(Luận văn) về một số hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU THỦY lu an n va tn to p ie gh VỀ MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU THỦY lu an n va p ie gh tn to VỀ MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐA THỨC d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu u nf va Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp ll Mã số: 60 46 01 13 oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS Trần Nguyên An m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si Mục lục MỞ ĐẦU Chương Hệ phương trình tuyến tính lu 1.2 Sử dụng tính chất nghiệm đa thức 1.3 Sử dụng công thức nội suy an 1.1 Hệ với định thức khác không n va gh tn to 10 p ie 1.4 Sử dụng ma trận, định thức đặc biệt 11 nl w 1.5 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp hệ 13 d oa 1.6 Hệ với yếu tố thực tế 20 nf va an lu Chương Hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính 2.1 Một số hệ phương pháp giải 20 lm ul 2.1.1 Hệ phương trình đối xứng 20 z at nh oi 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại hai x y 23 2.1.3 Hệ có yếu tố đẳng cấp 25 z 25 gm @ 2.1.4 Hệ có hai phương trình bán đẳng cấp bậc hai 2.1.5 Hệ đẳng cấp phận 27 l 30 m co 2.1.6 Hệ bậc hai tổng quát an Lu n va ac th ii si lu 2.2 Ứng dụng hệ khơng tuyến tính 33 2.2.1 Giải phương trình 33 2.2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 35 2.3 Ứng dụng đại số máy tính 35 2.3.1 Thứ tự từ sở Groebner 35 2.3.2 Giải hệ phương trình 39 KẾT LUẬN 49 Tài liệu tham khảo 49 an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si MỞ ĐẦU lu an n va p ie gh tn to Giải hệ phương trình tốn cổ điển có nhiều ứng dụng tốn học đời sống Hệ phương trình có nhiều dạng phương pháp giải khác Đây dạng toán thường gặp kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh đại học Luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình đa thức: hệ phương trình tuyến tính, hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính Cụ thể, luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình tuyến tính đặc biệt sử dụng công cụ ma trận, định thức số phương pháp đặc biệt để giải Hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính tốn khó, bên cạnh việc giới thiệu phương pháp tổng quát để giải cơng cụ Đại số máy tính, luận văn tìm hiểu số lớp hệ phương trình đa thức đặc biệt giải công cụ sơ cấp Luận văn chia làm hai chương Chương giới thiệu hệ phương trình tuyến tính Luận văn khơng lặp lại Đại số tuyến tính thơng thường mà giới thiệu nhiều dạng hệ phương trình tuyến tính "khơng mẫu mực” Hệ phương trình tuyến tính tốn có lời giải trọn vẹn có nhiều ứng dụng thực tế Chương luận văn trình bày hệ phương trình đa thức khơng tuyến tính Luận văn phân tích số dạng hệ giải cơng cụ sơ cấp Nhiều ví dụ phân tích kỹ nhằm giúp người đọc có cơng cụ sáng tác tốn Để tìm hiểu hệ tổng quát người ta phải dùng đến công cụ Đại số máy tính, Hình học đại số Luận văn phân tích việc sử dụng sở Groebner để giải số lớp hệ có hữu hạn nghiệm Nhằm giảm tải nội dung trình bày luận văn khơng sâu phân tích lý thuyết sở Groebner mà hướng người đọc đến việc sử dụng máy tính để tính toán việc hướng dẫn sử dụng phần mềm CocoA Maple Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Nguyên An Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, giáo sư trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị bạn bè đồng nghiệp lớp Cao học Tốn K9B2 ln giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017, d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z @ m co l gm Trần Thị Thu Thủy an Lu n va ac th si Chương Hệ phương trình tuyến tính Trong chương luận văn giới thiệu số phương pháp giải hệ phương lu trình tuyến tính đặc biệt Kiến thức tổng hợp giải hệ phương trình tuyến tính an tham khảo [2] Trong suốt luận văn ta giả thiết K n va trường tn to 1.1 Hệ với định thức khác không ie gh p Ta ý số kiến thức chuẩn bị sau: Cho A ∈ M atn (K), A = (aij ), n P vết ma trận A aii , ký hiệu tr(A) w i=1 nl d oa Định nghĩa 1.1.1 Cho ma trận vuông A cấp n K Số λ ∈ K gọi giá an lu trị riêng A tồn vectơ x ∈ Kn x 6= cho Ax = λx Khi đó, vectơ x gọi vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ nf va lm ul Định nghĩa 1.1.2 Cho ma trận vuông A cấp n K Đa thức det (A − λI) gọi đa thức đặc trưng A ký hiệu PA (λ) Phương trình PA (λ) = z at nh oi gọi phương trình đặc trưng A Chú ý 1.1.3 (i) λ giá trị riêng ⇔ AX = λX ⇔ (A − λI) X = có nghiệm z m co l gm @ X 6= ⇔ |A − λX| = an Lu n va ac th si a11 a12  a21 a22 (ii) Cho A =   an1 an2   a1n a2n    ann PA (X) = |A − XI| a11 − X a12 a1n a21 a22 − X a2n = an1 an2 ann − X = (a11 − X) (ann − X) + ldots = (−1)n X n + bn−1 X n−1 + + b1 X + b0 Khi λ giá trị riêng A ⇔ λ nghiêm PA (X) lu an (iii) Nếu PA (X) = có n nghiệm λ1 , , λn tr(A) = va Qn i=1 n P λi |A| = i=1 λi n (v) Giả sử f (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K [x] Khi f (A) = an An + + gh tn to (iv) Nếu λ giá trị riêng A λn gia trị riêng An p ie a1 A + a0 I đa thức ma trận A Nếu λ gia trị riêng A f (λ) w giá riêng f (A) d oa nl Ví dụ 1.1.4 Cho aij số nguyên, giải hệ phương trình    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = x1   n    x2 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = n       an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = xn n   Giải Đặt A = (aij ) ∈ Mn (Z) Hệ cho tương đương với A − I X = Ta có n A ma trận với hệ số nguyên nên đa thức đặc trưng p(t) A đa thức định nf va an lu z at nh oi lm ul z chuẩn (hệ số cao 1) với hệ số ngun Do p(t) khơng thể có nghiệm 1   hữu tỷ không nguyên Suy p 6= 0, nghĩa det A − I 6= Như vậy, hệ n n phương trình có nghiệm tầm thường l gm @ m co Ví dụ 1.1.5 Giải hệ phương trình sau:  x +2x2 + +2017x2017 = 2017 x1    1 2 x1 +2 x2 + +2017 x2017 = 2017 x2   x +22017 x + +20172017 x 1 2017 = 2017 x2017 an Lu n va ac th si Giải Viết hệ phương trình cho dạng Ax = Giả sử det (A − I ) 2017 2017 1 x ⇔ (A − I2017 )x = 2017 2017 2017 = Điều chứng tỏ λ = giá trị riêng A Vì đa thức đặc trưng A PA (t) = (−1)n tn + (−1)n−1 Tr(A)tn−1 + + det A ∈ Z[t] đa thức nhận λ = 2017 lu lý chứng tỏ (A −  det     x =    nghiệm Từ suy 2017 ước (−1)n Vô I ) 2017 2017 6= 0, hệ phương trình cho có nghiệm an n va p ie gh tn to Ví dụ 1.1.6 Cho A = [aij ] ∈ Mn (R) thỏa mãn A2 = A Hãy giải hệ phương trình  a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = −x1    11 a12 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = −x2   a x + a x + · · · + a x = −x n1 n2 nn n n d oa nl w Giải Hệ cho tương đương với  (a + 1)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn =    11 a12 x1 + (a22 + 1)x2 + · · · + a2n xn =   a x + a x + · · · + (a + 1)x = n1 n2 nn n nf va an lu Ma trận hệ số hệ phương trình có dạng M = A + I Ta có lm ul M (A − 2I) = (A + In )(A − 2In ) = A2 − A − 2In = −2In z at nh oi Suy det(M ) 6= 0, nghĩa M khả nghịch Do hệ cho có nghiệm tầm thường z gm @ Chú ý Bài toán xây dựng dựa ý tưởng phân tích đa thức t2 − t − = (t + 1)(t − 2) Dựa ý tưởng này, ta thay đổi hệ số −1 vế l phải hệ số α khác khác 1, áp dụng phân tích m co (t − α)(t + α − 1) = t2 − t − α(α − 1) an Lu ta kết tương tự n va ac th si Ví dụ 1.1.7 Cho số thực aij + aji = 0, ∀i, j = 1, 2, , 2017 Hãy giải hệ phương trình tuyến tính sau:  (a11 + 2017)x1 + a12 x2 + + a12017 x2017 =    a x + (a + 2017)x + + a 21 22 22017 x2017 =     a20171 x1 + a20172 x2 + + (a20172017 + 2017)x2017 = Giải Đặt  x1  x2   X=   xn  Hệ cho trở thành (A + 2017E)X = Lấy chuyển vị hai vế ta X t (A + lu an 2017X)t = Dẫn đến X t (−A + 2017E) = 0, hay −X t A + 2017X t E = Từ n va suy −X t AX + 2017X t EX = Ta có AX + 2017X = ⇔ AX = −2017X Kết tn to hợp lại, ta p ie gh X t (−2017X) + 2017X t X = ⇔ X t X + X t X = ⇔ X t X = Như vậy,  x1
 x2  2  x2017    = ⇔ x1 + x2017 = ⇔ x1 = = x2017 = x2017 d oa x1 x2 nl w  nf va an lu lm ul 1.2 Sử dụng tính chất nghiệm đa thức z at nh oi Định lý 1.2.1 Cho R miền nguyên Cho 6= f (x) ∈ R[x] a1 , a2 , , ar ∈ R nghiệm phân biệt f (x) Giả sử nghiệm bội ki f (x) với i = 1, 2, , r Khi ta có z co l g(x) ∈ R[x] g(ai ) 6= với i = 1, , r gm @ f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 (x − ar )kr g(x) m Hệ 1.2.2 Cho R miền nguyên f (x) ∈ R[x] đa thức khác an Lu Khi số nghiệm f (x), nghiệm tính với số bội nó, không vượt bậc của f (x) n va ac th si Hệ 1.2.3 Cho R miền nguyên f (x), g(x) ∈ R[x], deg(f (x)) n deg(g(x)) n Nếu f (x) g(x) có giá trị n + phần tử khác R f (x) = g(x) Ví dụ 1.2.4 Cho đa thức P (x) = (x − 2)(x − 3) (x − 2017) lu Giả sử P (x) = a1 + a2 x + + a2017 x2016 Giải hệ phương trình sau:  ax +a2 x2 + +a2016 x2016 +a2017 x2017 =    1 a2017 x1 +a1 x2 + +a2015 x2016 +a2016 x2017 =    ax +a3 x2 + +a2017 x2016 +a1 x2017 = an n va p ie gh tn to Giải Tách ma trận hệ số dạng  a1 a2 a2017 a1  a2016 a2017     a a a2 a3  0 0 0 0  0 0 = a1  0 0 0 0 0 0 d oa nl w nf va an lu  a3 a2016 a2017 a2 a2015 a2016   a1 a2014 a2015     a5 a1 a2  a4 a2017 a1   0 0 0   0 0 0  + a2  0 0 0 0 0  0   0 0 1 0 0 0   0 0 0 + + a2017   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0  0  0 1 z at nh oi lm ul  0  0  0 1 m 0 0 co 0 0 l 0 0 gm 0 0 @ 0  0 B= 0 0  z Đặt an Lu Theo trên, ta có A = a1 I + a2 B + + a2017 B 2016 Đa thức đặc trưng B P (x) = x2017 − Đa thức có 2017 nghiệm trường số phức n va ac th si an b an b lm ul a bn a bn + an b n = Dn−1 + an bn xi = j Dn Dn z at nh oi Dn = + a1 b1 + a2 b2 + + an bn = Theo công thức Cramer hệ ln ln có nghiệm = Dni Dni định thức D bỏ cột i thay (c1 , c2 , , cn )T Do hệ ln có nghiệm ngun z @ l gm 1.5 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp hệ m co Ví dụ 1.5.1 Giải hệ phương trình  x + 2x2 + · · · + 2017x2017 =    x2 + 2x3 + · · · + 2017x1 =   x 2017 + 2x1 + · · · + 2017x2016 = 2017 an Lu n va ac th 11 si Giải Cộng vế theo vế tất phương trình hệ, ta x1 + x2 + · · · + x2017 = Trừ phương trình thứ k cho phương trình thứ k + (k < 2017), ta (x1 + x2 + · · · + x2017 ) − 2017xk = k − (k + 1) = −1 Suy xk = P 2012 x2017 = − xk = − 2017 2017 k