(Luận văn) về phương trình hàm loại giá trị trung bình và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ DU lu an n va tn to ie gh VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM p LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ DU lu an n va VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM p ie gh tn to LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG w Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp d oa nl Mã số: 8460113 lu u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ll NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) oi m z at nh z @ m co l gm TS Trần Xuân Quý an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si Mục lục lu Mở đầu Chương Về phương trình hàm loại giá trị trung bình an n va Mở đầu phương trình hàm 1.2 Tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.3 Phương trình hàm định lý giá trị trung bình Cauchy 12 gh tn to 1.1 p ie Chương Về phương trình hàm nhiều biến loại giá trị trung 22 w bình Định lý giá trị trung bình hàm hai biến 2.2 Phương trình hàm loại giá trị trung bình 23 2.3 Phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng 31 d oa nl 2.1 41 lm ul 42 z at nh oi Tài liệu tham khảo nf va an lu Kết luận 22 z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Chúng ta biết mơn Tốn coi mơn "thể thao trí tuệ" giúp người học có nhiều hội rèn luyện, phát triển tư nghiên cứu công thức giải toán độc đáo mẻ lu an Trong nhiều năm qua, hầu hết kỳ thi quan trọng thi học sinh n va giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, toán liên quan đến Phương trình hàm tốn sử dụng khai thác từ nhiều khía gh tn to phương trình, phương trình hàm chiếm vị trí đáng kể p ie cạnh Toán học Về bản, chương trình Tốn phổ thơng giải w phương trình có nghiệm số cụ thể, cịn phương trình mà nghiệm oa nl hàm tốn học chưa trình bày, loại phương trình d gọi phương trình hàm Tuy nhiên, khía cạnh lu an Tốn ứng dụng, chẳng hạn phương trình vi tích phân, phương trình nf va đạo hàm riêng nghiệm chủ yếu hàm tốn học Trong lm ul kỳ thi học sinh giỏi Toán, tốn phương trình hàm ln z at nh oi khai thác, khơng dễ khai thác tính lạ dạng tốn, mà cịn có nhiều ý nghĩa ứng dụng Toán học đại Phương trình hàm loại giá trị trung bình thật đẹp từ nội dung đến z ứng dụng nhiều góc độ giải tốn nên thu hút khơng quan @ gm tâm người học chuyên gia đầu ngành nghiên cứu co l Tốn cách sâu sắc tồn diện Vì lí chúng tơi chọn đề tài m luận văn "Về phương trình hàm loại giá trị trung bình áp dụng" Nội an Lu dung luận văn chia thành hai chương, tham khảo từ hai tài liệu [10] [12] Các nội dung tham khảo tác n va ac th si giả cố gắng trình bày chi tiết Cụ thể Chương luận văn, tác giả trình bày sơ lược phương trình hàm, tổng quan phương trình hàm loại giá trị trung bình, mối quan hệ phương trình hàm định lý giá trị trung bình Cauchy Trong Chương 2, tác giả trình bày phương trình hàm hai biến, nội dung xoay quanh phương trình hàm hai biến liên quan tới định lý giá trị trung bình số kết mở rộng Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Tốn –Tin Với luận văn này, em mong muốn góp phần nhỏ cơng lu an sức vào việc gìn giữ phát huy vẻ đẹp, hấp dẫn cho n va định lý toán học đẹp Đây hội cho em gửi lời tn to tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên nói chung Khoa Tốn – Tin nói riêng, truyền gh p ie thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu thời gian em học viên trường oa nl w Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT An Lão, An Lão, Hải Phịng tồn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều d an lu kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học; cảm ơn anh nf va chị em học viên lớp Cao học Toán K10B1 bạn bè đồng nghiệp trao lm ul đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên z at nh oi Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán K10B1, TS Trần Xuân Quý quan tâm ân cần z bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em @ gm suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua l kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học m co viên lớp K10B1 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển an Lu nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ hai bên anh chị em cháu gia đình Xin chân thành cảm ơn va tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng n ac th si đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2018 Học viên Bùi Thị Du lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Về phương trình hàm loại lu giá trị trung bình an n va to Mở đầu phương trình hàm ie gh tn 1.1 p Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ thời A.M Legendre người đầu oa nl w tiên cố gắng tìm nghiệm phương trình hàm Cauchy d f (x + y) = f (x) + f (y) an lu nf va với x, y ∈ R Việc nghiên cứu hệ thống phương trình hàm Cauchy cộng tính khởi xướng A.L Cauchy sách ông "Coursd lm ul d’Analyse" năm 1821 Các hàm cộng tính nghiệm phương trình z at nh oi hàm Cauchy cộng tính Đầu tiên ta phải làm rõ hàm cộng tính gì? Sau ta bàn phương trình hàm Cauchy cộng tính phương z trình hàm cộng tính liên tục khả tích địa phương tuyến tính Ngồi @ ta nghiên cứu cách giải phương trình hàm khơng tuyến tính không gm m co chúng trù mật mặt phẳng l liên tục chúng biểu diễn phương diện khác: Các đồ thị an Lu Các hàm cộng tính tìm thấy nhiều nơi sách Aczél (1966, 1987), Aczél Dhombres (1989) Smital (1988) n va Nghiệm tổng quát nhiều phương trình hàm với hai hay nhiều biến có ac th si thể nhiều số hạng hàm cộng tính, nhân tính, hàm logarit hàm mũ Một vài phần quan trọng chương tìm Aczél (1965) Wilansky (1967) Cho hàm f : R → R thỏa mãn phương trình f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) với x, y ∈ R Phương trình hàm biết phương trình hàm Cauchy Phương trình hàm (1.1) nghiên cứu A.M Legendre (1791) C.F Gauss (1809) A.L Cauchy (1821) người tìm nghiệm liên tục tổng qt Phương trình (1.1) có lu vị trí quan trọng tốn học Hàm f gọi cộng tính thỏa an n va mãn phương trình (1.1) tn to Định lý 1.1.1 Cho f : R → R liên tục thỏa mãn phương trình (1.1) ie gh Khi f tuyến tính, nghĩa f (x) = cx c số tùy ý p Tiếp theo, hàm cộng tính nhận giá trị thực nl w Rn biểu diễn tổng n hàm cộng tính biến an lu thỏa mãn d oa Phương trình (1.1) tổng qt sau: Xét hàm số f : Rn → R nf va f (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) = f (x1 , x2 , , xn ) + f (y1 , y2 , , yn ) lm ul với (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Xét trường hợp phương z at nh oi trình hàm cộng tính hai biến ta có khẳng định định lý sau Định lý 1.1.2 Nếu f : R2 → R cộng tính R2 tồn hàm z cộng tính A1 , A2 : R → R cho gm @ f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ) (1.2) l m co với x1 , x2 ∈ R ! (1.3) n va f (x) + f (y) x+y = f 2 an Lu Phương trình hàm có dạng ac th si với x, y ∈ R gọi phương trình hàm Jensen Hàm f thỏa mãn phương trình (1.3) gọi hàm Jensen Định lý 1.1.3 Hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện phương trình hàm Jensen f (x) + f (y) x+y = f 2 ! (JE) với x, y ∈ R f (x) = A(x) + a (1.4) với A : R → R hàm cộng tính a số lu an n va 1.2 Tổng quan phương trình hàm loại giá to ie gh tn trị trung bình p Trong mục chúng tơi trình bày phương trình hàm loại giá trị trung nl w bình, tức vấn đề phương trình hàm liên quan tới định lý giá oa trị trung bình Các kết trình bày mục lấy từ tài liệu d [8, 10] P Kannappan cộng an lu nf va Định lý 1.2.1 Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi lm ul (a, b) Khi tồn ξ ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) b−a z at nh oi f (ξ) = Phương trình tiếp tuyến điểm (ξ, f (ξ)) y = (x − ξ)f (ξ) + f (ξ) z gm @ Phương trình đường thẳng qua hai điểm (a, f (a)) (b, f (b)) f (b) − f (a)  y = (x − a) + f (a) b−a  m co l f (b) − f (a) b−a n va f (ξ) = an Lu Nếu đường thẳng song song với tiếp tuyến ξ ac th si Đây định lý giá trị trung bình Lagrange, định lý có vai trị quan trọng phép tính vi phân Định lý đưa J L Lagrange (1736–1813) Nếu hàm f : R → R khả vi [a, b] đoạn bất kỳ, theo định lý giá trị trung bình tồn ξ ∈ (a, b) thỏa mãn f (b) − f (a) = f (ξ(x, y)), b−a (1.5) với ξ(x, y hàm phụ thuộc x, y Câu hỏi đặt ra, với hàm f để giá trị trung bình ξ(x, y) phụ thuộc vào x, y thỏa mãn phương trình cho Từ đẳng thức (1.5) xem phương trình hàm với f hàm chưa biết cho trước ξ(x, y) Hàm ξ(x, y) hàm tổng quát, lu an tổ hợp tuyến tính phi tuyến x y, chẳng hạn n va to x+y , √ ξ(x, y) = xy, (1.6) p ie gh tn ξ(x, y) = (1.7) + yp (1.8) oa nl w ξ(x, y) = v u p u p x t d Trong phương trình (1.5) vế phải thay hàm chưa biết, lu nf va an chẳng hạn hàm h, phương trình (1.5) trở thành f (x) − f (y) = h(ξ(x, y)) x−y (1.9) lm ul z at nh oi Nếu chọn ξ(x, y) = (x + y)/2, ta thu phương trình hàm sau x + y f (x) − f (y) = (x − y)h với x, y ∈ R  (1.10) z gm @ Huruki (1979) Aczél (1985) độc lập với tìm nghiệm phương trình hàm (1.10) m co l Định lý 1.2.2 Cho f : R → R hàm thỏa mãn an Lu x + y f (x) − f (y) = (x − y)h với x, y ∈ R  (1.11) n va Khi tồn a, b, c ∈ R cho f (x) = ax2 + bx + c h(x) = 2ax + b ac th si 29 Cộng (2.33) vào (2.34) trừ phương trình (2.32), ta f (u + x, v + y) + f (u − x, v) + f (u, v − y) = f (u − x, v − y) + f (u + x, v) + f (u, v + y) (2.35) Nghiệm tổng qt phương trình (2.35) thu từ Bổ đề (2.2.3) f (x, y) = B(x, y) + φ(x) + ψ(y), (2.36) với B : R2 → R hàm song cộng tính, Φ, Ψ : R → R hàm tùy ý Tiếp theo, thay v = y = vào phương trình (2.24) ta lu an f (u, 0) − f (x, 0) = (u − x)g1 (u + x, 0), u 6= x (2.37) n va tn to Sử dụng Bổ đề (2.2.1) ta (2.38) p ie gh f (x, 0) = ax2 + bx + α1 , w với a, b, α1 số tùy ý Thay y = vào phương trình (2.36) so sánh d oa nl với (2.38), nhận (2.39) nf va an lu φ(x) = ax2 + bx + α2 , với α2 số Tiếp theo, thay u = x = vào phương trình (2.24), z at nh oi lm ul ta nhận f (0, v) − f (0, y) = (v − y)g2 (0, v + y), v 6= y (2.40) Tiếp tục sử dụng Bổ đề (2.2.1) ta z @ f (0, y) = cy + dy + α3 , l gm (2.41) (2.42) n va ψ(y) = cy + dy + α4 , an Lu (2.36) so sánh với (2.41), nhận m co c, d, a3 số tùy ý Như trên, chọn x = phương trình ac th si 30 α4 số Từ (2.39), (2.42) (2.36) nghiệm phương trình (2.25), tức f (x, y) = B(x, y) + ax2 + bx + cy + dy + α với α = α2 + α4 Sử dụng định lý Kannappan Sahoo (1998) thiết lập thuộc tính sau hàm bậc hai với hai biến tương tự với Định lý 2.5 Chương Định lý 2.2.5 Nếu đa thức bậc hai f (x, y) = ax2 + bx + cy + dy + exy + α với 4ac − e2 6= nghiệm phương trình vi phân lu an n va f (x + h, y + k) − f (x, y) tn to = hfx (x + θh, y + θk) + kfy (x + θh, y + θk), (2.43) p ie gh giả sử với x, y, h, k ∈ R với h2 + k 6= 0, θ = Ngược lại, hàm f thỏa mãn (2.43) với θ = , nghiệm (2.43) đa thức bậc hai Chứng minh Giả sử đa thức f (x, y) = ax2 + bx + cy + dy + exy + α oa nl w nghiệm (2.43) Thay vào phương trình (2.43) ta d lu nf va an 2ah2 θ + 2ck θ + 2ehkθ = ah2 + ck + ehk Vì 4ac2 − e 6= nên ta lm ul nhận z at nh oi θ= Tiếp theo, chứng minh điều ngược lại Theo Định lý (2.2.4), z @ f (x, y) = B(x, y) + ax2 + bx + cy + dy + α gm (2.44) an Lu B(x, y) = exy, m đạo hàm riêng theo biến x y Vì co l Vì f có đạo hàm riêng theo biến x y, B(x, y) có (2.45) n va ac th si 31 B(x, y) hàm song cộng tính Ở e số tùy ý Thay (2.45) vào (2.44), ta f đa thức bậc hai 2.3 Phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng Riedel Sahoo (1997) tìm nghiệm tổng quát phương trình hàm (2.4) η = sx + tu ξ = sy + tv với s t tham số thực cho trước Kết trình bày định lý sau lu Định lý 2.3.1 Các hàm f, g, h : R2 → R nghiệm phương trình an va n f (u, v) − f (x, y) to ie gh tn = (u − x)g(sx + tu, sy + tv) + (v − y)h(sx + tu, sy + tv), (2.46) p với x, y, u, v ∈ R với (u − x)2 + (v − y)2 6= 0,        ax + by + c oa nl w f (x, y) = d g(x, y) = tùy ý với g(0, 0) = a s = t = 0, (2.47)     b nf va an lu h(x, y) = tùy ý với h(0, 0) =  g(x, y) = b        s = t = (t2 + s2 > 0), s2 6= t2 , z at nh oi h(x, y) = a lm ul  f (x, y) = ax + by + c    (2.48) f (x, y) = (α − γ)x2 t + 2γxyt + δy t + ax + by + (α − γ)x + γy + a s = t 6= 0,       (2.49) m co l gm γx + δy + b @ h(x, y) = z g(x, y) =   c     an Lu n va ac th si 32   A(tx) B(ty)   + +c     t t     A(x) B(y) y   + − h(x, y)     x x x      tùy ý   f (x, y) = g(x, y) = h(x, y) =   cho x 6= 0; cho y 6= s = −t 6= 0,     A(tx) B(ty)    + +c     t t      tùy ý       A(y) B(x) x   + − g(x, y)   f (x, y) = g(x, y) = h(x, y) = y y y (2.50) lu A : R → R B : R → R hàm cộng tính, a, b, c, α, δ, γ an số thực tùy ý n va Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý cách xét trường to gh tn hợp khác tham số s t Trường hợp Giả sử s = t = Khi (2.46) trở thành p ie (2.51) nl w f (u, v) − f (x, y) = (u − x)a + (v − y)b, d oa với a = g(0, 0) b = h(0, 0) Từ (2.51) ta lu f (u, v) − au − bv = f (x, y) − ax − by, nf va an (2.52) với x, y, u, v ∈ R thỏa mãn (u − x)2 + (v − y)2 6= Do lm ul f (x, y) = ax + by + c, (2.53) z at nh oi c số Vì nghiệm (2.46) trở thành (2.54) tùy ý với g(0, 0) = a  gm tùy ý với h(0, 0) =     b. co l h(x, y) = @ g(x, y) = ax + by + c z f (x, y) =        m Trường hợp Giả sử t = s = (s2 + t2 > 0) Không tính an Lu tổng quát ta giả sử t = Khi đó, từ phương trình (2.46) ta có va f (u, v) − f (x, y) = (u − x)g(sx, sy) + (v − y)h(sx, sy) (2.55) n ac th si 33 Cho x = = y thay vào (2.55), ta nhận f (u, v) = au + bv + c, (2.56) a = g(0, 0), b = h(0, 0) c = f (0, 0) Thay vào (2.46), ta a(u − x) + b(v − y) = (u − x)g(sx, sy) + (v − y)h(sx, sy), (2.57) với x, y, u, v ∈ R với (u − x)2 + (v − y)2 6= Phương trình (2.57) tương đương với u [a − g(sx, sy)] + v [b − h(sx, sy)] lu an − {x [a − g(sx, sy)] + y [b − h(sx, sy)]} = n va Sử dụng tính độc lập tuyến tính u, v, 1, có (2.58) h(sx, sy) = b, (2.59) p ie gh tn to g(sx, sy) = a nl w oa với x, y ∈ R Do  d  g(x, y) = a, lu (2.60) nf va an  h(x, y) = b  Do nghiệm (2.46) lm ul f (x, y) = ax + by + z at nh oi g(x, y) = h(x, y) = a,   c,     (2.61)       b z Trường hợp Giả sử s 6= 6= t Thay x = = y vào (2.46), ta gm @ f (u, v) = ug(tu, tv) + vh(tu, tv) + c, (2.62) l m co c = f (0, 0) Thay (2.62) vào (2.46), ta an Lu ug(tu, tv) + vh(tu, tv) − xg(tx, ty) − yh(tx, ty) n va = (u − x)g(sx + tu, sy + tv) + (v − y)h(sx + tu, sy + tv) (2.63) ac th si 34 u v x , v , x , y t t s ! u v x tx ty y g(u, v) + h(u, v) − g , − h t t s s s s ! u x − g (x + u, y + v) + = t s Thay u y vào (2.63) ta s ! xt ty , s s! v y − h (x + u, y + v) , (2.64) t s với x, y, u, v ∈ R với (us − xt)2 + (vs − yt)2 6= Bây xét số trường hợp con: Trường hợp 3.1: Giả sử s = t 6= Thì từ phương trình (2.64) ta có ug(u, v) + vh(u, v) − xg (x, y) − yh (x, y) = (u − x) g (u + x, v + y) + (v − y) h (u + x, v + y) (2.65) lu an Thay x −x, y −y vào (2.65), ta n va tn to ug(u, v) + vh(u, v) + xg (−x, −y) + yh (−x, −y) ie gh = (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y) (2.66) p Từ phương trình (2.65) (2.66), ta có oa nl w xg (−x, −y) + yh (−x, −y) + xg(x, y) + yh(x, y) = (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y) d nf va an lu − (u − x) g (u + x, v + y) − (v − y) h (u + x, v + y) (2.67) Cho u = −x, v = −y vào phương trình (2.65) ta lm ul xg (−x, −y) + yh (−x, −y) + xg(x, y) + yh(x, y) = 2ax + 2by, (2.68) z at nh oi a = g(0, 0), b = h(0, 0) Bây sử dụng (2.68) vào (2.67) ta 2ax + 2by = (u + x) g (u − x, v − y) + (v + y) h (u − x, v − y) z gm @ − (u − x) g (u + x, v + y) − (v − y) h (u + x, v + y) (2.69) m a(x + u) − a(u − x) + b(v + y) − b(v − y) co l tương đương với an Lu = (u + x)g(u − x, v − y) + (v + y)h(u − x, v − y) n va − (u − x)g(u + x, v + y) − (v − y)h(u + x, v + y) (2.70) ac th si 35 Vì vậy, ta có (u + x) [g(u − x, v − y) − a] + (v + y) [h(u − x, v − y) − b] = (u − x) [g(u + x, v + y) − a] + (v − y) [h(u + x, v + y) − b] (2.71) Thay u + x = l = v + y vào phương trình (2.71), ta g0 (u − x, v − y) + h0 (u − x, v − y) = α(u − x) + β(v − y), (2.72) g0 = g − a h0 = h − b Thay (2.72) vào (2.71), ta thấy lu [(v + y) − (u + x)] h0 (u − x, v − y) + β(u + x)(v − y) an = [(v − y) − (u − x)] h0 (u + x, v + y) + β(u − x)(v + y), n va gh tn to hay p ie [(v + y) − (u + x)][h0 (u − x, v − y) − β(v − y)] nl w = [(v − y) − (u − x)][h0 (u + x, v + y) − β(v + y)] (2.73) d oa Cố định v + y u + x cho v + y 6= u + x tách biến ta h0 (u − x, v − y) − β(v − y) = α0 [(v − y) − (u − x)], nf va an lu (2.74) với α0 số Vì ta có lm ul hay z at nh oi h(u − x, v − y) = (α0 + β)(v − y) − α0 (u − x) + b, (2.75) z h(x, y) = δy + γx + b, @ l gm với γ, δ số Cho (2.75) vào (2.72) ta g(x, y) = (α − γ)x + (β − δ)y + a m co (2.76) an Lu Sử dụng (2.75) (2.76) vào (2.62) ta n va f (x, y) = (α − γ)x2 t + (β − δ + γ)xyt + δy t + ax + by + c ac th si 36 Vì ta có nghiệm 2 f (x, y) = (α − γ)x t + (β − δ + γ)xyt + δy t + ax + by + (α − γ)x + (β − δ)y + a g(x, y) = h(x, y) =   c     (2.77)       δy + γx + b Thay phần vào (2.46) với s = t 6= ta β − δ = γ (2.78) Khi (2.77) trở thành 2 lu f (x, y) = (α − γ)x t + 2γxyt + δy t + ax + by + an (α − γ)x + γy + a g(x, y) = va n h(x, y) =   c     (2.79)       γx + δy + b to ie gh tn Trường hợp 3.2: Giả sử s = −t 6= Khi phương trình (2.64) trở thành p ug(u, v) + vh(u, v) + xg(−x, −y) + yh(−x, −y) oa nl w = (u + x)g(u + x, v + y) + (v + y)h(u + x, v + y) (2.80) d Thay u = = v vào phương trình (2.80) ta an lu xg(−x, −y) + yh(−x, −y) = xg(x, y) + yh(x, y) (2.81) nf va z at nh oi lm ul Sau đó, sử dụng (2.80) vào (2.81) ta ug(u, v) + vh(u, v) + xg(x, y) + yh(x, y) = (u + x)g(u + x, v + y) + (v + y)h(u + x, v + y) z Do (2.82) m co ug(u, 0) = A(u), l gm @ Cho y = v = vào (2.3), ta thấy ug(u, 0)+xg(x, 0) = (u+x)g(u+x, 0) an Lu với A hàm cộng tính tùy ý Tương tự, thay x = u = vào (2.3), ta n va vh(0, v) + yh(0, y) = (v + y)h(0, v + y) ac th si 37 Vì vh(0, v) = B(v), (2.83) B hàm cộng tính tùy ý Tiếp theo, thay x = = v vào (2.3) ta ug(u, 0) + yh(0, y) = ug(u, y) + yh(u, y) (2.84) Sử dụng (2.82) (2.83) vào (2.84), ta ug(u, y) + yh(u, y) = A(u) + B(y) (2.85) lu Sử dụng (2.85) vào (2.62), ta cho x 6= an  n va  A(tx) B(ty)   + +c  f (x, y) =     t t  A(x) B(y) y g(x, y) = + − h(x, y)    x x x      h(x, y) = tùy ý p ie gh tn to (2.86) w Trường hợp 3.3: Giả sử 6= s2 6= t2 6= Đổi biến x với u y với v oa nl phương trình (2.63) ta có d xg(tx, ty) + yh(tx, ty) − ug(tu, tv) − vh(tu, tv) = lu nf va an (x − u)g(tx + su, ty + sv) + (y − v)h(tx + su, ty + sv) Cộng phương trình (2.63) với (2.3) ta lm ul (x − u)g(sx + tu, sy + tv) + (y − v)h(sx + tu, sy + tv) z at nh oi = (x − u)g(tx + su, ty + sv) + (y − v)h(tx + su, ty + sv) (2.87) z Thay tu + sx = = sy + tv vào (2.87) ta @ t2 − s t2 − s  t2 − s t2 − s    xg x, y + yh x, y = ax + by, t t t t     gm (2.88) co l tx ty y = vào t2 − s2 t2 − s2 (2.89) n va xg(x, y) + yh(x, y) = ax + by an Lu (2.88), ta m a = g(0, 0) b = h(0, 0) Thay x = ac th si 38 Sử dụng phương trình (2.89) vào (2.62), ta f (x, y) = ax + by + c (2.90) Thế (2.90) vào (2.46) au + bv − ax − by = (u − x)g(sx + tu, sy + tv) + (v − y)h(sx + tu, sy + tv) Xét v = x = 0, ta au − by = ug(tu, sy) − yh(tu, sy), lu an y u y nhân với ts, ta t s n va cuối u (2.91) (2.92) gh tn to asu − bty = sug(u, y) − tyh(u, y) p ie Thay u x vào (2.92) kết hợp với (2.89) ta (2.93) g(x, y) = a, (2.94) oa nl w a(s + t)x = (s + t)xg(x, y), d s2 6= t2 nên ta có nf va an lu với x ∈ R\{0} y ∈ R Tương tự, ta có h(x, y) = b với x ∈ R z at nh oi phương trình (2.90), ta có lm ul y ∈ R\{0} Thay u = + x v = + y vào phương trình (2.46) từ a + b = g(t + x(s + t), t + y(s + t)) + h(t + x(s + t), t + y(s + t)) z gm @ suy a + b = g(x, y) + h(x, y) l m co với x, y ∈ R Tiếp theo, x = 0, ta a + b = g(0, y) + h(0, y) Vì an Lu h(x, y) = b với x ∈ R y ∈ R\{0}, nên ta g(0, y) = a với y ∈ R\{0} Hơn nữa, g(0, 0) = a, ta thấy (2.94) thỏa mãn với n va x, y ∈ R ac th si 39 Thế (2.94) (2.90) vào (2.46), ta h(x, y) = b, (2.95) với x, y ∈ R Vậy f (x, y) = ax + by + g(x, y) = h(x, y) = a   c     (2.96)       b, với x, y ∈ R, a, b, c số Từ Định lý 2.3.1 ta có hệ sau lu Hệ 2.3.2 Cho fx fy đạo hàm riêng f : R2 → R, cho an n va trước s t, tham số thực Hàm f thỏa mãn phương trình hàm vi tn to phân ie gh f (u, v) − f (x, y) = p (u − x)fx (su + tx, sv + ty) + (v − y)fy (su + tx, sv + ty), oa nl w với x, y, u, v ∈ R thỏa mãn (u − x)2 + (v − y)2 6= 0, hàm f có dạng d   nf va f (x, y) =  + by + cy + dy + exy + α s = an lu    ax2 =t ax + by + c ngược lại, lm ul a, b, c, d, e, α số tùy ý z at nh oi Khẳng định trường hợp mở rộng Định lý giá trị trung bình Cauchy z Định lý 2.3.3 Với hàm f, g : R2 → R với đạo hàm riêng liên tục @ l gm fx , fy , gx gy cho tất cặp riêng biệt (x, y) (u, v) ∈ R2 , tồn điểm trung gian (η, ξ) đoạn nối điểm (x, y) (u, v) m co cho an Lu [f (u, v) − f (x, y)][(u − x)gx (η, ξ) + (v − y)gy (η, ξ)] va n = [g(u, v) − g(x, y)][(u − x)fx (η, ξ) + (v − y)fy (η, ξ)] (2.97) ac th si 40 Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh cho trường hợp biến Ta xác định hàm bổ trợ Ψ(s, t) = [f (u, v) − f (s, t)][g(u, v) − g(x, y)] − [f (u, v) − f (x, y)][g(u, v) − g(s, t)], (2.98) Ψ(u, v) = Ψ(x, y) = 0, Ψ hàm khả vi với hàm f g, theo định lý giá trị trung bình cho hàm hai biến tồn (η, ξ) đoạn nối (x, y) (u, v), cho (u − x)Ψs − (η, ξ) + (v − y)Ψt (η, ξ) = (2.99) lu an Từ phương trình (2.98) (2.99) ta có n va tn to (u − x)gx (η, ξ)[f (u, v) − f (x, y)] − fx (η, ξ)[g(u, v) − g(x, y)] ie gh + (v − y){fy (η, ξ)[g(u, v) − g(x, y)] − gy (η, ξ)[f (u, v) p − f (x, y)]} = (2.100) w d oa nl Ta có điều phải chứng minh nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: • Sơ lược phương trình hàm, định lý giá tri trung bình Lagrange lu mối quan hệ với phương trình hàm Phương trình hàm định lý giá an va trị trung bình Cauchy Một số toán áp dụng Nội dung n lấy từ tài liệu [10] (chương 2) P K Sahoo, T Reidel báo gh tn to [12] xuất năm 2016 Z M Balogh cộng p ie • Về phương trình hàm định lý giá trị trung bình hai chiều: định lý w giá trị trung bình hàm hai biến, phương trình hàm loại giá trị oa nl trung bình, phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng định d lý giá trị trung bình hàm hai biến Nội dung lấy chủ lu tài liệu liên quan nf va an yếu từ tài liệu [10] (chương 4) P K Sahoo, T Reidel số z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục lu an va [2] Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị (2013), Tuyển tập Olympic toán học n nước Châu Á- Thái Bình Dương, NXB ĐH Quốc gia HN tn to gh [3] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), Tuyển tập 40 năm Olympic p ie Toán học quốc tế, NXB Giáo dục nl w [4] Lục Trường Giang (2015), Một số dạng phương trình hàm xây dựng từ d oa định lý giá trị trung bình, Luận văn Thạc sĩ Toán học - Trường ĐH z at nh oi lm ul Tiếng Anh nf va an lu Khoa học - ĐHTN [5] J Aczél (1985), "A Mean Value Property of the Derivative of Quadratic Polynomials-without Mean Values and Derivatives", Math- z ematics Magazine, 58(1), pp 42-45 @ tions, University of Waterloo, Canada m co l gm [6] J Aczél (2006), Lectures on Functional Equations and their applica- them, Springer an Lu [7] Christopher G Small (2007), Functional Equations and How to solve n va ac th si 43 [8] P K Sahoo, P Kannappan (2011), Introduction to Functional Equations, Chapman & Hall/CRC [9] P Kannappan, T Riedel, P K Sahoo (1997), ”On a functional equation associated with Simpson’s rule”, Result Math, 31, pp 115-126 [10] P K Sahoo, T Reidel (1998), Mean Value Theorem and Functional Equations, World Scientific [11] Titu Andreescu, Iurie Boreico (2007), Functional Equations, Electronic Edition lu an [12] Z M Balogh, O O Ibrogimov, B S Mityagin (2016), "Functional n va equations and the Cauchy mean value theorem", Aequationes mathe- p ie gh tn to maticae, 90(4), pp 683–697 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si