(Luận văn) về phương trình hàm jensen, tính ổn định và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THẾ ANH lu an n va tn to p ie gh VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN, d oa nl w TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THẾ ANH lu an n va VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN, p ie gh tn to TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC va an lu u nf Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp ll Mã số: 60 46 01 13 oi m z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC @ m co l gm TS TRẦN XUÂN QUÝ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2017 ac th si i Mục lục lu an n va ii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn hội tụ 1.2 Không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy 1.3 Hàm lồi, hàm cộng tính số kết 3 p ie gh tn to Bảng ký hiệu d oa nl w Chương Phương trình hàm Jensen tính ổn định 10 2.1 Phương trình hàm Jensen 10 2.1.1 Định nghĩa ví dụ 10 2.1.2 Một số phương trình hàm liên quan 15 2.1.3 Một số toán áp dụng 17 2.2 Tính ổn định phương trình hàm Jensen 19 2.2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias 20 2.2.2 Sự ổn định miền giới hạn 25 2.2.3 Phương pháp điểm bất động 32 nf va an lu z at nh oi lm ul 36 z Kết luận gm @ Tài liệu tham khảo 37 m co l an Lu n va ac th si ii Bảng ký hiệu lu an n va p ie gh tn to N Q R R+ C R2 K KN X N RN (−c, c)N |u| kuk E1 E, E2 (JE) J J-lõm J-lồi d oa nl w tập hợp số tự nhiên tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực tập hợp số thực dương tập hợp số phức tập hợp cặp (x, y) số thực tập R tập C tập RN tập CN không gian định chuẩn không gian Banach số nguyên dương N tập hợp số thực (x1 , , xN ) tập hợp số (x1 , , xN ) khoảng (−c, c) giá trị tuyệt đối số thực u module số phức u chuẩn u không gian định chuẩn thực không gian Bannach thực phương trình hàm Jensen hàm Jensen hàm Jensen lõm hàm Jensen lồi nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Phương trình hàm nhánh Toán học đại, từ năm 1747 đến 1750 nhà tốn học J D’Alembert cơng bố báo liên quan phương trình hàm, xem kết phương trình hàm Nhiều nhà tốn học (tiêu biểu: N.H Abel, J Bolyai, A.L Cauchy, J D’Alembert, L Euler, M Fréchet, C.F Gauss, J.L.W.V Jensen, A.N Kolmogorov, N.I Lobacevskii, J.V Pexider, S.D Poisson) tiếp cận phương trình hàm theo mục tiêu nghiên cứu khác nhau, nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu định lượng (ước lượng nghiệm, số nghiệm hay dạng cụ thể nghiệm), nghiên cứu nghiệm địa phương nghiệm toàn cục, nghiên cứu nghiệm liên tục hay nghiệm có tính gián đoạn, Dựa vào phương pháp tiếp cận đó, luận văn hoàn thành với tên đề tài là: Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng Nội dung luận văn trình bày số kiến thức phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng Các kết trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1] số tài liệu liên quan Ngồi mục lục, lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn trình bày số kiến thức không gian định chuẩn hội tụ, không gian Banach tiêu chuẩn hội d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to tụ Cauchy, hàm lồi, hàm cộng tính số kết Chương Phương trình hàm Jensen tính ổn định Ở chương luận văn trình bày phương trình hàm Jensen, cách tìm nghiệm phương trình hàm Jensen xác định trường số thực nghiệm liên tục affine Sau đó, nghiên cứu nghiệm liên tục phương trình hàm Jensen khoảng đóng bị chặn Tiếp theo, nghiên cứu nghiệm phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu số tập áp dụng Và cuối cùng, luận văn trình bày tính ổn định phương trình hàm Jensen có tính ổn định Hyers-UlamRassias, ổn định miền giới hạn phương pháp điểm bất động Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin gửi cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn Tin Phịng Đào tạo trường Trân trọng cảm ơn Thầy, Cơ tận tình truyền đạt kiến thức q báu tạo điều kiện thuận lợi q trình học tập Đặc biệt, tơi xin gửi lời biết ơn chân thành đến TS Trần Xuân Quý, người Thầy hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Mặc dù bận rộn công việc Thầy dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tơi suốt thời gian thực đề tài Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập thực luận văn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn l gm @ m co Học viên Hoàng Thế Anh an Lu n va ac th si Chương lu Một số kiến thức chuẩn bị an n va p ie gh tn to Với mục tiêu tìm hiểu phương trình hàm Jensen, tính ổn định ứng dụng, chương luận văn trình bày số kiến thức không gian định chuẩn hội tụ, không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, hàm lồi, hàm cộng tính số kết d oa nl w Không gian định chuẩn hội tụ nf va an lu 1.1 Đặt K := R K := C lm ul z at nh oi Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian véc tơ trường K Khi đó, X gọi khơng gian định chuẩn K tồn chuẩn k·k X, nghĩa với u, v ∈ X α ∈ K, ta có khẳng định sau: z @ m an Lu (iv) ku + vk = kuk + kvk co (iii) kαuk = |α| kuk; l (ii) kuk = u = 0; gm (i) kuk ≥ (tức kuk số thực không âm); n va ac th si Không gian định chuẩn tương ứng K = R K = C gọi không gian định chuẩn thực phức Số ku − vk gọi khoảng cách điểm u v Đặc biệt, kuk khoảng cách điểm u điểm gốc v = Vì −u = (−1)u, nên từ (iii) định nghĩa ta có k−uk = kuk với u ∈ X Từ (iv) ta có k(u + v) − wk ≤ ku + vk+kwk ≤ kuk+kvk+kwk P N P N kuj k với Tổng quát, quy nạp ta có uj ≤ j=1 j=1 u1 , , uN ∈ X, N = 1, 2, Ví dụ 1.1.2 Cho X := R Ta đặt lu kuk := |u| an n va Ví dụ 1.1.3 Cho X := C Ta đặt p ie gh tn to với u ∈ R, với |u| giá trị tuyệt đối u Khi đó, X = R gọi không gian định chuẩn thực w kuk := |u| d oa nl với u ∈ C, với |u| module số phức u Khi đó, X gọi khơng gian định chuẩn phức an lu nf va Mệnh đề 1.1.4 Cho X không gian định chuẩn Khi đó, với u, v ∈ X, ta có bất đẳng thức sau lm ul |kuk − kvk| ≤ ku ± vk ≤ kuk + kvk z at nh oi Định nghĩa 1.1.5 Cho (un ) dãy không gian định chuẩn X, tức là, un ∈ X với n Ký hiệu z m co n→∞ l lim kun − uk = gm @ lim un = u n→∞ an Lu Ta nói giới hạn dãy (un ) hội tụ u Ta ký hiệu un → u n → ∞ n va ac th si Mệnh đề 1.1.6 Cho X không gian định chuẩn K Cho un , , u, v ∈ X αn , α ∈ K với n = 1, 2, Khi ta có khẳng định sau (i) Nếu tồn giới hạn lim un , giới hạn n→∞ (ii) Nếu un → u n → ∞, (un ) bị chặn, nghĩa tồn số r ≥ thỏa mãn kun k ≤ r với n (iii) Nếu un → u n → ∞, kun k → kuk n → ∞ lu (iv) Nếu un → u → v n → ∞ un + → u + v n → ∞ an n va (v) Nếu un → u αn → α n → ∞ αn un → αu n → ∞ p ie gh tn to Định nghĩa 1.1.7 Dãy (un ) không gian định chuẩn X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số n0 (ε) thỏa mãn oa nl w kun − um k < ε d với n, m ≥ n0 (ε) an lu nf va Mệnh đề 1.1.8 Trong không gian định chuẩn, dãy hội tụ dãy Cauchy lm ul Không gian Banach tiêu chuẩn hội tụ Cauchy z at nh oi 1.2 z Định nghĩa 1.2.1 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy Cauchy hội tụ gm @ m co l Ví dụ 1.2.2 Khơng gian X := K không gian Banach K với chuẩn kuk := |u| an Lu với u ∈ K n va ac th si Ví dụ 1.2.3 Với N = 1, 2, Không gian X := KN không gian Banach K với chuẩn kxk := |x|∞ , |x|∞ := max |ξj | , 1≤j≤N với x = (ξ1, , ξN ) Xét xn = (ξ1n, , ξN n ) Khi lim |xn − x|∞ = lim ξkn = ξk với k = 1, , N n→∞ n→∞ Ví dụ 1.2.4 Với N = 1, 2, Không gian X := KN không gian Banach với chuẩn Euclide k·k, với lu an  n va kxk :=  N X  21 ξj2  , x = (ξ1, , ξN ) Ngoài lim |xn − x| = lim ξkn = ξk với k = 1, , N p ie gh tn to j=1 n→∞ w n→∞ d oa nl Ví dụ 1.2.5 Với −∞ < a < b < +∞ Khi đó, X := C[a, b] không gian Banach với chuẩn nf va an lu kuk := max |u(x)| a≤x≤b lm ul Sự hội tụ un → x n → ∞ X, hay hiểu z at nh oi kun − uk = max |un (x) − u(x)| → a≤x≤b z n → ∞ @ m co l gm Mệnh đề 1.2.6 Cho (un ) dãy Cauchy không gian định chuẩn X Dãy (un ) chứa dãy (unk ) hội tụ tới u Khi dãy (un ) hội tụ tới u an Lu n va ac th si 18 Bài tốn Tìm tất hàm f : C → C thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) với x, y ∈ C Bài toán Với p, q, r ba số nguyên dương cho trước Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm  px + qy  pf (x) + qf (y) f = r r lu với x, y ∈ C an n va p ie gh tn to Bài tốn Tìm tất hàm f : R2 → R thỏa mãn phương trình hàm  x + x y + y  f (x , x ) + f (y , y ) 2 2 3f , = 2 d oa nl w với x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R nf va an lu Bài tốn Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm x + y + z  h x + y  y + z  3f + f (x) + f (y) + f (z) = f +f 2 z + x i +f z at nh oi lm ul z với x, y, z ∈ R gm @ m co l Bài toán Chứng minh hàm số f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) với x, y ∈ R thỏa mãn phương trình hàm an Lu f (x + y + z) + f (x) + f (y) + f (z) = f (x + y) + f (y + z) + f (z + x) n va ac th si 19 Bài toán Cho n > n nguyên dương Tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình hàm  x + x + + x  f (x ) + f (x ) + + f (x ) n n f = n n với x1 , x2 , , xn ∈ R Bài tốn 10 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x + 2y) + f (x − 2y) = 2f (x) lu với x, y ∈ R an n va p ie gh tn to Bài toán 11 Nếu A : R → R hàm cộng tính f : R → R hàm lồi hàm hợp f (A(x)) hàm lồi Tính ổn định phương trình hàm Jensen nl w 2.2 d oa Có nhiều biến thể phương trình hàm Cauchy cộng tính, ví dụ phương trình Cauchy cộng tính dạng tổng qt, phương trình Hosszú, phương trình nhất, phương trình hàm tuyến tính, vv Tuy nhiên, phương trình hàm Jensen phương trình đơn giản quan trọng số Những vấn đề tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias phương trình Jensen chứng minh mục 2.2.1 đây, vấn đề tính ổn định Hyers-Ulam phương trình miền giới hạn thảo luận mục 2.2.2 Hơn nữa, kết tính ổn định miền giới hạn áp dụng để nghiên cứu tính tiệm cận hàm cộng tính Trong mục cuối phần 2.2.3, trình bày cách tiếp cận khác để chứng minh tính ổn định, phương pháp điểm bất động nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 20 2.2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias Có thể nói, biến thể đơn giản phương trình hàm Cauchy cộng tính phương trình hàm Jensen, tức dạng x + y  2f = f (x) + f (y) lu Nghiệm phương trình hàm Jensen gọi hàm Jensen Nó biết đến hàm f từ không gian vectơ thực vào nó, với f (0) = 0, hàm Jensen hàm cộng tính Trong mục này, chúng tơi trình bày tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias phương trình hàm Jensen Các kết trích dẫn từ tài liệu [7, 11] an n va p ie gh tn to Định lý 2.2.1 (Jung) Cho E1 E2 không gian định chuẩn thực không gian Banach thực Giả sử δ, θ ≥ cho p > với p 6= Giả sử hàm số f : E1 → E2 thỏa mãn bất phương trình hàm x + y  − f (x) − f (y) ≤ δ + θ (kxkp + kykp ) (2.20) 2f d oa nl w nf va an lu với x, y ∈ E1 Hơn nữa, giả sử f (0) = δ = (2.20) cho trường hợp p > Khi đó, tồn hàm cộng tính A : E1 → E2 thỏa mãn ( δ + kf (0)k + (21−p − 1)θkxkp ), với p < kf (x) − A(x)k ≤ −1 2p−1 (2p−1 − 1) θkxkp , với p > (2.21) với x ∈ E1 z at nh oi lm ul z @ l gm Chứng minh Nếu ta thay y = vào (2.20) ta có: k2f (x/2) − f (x)k ≤ δ + kf (0)k + θkxkp m co (a) an Lu với x thuộc E1 n va ac th si 21 Bằng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh n n X X −n n p −k f (2 x) − f (x) ≤ (δ + kf (0)k) + θkxk 2−(1−p)k k=1 k=1 lu (b) trường hợp < p < Bằng phép 2x cho x vào (a), ta thấy (b) với n = Bây giả sử bất phương trình (b) với n ∈ N Nếu x (a) 2n+1 x từ (b) suy 2−(n+1) f (2n+1 x) − f (x) ≤ 2−n 2−1 f (2n+1 x) − f (2n x) + k2−n f (2n x) − f (x)k n+1 n+1 P −k p P −(1−p)k ≤ (δ + kf (0)k) + θkxk an n va k=1 k=1 gh tn to Bất phương trình (b) chứng minh Ta đặt A(x) = lim 2−n f (2n x) (c) n→∞ ie p với x ∈ E1 Hàm số A hoàn toàn xác định E2 khơng gian Banach dãy {2−n f (2n x)} dãy Cauchy với x thuộc E1 Cho n > m, từ (b) ta có −n n f (2 x) − 2−m f (2m x) −m −(n−m) n−m m m = 2 f (2 x) − f (2 x)  2mp θkxkp ≤ 2−m δ + kf (0)k + 1−p −1 → m → ∞ Xét x, y ∈ E1 tùy ý Khi đó, từ (c) (2.20), suy d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z n→∞ m co l gm @ ||A(x + y) − A(x) − A(y)|| =  n+1  (x + y) n+1 n+1 = lim 2−(n+1) 2f − f (2 x) − f (2 y) n→∞   ≤ lim 2−(n+1) δ + θ2(n+1)p (kxkp + kykp ) an Lu Vì vậy, A hàm cộng tính, bất đẳng thức (b), định nghĩa n va ac th si 22 (c) suy bất đẳng thức (2.21) Tiếp theo, xét A0 : E1 → E2 hàm cộng tính khác thỏa mãn bất đẳng thức (2.21) Từ suy kA(x) − A0 (x)k = 2−n kA(2n x) − A0 (2n x)k lu n ≤ 2−n (kA(2 x) − f (2n x)k + kf (2n x) − A0 (2n x)k)  2θ ≤ 2−n 2δ + kf (0)k + 1−p 2np kxkp −1 với x ∈ E1 với n ∈ N Vì vế phải bất đẳng thức cuối tiến đến n → ∞, suy A(x) = A0 (x) với x ∈ E1 , hay A an n va p ie gh tn to Với trường hợp p > δ > thỏa mãn bất đẳng thức (2.20), ta chứng minh bất đẳng thức tương tự sau k=0 nl w n−1 X n −n p f (2 x) − f (x) ≤ θkxk 2−(p−1)k d oa thay chứng minh (b) Phần lại việc chứng minh trường hợp tương tự phần an lu nf va Hệ 2.2.2 Cho E1 E2 không gian định chuẩn thực không gian Banach thực Cố định δ ≥ Giả sử hàm f : E1 −→ E2 thỏa mãn bất đẳng thức (2.20) với θ = với x, y ∈ E1 Khi đó, tồn hàm cộng tính A : E1 −→ E2 thỏa mãn bất phương trình (2.21) với θ = z at nh oi lm ul z Cho p ∈ [0, 1) Thay x + y x y = vào (2.20), ta x + y  − f (x + y) ≤ δ + kf (0)k + θ (kxkp + kykp ) 2f m co l gm @ Bất phương trình với (2.20) cho ta an Lu kf (x + y) − f (x) − f (y)k ≤ 2δ + kf (0)k + 2θ(kxkp + kykp ) n va ac th si 23 với x, y ∈ E1 Theo (Định lí 2.3 2.5, S-M.Jung[163]), tồn hàm cộng tính A : E1 −→ E2 thỏa mãn kf (x) − A(x)k ≤ 2δ + kf (0)k + 2θ kxkp p−1 1−2 lu với x ∈ E1 Ta thấy ý tưởng từ chứng minh Định lí 2.2.1 khơng thể áp dụng để chứng minh tính ổn định (2.20) với trường hợp p < Một bước quan trọng việc chứng minh Định lí 2.2.1 đặt y = bất đẳng thức (2.20), điều làm trường hợp p < Bài tốn tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias trường hợp p < toán mở Th M Rassias P Semrl xây dựng hàm liên tục nhận giá trị thực để chứng minh bất đẳng thức hàm an n va to ie gh tn kf (x + y) − f (x) − f (y)k ≤ θ (kxk + kyk) p không ổn định theo nghĩa Hyers, Ulam, Rassias Theo kết này, S M Jung(1998) chứng minh hàm số xây dựng Rassias Serml cho ta phản ví dụ Định lí 2.2.1 trường hợp p = sau: d oa nl w lu nf va an Định lý 2.2.3 Giả sử f hàm liên tục có giá trị thực, xác định  xlog2 (x + 1), (x ≥ 0) f (x) = xlog2 |x − 1| , (x < 0) z at nh oi lm ul z thỏa mãn bất đẳng thức x + y  − f (x) − f (y) ≤ 2(|x| + |y|), 2f m co |f (x) − A(x)| / |x| l với x, y ∈ R, tập ảnh gm @ (2.22) an Lu với x 6= khơng bị chặn với hàm cộng tính A : R −→ R n va ac th si 24 lu Chứng minh Theo giả thiết hàm f hàm số liên tục, hàm số lẻ hàm lồi (0, ∞) Cho x y hai số dương Vì f hàm lồi (0, ∞) nên từ x + y  |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ f (x + y) − 2f (a) ta có + 2x + 2y |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ (x + y)log2 < |x| + |y| 2+x+y (b) với x, y > Do f hàm lẻ, (b) với x, y < Vì (b) với x = 0, y = 0, x + y = 0, Ta xét trường hợp lại x > y < Khơng tính tổng qt, giả sử |x| > |y| Bởi tính lẻ lồi f từ (a) ta có an n va p ie gh tn to |f (x + y) − f (x) − f (y)| = |f (x) − f (x + y) − f (−y)| ≤ f (x) − 2f (x/2) 2x + = xlog2 x+2 < |x| + |y| , nl w d oa Vì x + y, −y > Do đó, bất phương trình (b) với x, y ∈ R Bằng cách x/2 x y/2 y (b), nhân vế với ta x+y