(Luận văn) về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƢƠNG THỊ LAN HƢƠNG lu an n va p ie gh tn to VỀ MỘT SỐ THUẬT TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC MỘT BIẾN THÀNH NHÂN TỬ d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2016 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƢƠNG THỊ LAN HƢƠNG lu an n va VỀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC MỘT BIẾN THÀNH NHÂN TỬ p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lu Mã số: 60 46 01 13 ll u nf va an Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z m co l gm @ TS Đoàn Trung Cƣờng an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2016 ac th si i Mục lục Danh sách ký hiệu iii lu an Chương Kiến thức chuẩn bị n va Mở đầu Phân tích bất khả quy đa thức 1.2 Thuật toán chia đa thức ie gh tn to 1.1 11 p Chương Thu gọn mod p đa thức bất khả quy Thu gọn mod p đa thức bất khả quy 11 2.2 Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein 16 2.3 Trường hợp đa thức thu gọn P(X) khơng có nghiệm F p 24 2.4 Bài tập đề nghị d oa nl w 2.1 nf va an lu 28 Phân tích đa thức thành nhân tử 28 3.2 Thuật tốn Yun phân tích khơng bình phương 32 3.2.1 Phân tích khơng bình phương 32 3.2.2 Thuật toán Yun 35 Phân tích nhân tử đa thức trường hữu hạn F p 38 l gm 3.3.1 Thuật toán tổng quát 38 3.3.2 Phân tích tách bậc 40 3.3.3 Phân tích đồng bậc 42 Phân tích bất khả quy Z[X] 44 m co an Lu n va 3.4 @ 3.3 z at nh oi 3.1 z lm ul Chương Một số thuật tốn phân tích đa thức thành nhân tử 26 ac th si ii 3.4.1 Chặn cho hệ số ước vành đa thức nguyên 44 3.4.2 Phân tích bất khả quy mod pe 48 3.4.3 Thuật toán Zassenhaus 51 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Danh sách ký hiệu lu an vành số nguyên Q trường số hữu tỷ Fp trường có p phần tử K[X] vành đa thức với hệ số trường K P(X) đa thức biến X deg P(X) bậc đa thức P(X) n va Z tn to modulo p gh mod p a không ước b gcd(P(X), Q(X)) ước chung lớn hai đa thức P(X) Q(X) p ie a6| b d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Đa thức khái niệm sở toán học Một mặt đa thức đối tượng nghiên cứu đại số, mặt chúng xuất tất lĩnh vực toán học nhiều lĩnh vực khoa học khác Các toán đa thức xuất lu an tốn phổ thơng tốn cao cấp Trong tốn phổ thơng, toán n va đa thức thường tốn khó, hay xuất kỳ thi học sinh giỏi, Khi xét đa thức, vấn đề người ta quan tâm tính bất khả quy rộng gh tn to kể kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia Olympic Toán Quốc tế p ie phân tích đa thức thành tích đa thức bất khả quy Tính chất w tương tự số nguyên tính chất nguyên tố phân tích thành tích oa nl số nguyên tố Các câu hỏi tính bất khả quy phân tích bất khả quy d đa thức nói chung khó trả lời nhiều Do vậy, việc hệ thống lại số tiêu lu nf va an chuẩn đa thức bất khả quy nghiên cứu số thuật toán phân tích đa thức biến (với hệ số nguyên) thành nhân tử cần thiết Với lý vậy, chúng lm ul chọn đề tài “Về số thuật tốn phân tích đa thức biến thành nhân tử” z at nh oi Khác với số ngun, thuật tốn để phân tích đa thức nguyên thành tích đa thức nguyên bất khả quy không hiển nhiên Nếu xét đa thức với hệ số trường hữu hạn việc phân tích khả thi hơn, có hữu hạn đa z gm @ thức có bậc nhỏ bậc đa thức cho trước Với đa thức hệ số ngun, l thuật tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà hiệu (về mặt tính toán) m vành số nguyên co đưa đa thức xét trường hữu hạn, sau nâng phân tích tìm lên lại an Lu Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số thuật tốn phân tích đa thức n va thành tích nhân tử bất khả quy, xét trường hợp đa thức nguyên, ac th si đa thức có hệ số trường hữu hạn F p Nội dung luận văn trình bày chi tiết kết chọn lọc số tài liệu tiêu chuẩn đa thức bất khả quy thông qua thu gọn mod p (reduction mod p) thuật tốn phân tích đa thức biến thành nhân tử bất khả quy thuật toán Kronecker, thuật toán Yun, thuật toán Zassenhaus Nội dung luận văn trình bày ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở chuẩn bị cho chương sau định lý phân tích đa thức thành nhân tử, bổ đề Gauss, thuật toán chia đa thức thuật tốn tìm ước chung lớn hai đa lu an thức n va Chương Thu gọn mod p đa thức bất khả quy Chúng tơi trình bày việc xét tính tn to chất bất khả quy đa thức nguyên thông qua thu gọn mod p với p gh số nguyên tố Kết trình bày tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein p ie mở rộng Các tiêu chuẩn trình bày ngắn gọn thơng qua w thu gọn mod p oa nl Chương Một số thuật tốn phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương d chúng tơi trình bày thuật tốn Kronecker để phân tích đa thức ngun thành lu nf va an nhân tử Đây thuật tốn để phân tích đa thức ngun, nhiên có ý nghĩa lý thuyết mặt tính tốn khơng hiệu lm ul Tiếp theo chúng tơi trình bày thuật tốn Yun để phân tích đa thức thành z at nh oi ước khơng chứa bình phương Thuật tốn chúng tơi trình bày phân tích đa thức với hệ số trường hữu hạn thành nhân tử Ý tưởng thuật toán sử dụng thuật tốn Zassenhaus, trình bày phần cuối z gm @ Chương 3, để phân tích đa thức nguyên thành tích đa thức nguyên bất l khả quy Ý tưởng thuật toán chuyển việc xét đa thức nguyên xét m co trường F p , sau sử dụng thuật tốn trước để phân tích đa thức thành tích đa phân tích lên Z an Lu thức bất khả quy F p Cuối cùng, sử dụng dạng Bổ đề Hensel để nâng n va Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái ac th si Nguyên hoàn thành với hướng dẫn TS Đồn Trung Cường (Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể Lớp B, cao học lu an Tốn khóa (2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt n va trình học tập tn to Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo gh Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Lê Hồng Phong, p ie Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học w tập cơng tác oa nl Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ d đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành nf va an lu tốt luận văn lm ul Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 z at nh oi Tác giả z gm @ m co l Dương Thị Lan Hương an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương nhắc lại số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc lu an trình bày kết chương sau Nội dung chương nhắc n va lại số định lí đa thức bất khả quy phân tích bất khả quy, thuật tốn chia tn to đa thức, thuật tốn tìm ước chung lớn hai đa thức Hầu hết kết ie gh chương trình bày dựa theo tài liệu [2] p 1.1 nl w Phân tích bất khả quy đa thức oa Trong tiết này, nhắc lại số kết đa thức bất khả quy tồn d phân tích bất khả quy lu nf va an Nhắc lại, đa thức khác với hệ số trường bất khả quy khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc nhỏ Ví dụ, đa lm ul thức bậc aX + b, với a 6= 0, bất khả quy z at nh oi Tính chất bất khả quy đa thức phụ thuộc vào trường hệ số xét Ví dụ, đa thức P(X) = X + đa thức bất khả quy R[X] đa thức z khả quy C[X] P(X) = (X − i)(X + i) @ gm Để xét tính chất bất khả quy đa thức, ta hay dùng bổ đề đơn giản sau m co biết l để biến đổi đa thức dạng mà ta áp dụng số tiêu chuẩn bất khả quy an Lu Bổ đề 1.1.1 Cho đa thức P(X) với hệ số trường K Với a ∈ K, đa n va thức P(X) bất khả quy đa thức P(X + a) bất khả quy ac th si Chứng minh Trước hết nhận xét deg P(X) = deg P(X + a) Ngoài ra, phân tích P(X) = H(X)K(X) tương đương với phân tích P(X + a) = H(X + a)K(X + a) Vì P(X) khả quy P(X + a) khả quy Hai đa thức P(X), Q(X) gọi liên hợp P(X) = λ Q(X) với số λ 6= Định lí 1.1.2 (Phân tích thành nhân tử) Giả sử K trường Khi đa thức P(X) ∈ K[X] khác có phân tích lu P(X) = P1α1 Prαr an n va với Pi ∈ K[X] đa thức bất khả quy đôi không liên hợp, α1 , , αr > Hơn Với đa thức nguyên, ta định nghĩa đa thức nguyên khác bất ie gh tn to phân tích sai khác thứ tự ước bất khả quy p khả quy khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc nhỏ nl w Với định nghĩa đa thức nguyên bất khả quy không phần tử bất d oa khả quy vành Z[X] định nghĩa thông thường Ví dụ, đa thức nguyên an lu 2X + = 2(X + 2) đa thức bất khả quy theo định nghĩa Trong toàn nf va luận văn ta sử dụng định nghĩa đa thức nguyên bất khả quy Một đa thức nguyên đa thức hữu tỷ (có hệ số trường số lm ul hữu tỷ Q) Liên hệ tính chất bất khả quy Z Q thể z at nh oi định lý tiếng sau, thường gọi Bổ đề Gauss Định lí 1.1.3 (Bổ đề Gauss) Cho đa thức nguyên P(X) khác Giả sử z gm @ có phân tích P(X) = G(X)F(X) với G(X), F(X) đa thức có hệ số hữu tỷ Khi tồn đa thức nguyên G∗ (X), F∗ (X) cho deg G(X) = deg G∗ (X), l co deg F(X) = deg F∗ (X) P(X) = G∗ (X)F∗ (X) Nói riêng, P(X) khả quy m Q phân tích thành tích hai đa thức với hệ số ngun có bậc an Lu thấp n va ac th si 41 • Nếu d + ≤ 12 e, đặt Y := Y p d := d + 1, mod Q Bước Đặt Pd := gcd(Y − X, Q) Nếu Pd 6= đặt Q := Q , Pd Y := Y mod Q quay lại Bước Định lí 3.3.3 Thuật tốn cho ta phân tích tách bậc đa thức P(X) lu Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d Lặp lại bước thuật an n va toán sau: tn to • d = Nếu = d + ≤ 12 e nghĩa e ≥ ta đặt d := d + = 1, p ie gh Nếu = d + > 12 e nghĩa e ∈ {0, 1} ta dừng (do deg P(X) = e) w mod P(X) d oa nl Y =Yp an lu Đặt P1 := gcd(Y − X, Q) = gcd(X p − X, P(X)), P1 tích ước nf va bất khả quy bậc (không liên hợp P(X)) (theo Mệnh đề 3.3.2) lm ul Ta có nhận xét: Xét d > 0, sau bước d, Q(X) khơng có ước bất khả quy bậc 1, 2, , d Ta chứng minh Pd+1 tích ước bất khả quy bậc d + z • Nếu d + > 12 e z at nh oi P(X) gm @ Vì Q(X) khơng có ước bất khả quy bậc 1, 2, , d nên Q(X) bất khả quy với i = 1, m deg Qi ≥ d + 1, co l Thật vậy, Q(X) = Q1 Q2 với deg Qi ≥ (với i = 1, 2) an Lu Nhưng n va deg(Q1 Q2 ) ≥ 2(d + 1) > e = deg Q ac th si 42 Suy Q 6= Q1 Q2 Điều mâu thuẫn Do thuật tốn dừng, đặt Pi = với i > d, i 6= e Pe = Q, • Nếu d + ≤ 12 e Ta có d+1 Y := X p mod Q(X) Đặt   d+1 Pd+1 := gcd(Y − X, Q(X)) = gcd X p − X, Q(X) lu Chú ý Q(X) khơng có ước bất khả quy bậc 1, 2, , d Do Pd+1 an va tích ước bất khả quy bậc d + Q(X) ước P(X) (do n Mệnh đề 3.3.2) tn to p ie gh Định lý chứng minh Hệ 3.3.4 Cho đa thức P(X) ∈ F p [X] có bậc deg P(X) = d > Đa thức P(X) w d d oa nl bất khả quy P(X) | X p − X với ước nguyên tố q d, ta có   d/q p gcd P(X), X − X = an lu Phân tích đồng bậc nf va 3.3.3 lm ul Cho đa thức P(X) ∈ F p [X] tích đa thức bất khả quy có bậc d đôi z at nh oi khơng liên hợp Mục đích bước tìm phân tích bất khả quy P(X) Bổ đề sau suy dễ dàng z Bổ đề 3.3.5 Ta có deg P(X) = dr với r số ước bất khả quy đôi không liên @ l gm hợp P(X) Nói riêng, P(X) bất khả quy deg P(X) = d m thức Q(X) ∈ F p [X] ta có co Mệnh đề 3.3.6 Cho p số nguyên tố lẻ P(X) đa thức Với đa an Lu     pd −1 pd −1 P(X) = gcd(P, Q) gcd P, Q + gcd P, Q − n va ac th si 43 d Chứng minh Do P(X) có đủ nghiệm (đều nghiệm đơn) F pd Q p − Q d nhận tất phần từ F pd nghiệm nên P(X) | Q p − Q P(X) Ngồi ta có  d  d Y p −Y = Y Y p −1 −  d  d  p −1 p +1 =Y Y +1 Y −1 với Y, Y pd −1 − 1, Y pd +1 +1 lu đôi nguyên tố nhau, nên từ an  d   d p +1 p −1 Q +1 P(X) | Q − Q = Q Q − n va pd gh tn to ta suy p ie     pd −1 pd +1 P(X) = gcd(P, Q) gcd P, Q − gcd P, Q + w oa nl Phép chứng minh kết thúc d d Nhận xét 3.3.7 Ta có nhận xét đa thức X p − X có pd nghiệm khác an lu pd −1 nf va F pd Do xác suất để P(X) đa thức X − có nghiệm chung lm ul F pd , hay nói cách khác có ước chung không tầm thường F p [X], xấp xỉ 12 Do Q(X) ∈ F p [X] đa thức monic chuẩn ngẫu nhiên có bậc nhỏ xấp xỉ 12 pd −1 − có ước chung khơng tầm thường z at nh oi 2d − xác suất để P(X) Q z Từ Nhận xét 3.3.7 ta có thuật tốn tách Cantor-Zassenhaus sau Mục đích @ l gm thuật toán đưa phân tích bất khả quy đa thức P(X) biết trước P(X) tích đa thức bất khả quy có bậc d đơi khơng liên m an Lu Thuật tốn Cantor-Zassenhaus (phân tích đồng bậc) co hợp Thuật toán gồm ba bước n va ac th si 44 Bước Đặt r = deg P d Nếu r = cho P1 = P dừng Bước Chọn Q(X) ∈ F p [X] ngẫu nhiên monic với deg Q(X) ≤ 2d − Đặt   pd −1 B = gcd P, Q − Nếu deg B = deg B = deg P quay lại Bước Nếu < deg B < deg P đặt P := PB Bước Lặp lại phân tích P B lu Chú ý trường hợp p = ta có thuật tốn tương tự Ở ta khơng nhắc an tới p lẻ đủ ta xét phân tích bất khả quy Z n va Phân tích bất khả quy Z[X] gh tn to 3.4 p ie Trong phần đầu chương ta xét thuật toán Kronecker tìm phân tích bất khả w quy đa thức ngun Tuy nhiên thuật tốn khơng hiệu số lượng Chặn cho hệ số ước vành đa thức nguyên an lu 3.4.1 d oa nl tính tốn q lớn Trong tiết xét thuật toán hiệu nf va Cho đa thức nguyên P(X) = a0 +a1 X +a2 X + .+an X n với (a1 , a2 , , an ) = nguyên P(X) Đặt |P(X)| = q z at nh oi lm ul Ta có khẳng định thú vị sau cho chặn cho hệ số ước |a0 |2 + |a1 |2 + + |an |2 z @ gm Định lí 3.4.1 Cho đa thức nguyên m Q(X) = ∑ bi X i ∈ Z[X] i=0 an Lu n va j j−1 |b j | ≤ Cm−1 |P(X)| +Cm−1 |an | m Giả sử Q(X) | P(X) Z[X] Khi co i=0 l n P(X) = ∑ X i ∈ Z[X] ac th si 45 Chọn B số lớn số j j−1 Cm−1 |P(X)| +Cm−1 |an | Ta suy hệ số b j đa thức Q(X) nằm [−B, B] Để chứng minh Định lí 3.4.1 ta cần kết sau Ta trình bày kết dạng bổ đề hệ chúng Bổ đề 3.4.2 Cho x1 , x2 , , xm ≥ số thực Đặt σm,k = với < k ≤ m, xi1 xik ∑ lu 1≤i1 <