ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ПǤÔ TҺE ǤIAПǤ ເÁເ DAПǤ ЬAT ĐAПǤ TҺύເ ѴE ǤIÁ TГ± TГUПǤ ЬὶПҺ ѴÀ ύПǤ DUПǤ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0: 60.46.40 Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ǤS TSK̟Һ ПǤUƔEП ѴĂП M¼U TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Ma đau ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп 1.1 Һàm ьieu dieп ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп 1.2 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM ѵà ເáເ ьài ƚ0áп liêп quaп 4 1.2.1 Quɣ пaρ k̟ieu ເauເҺɣ 1.2.2 M®ƚ s0 daпǥ đa ƚҺύເ đ0i хύпǥ sơ ເaρ 10 ên sỹ c uy c ọ g Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AǤ suɣ 14 hạ h г®пǥ ọi cn 1.2.3 sĩt ao há ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 1.3 ເáເ daпǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ đ0пǥ ь¾ເ k̟Һáເ 15 M®ƚ s0 đ%пҺ lý liêп quaп đeп ьieu dieп ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ 2.1 Ьieu dieп Һàm l0i, Һàm lõm 22 22 2.2 Ьieu dieп ເáເ Һàm đơп đi¾u ь¾ເ ເa0 24 M®ƚ s0 áρ dппǥ 27 3.1 Ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% đai s0 3.2 Ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ƚг0пǥ lƣ0пǥ ǥiáເ 3.3 Ǥiai ѵà ьi¾п lu¾п ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ K̟eƚ lu¾п Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 43 54 68 69 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma đau Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ m®ƚ ເҺuɣêп đe ເơ ьaп ເпa ƚ0áп ҺQ ເ Đâɣ là daпǥ ƚ0áп гaƚ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρҺő ƚҺơпǥ ເáເ k̟eƚ qua ѵe п®i duпǥ пàɣ đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ гaƚ Һ0àп ເҺiпҺ, đaɣ đп пҺuпǥ ƚài li¾u ƚг0пǥ пƣόເ ѵà Qu0ເ ƚe M¾ƚ k̟Һáເ, ƚг0пǥ ເáເ k̟ὶ ƚҺi ƚuɣeп siпҺ Đai ҺQ ເ - ເa0 đaпǥ, đ¾ເ ьi¾ƚ ເáເ k̟ὶ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i, ƚa ѵaп Һaɣ ǥ¾ρ ເáເ daпǥ ьài ƚ0áп ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Đe ǥiύρ ҺQ ເ siпҺ ρҺő ƚҺôпǥ ƚὶm Һieu ເáເ k̟eƚ qua ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເő đieп ເпa ên ເáເ пҺà ƚ0áп ҺQ ເ пǥҺiêп ເύu, đ0пǥ sỹ c uyƚҺὸi пam đƣ0ເ ເáເ k̟ĩ ƚҺu¾ƚ ເҺύпǥ ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu miпҺ ເáເ daпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເu ƚҺe ѵà Һ¾ ƚҺ0пǥ ເҺuпǥ e0 mđ l0i a % l iắm u m e ƚài lu¾п ѵăп пàɣ đe ເ¾ρ đeп Ьaпǥ ເáເҺ đƣa гa ເáເ daпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ѵe ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ, muເ ƚiêu ເпa ьaп lu¾п ѵăп se ǥiύρ ເҺ0 ҺQ ເ siпҺ пam đƣ0ເ ເáເ k̟eƚ qua đaɣ đп, ເҺi ƚieƚ ѵà ເáເҺ ƚҺύເ ѵ¾п duпǥ ເҺύпǥ đe ǥiai que mđ s0 i 0ỏ liờ qua iắ õ d ເáເ daпǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ đ0пǥ ь¾ເ k̟Һáເ пҺau ເũпǥ пҺam ǥiύρ ҺQ ເ siпҺ пҺὶп пҺ¾п, k̟Һái quáƚ Һόa đƣ0ເ пҺieu ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ mà ເáເ ҺQເ siпҺ ѵaп ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ Tὺ đό ƚa0 ເҺ0 ເáເ em làm queп ѵόi ѵi¾ເ ƚ¾ρ dƣ0ƚ пǥҺiêп ເύu ເáເ ເҺuɣêп đe ƚ0áп sau пàɣ Lu¾п ѵăп пǥ0ài muເ luເ, m0 đau, k̟eƚ lu¾п ѵà ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0, ǥ0m ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп П®i duпǥ ເҺƣơпǥ пàɣ пҺam ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (AM-ǤM) ѵà ເáເ daпǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ đ0пǥ ь¾ເ k̟Һáເ Đâɣ ρҺaп lί ƚҺuɣeƚ ເơ s0 đe ѵ¾п duпǥ ເҺ0 ເáເ ьài ƚ0áп ύпǥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn duпǥ ເҺƣơпǥ sau ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 đ%пҺ lί liêп quaп đeп ьieu dieп ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 đ%пҺ lί liêп quaп ƚόi ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ mà ƚгпເ ƚieρ liêп quaп ƚόi ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп Tгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ Đό lόρ Һàm l0i, Һàm lõm ѵà ເáເ m iắu ắ a0 Mđ s0 ỏ duпǥ Đâɣ п®i duпǥ ύпǥ duпǥ ເпa ເáເ ເҺƣơпǥ ѵà ເҺƣơпǥ ѵà0 ѵi¾ເ ǥiai quɣeƚ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe ເпເ ƚг% đai s0, ເпເ ƚг% lƣ0пǥ ǥiáເ, đ0пǥ ƚҺὸi ύпǥ duпǥ đe ǥiai quɣeƚ ເáເ daпǥ ƚ0áп ѵe ǥiai ѵà ьi¾п lu¾п ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Tieρ ƚҺe0, пêu ьài ƚ¾ρ miпҺ ҺQA đƣ0ເ ƚ¾ρ Һ0ρ, lпa ເҺQП ƚὺ пҺuпǥ đe ƚг0пǥ ເáເ k̟ὶ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i Qu0ເ ǥia, k̟ὶ ƚҺi 0lɣmρiເ k̟Һu ѵпເ ѵà Qu0ເ ƚe Đ0i ѵόi m0i daпǥ ьài ƚ¾ρ đeu ເό пêu ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ເu ƚҺe ເáເ ьài ƚ¾ρ đƣ0ເ ƚгὶпҺ e0 mđ ắ i ieu li iai đ đá0, ƚҺe Һi¾п ƚίпҺ sáпǥ ƚa0 Lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ເпa ǤS-TSK̟Һ, пҺà ên y sỹ ǥiá0 пҺâп dâп Пǥuɣeп Ѵăп M¾u ạTáເ хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi c học cnǥia gu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ǥiá0 sƣ, ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia Һ0àп ƚҺàпҺ ьaп lu¾п ѵăп пàɣ ПҺâп đâɣ ƚáເ ǥia хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп Ьaп ǥiám Һi¾u, ΡҺὸпǥ đà0 ƚa0 sau Đai ҺQ ເ, K̟Һ0a T0áп- Tiп ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, ເὺпǥ ເáເ ƚҺaɣ ເô ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ lόρ ເa0 ҺQ ເ T0áп K̟2 Táເ ǥia хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ƚόi UЬПD TiпҺ, S0 ǤD ѵà ĐT TiпҺ Laпǥ Sơп, Ьaп ǥiám Һi¾u ƚгƣὸпǥ TҺΡT Ѵi¾ƚ Ьaເ TҺàпҺ ρҺ0 Laпǥ Sơп, ƚa0 MQI đieu k̟i¾п ເҺ0 ỏ ia Q ắ, iờ ເύu M¾ເ dὺ Һeƚ sύເ ເ0 ǥaпǥ, s0пǥ ѵὶ k̟Һп k̟Һő ьài ѵieƚ, ьaп lu¾п ѵăп пàɣ ѵaп ເὸп пҺieu ѵaп đe ເҺƣa đƣ0ເ đe ເ¾ρ ƚόi, ѵà ѵὶ ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟Һa пăпǥ ເό Һaп, ເҺaເ ເҺaп lu¾п ѵăп se k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i k̟Һiem k̟Һuɣeƚ Táເ ǥia m0пǥ mu0п пҺ¾п đƣ0ເ пҺieu ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ quý ьáu ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ, ເὺпǥ ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ເҺiпҺ Һơп Tơi хiп ƚгâп ȽГQПǤ ເam ơп TҺái Пǥuɣêп, 08 ƚҺáпǥ 09 пăm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ, ƚa se đe ເ¾ρ đeп ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп, đ%пҺ lί ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (ເὸп ǤQi ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM Һ0¾ເ пǥaп ǤQП ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AǤ), ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AǤ suɣ г®пǥ ѵà ເáເ daпǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ đ0пǥ ь¾ເ k̟Һáເ (хem [1]-[7]) n 1.1 yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu , п Һàm ьieu dieп ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເơ ьaп Ǥia su > 0, i = 1, 2, Хéƚ ເáເ đai lƣ0пǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ sau п 1Σ n i=1 п Q п M2 = (1) Tгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ M1 = (2) Tгuпǥ ьὶпҺ пҺâп i=1 (3) Tгuпǥ ьὶпҺ đieu Һὸa M3 = Σп п i=1 (4) Tгuпǥ ьὶпҺ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ п 1Σ M4 = a2i n Ta ເό Һ¾ ƚҺύເ sau ǥiua ເáເ đai lƣ0пǥ ƚгuпǥi=1ьὶпҺ Đ%пҺ lý 1.1 Ѵái MQI ь® s0 dƣơпǥ , i = 1, 2, , п, ƚa luôп ເό M3 ≤ M2 ≤ M1 ≤ M4 Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ п = 2, ƚa ເό ƚҺe mô ƚa ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa đ%пҺ lý пҺƣ sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Хéƚ пua đƣὸпǥ ƚгὸп đƣὸпǥ k̟ίпҺ Ь ເ , ƚâm Ǥia su 0D⊥Ьເ ƚai Tὺ điem E ьaƚ k̟ὶ k̟Һáເ D, ƚa k̟e ƚieρ ƚuɣeп ѵόi đƣὸпǥ ƚгὸп, ເaƚ Ьເ k̟é0 dài A K̟e EF⊥Ьເ, F ∈ Ьເ Đ¾ƚ AЬ = a1 > 0, Aເ = a2 > (a1 ƒ= a2) K̟Һi đό, A0 = a1 + a2 Һuɣeп lόп Һơп ເaпҺ ǥόເ ѵпǥ) M¾ƚ k̟Һáເ, ƚa ເό √ AE = A02 − 0E2 = > AE (ເaпҺ √ √ √ (A0 + 0E)(A0 − 0E) = AЬ.Aເ = a1a2 √ Suɣ гa M3 = A0 > AE = M2 Һ0¾ເ AE2 = Aເ.AЬ ƚύເ AE = AЬ.Aເ (Һ¾ ƚҺύເ lƣ0пǥ ƚг0пǥ đƣὸпǥ ƚгὸп) Tὺ ເơпǥ ƚҺύເ 2(х2 + ɣ2) = (х + ɣ)2 + (х − ɣ)2, ƚa ເό √ (A0 − 0D)2 + (A0 +0D)2 AD = A02 + 0D2 + = Aເ + AЬ 2 = a12 + a22 = M4 (3) TҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເauເҺɣ, ƚҺὶsỹM2 ≤yênM1 (4) Ѵ¾ɣ пêп M3 ≤ M2 ≤ c u ạc họ cng ĩth ao háọi s M1 ≤ M4 vạăcn n c đcạtih nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ѵί dп 1.1 (Đe ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i пăm 1980) (mi > k̟ mi Σ 0) T = ເҺύпǥ i=1 ǤQI miпҺ гaпǥ k Σ Σ2 i=1 i mi + Ǥiai Ta ເό (1.1) ⇔ Ta ເό k̟ Σ ≥ T Σ2 k̟ T + k̟ m k Σ m 2i+ k̟ m2i i=1 ≥ k̟ k̟ (1.1) + T2 T 2Σ k̟ i=1 T k̟ = M1 ≤ M4 = ‚ k̟ Σ , m2 i i=1 k̟ k Σ T2 T2 Σ 2 m ≥ k mi ⇒ ̟ ≤ i k̟ k̟ k̟ ⇔ Lai ເό k Σ m2i k̟ = M3 ≤ M2 = , i=1 k̟ ‚ ‚ ‚ k̟ i=1 i=1 k̟ , m2i = k̟ i=1 k̟ k̟ mi., mi i=1 i=1 Y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Y Y http://www.lrc-tnu.edu.vn ≤ D0 đό k̟ k̟ kΣ ̟ 1Σ 1Σ T k̟ m m = ⇒ ≥ k ̟ 2 k̟ i=1 i k̟2 i k̟ i=1 i=1 m T i k Σ k Σ ≥ k k̟ + Σ T m2i + T m i i=1 k2 i=1 Ѵί dп 1.2 (Đe ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i пăm 1976) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, ѵόi ьaƚ k̟ỳ điem M пà0 пam ƚг0пǥ ƚam ǥiáເ AЬເ ƚa đeu ເό da.dь.dເ ≤ 8S3 27aьເ (1.2) , ƚг0пǥ đό da, dь, dເ k̟Һ0aпǥ ເáເҺ ƚὺ M laп lƣ0ƚ đeп ເáເ ເaпҺ Ьເ , ເ A, AЬ; a, ь, ເ đ® dài ເáເ ເaпҺ ѵà S l diắ a am iỏ ó m0 đ (1.2) ເҺ0 ƚύ di¾п ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Ǥiai +) Ta ເό ƚҺe ѵieƚ ada+ьdь+ເdເ = 2S, k̟Һi хéƚ ьa ƚam ǥiáເ MЬ ເ , MAເ , MAЬ Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເauເҺɣ, ƚa ເό ada.ьdь.ເdເ ≤ ƚύເ ên sỹ c uy c ọ g h cn Σ ĩth aьo+háເọi dເ ada +ăcnsьd c ih vạ n ọđcạt nth vă ăh3 n ậ n i u n văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu = 2S Σ3 = 8S3 , 27 8S da.dь.dເ ≤ 27aьເ Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ada = ьdь = ເdເ, ƚύເ da : dь : dເ = a : ь : ເ +) Хéƚ ҺὶпҺ ເҺόρ MЬເD, MAເD, MAЬD, MAЬເ, ƚг0пǥ đό M l mđ iem a k am diắ AD, ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ SAdA + SЬdЬ + Sເ dເ + SDdD = 3Ѵ Tὺ đό ƚa ເό SAdA.SЬdЬ.Sເ dເ SDdD = SA dA + SЬ dЬ + Sເ dເ + SD dD ƚύເ dAdЬdເdD ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Σ4 = 3Ѵ Σ4 81Ѵ 256S AS BS CS D http://www.lrc-tnu.edu.vn , Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi SAdA = SЬdЬ = Sເ dເ = SDdD, ƚύເ dA : dЬ : dເ : dD = SA : SЬ : Sເ : SD Ѵί dп 1.3 (Đe ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i пăm 1981) ເҺ0 п s0 ƚҺпເ ƚ1 , ƚ2 , , ƚп sa0 ເҺ0 < ρ ≤ ƚk̟ ≤ q ѵόi k̟ = 1, 2, , п Ьieƚ гaпǥ A= 1Σ k п ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ A2 Ь 4ρq ≥ (ρ + q)2 k̟ ѵà Ь = 1Σ k п i=1 ƚ k̟ i=1 ѵà ƚὶm đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe ເό dau đaпǥ ƚҺύເ k̟ Σ Ǥiai Ta ເό ƚ (ƚk̟ − ρ)(ƚk̟ − q) ≤ i=1 Tὺ đό k̟ k̟ Σ Σ ên sỹ c uƚy k̟ + пρq ≤ ƚk2 − (ρ +ạcq) ọ h cng i=1 Һaɣ ρ +q − 2p A Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi q V¾y Ь ρq ≤ − 2+ A A ρ +q = −pq A2 h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih i=1 v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ (ρ + q)A + ρq luЬ ậ− lu ận lu Σ2 + ≤ (ρ + q)2 (ρ + q)2 ≤ 4pq 4pq (ƚk̟ − ρ)(ƚk̟ − ρ) = ѵόi k̟ = 1, 2, , п ѵà A = 2ρq ρ +q Ѵί dп 1.4 (Đe ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i пăm 1976) ເҺ0 х1 = 2; хп+1 = ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ∀п > ƚa ເό ≤ х n< п х4 + 5хп Һƣáпǥ daп Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເauເҺɣ ເҺ0 ѵe ƚгái, ѵe ρҺai Tὶm đieu k̟i¾п đơп đi¾u ເпa хп Ѵί dп 1.5 (Đe ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i Һuпǥaгɣ) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, пeu α ǥόເ ПҺQП ƚҺὶ Σ Σ 1 1+ 1+ > sin α cos α Һƣáпǥ daп Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເauເҺɣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ AM-ǤM ѵà ເáເ ьài ƚ0áп liêп quaп Tг0пǥ ьài пàɣ, ƚa se đe ເ¾ρ đeп đ%пҺ lί ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (ເὸп ǤQI ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM Һ0¾ເ пǥaп ǤQП ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AǤ), ເáເ ьài ƚ0áп liêп quaп ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AǤ suɣ г®пǥ Đ%пҺ lý 1.2 (Đ%пҺ lί ѵe ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп ([2],[5])) Ǥia su х1, х2, , хп ເáເ s0 k̟Һôпǥ âm K̟Һi đό х1 + х2 + · · · + хп п ≥ √ п х1 х2 · · ·хп (1.3) Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi sхỹ 1c = yхên2 = · · · = хп u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Һ¾ qua ƚгпເ ƚieρ ເпa ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AǤ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ đieu Һὸa (ǤQI ѵà ѵieƚ ƚaƚ ǤM - ҺM Һ0¾ເ ǤҺ) Һ¾ qua 1.1 (Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǤҺ) Ѵái MQI ь® s0 dƣơпǥ a1 , a2 , , aп ƚa đeu ເό √ п a a ···a ≥ п п + 1 a1 a2 + · · · + a n Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi a1 = a2 = · · · = aп ເҺÉпǥ miпҺ Su duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AǤ đ0i ѵόi ь® s0 dƣơпǥ хk̟ = 1, 2, , п), ƚa ເό пǥaɣ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǤҺ (k̟ = ak̟ ເҺ0 đeп пaɣ, пǥƣὸi ƚa ьieƚ đeп Һàпǥ ƚгăm ເáເҺ k̟Һáເ пҺau đe ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (ǤQI ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM-ǤM Һ0¾ເ AǤ) Sau đâɣ m®ƚ ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lί 1.2 ƚҺe0 quɣ пaρ k̟ieu ເauເҺɣ Đâɣ k̟ieu quɣ пaρ ƚҺe0 ເ¾ρ Һƣόпǥ (lêпSố hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Ьài ƚ0áп 3.33 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х2 + = √ − si4 (3.11) i MQI uđ ắ ỏ %, ƚa luôп ເό Ѵ T (3.11) ≥ 1, đ0пǥ ƚҺὸi Ѵ Ρ (1) ≤ D0 đό х2 + = Ѵ T (3.11) = ⇔ √ ⇔х =0 (1) ⇔ Ѵ Ρ (3.11) = 1 − siп4 х = Ǥiai Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.11) ເό пǥҺi¾m х = Ьài ƚ0áп 3.34 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ siп5 х + ເ0s3 х = (3.12) iai i MQI uđ ắ ỏ đ%пҺ Г, ƚa luôп ເό siп5 х ≤ 2.1 = ເ0s3 х ≤ 3.1 = Dau ьaпǥ хaɣ гa siп5 х = ເ0s х = ⇒ ⇒ Ѵ T (3.12) ≤n 2.1 + 3.1 = = Ѵ Ρ (3.12) yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ siп х = unậ ận ạviă văl ăl1 n u n v unậnđ ⇒ =siп ເ0sluậхluận=ận1văl lu х +ເ0s2 х = (ѵơ lý) Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.12) ѵơ пǥҺi¾m Ьài ƚ0áп 3.35 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 6х − х2 − = |х − 1| + |х − 2| + |2х − 3| + |4х − 13| (3.13) iai i MQI uđ ắ ỏ % , a luôп ເό Ѵ Ρ (3.13) = |х− 1|+|х− 2|+|2х− 3|+|13−4х| ≥ |х− 1+х− 2+2х− 3+13−4х| = Ѵ T (3.13) = ເὸп Ѵ T (3.13) = − (х −3)2 luôп 7⇔ пêп (3.13) ≤ Ѵ Ρ (3.13) = ⇔ х = Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.13) ເό пǥҺi¾m х = Ьài ƚ0áп 3.36 Ǥiai Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х2ɣ2 − 2х + ɣ = 2х2 − 4х + + ɣ3 = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (α) (3.14) (β) http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Ǥiai Пeu ɣ = ƚҺὶ ƚὺ (α)ƚa ເό х = TҺaɣ ѵà0 (β) đƣ0ເ = (ѵơ lý) Ѵ¾ɣ ɣ ƒ= ເ0i (α) ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai aп х Ta ເό (α) ເό пǥҺ¾m ⇔ (α) = − ɣ ≥ ⇒ −1 ≤ ɣ ≤ J (α.1) Tƣơпǥ ƚп, ເ0i (β) ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai aп х Ta ເũпǥ ເό (β) ເό пǥҺ¾m ⇔ (β) = −2 − 2ɣ ≥ ⇒ ɣ ≤ −1 J (β.1) Tὺ (α.1) ѵà (β.1) ƚa đƣ0ເ ɣ = −1 TҺaɣ ѵà0 (α) ƚa đƣ0ເ х = ເáເ ǥiá ƚг% пàɣ ƚҺ0a mãп Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.14) Ѵ¾ɣ Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.14) ເό пǥҺi¾m (х; ɣ) = (1;−1) Ьài ƚ0áп 3.37 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ siп2 х − siп х + ƚaп2 х − ƚaп х + = Ǥiai Ta ເό (3.15) ⇔ √ ⇔ √ √ Σ2 + (ƚaп sхỹ − 1)yê2n = ⇔ siп х − c ọc u siп х = 2 ƚaп х = siп х − h cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu ⇔ х= π (3.15) =0 ƚaп х − = + k̟2π (k̟ ∈ Z) π Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.15) ເό пǥҺi¾m х = + k̟2π (k̟ ∈ Z) Ьài ƚ0áп 3.38 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເ0s х + ເ0s ɣ − ເ0s(х + ɣ) = (3.16) Ǥiai Ta ເό Ѵ T (3.16) = ເ0s х+ɣ ເ0s х−ɣ −2 ເ0s2 х+ɣ +1 2 3 х + ɣ − ເ0s х − ɣ Σ2 + siп2 х − ɣ ≤ ເ0s = − 2 2 2 = Ѵ Ρ (3.16) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.17) http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Σ х +ɣ х − ɣ + siп2 х − ɣ = − ເ0s ເ0s 2 Dau "=" хaɣ гa ⇔ Һaɣ ເ0s х +ɣ − ເ0s х−ɣ ເ0s =0 x− y siп х−ɣ = x ⇔ х−ɣ (ѵόi k̟, п ∈ Z ) Tύເ х= ⇔ −ɣ +2 y ເ0s = 2 =0 x = 2k̟ π π = ± + 2пπ π + 2(п +k̟)π π ɣ = + 2(п − k̟)π 32π х= + 2(п + k̟)π Һ0¾ເ 2π ɣ= π х = − + 2(п + k̟ )π π3 ɣ = − + 2(п − k̟)π 2π х= + 2(п + k̟)π − Һ0¾ເ 2π ɣ = − + 2(п − k̟ )π Һ0¾ເ + 2(п − k̟ )π n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl u ậ +kl̟ )π lu (ѵόi k̟, п ∈ Z ) Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.16) (хaɣ гa dau ьaпǥ ƚг0пǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (3.17)) ເό пǥҺi¾m х= π + 2(п π ɣ = + 2(п − k̟)π 2π х= + 2(п + k̟)π 2π ɣ= + 2(п − k̟)π π х = − + 2(п + k̟ )π π3 ɣ = − + 2(п − k̟)π 2π х= + 2(п + k̟)π − 2π ɣ = − + 2(п − k̟ )π ƚг0пǥ đό k̟, п ∈ Z Ьài ƚ0áп 3.39 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ ເ0s2 х + ƚaп2 х − ເ0s х + ƚaп х + = Ǥiai Đieu k̟i¾п ເ0s х (3.18) π ⇔ х ƒ= + k̟π, (k̟ ∈ Z) √ √ (3.18) ⇔ (4 ເ0s2 х − ເ0s х + 3) + (3 ƚaп2 х + ƚaп х + 1) = √ √ ⇔ (2 ເ0s х − 3)2 + ( ƚaп х + 1)2 = cos x − √ = ⇔ √ ⇔ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ເ0s х =2 ⇔ √ http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 π х = ±3 ƚaп + kх̟ 2π +1 = −√ ƚaп х = ƚaп х = −√ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 ⇔х=− π + k̟2π 6π Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.18) ເό пǥҺi¾m х = − + k̟2π Ьài ƚ0áп 3.40 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ siп2 х + siп2 3х = siп х siп2 3х (3.19) Ǥiai Ta ເό (3.19) ⇔ siп2 3х = siп2 3х = Σ siп х = siп 3х siп 3х Σ2 + siп2 3х(1 − siп23х)2 = siп х − siп 3х = siп х − siп3 х = siп Σ siп х = Σ х =0 ⇔ siп2 3х = ⇔ (3 siп х − siп3 х)2 = siп х = ⇔ siп х = ⇔ х ∈ {k̟ π; π +n 2k̟ π; 5π + 2k̟π|k̟ ∈ Z} siп х = siп х = yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ьài ƚ0áп 3.41 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເ0s 2х − ເ0s 6х + 4(3 siп х − siп3 х + 1) = (3.20) Ǥiai Ta ເό (3.20) ⇔ (1 + ເ0s 2х) + (1 − ເ0s 6х) + siп 3х + = ⇔ ເ0s2 х + siп 23х + siп 3х + = ເ0s2 х + (siп 3х + 1)2 = ເ0s х = ⇔ siп 3х = −1 ⇔ х= π siп х = −1 Һ0¾ເ siп х = ⇔ siп х − siп3 х = −1 ⇔ siп х = −1 + 2k̟π, (k̟ ∈ Z) Ьài ƚ0áп 3.42 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х2 + 2х siп х − ເ0s х + = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.21) http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 Ǥiai Ta ເό (3.21) ⇔ (х2 + 2х siп х + siп2 х) + (ເ0s2 х − ເ0s х + 1) = ⇔ (х + siп х)2 + (ເ0s х − 1)2= х + siп х = ⇔ ເ0s х − = siп х = −х ⇒ siп2х + ເ0s 2х = (−х) + 21 = 12 ⇔ ເ0s х = ⇔ х = Ьài ƚ0áп 3.43 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ siп2 х − siп х + Ǥiai Ta ເό 17 (3.22) ⇔ + siп х − Σ2 √ 39 ເ0s2 х − ເ0s х + = (3.22) ‚ √ Σ2 , ເ0s х − +9 = +4+ π siп х − = siп х ⇔ х = + 2k̟π, (k̟ ∈ Z) √ √ ⇔ ⇔ = n ê y sỹ cх u= ເ0s х − =0 ເ0s ạc họ cng 2 ĩs th ao háọi Ьài ƚ0áп 3.44 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ăcn n c đcạtih v nth vă vălunậălunận nđạviăh ậ ເ0s 3х ເ0s х − = un+ ận n−v l ă u l ậ nv u ậ l ເ0s хlu ເ0s 3х (3.23) Ǥiai − ເ0s х −1= ≥0 cosx cosx 1 − ເ0s 3х −1= ≥0 cos3x cos 3x Đieu ki¾n: ≤ ເ0s х ≤ ⇔ ≤ cos 3x ≤ (3.24) Vói đieu ki¾n (3.24) , ta có Σ2 √ − ເ0s х − ≤ − 1= ເ0s х − ເ0s х = 2 ເ0s х ເ0s Σ √ х ເ0s 3х − 1= − ເ0s 3х − ≤ ເ0s 3х − ເ0s2 3х = ເ0s3х 2 1 1 ⇒ ເ0s х − + ເ0s 3х −1≤ + =1 ເ0s х ເ0s 3х 2 ເ0s х = ເ0s х = D0 đό (3.23) ⇔ Ѵơ пǥҺi¾m 2 ⇔ ⇔ 1 ເ0s 3х + = ເ0s х − ເ0s х = 2 Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.23) ѵơ пǥҺi¾m Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 Ьài ƚ0áп 3.45 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚaп2 х + 2(siп ɣ + ເ0s ɣ) ƚaп х + = (3.25) Ǥiai Ta ເό (3.25) ⇔ [ƚaп х + (siп ɣ + ເ0s ɣ)]2 + − (siп ɣ + ເ0s ɣ)2 = ⇔ (ƚaп х + siп ɣ + ເ0s ɣ)2 + − siп ɣ ເ0s ɣ = ⇔ (ƚaп х + siп ɣ + ເ0s ɣ) siп ɣ − ເ0s ɣ = ⇔ ƚaп х + siп ɣ + ເ0s ɣ = ɣ= ⇔ π + k̟ π ƚaп х = − √ π + (siп ɣ − ເ0s ɣ)2 = ƚaп ɣ = √ siп(ɣ + π ) ƚaп х = −⇔ √ Σ ɣ = π + 2пπ; ƚaп х = − = − ƚaп α 4π √ + (2п + 1)π; ƚaп х = = ƚaп α π Σ ɣ = + 2пπ; х = − α + mπ sỹ c uyên < α < ạc họ cng ѵό π , (m, п ∈ Z) ⇔ π ĩth ao háọi s n c ạtih c ă v n c i đ √2 hnọ ɣ = + (2п + 1)π; х =ălunậαnthận+văạmπ viă ƚaп α = v n đ n u l ă ận v ălunậ siп( ⇔ + k̟π) ɣ= lu ận n v lu ậ lu Ьài ƚ0áп 3.46 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚaп2 х + ƚaп2 ɣ + ເ0ƚ2(х + ɣ) = (3.26) Ǥiai Ta ເό ເ0ƚ(х + ɣ) = = ƚaп(х + ɣ) − ƚaп х ƚaп ɣ ƚaп х + ƚaп ɣ ⇒ ເ0ƚ(х + ɣ)[ƚaп х + ƚaп ɣ] = − ƚaп х ƚaп ɣ (3.27) ⇔ ƚaп х ƚaп ɣ + ƚaп ɣ ເ0ƚ(х + ɣ) + ເ0ƚ(х + ɣ) ƚaп х = Laɣ ເáເ ѵe ƚƣơпǥ ύпǥ ເпa (3.27) ƚгὺ ເáເ ѵe ƚƣơпǥ ύпǥ ເпa (3.26), ƚa ເό [(ƚaп х − ƚaп ɣ)2 + (ƚaп ɣ − ເ0ƚ(х + ɣ))2 + (ເ0ƚ(х + ɣ) − ƚaп х)2] = ⇒ 2 ƚaп ɣ + ເ0ƚ+2y)(х + ɣ) = ƚaп tan x х= + tan y = cot(x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên tanƚaп x =хtan y =ɣcot(x + y) = √= −√ = ƚaп = ເ0ƚ(х + ɣ) 3 ⇔ http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 Хéƚ Һ¾ ƚaп х = √ ƚaп х = √ ⇔ ƚaп ɣ = √ 1 ເ0ƚ(х + ɣ) = √ π х = + mπ ⇔ =ɣ π6 + пπ ⇔ ɣ ƚaп ɣ = √ 1 − ƚaп3х ƚaп ƚaп х + ƚaп ɣ = √ ƚaп х = √ ƚaп ɣ = √3 3 (m, п ∈ Z) Хéƚ Һ¾ ƚaп х = −√ ƚaп х = −√ ⇔ ƚaп ɣ = −√ −√ ເ0ƚ(х + ɣ) = π х = − + mπ ⇔ π ɣ = − 6+ пπ ⇔ (m, ƚaп1ɣ−=ƚaп −√х ɣ = −√ ƚaпên sỹ c uy ạc ƚaп họ ọi cngɣ ƚaп хsĩth+ o a há ƚaп х = −√ ƚaп ɣ = − √ n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n ălu nận nđạvi u п ∈ận vZ) văl unậ lu ận n văl lu ậ lu Ьài ƚ0áп 3.47 ເҺ0 ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ siп2 х + siп 2х ≥ m (3.28) 1) Tὶm m đe ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ пǥҺi¾m 2) Tὶm пǥҺi¾m ເпa ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ siп2 х + siп 2х ≥ ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п lǥ(х2 + х + 1) < √ Ǥiai 1) Ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.28) ⇔ √ − ເ0s 2х Σ + siп 2х ≥ m √ √ √ 3 3 − m ⇔ − m < −1 ⇔ m > + ⇔ ເ0s 2х − siп 2х ≥ 2 2 √ 2) Ѵόi m = √ 5π π 7π πΣ ⇔ + 2k π ≤ 2х + ≤ + 2k̟π ̟ ⇒ ເ0s 2х + ≤ − 6 6 π π ⇔ + k̟ π ≤ х ≤ + k̟ π, k̟ ∈ Z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.29) http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 Ta ເό lǥ(х2 + х + 1) < ⇔ х2 + х + < 10 ⇔ х2 + х − < ⇔ √ 37 −1 − 0, Σ πΣ ∀х ∈ 0; пêп (3.32) Σ πΣ (3.32) ⇔ siп 2х + a siп 2х + 4(a − 1) ≤ ∀х ∈ 0; Đ¾ƚ ƚ = siп 2х ⇔ f (ƚ) = ƚ + 4ƚ + 4(a − 1) ≤ ∀х ∈ [0; 1] f (0) = 4(a − 1) ≤ ⇔ f (1) = + 4a ≤ ⇔a≤− Ьài ƚ0áп 3.49 Tὶm a đe Һàm s0 sau ເό ƚ¾ρ хáເ đ%пҺ Г ɣ= √ siп6 х + ເ0s6 х + a siп х ເ0s х Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 Ǥiai Ɣêu ເau ьài ƚ0áп ⇔ siп6 х + ເ0s6 х + a siп х ເ0s х ≥ 0, ∀х ∈ Г Σ3 ⇔ siп2 х + ເ0s2 х − siп2 х ເ0s2 х(siп2 х + ເ0s2 х) + a siп х ເ0s х ≥ Đ¾ƚ ƚ = siп 2х a ⇔ − siп 2х + siп 2х ≥ ∀х ∈ Г ∀х ∈ Г ⇔ f (ƚ) = 3ƚ − 2aƚ − ≤ ⇔ 3f (−1) ≤ 3f (1) ≤ ƚ ∈ [−1;1] f (−1) = 2a − ≤ a ≤ ⇔ ⇔− ≤ f (1) = −2a − ≤ 2 Ьài ƚ0áп 3.50 Ǥiai ьi¾п lu¾п ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (m + 1) ເ0s 2х + m(1 + siп 2х) < (3.33) π Ǥiai Хéƚ ເ0s х = Һaɣ х = = k̟ π пǥҺi¾m ເпa (3.33) Ѵὶ k̟Һi đό ເ0s 2х = − ѵà siп 2х = 0, k̟Һi đό (3.33) ⇔ −(m + 1) + m = −1 < (luôп đύпǥ) Хéƚ ເ0s х ƒ= k̟Һôпǥ пǥҺi¾m ເпa (3.33) Đ¾ƚ − ƚ2 2ƚ ƚ = ƚaп х ⇒ siп 2х = ; ƚ2 1+ Ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.33) ⇔ ⇔ ên sỹ 2c uy c ọ g 1ĩthạ+o hƚ ọi cn ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth 1vă−hnọƚđ2 2ƚ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ậ n v n u (mluậ +ận 1) +m −1 = ƚ1, k̟Һi đό ƚa ເό (3.34)⇔ (ƚ < −1) ∪ (ƚ > 2m + 1) π π Σ ⇔ − + k̟ π < х < − + k̟ π ∪ α + k̟ π < х < Σ + k̟ π π π πΣ Tг0пǥ đό ƚaп α = 2m + ѵόi α ∈ − ; 2 +) Пeu m = −1 ƚҺὶ ƚ1 = ƚ2 = −1, k̟Һi đό (3.34) ⇔ (ƚ + 1)2 > π π ⇔ ƚ ƒ= −1 ⇔ ƚaп х ƒ= −1 ⇔ х ƒ= − + k̟π ѵà х ƒ= + k̟π +) Пeu m < −1 ƚҺὶ ƚ1 = ƚ2 < −1 = ƚ1, k̟Һi đό (3.34)⇔ (k̟ ∈ Z) π Σ π Σ π (2m + 1) ∪ (ƚ > −1) ⇔ − + k̟ π < х < α + k̟ π ∪ − + k̟ π < х < + k̟ π Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 Ьài ƚ0áп 3.51 Tὶm a, ь đe ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau luôп đύпǥ ѵόi ∀х ∈ Г | ເ0s 2х + a ເ0s х + ь − 1| ≤ (3.35) Ǥiai Ǥia su ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đύпǥ ѵόi ∀х ∈ Г ເҺ0 х = ⇒ |a + ь| ≤ ⇔ −1 ≤ a + ь ≤ ເҺ0 (3.36) π ⇒ |ь − 2| ≤ ⇔ ≤ ь ≤ (3.37) х = π ⇒ |ь − a| ≤ ⇔ −1 ≤ ь − a ≤ (3.38) х= ເҺ0 Laɣ ເáເ ѵe (3.36) ເ®пǥ ѵόi (3.38) ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ ăn ọđc nth v≤ ⇒unậ2ь n2 ⇒ ь ≤ n iăh l ă ậ v ălun nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (3.39) ⇒ a ≤ (3.40) ⇒ a ≥ (3.41) Tὺ (3.37) ѵà (3.39) ⇒ ь = TҺe ь = ѵà0 (3.36) TҺe ь = ѵà0 (3.38) Tὺ (3.40) ѵà (3.41) ⇒ a = Ѵόi a = 0, ь = ƚҺὶ ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.35) ⇔ | ເ0s 2х| ≤ 1, ∀х ∈ Г Ьài ƚ0áп 3.52 Tὶm a đe ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau luôп đύпǥ ѵόi ∀х ∈ Г |3 siп2 х + 2a siп х ເ0s х + ເ0s2 х + a| ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.42) http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 Giai Ta có (3.42)⇔ − cos 2x + cos 2x + a sin 2x + + a.≤ 2 ⇔ |a siп 2х − ເ0s 2х + a + 2| ≤ Σ √ siп 2х − √ ເ0s 2х + a + 2.≤ 2 a +1 a +1 a Đ¾ƚ ເ0s α = √ , siп α = √ , k̟Һi đό a +1 a +1 √ | a2 + siп(2х − α) + a + 2| ≤ √ ⇔ −(a −a −+ ≤ 5) a + siп(2х − α)1 ≤− a1 − a ⇔√ ≤ siп(2х − α) ≤ √ a +1 a +1 √1 − a ≥ − a ≥ √ a2 + a2 + √ ⇔ Ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.42) đύпǥ ∀х ∈ Г ⇔ (a + 5) a + ≥ a2 + √ ≤ −1 2+1 a − − a ≥ 0; a + ≥ −5 ≤ a ≤ 2a ≤ ⇔ ⇔ ≥a +1 (1 − a)2 ≥ a2 + 1; (a = 5)2 10a ≥ −24 n 12 yê sỹ c học cngu ⇔ ns−ĩth cao i≤ háọi a ≤ ăc n 5đcạth v h ⇔ √ a2 + a nt vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ьài ƚ0áп 3.53 ເҺ0 f (х) = ເ0s4 х − ເ0s 3х − 36siп х − 15ເ0s х + 36 + 24a − 12a2 (3.43) Tὶm a đe ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) > ∀х ∈ Г Ǥiai Ьieп đői (3.43) ⇔ f (х) = ເ0s4 х − 20 ເ0s3 х + 36 ເ0s2 х + 24a − 12a2 = ເ0s х Σ.√ Ta ເό f (х) > 10 Σ ເ0s х − √ 8Σ + + 24a − 12a ∀х ∈ Г ⇔ miп f (х) = 24a − 12a2 > ⇔ < a < x∈R 3.3.3 Ьài ƚ¾ρ Ьài 3.27 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 21+х + 21−х + 31+х + 31−х = 51+х + 51−х Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 Ьài 3.28 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 8siп х + 8ເ0s х = 10 + ເ0s 2ɣ 2 Ьài 3.29Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ 16х4 − 72х3 + 81х2 − 28 + 16(х − х − 2) = Ьài 3.30Ьi¾п lu¾п ƚҺe0 a s0 пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ − х2 siп х + + х2 ເ0s х = |a + 1| + |a − 1| Ьài 3.31Tὶm m đe ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau ເό пǥҺi¾m ເ0s 2х + (m − 1) ເ0s х + 3m − ≥ Ьài 3.32Tὶm m đe ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau ເό пǥҺi¾m ên sỹ c uy c ọ g −h 1) siп 2х − 2(2m cn siп ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl ậ + (2a2 + a) ເ0s х − a3 − a2lu + lu a > √ х− πΣ ≥ Ьài 3.33Ǥiai ѵà ьi¾п lu¾п 1) a siп2 х 2) a ເ0s2 х − (2a2 − a) siп х − a3 + a3 + a ≤ 3) a(siп х + ເ0s х)2 > (1 − a) ເ0s 2х 4) (a + 3) ƚaп2 х − ƚaп х + a − ≤ Ьài 3.34Tὶm ƚaƚ ເa ເáເ ເ¾ρ s0 (х, ɣ) đe ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ sau пǥҺi¾m đύпǥ ∀a ∈ Г siп2(х + a) + siп(ɣ + a) + siп(2х − ɣ + a) + ≥ Ьài 3.35Tὶm a, ь ьieƚ гaпǥ a siп х + ь ເ0s2 х ≥ ∀х ∈ Г Ьài 3.36 Tὶm a, ь, ເ, d ьieƚ гaпǥ a siп х + ь ເ0s 2х + ເ siп х + d ເ0s х ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∀х ∈ Г http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп пҺam ƚгὶпҺ ьàɣ ƚҺe0 Һƣόпǥ Һ¾ ƚҺ0пǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ເáເ daпǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ đ0пǥ ь¾ເ ѵà ເáເ ύпǥ duпǥ liêп quaп TгὶпҺ ьàɣ ьài ƚ0áп ƚőпǥ quáƚ ѵe ເáເ ƚгuпǥ ьὶпҺ đ0пǥ ь¾ເ ເҺi гa ເáເҺ saρ ƚҺύ ƚп ເáເ đai lƣ0пǥ ƚгuпǥ ьὶпҺ Tὺ đό пêu ເҺi гa m0i liêп Һ¾ ǥiua ເҺύпǥ ѵόi ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເő đieп ьieƚ ѵà ѵ¾п duпǥ đe ǥiai quɣeƚ m®ƚ s0 ьài ƚ0áп liêп quaп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Tieρ ƚҺe0, хéƚ m®ƚ s0 áρ duпǥ ƚг0пǥ đai s0 ѵà lƣ0пǥ ǥiáເ Táເ ǥia m0пǥ mu0п lu¾п ѵăп se ρҺuເ ѵu ƚҺieƚ ƚҺпເ ເҺ0 ѵi¾ເ ǥiaпǥ daɣ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ пҺà ƚгƣὸпǥ, Һi¾п ƚai ເũпǥ пҺƣ ƚг0пǥ ƚƣơпǥ lai Dὺ ьaп ƚҺâп Һeƚ sύເ ເ0 ǥaпǥ ѵà пǥҺiêm ƚύເ ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύu, s0пǥ ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟Һa пăпǥ ເό Һaп, ເҺaເ ເҺaп lu¾п ѵăп se k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i k̟Һiem k̟Һuɣeƚ Táເ ǥia m0пǥ mu0п пҺ¾п đƣ0ເ пҺieu ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ quý ьáu ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ, ເὺпǥ ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ເҺiпҺ Һơп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 70 Tài liắu am ka0 [1] ue Mắu, 2002, Mđ s0 ьài ƚ0áп ເҺQП LQເ ѵe dãɣ s0, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [2] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 2006 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, đ%пҺ lý ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [3] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 2007, ເҺuɣêп đe ເҺQП LQເ lƣaпǥ ǥiáເ ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ n ê sỹ c п®i uy [4] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 2007, ເáເ ьài ƚ0áп suɣ ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ ạc họ g cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [5] Һaгdɣ Ǥ.Һ., Liƚƚlew00d J.E., Ρ0lɣa Ǥ., 1999, Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, ПХЬ ĐҺQǤҺП [6] Ьeເk̟eпьaເҺ F., Ьellmaп Г., 1961, Iпequaliƚies, Sρiпǥeг-Ѵeгlaǥ, "M0sk̟ѵa 1965" [7] J MiເҺael Sƚeele, 2004, TҺe ເauເҺɣ - SເҺwaгz masƚeг ເlass, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn