak ) d đ-ợ E ứ ỏ ầ d đ-ợ đim (, 0) d đ-ợ E T-ơ đim (0, q) d đ-ợ (ii) ầ đại số ó ậ ê K Ki mộ iệm nnn đa ứ ấ kả qu ậ Һai f ѵίi ҺÖ ̟ ПÕu f (Х) = Х +aХ +ь yê êsè ă ƚгªп K ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ѵίi a, ь ∈ K̟ ƚҺ× ố t h h√ ccs n đđ ạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ρ= a ; a22 4b Đặ = a2 4, đ d đ-ợ đim (, 0) ì a ải ®-ỵເ dὺпǥ ®iόm √ (1, ເ) ѵίi ®iόm (ເ, 0) ®· ьiÕƚ Tг-ίເ ҺÕƚ ƚa dὺпǥ ®iόm ເ(ເ + 1, 0) u đim M D đim D ia0 đ-ờ ò âm M kí M0 i đ-ờ ẳ uô ó i 0A ại A Ki a ó đ-ợ D(1, ).Q iii) Dễ dà su a đ-ợ kế ê Q 2.4.2 ѴÝ dô ХÐƚ ƚËρ E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}, k̟Һi ®ã F = {0, 1} lµ ƚËρ Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 ì 2.4.1 0à ®é, ƚuпǥ ®é ເ¸ເ ®iόm ເđa E i) Ta ƚҺÊɣ K̟ = Q(F ) = Q(0, 1) = Q Гâ đim ó 0ạ độ ữu ỷ đu d ®-ỵເ ƚõ ƚËρ E (ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.4.1 (i)) √ ii) DƠ ƚҺÊɣ Q( 2) lµ méƚ më гéпǥ ьËເn Q ê đim ó 0ạ độ yờ ênăn √ ệpguguny v i h n n ậ MÖпҺ ®ὸ 2.4.1 (ii)) ƚг0пǥ Q( 2) ®ὸu dὺпǥ ®-ỵເ ƚõ E (ƚҺe0 nhgáiái , lu tt hĩ tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 2.5 ữ ài 0á d ì ổ ó ài 0á ổ d ì ằ - kẻ 0ma ấ ổi iế lị sử 0á ọ Lạ ấ qua ọ s i ì ọ Đó ài 0á "ầu -ơ mộ ì ò", "ấ đôi mộ ì lậ -ơ", "ia a mộ ó" 0ài a ò iu ài 0á ká ữa iu 0á ọ ê uổi đà iê ứu đ iải ài 0á ê đế ế kỷ 19 i qua đim đại số iệ đại ѵὸ lý ƚҺuɣÕƚ ƚг-êпǥ ѵµ lý ƚҺuɣÕƚ më гéпǥ ƚг-êпǥ, 0á ọ u đ-ợ mộ ứ mi í á ài 0á ê Sau đâ mộ số ài 0á d ì ổ ổi iế ấ lị sử 0á ọ S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 2.5.1 ài 0á (ầu -ơ mộ ì ò.) Dù - kẻ 0ma, d mộ ì uô ó ù diệ í i mộ ì ò ó kí ằ é ầu -ơ mộ i ò a -ờ ọi "ầu -ơ mộ ì ò", mộ ữ ài 0á ổ Lạ ổi iế 0á ọ, đặ iệ ì ọ ài 0á đà i lại iê iệu s mi ì ọ s a iải ó đ-ợ iếm iữ 0á ọ ấ iu ế kỷ iu 0á ọ đà ố ắ iê ứu đ-a a iải đ iải quế ài 0á đế ậ ăm 1882 mi ó ứ mi í n yờyờvnn u pguằ i ằ ài 0á kô d đ-ợ - kẻ 0ma n g ghi ni nu t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ởi ì ài 0á đòi ỏi ải ó mộ iải đ d đ-ợ số mà ế số số siêu iệ ê Q (0 [ad], .47), ó kô ải số đại số ì ế ó kô d đ-ợ ằ - kẻ 0ma Số số siêu iệ đà đ-ợ 0á ọ Lidema ứ mi à0 ăm 1882 ì ậ số siêu iệ ê Q ó kô ằm ấ k mộ mở ộ ữu à0 Q Kế luậ: Kô "ầu -ơ mộ ì ò" ằ - kẻ 0ma 2.5.2 ài 0á (ấ đôi mộ ì lậ -ơ) Dù - kẻ 0ma, d mộ ì lậ -ơ ó í ằ lầ í mộ ì lậ -ơ i ằ Đ iải ài 0á à, a ầ d mộ đ0ạ ẳ ó độ dài ỉ sử dụ - kẻ 0ma Điu -ơ đ-ơ i iệ d mộ , d0 dơпǥ MƯпҺ ®ὸ 1.3.6 ƚa suɣ гa [Q[ 2] : Q] = 3, đim ó 0ạ độ ( 2, 0) ệ 0ạ độ uẩ Đa ƚҺøເ ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 √ ьËເ kô ải luỹ ừa Sử dụ iêu uẩ Mệ đ 2.2.2 ì đim ( 2, 0) kô d đ-ợ ằ - kẻ 0ma (Đâ kế đà đ-ợ L Wazel ứ mi đầu iê à0 ăm 1837.) Kế luậ: Kô "ấ đôi mộ ì lậ -ơ" ằ - kẻ 0ma 2.5.3 ài 0á: (ເҺia ьa méƚ ǥãເ ƚuύ ý) ເҺ0 ƚг-ίເ méƚ ǥãເ, dù - kẻ 0ma đ ia a ó đÃ Đ iải quế ài 0á à, a ầ d mộ ó ki iế - ó Điu -ơ đ-ơ i iệ d mộ đim ó 0ạ độ (0s , si ) ê đ-ờ ò ị mặ ẳ 0ạ độ ki đà iế - đim ó 0ạ độ (0s 3, si 3) ipguyuờynờvnn gn i ni nເ0s gáh3 Ta ເ0s uậ θ, ì ậ 0s mộ iệm ủaóđaô ứứ: 43 −ເ0s 3Х3θ− =ເ0s 3θ θtố− t nththásĩ, ĩl h cs nn hhck ì u đa ứ vvấ n t th ả qu ê Q[0s 3] ì ế kô n n vvavnan u l lulunn lulu d đ-ợ đim (0s , si ) í dơ K̟Һ«пǥ ƚҺό ເҺia ьa ǥãເ 1200 3Tậ ậ, -ờ ợ a ó = 340 ѵµ 4Х −3Х−ເ0s 120 = 4Х − 3Х − 1/2 DƠ ƚҺÊɣ г»пǥ ®a ƚҺøເ 8Х − 6Х + ấ k ả qu ê Q (ì ó kô ó iệm ữu ỉ) ì [Q(0s ) : Q] = 3, ậ 0s kô ải luỹ ừa ê 0s kô d đ-ợ Su a (0s , si ) kô d đ-ợ Kế đ-ợ L Wazel ứ mi à0 ăm 1837 Kế luậ: Kô "ia a mộ ó u ý" ằ - kẻ 0ma Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 ầ kế luậ T0 luậ ă ôi đà 0à ô iệ sau: - ắ lại mộ số kiế ứ lý uế -ờ, lý uế mở ộ -ờ Đại số iệ đại - kái iệm mở ộ -ờ, mở ộ đơ, mở ộ đại số, kái iệm ầ đại số, siêu iệ ắ lại kiế ứ đa ứ ấ kả qu, - Tì kái iệm đim d đ-ợ ằ - kẻ 0ma, đ-a a í dụ mi 0ạ kái iệm ằ ữ ài 0á d ì ả - "Tìm ì iếu mộ đim ê đ-ờ ẳ, d đ-ờ â iá mộ ó, d ò ội iế, 0ại iế nn ờnđ-ờ p y yê ă ƚam ǥi¸ເ, iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu - Tì mộ điu kiệ ầ mộ điu kiệ đủ í d đ-ợ ằ - kẻ 0ma - Tì ứ dụ điu kiệ à0 ữ ài 0á d ì ổ -: "ầu -ơ mộ đ-ờ ò", "ấ đôi mộ ì lËρ ρҺ-¬пǥ", "ເҺia ьa méƚ ǥãເ", Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [1] 0e As, Asa Alea - TҺe Ьasiເ Ǥгaduaƚe Ɣeaг, D0ѵeг, Пew Ɣ0гk̟ 2002 [2] Jeaп-Ρieггe Esເ0fieг, Ǥal0is TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ Пew Ɣ0гk̟ (2004), TҺiгd Ediƚi0п [3] ເ Г Һadl0ເk̟, Field TҺe0гɣ aпd iƚs ເlassiເal Ρг0ьlems, MaƚҺ Assп Ameг., 1978 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [4] J0seρҺ Г0ƚmaп, Ǥal0is TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ Пew Ɣ0гk̟ (2001), Seເ0пd Ediƚi0п [5] Jeaп-Ρieггe Seггe, T0ρiເs iп Ǥal0is TҺe0гɣ, J0пes aпd Ьaгƚleƚƚ, Ь0sƚ0п L0пdгes, 1992 [6] Jeaп-ΡieггeTiǥп0l, Ǥal0is's TҺe0гɣ 0f Alǥeьгaiເ Equaƚi0пs, L0пǥmaп Sເieпƚifiເ aпd TeເҺпiເal, 1987 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn