I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Lữu T Mi Tu ã ầ T T I Sẩ SI I M Lìẹ Iã ã Dệ n yờ sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu LU T Sò T0ã TҺ•I ПǤUƔ–П - П‹M2013 Số hóa Trung tâm Học lieọu http://lrc.tnu.edu.vn/ I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Lữu T Mi Tu ã ầ T T I SẩSI I M Lìẹ Iã ã Dệ uả : ì ã T0ã S n yờ s M¢ sè: 60.46.01.13 c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sß T0ã ữi ữợ dă k0a S TSK U Ѵ‹П MŠU Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC TãI ПǤUƔ–П - П‹M 2013 n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mư lư Mð u ¯пǥ ƚҺὺ l÷đпǥ ǥi¡ 1.1 Mở số ỗ Đ ia Ă a lữủ iĂ 1.1.1 ắa ẵ Đ ừa a lữủ iĂ 1.1.2 Mở số ỗ Đ ia Ă m số lữủ ǥi¡ 1.1.3 T½пҺ ǥi¡ ƚгà õa mëƚ sè ьiºu ƚҺὺ l÷đпǥ ǥi¡ 1.2 Һ» ƚҺὺ l÷đпǥ ǥi¡ ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ 1.2.1 ເ¡ Һ» ƚҺὺ ὶ ь£п ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ 1.2.2 ເ¡ Һ» ƚҺὺ l÷đпǥ ǥi¡ ƚҺ÷ίпǥ ǥ°ρ ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ n 1.3 Mëƚ số dÔ ằ lữủ iĂ ẳ yê sỹ ƚг0пǥ c ọc gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu Ă ỗ Đ Ôi số liả qua iá ời lữủ iĂ 2.1 Ă ỗ Đ Ôi số liả qua m si 0si 2.2 Ă ỗ Đ Ôi số liả quaп ¸п Һ m ƚaпǥ ѵ 0ƚaпǥ 2.3 Mëƚ sè dÔ ỗ Đ m 2.3.1 ΡҺ²ρ Һuɣºп êi ь£0 ƚ0 п ǥâ õa ƚam ǥi¡ 2.3.2 •ρ dưпǥ 2.3.3 u ời Ê0 Ô õa ƚam ǥi¡ 2.3.4 •ρ dưпǥ 4 10 12 12 14 16 24 24 31 37 37 48 51 57 Mở số lợ ữ ẳ Đ ữ ẳ Ôi số iÊi Ă ỗ Đ 60 3.1 iÊi iằ luê ữ ẳ ê a 60 3.2 iÊi iằ luê ằ ữ ẳ ¤i sè 71 3.3 Mở số dÔ Đ Ôi số iÊi iá ời lữủ iĂ 78 K̟¸ƚ luªп 87 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 88 Số hóa bụỷi Trung taõm Hoùc lieọu http://lrc.tnu.edu.vn/ M u ỗ Đ ƚҺὺ l mëƚ ƚг0пǥ пҺύпǥ k̟Һ¡i пi»m ὶ ь£п õa ữ ẳ T0Ă ê ổ iằ, Ă ữ TT uả Ă lợ uả 0Ă õ Đ iÃu dÔ 0Ă liả qua ỗ Đ ƚҺὺ Tг0пǥ ¡ · ƚҺi ƚuɣºп siпҺ ¸п ¡ · ƚҺi Һå siпҺ ǥiäi ¡ §ρ â пҺi·u ь i 0Ă Ã ữ ẳ, Đ ữ ẳ ằ Đ ữ ẳ ữủ iÊi Ă Ă dử Ă ỗ Đ Ôi số si i m l÷đпǥ ǥi¡ Һi»п пaɣ ¡ ƚ i li»u õ ẵ ằ ố Ã Đ Ã ỏ ữa ữủ à ê iÃu Ă u u ê iÊn dÔ mổ T0Ă ê ờ s uy c hc cngÔi ổ, luê ô "Ă ỗ Đ st số si i m lữủ iĂ h o ọi n ca ạtihhá c ă hvạ niÊi c Ă dử" ơm ằ ốlunnt Ă i 0Ă liả qua n ih v lun nv ỗ Đ n v un lu n n vl u lu Ôi số si i m lữủ liĂ Luê ô ữủ ia a l m a ữ ữ - ảu mở số çпǥ пҺ§ƚ ƚҺὺ ǥiύa ¡ Һ m sè ѵ a lữủ iĂ , ỗ i ẳ Ă ằ lữủ iĂ am iĂ mởsố dÔ ằ lữủ iĂ ẳ ữ - Tẳ Ă ỗ Đ Ôi số liả quaп ¸п Һ m siп, Һ m 0siп, Һ m ƚaпǥ ѵ Һ m 0ƚaпǥ ° ьi»ƚ ƚг0пǥ Һ÷ὶпǥ п ỏ ẳ mở số ỗ Đ m Ă dử ừa ỗ Đ m º siпҺ гa ¡ ь i ƚ0¡п ѵ· Һὺпǥ mi , Đ lữủ iĂ am iĂ ữ - Sỷ dử Ă ỗ Đ Ôi số ảu ữ iÊi iằ luê ữ ẳ ê a, iÊi iằ luê ằ ữ ẳ Ôi số uối ừa ữ ẳ mở số dÔ Đ Ôi số ữủ iÊi iá ời lữủ iĂ luê ô , ữợ Đ Ă iÊ i ữủ ỷi li Êm sƠu s- ợi S.TSK uạ ô Mêu  d i ia ữợ dă, Soỏ hoựa bụỷi Trung taõm Hoùc lieọu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ê0 ê ẳ i ù suố quĂ ẳ Ơ dỹ à i ữ iằ luê ô Tiá e0, Ă iÊ i ỷi lίi £m ὶп Һ¥п ƚҺ пҺ ¡ ƚҺ ɣ ỉ ¢ å , k̟iºm ƚгa, ¡пҺ ǥi¡ ѵ Һ0 пҺύпǥ ỵ kiá quỵ Ău luê ô ữủ Һὶп, ρҺ0пǥ ρҺό Һὶп Qua ¥ɣ, ƚ¡ ǥi£ пǥ хiп ÷đ ǥûi lίi £m ὶп ƚỵi Ьaп ǥi¡m Һi»u, ρҺáпǥ Sau Ôi , ỏ Ô0, k0a n yờ sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học lieọu http://lrc.tnu.edu.vn/ T0Ă - Ti Tữ K, Ôi TĂi uả Ă Ô ỗ iằ  Ô0 iÃu kiằ uê lủi suố quĂ ẳ ê Ôi ữ Tu Ê Ơ õ iÃu ố -, s0 i ia, ẳ iÃu kiằ iả u ỏ Ô ả luê ô kõ Ă kọi iáu sõ Đ m0 ữủ sỹ õ õ ỵ kiá ừa Ă ổ Ă Ô ỗ iằ luê ô ữủ iằ TĂ iÊ i Ơ Êm ! TĂi uả, TĂ 07 ôm 2013 L÷u TҺà MiпҺ TҺõɣ n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ເҺ÷ὶпǥ lữủ iĂ Mở số ỗ Đ ia Ă iĂ 1.1 1.1.1 a lữủ ắa ẵ Đ ừa a lữủ iĂ ắa 1.1 (em [5) m số õ dÔ A() = a0 + a1 ເ0s х + ь1 siп х + · ·ên· + aп ເ0s пх + ьп siп пх, y sỹ c học cngu ĩs th ao háọi ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ ận v un lu ận n văl lu ậ lu ƚг0пǥ â aп ѵ ьп kổ ỗ i (n l an + ь2 > 0), ai, ьj ∈ Г ѵỵi i = 0, 1, , п; j = 1, 2, , п ÷đ ǥåi l a lữủ iĂ ê ( ) Ki Đ £ ¡ ьj = ѵỵi j = 1, 2, , п ƚa â àпҺ пǥҺ¾a 1.2 (em [5) m số õ dÔ () = a0 + a1 ເ0s х + a2 ເ0s 2х + · · · + aп ເ0s пх (aп ƒ= 0), ÷đ ồi l a lữủ iĂ ê e0 0si Tữ ỹ, k i Đ Ê Ă = ѵỵi i = 0, 1, , п ƚa â àпҺ пǥҺ¾a 1.3 (Хem [5℄) Һ m sè õ dÔ S() = + si + ь2 siп 2х + · · · + ьп siп пх (ьп ƒ= 0), ÷đ ǥåi l a ƚҺὺ l÷đпǥ iĂ ê e0 si Sau Ơ, a liằ kả mở số ẵ Đ iÊ ừa a lữủ iĂ Tẵ Đ 1.1 Tờ ừa a l÷đпǥ ǥi¡ Aп(х) ѵ Ьm(х) l mëƚ a ƚҺὺ l÷đпǥ iĂ õ ê ọ ma {, m} Tẵ Đ 1.2 Tẵ ừa a l÷đпǥ ǥi¡ Aп(х) ѵ Ьm(х) l mëƚ a ƚҺὺ l÷đпǥ iĂ õ ê + m Soỏ hoựa bụỷi Trung taõm Hoùc lieọu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tẵ Đ 1.3 áu a ƚҺὺ l÷đпǥ ǥi¡ Aп(х) = a0 + a1 ເ0s х + ь1 siп х + · · · + a 0s + si , ỗ Đ ợi mồi , ẳ Đ Ê Ă ằ sè õa пâ ·u ь¬пǥ 0, ƚὺ l a0 = a1 = ь1 = a2 = ь2 = · · à = a = = Mở số ỗ Đ ia Ă m số lữủ iĂ 1.1.2 Ь i ƚ0¡п 1.1 Ьiºu di¹п ¡ Һ m sè si 0s dữợi dÔ Ă a lữủ ǥi¡ Lίi ǥi£i Ǥi£ sû z = ເ0s ƚ + i siп ƚ K̟Һi â z−1 = (ເ0s ƚ + i siп ƚ)−1 = ເ0s ƚ − i siп ƚ D0 â ເ0s ƚ = z + z−1 ѵ z − z−1 siп ƚ = 2i · Ta â n п (z + z−1) = zп + ເ1zп−1 z−1 + ເ2zп−2nz−2 +ạc sỹ·học·cngu·yê + ເп−1zz−п+1 + z−п n n th o i n (áu đ), ns a ihhá −п п−2 −(п−2)hvạăc ăn c ọđcạt 2n п t n(z n (z + z ) + ເ + z ) + · · · + ເ v n h n−1 = unậ n iă văl ălunậ nđạv −1 ậ n пv−2) −п п −2 −( n п u ậ (z + z ) + ເn (z + zlu uận n văl ) + · · · + ເп2 (z + z ) (п¸u п l´) l Ѵ (z − z−1 zп − ເ1z п−1z −1 + ເ2 z п−2 z−2 + · · · + (−1)пz−п n n п ) = п п−2 п ) − ເ (z + z п−1 −(п−2)) + · · · + (−1) ເ (zп(z+ z−пz−п) − ເn1(zп−2 − z−(п−2) п − ) + · · · + (−1) n,ເ n−1 (z − z−1) = п п Ѵª ɣ Σ х= ເ0s ậ lu 2п−1 Σ ເ0s пх + ເ ເ0s(п n п2 Σ − 2)х + · · · + C (áu đ), 2п−1 ເ0s пх + ເ nເ0s(п − 2)х + · · · + ເп (− 1) п2 Σ ເ0s х (п¸u п l´) n п Σ ເ0s пх − 2ເп ເ0s(п − 2)х + · · · + (−1) nເ , Σ п−1 Σ (−1) п−1 п−1 siп(п − 2)х + · · · + (−1) ເп 2 siп х siп пх − 2i ເ п 2п Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ siпп х = 2п Ь i ƚ0¡п 1.2 ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ Һ m sè f (х) = siп2ρ х (ρ l mëƚ sè ƚü iả) l mở a lữủ iĂ e0 0si Li ǥi£i Tø æпǥ ƚҺὺ eiх = ເ0s х + i siп х d¹ d пǥ suɣ гa eiх − e−iх ; siп х = 2i D0 â siп х = 2ρ suɣ гa (−1)ρ f (х) = ρ ( 1) = − 2ρ · (−1)ρ = 22ρ · = (−1)ρ 22ρ−1 iх e −e 2i −iх eiх + e−iх · Σ2ρ , 2ρ Σ · 22ρ ເ0s х = · ເ k̟ k̟ 2p ik̟х −i(2ρ−k̟)х e e k̟=0 (−1) ρ−1 Σ (−1)k̟ k̟2p.e2ik̟х−2iρх + k̟=0 ρ−1 Σ Σ 2ρ Σ ເ (−1) ເ 2p e k̟ k̟ k̟=ρ+1 (−1)k̟ເk̟2ρ(e2i(k̟−ρ)х + e−2i(k̟−ρ)х) + k̟=0 ρ−1 Σ k̟=0 ên (−1)k̟ y sỹ c học cngu ĩs th ao háọi k̟ ăcn c ạtih 2ρ hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ ận v un lu ận n văl lu ậ lu ເ ເ0s 2(k̟ − ρ)х + 2i(k̟−ρ)х ρ 2ρ + C2ρ ເρ 2ρ 22ρ ເ2ρ ρ · 22 ê f () l mở a lữủ iĂ ê e0 0si i 0Ă 1.3 Đ số {a} ợi ổ sai d Tẵ Ă sau: a) Sп = п Σ k̟=1 siп ak̟, п Σ ь) Tп = k̟=1 ເ0s ak.̟ Lίi ǥi£i a) - áu d = 2k (k Z) ẳ S = п siп a1 d - П¸u d 2k̟π (k̟ ∈ Z) ƚҺ¼ siп ƒ= Ta â d d siп aп siп = siп[a1 + (п − 1)d] siп 2Σ Σ Σ Σ − ເ0s a1+ (п − )d = ເ0s a1 + (п − )d 2 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 77 K̟Һi â ƚø ¡ ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ õa Һ» (3.29) s³ â: ɣ = ƚaп 3α, z = ƚaп 9α, х = ƚaп 27α Tø ¥ɣ d¹ d пǥ suɣ гa (х, ɣ, z) l пǥҺi»m õa (3.29) k̟Һi ѵ Һ¿ k̟Һi ɣ = ƚaп 3α, z = ƚaп 9α, х = ƚaп 27α ѵỵi α ÷ñ х¡ àпҺ ьði (3.30), (3.31) ѵ ƚaп α = a 27 (3.32) LÔi õ (3.32) 26 = k (k Z) ẳ ọa m ỗ i (3.30) ѵ (3.32) k̟Һi ѵ Һ¿ k̟Һi α = ѵỵi k k 26 uả ọa mÂ: 12 k 12 Dạ d kim a ữủ ơ, Đ Ê Ă iĂ ữủ Ă ữ ứa ảu Ãu ọa m (3.31) ê õm lÔi ằ ữ ẳ ¢ Һ0 â ƚ§ƚ £ 25 пǥҺi»m, â l k̟ π 3k̟π 9k̟π , z = ƚaп х = ƚaп , ɣ = ƚaп 26 26 26 Ь i 0Ă 3.20 iÊi ằ ữ ẳ s c х+х Σ =4 ɣ+ хɣ + ɣz + zх = 1 , k̟ = 0, ±1, , ±12 n yê u ạc họ cng ĩs th ao háọi ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ ận v un lu ận n văl lu ậ lu Σ Σ ɣ =5 z+ Σ z Lίi iÊi ê : z =0; , , z dĐu áu (, , z) l mở iằm ừa ằ ẳ( х, − ɣ, − z) пǥ l пǥҺi»m õa Һ», ả a s ẳm iằm , , z °ƚ х = ƚaп α, ɣ = ƚaп β, z = ƚaп γ (0 < α, β, γ < 900) Ki õ a õ ằ ữ ẳ Σ 1 ƚaп α + ƚaп α = ƚaп β + ƚaп β = ƚaп γ + ƚaп γ ƚaп α ƚaп β + ƚaп β ƚaп γ + ƚaп γ ƚaп α = iá ời ữ ẳ Đ ừa ằ (3.33), ƚa ÷đ ⇔ + ƚaп2 α ƚaп α Σ siп 2α siп 2β = =4 = + ƚaп2 β ƚaп β siп 2γ Σ =5 + ƚaп2 γ Σ ƚaп γ · Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (3.33) 78 Tứ ữ ẳ ừa ằ (3.33), suɣ гa ƚaп γ(ƚaп α + ƚaп β) = − ƚaп β ƚaп α ƚaп α + ƚaп β = ƚaп(α + β) ⇒ ເ0ƚ γ = − ƚaп β ƚaп α Suɣ гa D0 ƚaп π −γ Σ = ƚaп(α + β) ⇔ α + β + γ = π · = = siп 2α siп 2β siп 2γ π π < α, β, γ < ; α + β + γ = 2 п¶п 2α, 2β, 2γ l ¡ ǥâ õa mëƚ ƚam ǥi¡ â sè ьa ¤пҺ l 3, 4, D0 ƚam ǥi¡ â ьa ¤пҺ 3, 4, l ƚam ǥi¡ ѵпǥ п¶п 2γ = 900 suɣ гa γ = 450 suɣ гa z = ƚaп γ = Ta â ƚaп α 2х = n = ⇒ х = · ê sỹ c 1uy − ƚaп2α 4hạc⇔ х ọ g h cn − ĩt o ọi ƚaп β 2ɣ ns4 ca ạtihhá c ă vạ ăn ọđc = h ƚaп 2β = ⇒ ɣ = · nt nậ v iăhn ⇔ = 2 vălu ălunận nđạv 1−ɣ − ƚaп uβận n v vălunậ ƚaп 2α = l uậ n l ậ lu Ь i ƚ0¡п 3.21 T¼m m ằ ữ ẳ sau õ iằm | | + | ɣ| = х2 + ɣ2= m Tứ ữ ẳ Đ ừa ằ a |õ | 1, | ɣ| ≤ D0 â ƚa â ƚҺº °ƚ Lίi ǥi£i |х| = siп ƚ, |ɣ| = 0s Ki õ ữ ẳ Đ ừa Һ» ƚгð ƚҺ пҺ siп2 ƚ + ເ0s2 ƚ = ( lп όпǥ ѵỵi måi ƚ ∈ Г) Tø õ a õ ằ ữ ẳ  ữ ữ ѵỵi siп4 ƚ + ເ0s4 ƚ = m 2 ⇔(siп ƚ + ເ0s ƚ)2 − siп ƚ ເ0s ƚ = m ⇔1 − siп 2ƚ = m ⇔ ເ0s 4ƚ = 4m − Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 79 ằ ữ ẳ  õ iằm ki ki ữ ẳ 0s = 4m õ пǥҺi»m Suɣ гa − ≤ 4m − ≤ ⇔1 ≤ m ≤ Ь i ƚ0¡п 3.22 Tẳm a ằ sau õ iằm du Đ х2 + ɣ2+ 2х = х − ɣ + a ≤ Lίi ǥi£i Ta â х2 + ɣ2 + 2х = ⇔ (х + 1)2 + ɣ2 = D0 â ƚa °ƚ ѵỵi α ∈ [0; 2π] K̟Һi â х −ɣ + a = √ х + 1√= siп α ɣ = ເ0s α, n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu − √ 2(siп α − ເ0s α) − + a = siп α πΣ + a − ằ õ iằm du Đ ẳ si α πΣ − +a−1≤0 â пǥҺi»m duɣ пҺ§ƚ Suɣ гa 1−a −1 = ⇔ a = ( Ѵ¼ − ≤ siп α − 1−a πΣ ) ê ki a = ẳ ằ  õ iằm du Đ 3.3 Mở số dÔ Đ Ôi số iÊi iá ời l÷đпǥ ǥi¡ K̟Һi ǥi£i ¡ ь i ƚ0¡п ѵ· Һὺпǥ mi Đ Ôi số, mở số ữ Һñρ ƚa â ƚҺº Һuɣºп Һόпǥ ƚҺ пҺ ¡ ь i ƚ0¡п l÷đпǥ ǥi¡ º ǥi£i Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 79 Ѵi» lüa Һåп ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ iá ời lữủ iĂ 0 i 0Ă ÷đ х¡ àпҺ ƚҺỉпǥ qua ¡ d§u Һi»u ° ьi»ƚ õa ¡ ьi¸п â m°ƚ ƚг0пǥ ь i ƚ0¡п ѵ Ă dĐu iằu õ lÔi ữủ Ă ổ qua mià iĂ ợi Ă ổ lữủ iĂ ổ ữ Ô áu iÃu kiằ uở ia Ă â ữủ qui à dÔ + = a2(a > 0), ƚҺ¼ ƚa â ƚҺº °ƚ х = a siп α, ɣ = a ເ0s α Һ0° áu õ + + z = z, ẳ ƚa â ƚҺº °ƚ х = ƚaп α, ɣ = ƚaп β, z = ƚaп γ ѵỵi α + β + γ = k̟π Sau k̟Һi °ƚ ©п ρҺư ƚa qui ь i ƚ0¡п ьaп u ѵ· ь i ƚ0¡п l÷đпǥ ǥi¡ Ǥi£i ь i ƚ0¡п l÷đпǥ ǥi¡ , ƚø k̟¸ƚ qu£ â ƚa â k̟¸ƚ qu£ õa i 0Ă mi Đ Ôi số Ь i ƚ0¡п 3.23 ເҺ0 х2 + ɣ2 − 2х − 4ɣ + = ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ √ √ √ √ х2 − ɣ2 + 3хɣ − 2(1 + 3)х + (4 − 3)ɣ − + ≤ Lίi ǥi£i Tø i·u k̟i»п х2 + ɣ2 − 2х − 4ɣ + = 0, suɣ гa (х − 1)2 + (ɣ − 2)2 = °ƚ х − = siп α, ɣ − = ເ0s α, k̟Һi â ên √ √ √ √ sỹ c uy c họ cng− 3) ɣ − + .х − ɣ + 3хɣ − 2(1 + 3)х ĩthạ+(4 i ọ o s a h ăcn c ạtih √ hvạ văn nọđc 2 t n h ậ n viă= n u siп α − ເ0s α + siп α ເ0s α văl ălunậ nđạ √ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu = siп α − ເ0s 2α π = siп(2α − ).≤ Ѵªɣ ь i ƚ0¡п ÷đ Һὺпǥ miпҺ Ь i ƚ0¡п 3.24 ເҺ0 a > 0, ь > ѵ a + ь = ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ a) aь ≤ a ь + b) ≤ ь + a + ≤ D§u "=" х£ɣ гa k̟Һi п 0? Lίi ǥi£i Tø ǥi£ ƚҺi¸ƚ a > 0, ь > ѵ a + ь = 1, ƚҺuë [0; π] sa0 Һ0 a = ເ0s2 α ь = siп2 α Số hóa Trung tâm Học lieọu su a ỗ Ôi õ http://lrc.tnu.edu.vn/ 80 1 a) Ta â aь = siп2 α ເ0s2 α = siп22α ≤ , ƚa â i·u ρҺ£i Һὺпǥ miпҺ D§u "=" х£ɣ гa k̟Һi π α= 3π α= , siп2 2α = ⇔ ƚὺ l a=ь= · ь) Ta â a ь+1 + ь a +1 = ເ0s2 α + siп2 α + siп2 α + ເ0s2α ເ0s4 α + ເ0s2 α + siп4 α + siп2 α (1 + siп2α)(1 + ເ0s2 α) 2 siп2 α ເ0s2 α = − ≤ 1, ∀α ∈ [0; π] nα + siп2 αsỹເ0s ê c uy = c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n ăc hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu D§u "=" х£ɣ гa k̟Һi ѵ Һ¿ k̟Һi siп α ເ0s α = ƚὺ l a = 1, ь = 0, Һ0° a = 0, ь = LÔi õ si2 a + ь ь +1 a+1 − = 12 − + siп 2α 2(1 − siп2 2α) ≥ 0, = 3(2 + siп 2α) ∀α ∈ [0; π] D§u "=" х£ɣ гa k̟Һi π α = siп22α = ⇔ 3π α= , Һa ɣ a=ь= · Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 81 Ѵª ɣ D§u "=" х£ɣ гa k̟Һi ь a ь+1 a=ь= 2· + a+1 ≥ Ь i ƚ0¡п 3.25 ເҺ0 a, ь, х, ɣ > ƚҺäa m iÃu kiằ a + mi ɣ = √ √ х + ɣ “ ( a + ь)2 a ь Lίi ǥi£i Ѵ¼ a, ь, , > + = ả ỗ ɣ ѵ a 2 = siп α ên sỹ c uy c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n ăc hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu n n vl lu lu a Ôi α ∈ 0; πΣ = ເ0s2 α х Suɣ гa ɣ х х ເ0s2 α ѵ = a ƚaп2 α ь ɣ ь siп α ɣ = a ь + х+ɣ = ເ0s2 α siп2α = Ta â √ √ = a(1 + ƚaп2 α) + ь(1 + ເ0ƚ2 α) = a + ь + a ƚaп2 α + ь ເ0ƚ2 α √ ≥ a + ь + aь ເ0ƚ2 α ƚaп2 α Һaɣ х + ɣ “ ( a + ь)2 D§u "=" х£ɣ гa k̟Һi a ƚaп2 α = ь ເ0ƚ2 α = ⇔ ƚaп 4α = ь ь ƚaп2 α a Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ sa0 Һ0 82 ь ⇔ ƚaп2 α = a х ь ь ⇔ · = ɣ a a a х ⇔ ɣ = ь· i 0Ă 3.26 mi ợi mồi số ỹ iả ợi mồi a a õ n n −(1 + a ) ≤ (2a) + (1 − a ) Lίi ǥi£i п ≤ (1 + a ) Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺ п Һὺпǥ mi ữ ữ ợi ( a = ƚaп n α 2a 1+ a2 п ) +( ѵỵi −π < α < π, ƚa â 2a 1+ a2 = siп α; − a2 + a2 )п ≤ 1 − a2 = ເ0s α + a2 ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă n văl ălun n ậnđ ận v un lu ận n văl lu ậ lu K̟Һi â ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺ п mi õ dÔ si + 0s α ≤ TҺªƚ ѵªɣ, ƚa â −1 ≤ siп α ≤ ⇒ − siп2 α ≤ siпп α si2 , ợi Tữ ỹ ợi ∀п ≥ D0 â −1 ≤ siпп α + ເ0sп α ≤ 1, ь i ƚ0¡п ÷đ Һὺпǥ miпҺ i 0Ă 3.27 mi ợi mồi , ɣ ƚa â −1 ≤ ເ0s α ≤ ⇒ − ເ0s2 α ≤ ເ0sп α ≤ ເ0s2 α, (х2 − ɣ2)(1 − х2ɣ2) ≤ · − ≤ (1 + х2)2(1 + ɣ2)2 4 π π х = ƚaп α, ɣ = ƚaп β ѵỵi − < α, β < · K̟Һi 2 °ƚ ƚҺὺ п mi õ dÔ Li iÊi õ, Đ (ƚaп2 α − ƚaп2 β)(1 − ƚaп2α ƚaп2 β) ≤ · − ≤ (1 + ƚaп2 α)2(1 + ƚaп2 β)2 4 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 83 TҺªƚ ѵªɣ °ƚ A= (ƚaп2 α ƚaп2 β)(1 ƚaп2 α ƚaп2 β) − − · 2 (1 + ƚaп α) (1 + ƚaп2 β)2 Ta â siп2α ເ0s2 β siп2 β ເ0s2 α ເ0s2 α ເ0s2 β − siп2 α siп2 β − · ເ0s2 α ເ0s2 β ເ0s2 α ເ0s2 β A = ເ0s4 α ເ0s4 β = siп(α − β) siп(α + β) ເ0s(α + β) ເ0s(α − β) = siп[2(α − β)] siп[2(α + β)] D0 â A= (ƚaп2 α − ƚaп2 β)(1 − ƚaп2α ƚaп2 β) ≤ · − ≤ 2 (1 + ƚaп α)2(1 + ƚaп β)2 4 k̟Һi ѵ Һ¿ k̟Һi Һ0° ên sỹ c uy c ọ g siп[2(α − β)] = nsĩthạcao hihháọi cn siп[2(α − β)] = −1 ạt ạăc Һ0° siп[2(α + β)] = ăl1unậnthậvn văạnviăhnọđc siп[2(α + β)] = −1 v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺ¯пǥ Ô 2( ) = 2( − β) = − π 2(α + β) = , −2 Һ0 ° 2(α + β) = π Һaɣ α = ± , β = ƚὺ l х = ±1, ɣ = A = − k̟Һi ѵ Һ¿ k̟Һi Һ0° siп[2(α − )] = si[2( + )] = Ô α = 0, β = ± Һ0 ° siп[2(α − β)] = −1 siп[2(α + β)] = ƚὺ l х = 0, ɣ = ±1 π Ь i ƚ0¡п 3.28 ເҺ0 ¡ sè х, ɣ, z ƚҺäa m¢п < х, ɣ, z < ѵ хɣ + ɣz + zх = 84 S0á Һ0ὺa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һ0ïເ liệu Һƚƚρ://lгເ.ƚпu.edu.ѵп/ n sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 84 ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ х − х2 Lίi ǥi£i °ƚ ɣ − ɣ2 + − z2 ≥ · ɣ z + + · − х2 − ɣ2 − z2 â ƚҺº ữủ , , sa0 A= ẳ < х, ɣ, z < п¶п + √ 3 z х Һ0 х = ƚaп α, ɣ = ƚaп β, z = ƚaп γ ѵỵi < α, β, γ < π 4· Ta â хɣ + ɣz + zх = ⇔ ƚaп α ƚaп β + ƚaп β ƚaп γ + ƚaп γ ƚaп α = ⇔ ƚaп β(ƚaп α + ƚaп γ) = − ƚaп α ƚaп γ Ѵ¼ < α, β, γ < п¶п ƚaп α, ƚaп β, ƚaп γ > suɣ гa π ƚaп β(ƚaп α + ƚaп γ) > ⇒ 1ên − ƚaп α ƚaп γ ƒ= D0 â ƚaп β( y sỹ c học cngu ĩs th ao háọi ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ ận v un lu ận n văl lu ậ lu ƚaп α + ƚaп γ ) = ⇔ ƚaп β ƚaп(α + γ) = π π àпҺ ẳ < , < ả < + γ < ) − ƚaп α ƚaп γ ( ¥ɣ ƚaп(α + γ) Һ0 п ƚ0 п х¡ Tø ƚaп β ƚaп(α + γ) = 1, suɣ гa siп β siп(α + γ) = ເ0s β ເ0s(α + γ) ⇔ ເ0s(α + β + γ) = π ⇔α+β+γ= · Ta â 2A = M°ƚ k̟Һ¡ α + β + γ = π 2х + 2ɣ + 2z − ɣ2 − z2 − х2 = ƚaп 2α + ƚaп 2β + ƚaп 2γ suɣ гa ƚaп(2α + 2β) = ƚaп(π − 2γ) π ເ пǥ ѵ¼ < α, β, γ < suɣ гa ƚaп 2α, ƚaп 2β, ƚaп 2γ â ƚaп 2α + ƚaп 2β = − ƚaп 2γ, − ƚaп 2α ƚaп 2β S0á Һ0ὺa ьởi Tгuпǥ aõm 0ù lieọu ắa ả ://l.u.edu./ 85 ữ ữ ợi ƚaп 2α + ƚaп 2β + ƚaп 2γ = ƚaп a a Dạ Đ a 2, a 2, a l Ă số ả e0 Đ ¯пǥ ƚҺὺ AM - ǤM ƚa â ƚaп 2α + ƚaп 2β + ƚaп 2γ ≥ √ ƚaп 2α ƚaп 2β ƚaп 2γ Suɣ гa √ ƚaп 2α + ƚaп 2β + ƚaп 2γ ≥2 3 ƚaп 2α + ƚaп 2β + ƚaп 2γ ⇔ (ƚaп 2α + ƚaп 2β + ƚaп 2γ) ≥ 27 √ ⇔ ƚaп 2α + ƚaп 2β + ƚaп 2γ ≥ 3 3 ê A , Đ ¯пǥ ƚҺὺ ÷đ Һὺпǥ miпҺ Ь i ƚ0¡п 3.29 ເҺ0 ố số a1, a2, a3, a4 mi ƚг0пǥ ên ai, a j (i ƒ= j) sa0 Һ0 ố số Đ a0 i ữủ số sỹ c uy c ọ g −cnasĩthjạcao htihháọi cn √ ă ≤ + + nta hvạ jvăn+ ọđc2aiaj < − n h unậ n viă Lίi ǥi£i °ƚ văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ьi = + (i = 1, 2, 3, 4) D0 > п¶п ьi > °ƚ ьi − ƚaп αi ƚҺ¼ π π , (i = 1, 2, 3, 4) < αi < π πΣ ữ ê k 0Ê ; õ số 1, α2, α3, ѵªɣ α4 , αi, αj sa0 π πΣ π Һ0 − = ≤ αj − αi < 12 Suɣ гa Êi ỗ Ôi số a ƚaп α j i < − ≤ ƚaп(α − α ) < ƚaп = − ⇔ ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ π 86 j i 12 + ƚaп αi ƚaп αj n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 87 Һaɣ √ ьj − ьi < − ≤ 1+ ьiьj Σ Σ 1 1+ − 1+ √ aj Σ ⇔0≤ Σ