(Luận văn) về bất đẳng thức loại gruss và một số bài toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THÀNH CÔNG lu an n va p ie gh tn to VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THÀNH CÔNG lu an va n VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN p ie gh tn to w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa nl Mã số: 46 01 13 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS Trần Xuân Quý m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si Mục lục Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Chng V bt ng thc Gră uss 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hàm số, biến phân biến 1.1.2 Bất ng thc Hăolder 1.2 V bt ng thc Gră uss 1.3 Mt s bất đẳng thức liên quan 1.3.1 Bất đẳng thức Karamata 1.3.2 Bất đẳng thức Steffensen 1.3.3 Bất đẳng thức Young toàn phần d oa nl w phân 3 10 10 13 15 nf va an lu Chương Về bất ng thc loi Gră uss v mt s kt qu liờn quan 2.1 Bt ng thc Gră uss-Chebyshev 2.2 Bất đẳng thức loại Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes 2.2.1 Bt ng thc loi Gră uss tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phân bị chặn 2.2.2 Bất ng thc loi Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes có hàm lấy tích phân hàm Lipschitz 2.3 Bt ng thc loi Gră uss i vi tớch phõn Riemann-Stieltjes z at nh oi lm ul z l gm @ 19 27 37 40 m co Kết luận 17 17 19 an Lu Tài liệu tham khảo 41 n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Chủ để “bất đẳng thức” chủ đề khai thác kỳ thi chọn học sinh giỏi, lớp, cấp phổ thơng, khơng phải tính trực quan toán “so sánh” mà vấn đề thực có nhiều ứng dụng tốn học đại Bài toán bất đẳng thức nghiên cứu nhiều khía cạnh tốn học, từ tốn học lý thuyết túy đến toán học ứng dụng Cùng với phát triển cơng nghệ thơng tin, toán giải gần quan tâm nhiều nhà toán học ứng dụng, mà bên cạnh khơng thể thiếu tốn “so sánh” Cùng với vai trò bất đẳng thức bất đẳng thức AM – GM, Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz ., năm 1935 nhà toán học người Đức G Gră uss ó chng minh mt bt ng thc tích phân cho liên hệ tích phân tích hai hàm số tích phân hàm số mang tên ơng bất ng thc Gră uss ng dng v ỏp dng nhiều lĩnh vực khác Tốn học Vì lý chúng tơi chọn đề tài luận văn l Bt ng thc loi Gră uss v mt s toán liên quan” Nội dung luận văn chia thành hai chương tham khảo từ tài liệu [2] tài liệu liên quan trình bày danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, chia làm hai chương: Chương Về bt ng thc Gră uss Chng ny trỡnh by li kiến thức liên quan đến luận văn như: Trình bày lại số khái niệm hàm số biến phân, biến phân tồn phân tính cht Bt ng thc Hăolder Bt ng thc Gră uss, ch iu kin yu hn gi thit Gră uss Một số bất đẳng thức liên quan Karamta, Steffensen, Young Chng V bt ng thc loi Gră uss số kết liên quan d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Chương trình bày cỏc bin th ca bt ng thc Gră uss, chng hn nh: Bt ng thc Gră uss-Chebyshev Bt ng thc kiu Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes cú hm ly tớch phõn b chn Bt ng thc kiu Gră uss tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phõn l hm Lipschitz Bt ng thc kiu Gră uss tích phân Riemann-Stieltjes Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học khoa học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường THCS Tân Liên, Vĩnh Bảo, Hải Phịng tồn thể anh chị em đồng nghiệp tạo nhiều điều kiện tốt cho tác giả thời gian học cao học; cám ơn anh chị em học viên lớp cao học Toán K11 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS Trần Xuân Quý quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp cao học Toán K11 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ, anh chị em gia đình Xin chân thành cám ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 12 năm 2019 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Học viên z co l gm @ m Phạm Thành Công an Lu n va ac th si Chng V bt ng thc Gră uss lu an n va Một số kiến thức chuẩn bị p Hàm số, biến phân biến phân toàn phần d oa 1.1.1 nl w 1.1 ie gh tn to Trong chương này, chúng tơi, trình bày số kiến thức khái niệm tính chất hàm số liên tục tuyệt đối, biến phân biến phân toàn phn ca hm s Bt ng thc Hăolder dng i s v dng gii tớch, Bt ng thc Gră uss Các kết sử dụng cho chứng minh Chương nf va an lu Định nghĩa 1.1.1 (a) Hàm số f : [a, b] → R gọi liên tục tuyệt đối [a, b] với ε > tồn số dương δ thỏa mãn lm ul n X |f (xi ) − f (yi )| < ε, i=1 z at nh oi với họ hữu hạn khoảng rời {[xi , yi ] : i = 1, 2, , n} P [a, b] với ni=1 |xi − yi | < δ z i=1 an Lu với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] m |f (xi ) − f (xi−1 )| M, co n X l gm @ (b) Hàm số f : [a, b] → R gọi có biến phân bị chặn [a, b] tồn số M > thỏa mãn n va ac th si (c) Nếu hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn [a, b], biến phân tồn phần f [a, b] xác định sau b _ (f ) = a  n X sup P={x0 ,x1 ,··· ,xn } phân hoạch của[a,b]  i=1   |f (xi ) − f (xi−1 ) | Nhận xét 1.1.2 Một hàm liên tục tuyệt đối [a, b] liên tục có biến phân bị chặn [a, b] Ví dụ 1.1.3 Nếu f : [a, b] → R hàm đơn điệu tăng với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] ta có n X n X |f (xi ) − f (xi−1 )| = lu i=1 {f (xi ) − f (xi−1 )} i=1 an = f (xn ) − f (x0 ) = f (b) − f (a) n va tn to Vì vậy, hàm f có biến phân bị chặn b _ (f ) = f (b) − f (a) a gh p ie Ví dụ 1.1.4 Nếu hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) với sup |f (x)| > M , với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] a Nếu đặt u = xa , v = y b , p = (a + b)/a q = (a + b)/b, rõ ràng p > ta có bất đẳng thức sau lu an 1 1 + = =⇒ uv up + v q p q p q nf va (1.2) lm ul z at nh oi Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Young Kết di õy c gi l bt ng thc Hăolder z nh lý 1.1.7 (Bt ng thc Hăolder) Cho hai b số a1 , a2 , , an 1 b1 , b2 , , bn hai n số thực dương p > 1, thỏa mãn + = p q Khi ta có bất đẳng thức sau (1.3) m b i an Lu  n 1 n q X  p X p  q  bi i=1 i=1 co i=1 l gm @ n X Dấu xảy api = kbqi với i ∈ {1, 2, , , n} n va ac th si Kết bất đẳng thức Hăolder dng gii tớch, chỳng tụi ch trỡnh by kết mà không chứng minh Định lý 1.1.8 (Bất ng thc Hăolder dng gii tớch) Gi s p, q > thỏa 1 mãn + = 1, f g hai hàm số liên tục đoạn [a, b], p q Z b a Z b |f (x)g(x)| dx a !1 p |f (x)| dx p Z b a !1 q |g(x)| dx q (1.4) Dấu “=” xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho A |f (x)|p = B |g(x)|q ∀x ∈ [a, b] lu an n va 1.2 Về bt ng thc Gră uss tn to Gi s f, g p hàm khả tích [a, b] Ta có ký hiệu sau gh ie Z x p P (x) = a w Rb a ! p(x)f (x)dx Rb d oa nl A(f ; p) = P (x) = P (b) − P (x), p(t)dt, a ! A(f ) = A(f ; 1), , p(x)dx lu T (f, g; p) = A(f g; p) − A(f ; p)A(g; p), A(f ; p) R(f, g; p) = , A(f ; p)A(g; p) nf va an T (f, g) = T (f, g; 1), R(f, g) = R(f, g; 1), lm ul z at nh oi Giả sử f g hai hàm số xác định khả tích [a, b], thỏa mãn điều kiện γ g(x) Γ (1.5) z ϕ f (x) φ, @ (1.6) m an Lu |T (f, g)| (φ − ϕ)(Γ − γ), co l gm với x ∈ [a, b], ϕ, φ, γ, Γ số thực cho trc Nm 1935 G Gră uss ó a khng định sau: n va báo công bố năm 1935 Gră uss ó chng minh bt ng thc ny ˇ 1/4 xấp xỉ tốt Hàm T (f, g) gọi hàm Cebyˇ sev ac th si Định lý 1.2.1 Cho f, g : [a, b] → R hàm khả tích [a, b] thỏa mãn điều kiện γ g(x) Γ với x ∈ [a, b] φ f (x) Φ, (1.7) Khi ta có bất đẳng thức sau |T (f, g)| tương tự ta có đẳng thức (1.12) hàm g Theo giả thiết (1.7) ta có (f (x) − φ)(Φ − f (x)) > với x ∈ [a, b], Z b (f (x) − φ)(Φ − f (x))dx > a từ đẳng thức (1.12) suy Zb Zb f (x)dx − f (x)dx (1.13) b−a a b−a a ! ! Zb Zb ≤ Φ− f (x)dx f (x)dx − φ b−a a b−a a " ! !#2 Zb 1 Zb Φ− f (x)dx + f (x)dx − φ b−a a b−a a = (Φ − φ)2 ! lu an n va đánh giá trên, ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc tn to !2 > AB p ie gh A+B (g(x) − g(y))2 dxdy (Γ − γ)2 a Z bZ b a d oa nl w Tương tự ta có (1.14) lu g(y))dxdy lm ul Z Z b b (f (x) a a nf va an Sử dụng bất đẳng thức (1.10) kết hợp với bất đẳng thức (1.11) đánh giá (1.13) (1.14), ta thu − f (y))(g(x) − (Φ − φ)(Γ − γ)(b − a)2 z at nh oi z từ (1.9), ta suy (1.8) Để chứng minh số xấp xỉ tốt nhất, ta chọn hàm f, g : [a, b] → R, ! ! a+b a+b xác định sau f (x) = sgn x − , g(x) = sgn x − Khi 2 ta có Z b Z b Z b f (x)g(x)dx = 1, f (x)dx = g(x)dx = a a m co l gm @ a Φ−φ=Γ−γ =2 n va ta nhận dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.8) an Lu ac th si Nhận xét (a) Điều kiện (1.7) làm giảm với điều kiện yếu sau Z b a (f (x) − φ)(Φ − f (x))dx > 0, Z b a (Γ − g(x))(g(x) − γ)dx > (1.15) (b) Nếu ta xét hàm f (x) = (x − a)p , p > 0, ta thu bất đẳng thức moment hàm g: Z b