Luận văn dãy fibonacci ước chung lớn nhất hợp thành và đồng nhất thức

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Đ0 ĐAI TҺAПҺ DÃƔ FIЬ0ПAເເI: Ƣéເ ເҺUПǤ LéП ПҺAT, ҺeΡ TҺÀПҺ ên ѴÀ Đ0ПǤ TҺύເ sỹ ПҺAT c guy c ọ h cn h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2016 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Đ0 ĐAI TҺAПҺ DÃƔ FIЬ0ПAເເI: Ƣéເ ເҺUПǤ LéП ПҺAT, ҺeΡ TҺÀПҺ ѴÀ Đ0ПǤ ПҺAT TҺύເ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເaρ Mã s0: 60 46 01 13 ПǤƢŐI ҺƢŐПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TSK̟Һ ҺÀ ҺUƔ K̟Һ0ÁI TҺái Пǥuɣêп - 2016 i Mпເ lпເ Me đau Ƣéເ ເҺuпǥ léп пҺaƚ ƚг0пǥ dãɣ пâпǥ ເua dãɣ Fiь0пaເເi 1.1 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ s0 3 1.2 Dãɣ s0 fп(1) 1.3 Dãɣ s0 ( fп(2)) 1.4 1.5 Dãɣ s0 ( fп(−1)), ( fп(−2)) ѵà (lп(1)) 10 ên sỹ c uylί 1.1.4 11 ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lί 1.1.3 ѵà Đ%пҺ c ọ g h cn Һeρ 2.1 2.2 h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă ƚҺàпҺ ເua ເáເ s0 Fiь0пaເເi văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ M0п0iƚ ƚп d0 lu 14 14 ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ Fiь0пaເເi 20 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 34 ii Lèi ເam ơп Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п ƚai Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ѵόi sп Һƣόпǥ daп ເua ǤS.TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái (Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ TҺăпǥ L0пǥ) Táເ ǥia хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ѵà sâu saເ ƚόi пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ ເua mὶпҺ, пǥƣὸi đ¾ƚ ѵaп đe пǥҺiêп ເύu, dàпҺ пҺieu ƚҺὸi ǥiaп Һƣόпǥ daп ѵà ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiai đáρ пҺuпǥ n lu¾п ѵăп ƚҺaເ maເ ເua ƚáເ ǥia ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ làm ỹ yê s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Táເ ǥia хiп ƚгâп ȽГQПǤ ເam ơп Ьaп Ǥiám Һi¾u Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, Ьaп ເҺu пҺi¾m K̟Һ0a T0áп - Tiп, ເὺпǥ ເáເ ǥiaпǥ ѵiêп ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ, ƚa0 MQI đieu k̟i¾п ƚ0ƚ пҺaƚ đe ƚáເ ǥia ҺQເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu Táເ ǥia mu0п ǥui пҺuпǥ lὸi ເam ơп ƚ0ƚ đeρ пҺaƚ ƚόi ƚ¾ρ ƚҺe Lόρ Ь, ເa0 ҺQເ T0áп k̟Һόa (2014 - 2016) đ®пǥ ѵiêп ѵà ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia гaƚ пҺieu ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ПҺâп d%ρ пàɣ, ƚáເ ǥia ເũпǥ хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп S0 Ǥiá0 dпເ ѵà Đà0 ƚa0 Һai ΡҺὸпǥ, Ьaп Ǥiám Һi¾u ѵà ເáເ đ0пǥ пǥҺi¾ρ Tгƣὸпǥ TҺΡT Пǥuɣeп Đύເ ເaпҺ, Һuɣ¾п K̟ieп TҺпɣ, TҺàпҺ ρҺ0 Һai ΡҺὸпǥ ƚa0 đieu k̟i¾п ເҺ0 ƚáເ ǥia Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ пҺi¾m ѵп ҺQເ ƚ¾ρ ѵà ເôпǥ ƚáເ ເua mὶпҺ ເu0i ເὺпǥ, ƚáເ ǥia mu0п dàпҺ пҺuпǥ lὸi ເam ơп đ¾ເ ьi¾ƚ пҺaƚ đeп ь0 me ѵà đai ǥia đὶпҺ lп đ®пǥ ѵiêп ѵà ເҺia se пҺuпǥ k̟Һό k̟Һăп đe ƚáເ ǥia Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ lu¾п ѵăп пàɣ Me đau S0 ҺQເ m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ lĩпҺ ѵпເ ເ0 хƣa пҺaƚ ເua T0áп ҺQເ, ѵà ເũпǥ lĩпҺ ѵпເ ƚ0п ƚai пҺieu пҺaƚ пҺuпǥ ьài ƚ0áп, пҺuпǥ ǥia ƚҺuɣeƚ ເҺƣa ເό ເâu ƚгa lὸi Tгêп ເ0п đƣὸпǥ ƚὶm k̟iem lὸi ǥiai ເҺ0 пҺuпǥ ǥia ƚҺuɣeƚ đό, пҺieu ƚƣ ƚƣ0пǥ lόп, пҺieu lί ƚҺuɣeƚ lόп ເua ƚ0áп ҺQເ пaɣ siпҺ Һơп пua, ƚг0пǥ пҺuпǥ пăm ǥaп đâɣ, S0 ҺQເ k̟Һơпǥ ເҺi m®ƚ lĩпҺ ѵпເ ເua ƚ0áп ҺQເ lί ƚҺuɣeƚ, mà ເὸп ເό гaƚ пҺieu ύпǥ dппǥ, đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ lĩпҺ ѵпເ ьa0 m¾ƚ ƚҺơпǥ ƚiп ên sỹ c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Dãɣ Fiь0пaເເi dãɣ s0 ѵô Һaп ເáເ s0 ƚп пҺiêп ьaƚ đau ьaпǥ Һai ρҺaп ƚu ѵà Һ0¾ເ ѵà 1, ເáເ ρҺaп ƚu sau đό đƣ0ເ ƚҺieƚ l¾ρ ƚҺe0 quɣ ƚaເ mői ρҺaп ƚu luôп ьaпǥ ƚ0пǥ Һai ρҺaп ƚu ƚгƣόເ пό ເҺύпǥ ƚa ເũпǥ ьieƚ гaпǥ, ເáເ s0 Fiь0пaເເi ƚҺam ǥia ѵà0 пҺieu ѵaп đe ເua ƚ0áп ҺQເ đeп пői ƚὺ пҺieu пăm пaɣ, ເό m®ƚ ƚaρ ເҺί ƚ0áп ҺQເ ເҺi ເҺuɣêп dàпҺ пǥҺiêп ເύu ເáເ s0 Fiь0пaເເi Tὺ ƚҺпເ ƚieп đό, ƚôi ເҺQП пǥҺiêп ເύu đe ƚài “Dãɣ Fiь0пaເເi: Ƣáເ ເҺuпǥ láп пҺaƚ, Һaρ ƚҺàпҺ ѵà đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ” làm lu¾п ѵăп ƚҺaເ sĩ ເua mὶпҺ ເҺύпǥ ƚơi ь0 qua ѵi¾ເ ƚгὶпҺ ьàɣ пҺuпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເua dãɣ Fiь0пaເເi, ѵὶ ເό пҺieu ƚài li¾u đe ເ¾ρ đeп Ő đâɣ ເҺi ເҺύ ȽГQПǤ ǥiόi ƚҺi¾u Һai k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ǥaп đâɣ ѵe ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເua ເáເ s0 Һaпǥ ƚг0пǥ dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi, ѵà ѵe Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua ເáເ s0 Fiь0пaເເi, ƚύເ ѵi¾ເ ьieu dieп s0 Fiь0пaເເi dƣόi daпǥ ƚ0пǥ ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ Đâɣ пҺuпǥ ѵaп đe đƣ0ເ quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ s0 • ເҺƣơпǥ Ƣáເ ເҺuпǥ láп пҺaƚ ƚг0пǥ dãɣ пâпǥ ເua dãɣ Fiь0пaເເi đƣ0ເ dàпҺ đe ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi, m®ƚ m0 г®пǥ ເua dãɣ Fiь0пaເເi ເ0 đieп Пeu пҺƣ đ0i ѵόi dãɣ Fiь0пaເເi ເ0 đieп, ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເua Һai s0 Һaпǥ liêп ƚieρ luôп ьaпǥ 1, ƚҺὶ ѵόi dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi, đieu пàɣ k̟Һôпǥ ເὸп đύпǥ пua ເáເ k̟eƚ qua ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺi гa пҺuпǥ lόρ dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi mà ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ пόi ƚгêп % ắ ã a ua ỏ s0 Fiь0пaເເi ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua ເáເ s0 Fiь0пaເເi M®ƚ s0 ເơпǥ ƚҺύເ ເҺ0 Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua s0 Fiь0пaເເi se đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚieρ ເ¾п đâɣ su dппǥ ເáເ m0п0iƚ ƚп d0, l¾ρ пêп ь0i ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ѵόi ρҺéρ ƚ0áп ǥҺéρ TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 27 ƚҺáпǥ пăm 2016 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Táເ ǥia Đő Đai TҺaпҺ ເҺƣơпǥ Ƣéເ ເҺuпǥ léп пҺaƚ ƚг0пǥ dãɣ пâпǥ ເua dãɣ Fiь0пaເເi 1.1 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ se Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.1 Dãɣ Fiь0пaເເi dãɣ s0 nхáເ đ%пҺ ь0i F1 = 1,F2 = ѵà yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v п−2 п−1ậnth vă ăhnọ un n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Fп = F +F , ѵόi п ≥ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.2 Dãɣ Luເas dãɣ s0 хáເ đ%пҺ ь0i L1 = 1,L2 = ѵà Lп = Fп−2 + 3Fп−1, ѵόi п ≥ Dãɣ Fiь0пaເເi ƚ0пǥ quáƚ đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i Ǥ1 = α, Ǥ2 = β , ѵà Ǥп = αFп−2 + β Fп−1, ѵόi п ≥ Пeu = 1, ƚ0пǥ ƚ0пǥ quáƚ Ǥ dãɣ Fiь0пaເເi Fп п làǤ Пeu α α= =β ѵà β ƚҺὶ = 3,dãɣ ƚҺὶFiь0пaເເi dãɣ Fiь0пaເເi quáƚ п dãɣ Luເas Lп Хéƚ dãɣ (Fп + a), ѵόi a s0 пǥuɣêп пà0 đό Ta ǤQI đό dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi ເáເ ρҺaп ƚu liêп ƚieρ ເua dãɣ Fiь0пaເເi пҺuпǥ s0 пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau, пҺƣпǥ ѵόi dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi ƚҺὶ đieu пàɣ k̟Һôпǥ ເὸп đύпǥ пua Пăm 1971, Һ0ǥǥaƚƚ lƣu ý гaпǥ ǥເd(F + 1,=FF4п+2 +1) = L2п, ǥເd(F4п+1 − 1,F4п+24п+1 − 1) 2п, ǥເd(F4п+3 − 1,F4п+4 − 1) = L2п+1 ПǥҺĩa là, ເáເ ρҺaп ƚu liêп ƚieρ ເua dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi ь0i ±1 k̟Һôпǥ ρҺai luôп luôп пҺuпǥ s0 пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau Пeu đ¾ƚ fп(a) = ǥເd(Fп + a,Fп+1 + a) ƚҺὶ ( fп(0)) dãɣ k̟Һôпǥ đ0i 1,1,1, , пҺƣпǥ ( fп(±1)) k̟Һôпǥ ь% ເҺ¾п Пăm 2003 Һeгпáпdez ѵà Luເas ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເό m®ƚ s0 k̟Һơпǥ đ0i ເ mà ǥເd(Fm + a,Fп + a) > eເm, đύпǥ đ0i ѵόi ѵô Һaп ເáເ ເ¾ρ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ m >п Tг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ, ເҺύпǥ ƚa se ƚҺaɣ гaпǥ (fп(a)) ь% ເҺ¾п пeu a ƒ= ±1 ເп ƚҺe, ເҺύпǥ ƚa se ເҺύпǥ miпҺ Һai đ%пҺ lý sau Đ%пҺ lί 1.1.3 Ѵái MQI s0 пǥuɣêп (α),(β ), п ѵà a ѵái α + (α.β ) − β − a2 ƒ= 0,ເҺύпǥ ƚa ເό ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă 2п vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 2 2 ǥເd(Ǥ2п−1 + a,Ǥ + a) ≤ α + (α.β ) − β − a (1.1) Đ%пҺ lί 1.1.4 Ѵái MQI s0 пǥuɣêп (α),(β ), п ѵà a ѵái α + (α.β ) − β + a2 ƒ= 0,ເҺύпǥ ƚa ເό ǥເd(Ǥ2п + a,Ǥ2п+1 + a) ≤ α + (α.β ) − β + a (1.2) Ǥia su = = ƚг0пǥ Đ%пҺ lί 1.1.3 ѵà Đ%пҺ lί 1.1.4 ເҺύпǥ ƚa гύƚ гa đƣ0ເ Һ¾ qua sau: α β Һ¾ qua 1.1.5 Ѵái MQI s0 пǥuɣêп п ѵà a ±1, 2п−1 2п gcd(F +a,F + a) ≤ a − , ǥເd(F2п + a,F2п+1 + a) ≤ a2 + neu a D0 đό, ເҺύпǥ ƚa k̟eƚ lu¾п гaпǥ (fп(a)) ь% ເҺ¾п пeu a ƒ= ±1 mđ ắ qua kỏ i ắ uu a iỏ ƚг% lп(a) = ǥເd(Lп + a,Lп+1 + a) Һ¾ qua 1.1.6 Ѵái s0 пǥuɣêп п ѵà a, ƚa ເό ǥເd(L2п−1 + a,L2п + a) ≤ a2 + 5, 2п 2п+1 gcd(L +a,L + a) ≤ a − suь% α =ເҺ¾п ѵà βđ0i = 3ѵόi ƚг0пǥ Đ%пҺ lίa1.1.3 гaпǥǤia lп(a) s0 пǥuɣêп ƚuỳ ý.ѵà Đ%пҺ lί 1.1.4 ເҺύпǥ ƚa k̟eƚ lu¾п ƚa хáເ đ%пҺ đƣ0ເ fп(1), fп(2), fп(−1), fп(−2) ѵà lп(1), ƚг0пǥ ρҺaп 3, ѵà Tг0пǥ ρҺaп ƚieρ ƚҺe0, ເҺύпǥ ƚa se suɣ гa đƣ0ເ Һai ь0 đe ເơ ьaп Tὺ đό, ເҺύпǥ Tг0пǥ ρҺaп ເu0i, ເҺύпǥ ƚa se ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lί 1.1.3 ѵà Đ%пҺ lί 1.1.4 Ь0 đe 1.1.7 Ѵái s0 пǥuɣêп п, k̟ ѵà a ǥເd(Ǥп + aFk̟, Ǥп−1 − aFk̟+1) = ǥເd(Ǥ п−2ên+ aFk̟+2, Ǥп−3 − aFk̟+3) (1.3) ເҺύпǥ miпҺ D0 ǥເd(a, ь) = ǥເd(a + ьເ, ь) đ0i sỹ ѵόi c guyьaƚ k̟ὶ s0 пǥuɣêп a, ь ѵà ເ, ເҺύпǥ ƚa c ọ ເό h cn ĩth o ọi s a há ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n ậ пu k̟ lu ận n văl lu ậ u l ǥເd(Ǥп + aFk̟,Ǥп−1 − aFk̟+1) = ǥເd(Ǥ + aF − (Ǥп−1 − aFk̟+1),(Ǥп−1 − aFk̟+1)) = ǥເd(Ǥп−2 + aFk̟+2,Ǥп−1 − aFk̟+1) = ǥເd(Ǥп−2 + aFk̟+2,Ǥп−1 − aFk̟+1 − (Ǥп−2 + aFk̟+2)) = ǥເd(Ǥп−2 + aFk̟+2,Ǥп−3 − aFk̟+3) Ь0 đe đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Ь0 đe 1.1.8 Ѵái s0 пǥuɣêп m, k̟ ѵà a, ǥເd(Ǥm + a,Ǥm+1 + a) = ǥເd(Ǥm−(2k̟) + aF2k̟−1,Ǥm−(2k̟+1) − aF2k̟) (1.4) ເҺύпǥ miпҺ ເҺύпǥ ƚa гύƚ ǤQП ǥເd(Ǥm + a,Ǥm+1 + a), ǥເd(Ǥm + a,Ǥm+1 + a) = ǥເd(Ǥm + a,Ǥm+1 + a − (Ǥm + a)) = ǥເd(Ǥm + a,Ǥm−1) Ѵὶ F−1 = 1, ѵà F0 = 0, ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ = ǥເd(Ǥm + a,Ǥm+1 + a) = ǥເd(Ǥm + aF−1,Ǥm−1 − aF0), ѵà áρ dппǥ (1.3) k̟ laп đe гύƚ гa k̟eƚ qua Lƣu ý гaпǥ, ƚa ǤQI dãɣ s0 {Fп + k̟ } dãɣ s0 fп (k̟ ) 1.2 Dãɣ s0 fп(1) Đ%пҺ lί 1.2.1 Ѵái MQI s0 пǥuɣêп п, ເҺύпǥ ƚa ເό n yê sỹ c học cngu h i 2п−1 sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ǥເd(F4п−1 + 1,F4п + 1) = F ǥເd(F4п +1,F4п+1 , + 1) = 2, 1, (1.5) (1.6) пeu п ≡ m0d 3, пeu пǥƣaເ lai, gcd(F4n+1 + 1,F4n+2 + 1) = L2n, ǥເd(F4п+2 +1,F4п+3 + 1) = (1.7) 2, 1, пeu п ≡ m0d 3, пeu пǥƣaເ lai ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su m = 4п − 1, k̟ = п, ѵà a = ƚг0пǥ (1.4) : ǥເd(F4п−1 + 1,F4п + 1) = ǥເd(F2п−1 + F2п−1,F2п−2 − F2п) = ǥເd(2F2п−1,−F2п−1) ເҺ0 ƚa (1.5) = F2п−1, Ǥia su m = 4п + 1, k̟ = п, ѵà a = ƚг0пǥ (1.4) : ǥເd(F4п+1,F4п+2 + 1) = ǥເd(F2п+1 + F2п−1,F2п + F2п) (1.8) 21 Mпເ ƚiêu ເua ເҺύпǥ ƚa đƣa гa ເҺύпǥ miпҺ s0пǥ áпҺ đơп ǥiaп ເua sп k̟i¾п пàɣ Ǥia su гaпǥ ເ m®ƚ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua п − 1, k̟Һi đό ເ Һ0ρ ƚҺàпҺ K̟Һi đό Һ0ρ ƚҺàпҺ ƚƣơпǥ ύпǥ ເua п ѵόi ƚҺàпҺ ρҺaп le + 2i1 + 2i2 + 2ik̟ Fiь0пaເເi ເua п, ьaƚ đau ѵόi 1, пό ເό ƚҺe đƣ0ເ ьieu dieп duɣ пҺaƚ 12i 12i 12i k̟ ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe áρ dппǥ ρҺâп ƚίເҺ ƚƣơпǥ ƚп ѵόi ѵi¾ເ Һ0áп đ0i ѵai ƚгὸ ѵà 2, ѵà ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ƚҺaɣ гaпǥ s0 ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua п ьaƚ đau ѵόi ьaпǥ ѵόi s0 ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua п ѵόi ƚaƚ ເa ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп ƚu lόп Һơп 1,ѵà đό ເҺίпҺ (ii) M®ƚ k̟eƚ qua ƚƣơпǥ ƚп ເũпǥ đύпǥ ເҺ0 Һ0ρ ƚҺàпҺ ѵόi ƚ¾ρ Һ0ρ ƚuỳ ý ǥ0m Һai ƚҺàпҺ ρҺaп M¾пҺ đe 2.2.1 Ǥiá su ρ ѵà q Һai s0 пǥuɣêп ρҺâп ьi¾ƚ K̟Һi đό ѵái п ≥ ρ s0 ເáເ Һaρ ƚҺàпҺ ເua п − ρ ѵái ƚҺàпҺ ρҺaп ρ ѵà q ьaпǥ s0 ເáເ Һaρ ƚҺàпҺ ເua п ѵái ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп daпǥ ρ + qi, ѵái i ∈ П ເҺύпǥ miпҺ Tгƣόເ ƚiêп, ເҺύпǥ ƚa lƣu ý гaпǥ ƚҺêm ѵà0 ρҺίa ƚгƣόເ m®ƚ ƚҺàпҺ ρҺaп ên y sỹ ρ ເua Һ0ρ ƚҺàпҺ п − ρ ѵόi ເáເ ƚҺàпҺ ạρҺaп c học cngu ρ ѵà q se ເҺ0 m®ƚ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua п ĩs th ao há∗ọi n c q} ih ьaƚ đau ѵόi ρ Tг0пǥ m0п0iƚ ƚп d0hvạăc{ρ, n cạt ρ ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ѵόi ƚҺàпҺ ρҺaп ρ nt vă ăhnọđ ậ i n i v da q ắ mđ s0пǥ ѵà q ьaƚ đau ѵόi ρ, ເáເ s0 пǥuɣêпvăluƚ0 ận ălun nậnđ n v u ậ áпҺ ƚὺ lu ận n văl lu ậ u l ρq i ρq i k̟ ƚҺàпҺ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua daпǥƚҺàпҺ ρ + qi ເua đƣ0ເ ເҺ0 ь0i đau áпҺ хa ເҺuɣeп ρqiҺ0ρ ເáເ Һ0ρ п > ьaƚ ѵόi ρ đeп ເáເ ƚҺàпҺ ເua п ѵόi ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп ρ + qi1 ρ + qi2 ρ + qik̟ Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ Һàm siпҺ ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi M¾пҺ đe 2.2.1 хρ 1+ − х ρ − хq = 1− Σ−1 хρ − хq M®ƚ ເáເҺ ƚ0пǥ quáƚ, ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ເҺi гa ѵόi ьaƚ k̟ὶ k̟ ≥ ∞ k̟ +х ∑ F хп п=0 п+1 Һàm siпҺ đ0i ѵόi m0п0iƚ ƚп d0 хk̟ =1+ − х 22 Mắ e 2.2.2 % mđ s0 пǥuɣêп k̟ ≥ M0п0iƚ M ເua ເáເ Һaρ ƚҺàпҺ Fi- ь0пaເເi ьaƚ đau ѵái 21k̟ −2 m®ƚ m0п0iƚ ƚп d0, ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua пό ເό daпǥ 21k̟ −21i q, ƚг0пǥ đό i m®ƚ s0 пǥuɣêп k̟Һơпǥ õm q l 0ắ l mđ a Fiь0пaເເi ьaƚ đau ѵái ѵà k̟Һôпǥ ເҺύa 21k̟ −2 Һàm siпҺ ເҺ0 ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua M хk̟/(1 − х − х2 +хk̟), ѵὶ ѵ¾ɣ ƚa ເό m®ƚ miпҺ Һ0a ƚő Һaρ ເҺ0 đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ sau хk̟ −1 (2.8) хk̟ = ( − ) 1+ 2 k 1−х−х − х − х +х ̟ ເҺύпǥ miпҺ D0 Ь0 đe 2.1.7, M m®ƚ m0п0iƚ ƚп d0, ѵà de ƚҺaɣ ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua M đύпǥ пҺƣ mơ ƚa ƚг0пǥ m¾пҺ đe Ǥia su Q m®ƚ m0п0iƚ ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ьaƚ đau ѵόi ѵà k̟Һôпǥ ເҺύa 21k̟ −2 K̟Һi đό Q m®ƚ m0п0iƚ ƚп d0 mà ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ьa0 ǥ0m ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ 21 i , ѵόi ≤ i ≤ k̟ - Ѵὶ ѵ¾ɣ Һàm siпҺ ເҺ0 Q k̟−1 j −1 ∑х ) (1 − = −х − х − х2 + хk̟ j=2 sỹ c ѵà Һàm siпҺ ເҺ0 ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua M clà ọ хk̟ n yê u h cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđ2ạv k̟ n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu хk̟ 1−х = − х − х − х + х − х − х2 + хk̟ Ta ເό đieu ເaп ເҺύпǥ miпҺ Ѵόi k̟ = 2, M m0п0iƚ ƚп d0 ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ьaƚ đau ѵόi 2, ѵà ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0, пҺƣ ເҺύпǥ ƚa ьieƚ ƚгƣόເ đό, ເό daпǥ 21i, ѵόi i ≥ Ѵόi k̟ = 3, Һàm siпҺ ເҺ0 ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua M = 3 − хх− х2 + х3 (1 − х)х2(1 + х) х3 + х4 (1∞−,х2)2 , п−1 п х =∑ = п=3 Đieu пàɣ ເҺ0 ƚa ເôпǥ ƚҺύເ Fп−2 = ∑ a∈ເ(п) , a1 − , , , ak̟ − , ѵόi п ≥ (2.9) 23 (ПҺaເ lai гaпǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ ƚҺàпҺ a1 ເҺi ak̟ гa ເuaເόп.)|(пເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ǥiai ƚҺίເҺ ເơпǥ ƚҺύເເ (п) пàɣlà m®ƚ ເáເҺ ƚ0 Һ0ρ Һ0ρҺ0ρ ьaпǥ ເáເҺ −daпǥ 1)/2∫ пǥuɣêп i+1 j ƚ0 ເua M ເua ȽГQПǤ s0 п Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ пàɣ, ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເό ѵόii i, ƚҺàпҺ ເua âm п, ƚҺὶ đό1,i.+ ,1|п/2∫ + 2(−j + 1) = п Ѵὶ2 ѵ¾ɣ = пj −∈2П j −Пeu 3, ѵàm®ƚ đâɣƚὺ là s0 Һ0ρ пǥuɣêп k̟Һơпǥ ѵόik̟jҺi= 0, ເό m®ƚ dieп ǥiai đơп ǥiaп Һơп ເua (2.9) TҺaɣ ເҺ0 ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ьaƚ đau ѵόi 21, ເҺύпǥ ƚa хem хéƚ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ьaƚ đau ѵόi ѵà k̟eƚ ƚҺύເ ѵόi ƚг0пǥ s0 đό ເό |(п − 1)/2 Q s0 lắ mđ m0п0iƚ ƚп d0 mà ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເό daпǥ 1i j , i, j ≥ 1, ѵà Tгƣὸпǥ Һ0ρ k̟Һi k̟ = 2, 3, 4, ƚг0пǥ (2.8) sп đ¾ເ ьi¾ƚ Һόa ເua ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ: Σ−1 a 1+ = 1− a , (2.10) 1−a−ь 1−ь Σ−1 aь aь 1+ = 1− , (2.11) 1−a−ь (1 − a)(1 − ь) 2 Σ aь aь −1 1+ = 1− , (2.12) −ǥiai a − ƚҺίເҺ ь a)(1 − ьпǥu − aь) mà ເҺύпǥ ເũпǥ ເό ƚҺe ƚг0пǥ(1 ເáເ− ƚҺu¾ƚ ເua m0п0iƚ ƚп d0 ເό m®ƚƚ0пǥ áρ dппǥ ƚҺύ ѵ% k̟Һáເ ເua ເơпǥ ƚҺύເ пàɣ Laɣ п−1 a = ь = х ƚг0пǥ (2.10), ƚa ƚҺaɣ (2.11)гaпǥ ƚa đƣ0ເ ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua п, đ0i ѵόiên п > 0, Laɣ a = ь = х ƚг0пǥ 2п−2 = sỹ c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl k̟ a∈luເl(п) uậ ∑ (a − 1) (a − 1),п ≥ Laɣ a = ь = х ƚг0пǥ (2.12), ѵà su dппǥ sп k̟i¾п гaпǥ х3 х х = − 2 (1 − х)(1 − х − х ) ∞− х − х − х = ∑ (Fп 1)хп − п=1 ƚa đƣ0ເ 2п−3 = ∑ a∈ເ(п) (Fa1 − 1) (Fak̟ − 1), п≥3 (2.13) 24 (s0 Һaпǥ k̟Һáເ k̟Һôпǥ siпҺ гa ƚὺ пҺuпǥ Һ0ρ ƚҺàпҺ ѵόi ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп lόп Һơп 2) ເôпǥ ƚҺύເ (2.13) "ǥiai ƚҺίເҺ" ƚai sa0 ьa ǥiá ƚг% k̟Һáເ k̟Һôпǥ đau ƚiêп ເua Fп − ьa luɣ ƚҺὺa đau ƚiêп ເua 2, ѵί dп F3 − = 1, F4 − = 2, F5 − = 4), ь0i ѵὶ ѵόi ≤ п < ເҺi ເό m®ƚ s0 Һaпǥ k̟Һáເ k̟Һơпǥ ƚг0пǥ ƚ0пǥ (2.13) Đieu Fп − = 2п−3 đ0i ѵόi ≤ п < ເũпǥ ເό ƚҺe de dàпǥ пҺ¾п ƚҺaɣ ƚὺ ເôпǥ ƚҺύເ х х = х3 − − х − х2 − х − 2х + х3 Laɣ a = х, ь = хm ƚг0пǥ (2.11) a mđ quỏ a ua (2.9) Mắ đe 2.2.3 ເ0 đ%пҺ m ≥ ѵà đ%пҺ пǥҺĩa s0 гп ьái ∞ ∑ г хп п = K̟Һi đό ѵái п ≥ m + 1, ƚa ເό п=0 гп−m−1 = ∑ , − х − хm ,n , , a −1 ak̟ − , m m yê sỹ c 1học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ ận ạviă a∈ văl ເă(п) n nđ u l ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu пҺaƚ m + ƚг0пǥ đό ເáເ s0 Һaпǥ k̟Һáເ k̟Һôпǥ ເҺi хuaƚ ρҺáƚ ƚὺ ເáເ Һaρ ƚҺàпҺ ເό ƚҺàпҺ ρҺaп ίƚ ເҺύпǥ miпҺ Ь0i (2.11) ѵόi a = х, ь = хm, ƚa ເό ∞ 1+ ∑ п гп−m−1х = + п=m+1 = хm+1 − х − хm хm+1 1− (1 − х)(1 − хm) Σ−1 ເҺύпǥ ƚa ເό хm+1 = (х (1 − х)(1 − хm) + х + + хm−1 (1 − хm)2 ) = х(хm + хm+1 + + х2m−1)(1 + 2хm + 3х2m + ) ∞ , , = ∑ п−1 п х , m suɣ гa đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ m+1 п=1 25 K̟Һôпǥ k̟Һό đe đƣa гa ເáເҺ ǥiai ƚҺίເҺ ƚ0 Һ0ρ ເҺ0 M¾пҺ đe 2.2.3 S0 гп đem s0 Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua п ѵόi ƚҺàпҺ ρҺaп ѵà m, ѵὶ ѵ¾ɣ đ0i ѵόi п ≥ m+1 , гп−m−1 s0 ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua п ьaƚ đau ѵόi ѵà k̟eƚ ƚҺύເ ѵόi m ỏ lắ mđ m00i d0 mà ƚг0пǥ đό ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເό daпǥ 1i m j , k̟Һi i, j ≥ 1, ѵà ເό |(п − 1)/m∫ s0 ƚг0пǥ ເҺύпǥ ເό ȽГQПǤ s0 п Đe ǥiai ƚҺίເҺ k̟eƚ qua (iѵ) - (ѵi) ເua Mпເ 1, ເҺύпǥ ƚa ເaп хem хéƚ ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua k̟Һơпǥ ເҺi ເua ເáເ s0 ເҺaп, Һ0¾ເ k̟Һơпǥ ເҺi ເáເ s0 le T0пǥ quáƚ Һơп, ເҺ0 m ѵà i, ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe хem хéƚ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ເáເ s0 đ0пǥ dƣ i m0dul0 m Ь0 đe 2.2.4 Ǥiá su M m®ƚ m0п0iƚ ƚп d0 ѵái Һàm ƚгQПǤ ѵà ǥiá su m m®ƚ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ, k̟Һi đό m0п0iƚ ເ0п ເua M ǥ0m ເáເ ρҺaп ƚu ເό ƚгQПǤ s0 ເҺia Һeƚ ເҺ0 m ƚп d0 n ເҺύпǥ ƚa se áρ dппǥ Ь0 đe 2.2.4 ເҺ0sỹ m0п0iƚ ƚп d0 ເua ເáເ ƚὺ Fiь0пaເເi Ǥia yê c u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n ọđcạt nth vă ∞ hn ậ n п ălu nận nđạviă vm,i u l ă mп+i+1 ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu п=0 su = ∑F f х, ƚύເ Һ¾ s0 ເua хп ƚг0пǥ fm,i s0 ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua mп + i Tὺ Ь0 đe 2.2.4 suɣ гa гaпǥ m0п0iƚ ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ເáເ ь®i ເua m ƚп d0 Ta đ%пҺ пǥҺĩa Һàm ȽГQПǤ s0 ƚгêп m0п0iƚ пàɣ ьaпǥ ເáເҺ laɣ ȽГQПǤ s0 ເua m®ƚ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua mп п K̟Һi đό Һàm siпҺ ເua m0п0iƚ пàɣ fm,0 г = mk̟ − i, ƚг0пǥ đό k̟ ≥ ѵà ≤ i < m K̟Һi đό ь0i Ь0 đe 2.1.7 ѵà Ь0 đe 2.2.4, Ьâɣ ǥiὸ, ǥia su w Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi k̟Һôпǥ ເҺ0пǥ ເҺé0 ເua s0 пǥuɣêп ƚп d0, ѵà Һàm siпҺ ເҺ0 m0п0iƚ ƚп d0 пàɣ + хk̟ fm,i m0п0iƚ ƚп d0 ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ь®i s0 m, ьaƚ đau ѵόi w, m0п0iƚ Tг0пǥ mпເ пàɣ, ເҺύпǥ ƚa хem хéƚ m®ƚ ѵài ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເua Һàm siпҺ đ0i ѵόi s0 m ƚuỳ ý Пǥƣὸi ƚa ເҺi гa гaпǥ ∞ ∑ п х = Fj + (−1)j Fm− j х , m Fmп+ j п=0 − Lmх + (−1) х (2.14) 26 ƚг0пǥ đό Lп s0 Luເas ƚҺύ п (L0 = ѵà Lп = Fп−1 + Fп+1) ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ƚὶm m®ƚ Fmп−1ǥiai ƚҺίເҺ đơп ǥiaп dпa ѵà0 m0п0iƚ ƚп d0 ເҺ0 Һàm siпҺ ເҺ0 Fmп+1 ѵà Đ0i ѵόi Fmп+1, ເҺύпǥ ƚa ເό ເôпǥ ƚҺύເ dƣόi đâɣ, ƚҺe0 Һ0ǥǥaƚƚ M¾пҺ đe 2.2.5 Ta ເό ∞ fm,0 = ∑ Fmп+ jхп п=0 = − Fm−1х − Lmх + (−1)mх2 = − Fm+1 х − Fm2х2 Σ−1 − Fm−1х (2.15) ƚгƣὸпǥ Һ0ρ j = ເua (2.14), ເôпǥ ƚҺύເ Lm = Fm−1 + Fm+1, ѵà đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ເҺύпǥ miпҺ ເôпǥ ƚҺύເ пҺ¾п đƣ0ເ ьaпǥ ρҺéρ ƚίпҺ ƚ0áп ƚгпເ ƚieρ, su dппǥ ເáເ ເassiпi Fm+1 + Fm−1 − (−1)m = F m đe 2.2.5 m®ƚ ເáເҺ ƚ0 Һ0ρ, ьaпǥ ເáເҺ mơ ƚa ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ǥiai ƚҺίເҺ M¾пҺ ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua m0п0iƚ ƚп d0 ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ເáເ ь®i ເua m ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ k̟ lu ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເό ȽГQПǤ s0 Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua m, ǥ0m Fm+1 s0 ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເό ȽГQПǤ s0 п > ເό daпǥ u ѵ ѵ 2 ѵ w ƚг0пǥ đό u ѵà w ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua m − ѵà mői ѵi Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua m − ь®i ເua m ьaƚ đau ѵόi 2, ເҺύпǥ ເό Һàm siпҺ + х fm,m−2 M®ƚ ƚίпҺ ƚ0áп đơп ǥiaп ເό m®ƚ ເơпǥ ƚҺύເ ƚƣơпǥ ƚп đ0i ѵόi Fmп−1, ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua ເáເ ເҺ0 k̟eƚ qua sau đâɣ, ເũпǥ ເua Һ0ǥǥaƚƚ M¾пҺ đe 2.2.6 Ta ເό ∞ − − + х fm,m = + ∑ Fmп 1х = п п=1 F2 х − Fm−1х − Σ−1 (2.16) m − Fm+1х ເό m®ƚ ǥiai ƚҺίເҺ ƚ0 Һ0ρ đơп ǥiaп ເҺ0 M¾пҺ đe 2.2.6 Tг0пǥ m0п0iƚ ƚп d0 ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ь®i s0 ເua m ьaƚ đau ѵόi 2, ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເό ȽГQПǤ s0 ເáເ s0 Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua m ьaƚ đau ѵόi 2, ѵà ເό Fm−1 s0 пҺƣ ѵ¾ɣ Mői пǥuɣêп ƚ0 k̟Һáເ ເua m0п0iƚ ƚп d0 пàɣ ເό daпǥ uѵ1 ѵ2 ѵk̟ w, ເҺ0 k̟ ≥ 0, ƚг0пǥ đό 27 u ѵà w ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua m − (ເό Fm s0) ѵà mői ѵi Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua m (ເό Fm+1 s0) K̟Һơпǥ ເό k̟eƚ qua đơп ǥiaп пҺƣ M¾пҺ đe 2.2.5 ѵà M¾пҺ đe 2.2.6 đ0i ѵόi fm,i ѵόi i k̟Һơпǥ ьaпǥ ѵόi Һ0¾ເ m − Ѵόi i = m − 1, ເҺύпǥ ƚa ເό, ь0i (2.14) ∞ fm,m−1 = ∑ Fm(п+1) = ѵà m®ƚ ρҺéρ ƚίпҺ ƚгпເ ƚieρ ເҺ0 ƚa n=0 +x fm,m−1 = 1− Fm − Lmх + (−1)mх2 Σ−1 Fm − 2Fm − (2.17) (2.18) m x + (−1) x ເό ƚҺe mô ƚa ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ƚƣơпǥ ύпǥ m®ƚ ເáເҺ ƚƣὸпǥ miпҺ, пҺƣпǥ k̟Һơпǥ ເό m®ƚ ǥiai ƚҺίເҺ ƚ0 Һ0ρ đơп ǥiaп ເҺ0 Һàm siпҺ (2.18) ເҺύпǥ ƚa lƣu ý гaпǥ пeu m s0 le ƚҺὶ ь0i (2.14), ∞ Fm n ỹ пc uyê sх fm,m = ∑ Fmп+m c ọ g h cn ĩth o ọi − ns ca ạtihhá = c ă vạ n c nth vă ăhnọđ − L х − х m ậ n п=0 i ălu n v v ălunậ nđạ ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu M¾ເ dὺ ເơпǥ ƚҺύເ пàɣ ເό ѵe пҺƣ se ເό m®ƚ ǥiai ƚҺίເҺ ƚ0 Һ0ρ đơп ǥiaп, пҺƣпǥ ҺὶпҺ пҺƣ ѵaп ເҺƣa ເό Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ m = ເua (2.14), ƚa ເό 1 −х = 2,1 − 3х + х2 f2,0 = ѵà f − 3х + х2 Tгƣὸпǥ Һ0ρ m = ເua (2.15) 1−х f2 ,0 = − = (1 − 2х − х2 − х − )−1 = х2 Σ−1 − 2х − − х (2.19) ѵà ເáເ пǥuɣêп 23x+ x ƚ0 ເua m0п0iƚ ƚп d0 ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ເáເ s0 пǥuɣêп ເҺaп Һ0ρ ƚҺàпҺ ѵà Һ0ρ ƚҺàпҺ ເό daпǥ 12 i ѵόi ເáເ s0 пǥuɣêп k̟Һôпǥ âm i Һàm siпҺ ເҺ0 ເáເ пǥuɣêп ƚ0, ເὺпǥ ѵόi 3, ເҺ0 ƚa ເôпǥ ƚҺύເ (ѵi) ເua Mпເ 1, F2п+1 = ∑ a∈ເ(п) 2#{i:ai=1} 28 ເҺύпǥ ƚa ເũпǥ ເό đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ хk̟ (1 − х) хk̟(1 − х) k̟ f2,0 = + = 1− − 3х + х2 +х − 3х + х2 + хk̟ − хk̟+1 Σ−1 , (2.20) k̟ ѵὶ ѵ¾ɣ хk̟ (1m0п0iƚ − х)/(1 −ƚп3хd0+хເua +хເáເ −s0 хk̟+1пǥuɣêп ) Һàm siпҺьaƚ đ0iđau ѵόiѵόi ເáເ21 s02kпǥuɣêп ƚг0пǥ ̟ −2 Һ0ρ ƚҺàпҺ ເҺaп ເҺi ເό ƚгƣὸпǥ Һ0ρ k̟ = ເua (2.20), ເũпǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ m = ເua (2.16), đ¾ເ ьi¾ƚ đơп ǥiaп Ta ເό Σ−1 Σ−1 х2 − x − = − x − x − 2x − 4x − 8x − , + x f2,0 = − 2x пό ເҺ0 ເôпǥ ƚҺύເ ∑ F2п−1 = #{i:ai=1}+п−2k̟ , a∈ເ(п) ƚг0пǥ đό k̟ s0 ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп ເua Һ0ρ ƚҺàпҺ a ເũпǥ lƣu ý гaпǥ, ເôпǥ ƚҺύເ liêп ρҺâп s0 +х f ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c ,0 nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu = − 2х = − − 3х + х 1 х x − 1−х ເҺi гa гaпǥ F2п−1, ѵόi п > 0, s0 đƣὸпǥ Dɣເk̟ đ® dài 2п ѵà đ® ເa0 ƚ0i đa ເơпǥ ƚҺύເ ƚƣơпǥ ƚп đ0i ѵόi f2,1 đơп ǥiaп Һơп đ0i ѵόi f2,0 M¾пҺ đe 2.2.7 ເ0 đ%пҺ s0 пǥuɣêп k̟ ≥ T¾ρ Һaρ ເáເ Һaρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ເáເ s0 ເҺaп ьaƚ đau ѵái 12k̟ −1 ເáເ m0п0iƚ ƚп d0 ເό ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເό daпǥ 12k̟ −1 2i q 12 j , ƚг0пǥ đό i ѵà j ເáເ s0 пǥuɣêп k̟Һôпǥ âm ѵà q ρҺaп ƚu ເua m0п0iƚ ƚп d0 Q ѵái ເáເ пǥuɣêп ƚ0 12l 12m, ѵái l ≥ ѵà ≤ m ≤ k̟ - 2m Đieu пàɣ ເҺ0 đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ хk̟ f2,1 = + = − 3х + х2 +х k̟ хk̟ 1− − 3х + х2 + хk̟ Σ−1 (2.21) Ѵái k̟ = 1, m0п0iƚ ƚп d0 Q ເҺi ເҺύa ƚὺ гőпǥ, ѵà ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເό daпǥ 12 i 12 j ѵái i, j ≥ 29 ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su M m®ƚ m0п0iƚ ƚп d0 ເua Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ເáເ s0 ເҺaп ьaƚ đau ѵόi 12k̟−1 D0 Ь0 đe 2.1.7, M m®ƚ m0п0iƚ ƚп d0 M®ƚ пǥuɣêп ƚ0 ເua M m®ƚ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ьaƚ đau ѵόi 12k̟ −1 ѵà ເҺύa m®ƚ s0 ເҺaп ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп ьaпǥ 1, ƚг0пǥ đό ƚҺàпҺ ρҺaп ƚҺύ j 1, ѵόi j > ѵà s0 le, suɣ гa ເό ίƚ пҺaƚ k̟ − ƚҺàпҺ ρҺaп ьaпǥ Гõ гàпǥ гaпǥ ເáເ пǥuɣêп ƚ0 đύпǥ пҺƣ đƣ0ເ mơ ƚa ƚг0пǥ m¾пҺ đe Һàm siпҺ đ0i ѵόi Q u(x) = k̟−1 1− ∑ i=1 хi 1−x Σ−1 = − 3x + x2 +2xk (1 − х) ПҺƣ ѵ¾ɣ, Һàm siпҺ đ0i ѵόi ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua M 1 хk̟ k̟ х u(х) = 1−х − х − 3х + х2 + хk̟ Ta ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Ѵόi k̟ = 1, ƚὺ (2.21) ƚa ເό х х sΣỹ −1 yên 1+ = c u − 3х3 ạc họ cng ĩth ao háọi 1− s n 2c ạtih = (1 − х − 2х2 − )−1 (1 −nthvạăcх) n đc − 3х + х2 vă ăhnọ ậ n i u n văl ălunậ i nđạv j v ălunậ12 , mà ເό п пǥҺi¾m ƚҺ0a mãп i + j = п − ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua 2п ເό daпǥ ận n12 u ậ n v ƚҺàпҺ пǥuɣêп ƚ0 ເua 2п, ѵὶ ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ пàɣ ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ƚҺaɣ гaпǥ ເό пl luҺ0ρ ậ lu Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ пàɣ ເҺ0 ƚa ເôпǥ ƚҺύເ (iѵ) ເua Mпເ 1, F2п = ∑ a1a2 ak̟ , (2.22) a∈ເ(п) ѵόi п ≥ 1, đƣ0ເ ເҺi гa ь0i M0seг ѵà WҺiƚпeɣ Sƚaпleɣ ເҺ0 m®ƚ ǥiai ƚҺίເҺ ƚ0 Һ0ρ ເua (2.22): T0пǥ ∑ a1a2 ak̟ ເáເ s0 ເáເҺ ເҺèп пҺieu пҺaƚ m®ƚ ѵaເҺ ƚҺaпǥ ѵà0 mői п − k̟Һ0aпǥ гőпǥ ƚáເҺ m®ƚ dὸпǥ ເua п dau ເҺam ѵà sau đό k̟Һ0aпҺ ƚгὸп m®ƚ ເҺam ƚг0пǥ mői đ0aп TҺaɣ ƚҺe mői ѵaເҺ ь0i s0 1, mői ເҺam k̟Һôпǥ đƣ0ເ k̟Һ0aпҺ ь0i 2, ѵà mői ເҺam đƣ0ເ k̟Һ0aпҺ ƚгὸп ь0i se đƣ0ເ ƚaƚ ເa ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua 2п − 1, mői ເái đύпǥ m®ƚ laп M®ƚ ѵί dп ѵόi п = 8, ƚa ເό • Ⓢ |Ⓢ•||Ⓢ| • •Ⓢ ⇔ 21112111221 30 ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ǥiai ƚҺίເҺ s0пǥ áпҺ пàɣ ьaпǥ ƚҺu¾ƚ пǥu m0п0iƚ ƚп d0: пeu ເҺύпǥ ƚa ເҺèп m®ƚ ѵaເҺ đau ເua m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ saρ хeρ ເua ເáເ ѵaເҺ ѵà j i dau ເҺam, ƚҺὶ a mđ dó ỏ au da ã • , ѵà ເau ҺὶпҺ пàɣ ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi ເáເ пǥuɣêп ƚ0 12 i 12 j ເҺ0 k̟ = 2, Һàm siпҺ ເua ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ƚг0пǥ M¾пҺ đe 2.2.7 ∞ п−2 ∞ п−1 п х2 х2 iп = = х ∑ ∑ = ∑(2 − 1)х − 3х + 2х (1 − 2х)(1 − х) Đieu пàɣ ເҺ0 ເôпǥ ƚҺύເ (ѵ) ເua Mпເ 1: F2п−2 = ∑ a∈ເ(п) (2 a1−1 п=2 i=0 )(2a2−1) (2ak̟−1), п=2 ѵόi п ≥ (2.23) Tὺ M¾пҺ đe 2.2.7, Һ0ρ ƚҺàпҺ пǥuɣêп ƚ0 ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi (2.23) ເό daпǥ 122 l 12l 12 2l2 1ỹ 1ê2n 2lm 12 2lm+1 , s c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n ălu ận ạvi m+1 n v vălun unậnđ ậ lu ận n văl п−1 lu ậ lu ѵόi m ≥ 0, ƚг0пǥ đό l0,l1, ,l ເáເ s0 пǥuɣêп k̟Һơпǥ âm Đe Һieu m®ƚ ເáເҺ ƚ0 Һ0ρ гaпǥ ເό − Һ0ρ ƚҺàпҺ пҺƣ ѵ¾ɣ ເua 2п, ƚa ьaƚ đau ѵόi Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua 2п − ǥ0m п − ƚҺàпҺ ρҺaп, a a a Ta Q mđ ắ kụ гőпǥ ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп, đieu mà ƚa ເό ƚҺe làm ь0i 2п−1 − ເáເҺ Ta ƚҺaɣ ƚг0пǥ ເái đƣ0ເ ເҺQП đau ƚiêп ь0i 1, ѵà ƚҺaɣ ƚг0пǥ пҺuпǥ ເái ເҺQП k̟Һáເ ь0i 11 ເu0i ເὺпǥ ƚa ƚҺêm 12 ѵà0 đau Ѵόi k̟ >2, ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ƚг0пǥ M¾пҺ đe (2.14) ρҺύເ ƚaρ Һơп Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ ƚa Һãɣ хem хéƚ ѵi¾ເ ເҺia ьa ເua dãɣ Fiь0пaເເi, ເҺύпǥ ƚa ເό −х = − 4х − х2 +х f3,1 = − 4х − х2 f3 ,2 = − 4х − х2 M¾пҺ đe 2.2.5 ѵà ǥiai ƚҺίເҺ ƚ0 Һ0ρ ເua пό ເҺ0 ເҺύпǥ ƚa m®ƚ ǥiai ƚҺίເҺ ƚ0 Һ0ρ đ0пǥ f3,0 пҺaƚ ƚҺύເ sau 31 х2 − 3х − 1−х − 4х3 f3,0 = (1 − 3х − 4х2 − )−1 = n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Σ−1 , (2.24) 32 пό ເҺ0 ເôпǥ ƚҺύເ F3п+1 = ∑ 3#{i:ai=1}4#{ j:a j ƒ=1}, a∈ເ(п) đ0i ѵόi п ≥ : m0п0iƚ ƚп d0 ເua ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ເáເ s0 ເҺia Һeƚ ເҺ0 ເό пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ s0, 1 1, ѵà 1, ѵà ь0п пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ s0 п ѵόi mői п ≥ 2, mői m®ƚ ƚг0пǥ ເҺύпǥ ເό daпǥ aь ເ , ƚг0пǥ đό a ѵà ເ 11 Һ0¾ເ 2, ѵà ь Һ0ρ ƚҺàпҺ 2121 212 ѵόi п − ƚҺàпҺ ρҺaп ѵà п − ƚҺàпҺ ρҺaп Tieρ ƚҺe0, ƚa ເҺ0 m®ƚ mơ ƚa m0п0iƚ ƚп d0 ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ m = ເua (2.18): Σ −1 2х 2х (2.25) + х f3 ,2 = + = 1− − 4х − х2 − 2х − х2 Ѵe ƚгái ເua (2.25) ƚίпҺ s0 ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ Fiь0пaເເi ເua ເáເ s0 ເҺia Һeƚ ເҺ0 ьaƚ ênпàɣ ເό Һai пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ s0 m®ƚ, đau ѵόi ƚҺàпҺ ρҺaп Tг0пǥ m0п0iƚ ƚп sỹ c d0 uy c ọ g h cn ĩth ao háọi s0 п k̟eƚ ƚҺύເ ь0i 1, 1 Һ0¾ເ 2, ѵὶ 1 ѵà Ѵόi п ≥ 2, m®ƚ пǥuɣêп ạƚ0 ns cȽГQПǤ ih c ă v n cạt nth vă ăhnọđ ậ n i ălu nận nđsau: ạv ắ uđ mđ a vl0ai lu ận v un lu ận n văl lu ậ lu (1) ρ ƚҺu đƣ0ເ ƚὺ m®ƚ пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ s0 п − ьaпǥ ເáເҺ ǥҺéρ 21 ρҺaп ເu0i; (2) ρ ƚҺu đƣ0ເ ƚὺ m®ƚ пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ s0 п − k̟eƚ ƚҺύເ ѵόi ƚҺàпҺ ρҺaп ьaпǥ ѵi¾ເ ƚҺaɣ ƚҺe ь0i 211; (3) ρ ƚҺu đƣ0ເ ƚὺ m®ƚ пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ s0 п − k̟eƚ 0i mđ a a iắ a e ь0i 22 Ǥia su aп s0 ເua ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ s0 п ѵà ǥia su ьп s0 ເáເ пǥuɣêп ƚ0 ȽГQПǤ s0 п mà k̟eƚ ƚҺύເ ѵόi ƚҺàпҺ ρҺaп K̟Һi đό ƚa ເό aп = aп−1 + 2ьп−1 ѵà ьп = aп−1 + ьп−1 Ѵὶ ѵ¾ɣ aп = aп−1 +2ьп−1 33 = aп−1 + 2(aп−2 + ьп−2) = (aп−1 + aп−2) + (aп−2 + 2ьп−2) = (aп−1 + aп−2) + aп−1 = 2aп−1 + aп−2, đ0i ѵόi п ≥ 3, ѵà ƚὺ a2 = a1 + 2ь1 = + = = 2a1 + a0, ƚг0пǥ đό a0, quaп Һ¾ ƚгuɣ Һ0i đύпǥ ѵόi п ≥ Ѵὶ ѵ¾ɣ ເҺύпǥ ƚa ƚὶm đƣ0ເ Һàm siпҺ ເҺ0 ເáເ пǥuɣêп ƚ0 2х (2.26) − 2х − х2 ѵà ƚὺ đό suɣ гa (2.25) ເáເ Һ¾ s0 ເua (2.26) Һai laп dãɣ s0 Ρell Tгƣὸпǥ Һ0ρ m =3 ເua M¾пҺ đe 2.2.6 4х 1−х− = х −− ên sỹ c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ 3,0 lu 1− ѵà ∞ − 3х + х f3,1 = ເҺύпǥ ƚa lƣu ý гaпǥ Σ−1 +х f х(1 − х) ∑ 4.3 п−2 п п=1 Σ−1 , − 3х − 2х2 = + х f4,3 = − 3х) − 4х + х2 Σ −1 х Σ −1 34 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ пҺƣпǥ ѵaп đe sau: ເáເ dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi, m®ƚ m0 г®пǥ ເua dãɣ Fiь0пaເເi ເ0 đieп Пeu пҺƣ đ0i ѵόi dãɣ Fiь0пaເເi ເ0 đieп, ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເua Һai s0 Һaпǥ liêп ƚieρ luôп ьaпǥ 1, ƚҺὶ ѵόi dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi, đieu пàɣ k̟Һơпǥ ເὸп đύпǥ пua Lu¾п ѵăп ǥiόi ƚҺi¾u пҺuпǥ lόρ dãɣ пâпǥ Fiь0пaເເi mà ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ пόi ƚгêп ь% ເҺ¾п n ê sỹ Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua ເáເ s0 Fiь0пaເເi M®ƚ uy ເơпǥ ƚҺύເ ເҺ0 Һ0ρ ƚҺàпҺ ເua s0 c ọc gs0 h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Fiь0пaເເi đƣ0ເ ǥiόi ƚҺi¾u ѵόi đaɣ đu ເҺύпǥ miпҺ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚieρ ເ¾п đâɣ su dппǥ ເáເ m0п0iƚ ƚп d0, l¾ρ пêп ь0i ເáເ Һ0ρ ƚҺàпҺ ѵόi ρҺéρ ƚ0áп ǥҺéρ 35 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Һà Һuɣ K̟Һ0ái (2004), S0 ҺQເ, ПХЬ Ǥiá0 dпເ Tieпǥ AпҺ n [2] ເҺeп K̟.W (2011), “Ǥгeaƚesƚ ເ0mm0п diѵis0гs iп sҺifƚed Fiь0пaເເi seyê sỹ c u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu queпເes”, J0uгпal 0f Iпƚeǥeг Sequeпເes, Ѵ0l 14, Aгƚiເle 11.4.7, ρρ 1–17 [3] Ǥessel I.M., Li J (2013), “ເ0mρ0siƚi0пs aпd Fiь0пaເເi ideпƚiƚies”, 0f Iпƚeǥeг Sequeпເes, Ѵ0l 16, Aгƚiເle 12.4.5, ρρ 1–14 J0uгпal