(Luận văn) vấn đề duy nhất cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết bruck

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— DƯƠNG THỊ VÂN lu an n va gh tn to p ie VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK d oa nl w ul nf va an lu oi lm LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - Năm 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— DƯƠNG THỊ VÂN lu an n va tn to p ie gh VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK d oa nl w an lu Chuyên ngành: GIẢI TÍCH oi lm ul nf va Mã số: 8460102 z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG m co l an Lu Thái Nguyên - Năm 2019 n va ac th si Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn "Vấn đề cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết Bruck" trung thực không chép từ đề tài khác, thơng tin trích dẫn luận văn có nguồn gốc rõ ràng, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nội dung luận văn lu an n va Thái Nguyên, tháng năm 2019 p ie gh tn to Người viết Luận văn d oa nl w Dương Thị Vân va an lu Xác nhận ul nf Xác nhận người hướng dẫn khoa học oi lm Trưởng khoa chuyên môn z at nh z gm @ PGS.TS Hà Trần Phương m co l an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS.TS Hà Trần Phương, người bảo tận tình trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành tốt luận văn lu Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dạy cao học an trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tạo va n điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa gh tn to học p ie Nhân dịp xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln d oa nl học tập w cổ vũ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tồn q trình lu va an Thái Ngun, tháng năm 2019 Người viết luận văn oi lm ul nf z at nh Dương Thị Vân z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục lu Lời cam đoan i an va n Lời cảm ơn ii tn to ii p ie gh Mục lục nl w Mở đầu d oa Kiến thức chuẩn bị an 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Hai định lý Các kết bổ trợ oi lm ul nf va 1.2 Các hàm Nevanlinna tính chất lu 1.1 z at nh Giả thuyết Bruck vấn đề 3 10 13 22 z Một số dạng tổng quát giả thuyết Bruck 2.2 Vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck 22 35 m co l gm @ 2.1 Tài liệu tham khảo 46 an Lu n va ac th iii si Mở đầu Cho f g hàm phân hình C Ta nói f g chung giá trị lu an phức a không kể bội f −1 (a) = g −1 (a) Ta nói f g chung giá trị va n phức a kể bội Ef (a) = Eg (a), tn to p ie gh  Ef (a) = (z, m) ∈ C × Z+ : ordf −a (x) = m Năm 1979, E Mues and N Steinmetz chứng minh: "Với hàm nguyên oa nl w khác f , f f chung hai giá trị phức phân biệt không kể bội d đồng nhau" Như mở rộng tự nhiên, năm 1996, Bruck [2] lu va an đặt giả thuyết tiếng mà ta quen gọi giả thuyết Bruck : ul nf Giả thuyết Bruck "Cho f hàm nguyên khắc C cho f −a f −a = c, c số khác " Ở z at nh giá trị a kể bội oi lm ρ2 (f ) khơng phải số tự nhiên ρ2 (f ) < ∞ Nếu f f chung r→∞ log log T (r, f ) log r z ρ2 (f ) = lim sup @ l gm Trong báo ([2]) tác giả chứng minh trường hợp a = Ngồi m co Ơng chứng minh: "Cho f hàm nguyên khắc C Nếu f f chung giá trị kể bội N (r, 0, f ) = S(r, f ) an Lu số khác " f −1 f −1 n va ac th si Về sau, có nhiều nhà toán học quan tâm đến việc tổng quát giả thuyết Bruck sử dụng giả thuyết để nghiên cứu vấn đề Có nhiều cách mở rộng, nghiên cứu giả thuyết Bruck cho trường hợp hàm phân hình, thay đạo hàm f đạo hàm cấp cao, Và tác giả thu nhiều kết Với mong muốn tìm hiểu vấn đề có liên quan đến giả thuyết Bruck, chọn đề tài:"Vấn đề cho hàm phân hình liên quan lu an đền giả thuyết Bruck".Mục đích đề tài trình bày lại kết va n nghiên cứu gần A Banerjee and B Chakraborty [2] năm 2016 gh tn to B Chakraborty [3] năm 2018 số dạng tổng quát giả thuyết Bruck p ie sử dụng để nghiên cứu số kết vấn đề w Nội dung luận văn gồm có chương: Chương trình bày số oa nl khiến thức lý thuyết Nevanlinna bổ đề để chứng minh số d kết chương Chương chương luận văn, lu va an chương giới thiệu số dạng tổng quát giả thuyết Bruck oi lm ul nf vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an n va Các hàm Nevanlinna tính chất gh tn to 1.1 Một số khái niệm p ie 1.1.1 nl w Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm chỉnh hình f mặt phẳng phức C, điểm z0 d oa không điểm bội k f tồn hàm chỉnh hình h(z) khơng triệt tiêu f (z) = (z − z0 )k h(z) oi lm ul nf va dạng: an lu lân cận U z0 cho lân cận hàm f biểu diễn Nghĩa f (z0 ) = f (z0 ) = = f k−1 (z0 ) = f k (z0 ) 6= Với z ∈ C, ta z at nh kí hiệu: ordf (z0 ) = k z0 không điểm bội k f ordf (z0 ) = z f (z0 ) 6= @ f1 f2 f1 , f2 hai hàm chỉnh hình Điểm z0 khơng điểm m co f = l gm Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm phân hình f mặt phẳng phức C bội k f z0 không điểm bội k f1 , z0 cực điểm bội k an Lu f z0 không điểm bội k f2 n va ac th si Trong mặt phẳng C, ta kí hiệu: D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} ; D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} ; ∂D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} ; tương ứng hình trịn mở, hình trịn đóng đường trịn tâm z0 , bán kính r lu Với z0 = ta kí hiệu ngắn gọn an va DR = D(0, R); DR = D(0, R) n gh tn to Định lý 1.1.3 (Công thức Poison-Jensen [4]) Giả sử f (z) 6≡ hàm p ie phân hình đĩa đóng DR , < R < ∞ Giả sử a1 , a2 , , ap không điểm kể bội f DR , b1 , , bp cực điểm kể bội f nl w an lu f , ta có d oa DR Khi với z {|z| < R} không điểm hay cực điểm 1 + + iϕ iϕ dϕ log f (re ) dϕ = log f (re ) dϕ− log 2π 2π 2π f (reiϕ ) Định nghĩa 1.1.4 ([4]) Hàm m(r, f ) = 2π Z 2π log+ f (reiϕ ) dϕ lu an gọi hàm xấp xỉ hàm f va n Kí hiệu n(r, f1 ) số không điểm kể bội, n(r, f1 ) số không điểm không gh tn to kể bội f , n(r, f ) số cực điểm kể bội, n(r, f ) số cực điểm không kể p ie bội f Dr , nk (r, f ) số cực điểm bội cắt cụt k f (tức cực w điểm bội l > k tính k lần tổng nk (r, f ) Dr d oa nl Định nghĩa 1.1.5 ([4]) Hàm Z r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r N (r, f ) = t va an lu Hàm Z n(r, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t z at nh N (r, f ) = r oi lm ul nf gọi hàm đếm kể bội f (còn gọi hàm đếm cực điểm) z hàm đếm không kể bội Hàm Z r nk (t, f ) − nk (0, f ) Nk (r, f ) = dt + nk (0, f ) log r t l gm @ m co hàm đếm bội cắt cụt k , n(0, f ) = limt→0 n(t, f ); n(0, f ) = an Lu limt→0 n(t, f ); nk (0, f ) = limt→0 nk (r, f ) Số k nk (r, f ) số bội cắt cụt n va ac th si Mệnh đề 1.1.6 Giả sử b1 , b2 , , bN cực điểm khác f đĩa Dr , đó: N (r, f ) = N X log η=1 r + n(0, f ) log r |bη | Định nghĩa 1.1.7 ([4]) Hàm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) lu hàm đặc trưng hàm f an va Hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) hàm đếm N (r, f ) ba hàm n gh tn to lý thuyết phân bố giá trị, cịn gọi hàm Nevanlinna Định lý sau trình bày số tính chất hàm xấp xỉ, hàm đếm p ie w hàm đặc trưng d oa nl Định lý 1.1.8 ([4]) Cho hàm phân hình f1 , f2 , , fp , đó:     p p p p X X Y Y m r, fη  ≤ m (r, fη ) + log p; m r, fη  ≤ m (r, fη ) ; an lu  η=1 p Y η=1  fη  ≤ η=1 T (r, fη ) + log p; η=1  T r, p Y p X N (r, fη ) ; η=1  fη  ≤ η=1 p X T (r, fη ) η=1 gm @ η=1 fη  ≤ p X N r, z T r, p X η=1  N (r, fη ) ; z at nh   oi lm fη  ≤ p X ul N r, p X η=1 nf  η=1 va η=1 Trong suốt luận văn sử dụng ký hiệu chuẩn định nghĩa m co l lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna an Lu Định nghĩa 1.1.9 ([2]) Cho môt số nguyên dương p a ∈ C ∪ {∞} n va ac th si
N (r, a; f |≥ p) N (r, a; f |≥ p) kí hiệu hàm đếm (hàm đếm khơng kể bội) a điểm f có số bội không bé p;
N (r, a; f |≤ p) N (r, a; f |≤ p) kí hiệu hàm đếm (hàm đếm không kể bội) a điểm f có số bội khơng lớn p Định nghĩa 1.1.10 ([2]) Cho a ∈ C ∪ {∞} p số nguyên dương, ta kí hiệu lu an Np (r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f |≥ 2) + + N (r, a; f |≥ p) n va tn to Rõ ràng N1 (r, a; f ) = N (r, a; f ) ie gh Định nghĩa 1.1.11 ([2]) Cho m số nguyên dương vô a ∈ p C ∪ {∞}, ta kí hiệu w oa nl Em) (a; f ) tập hợp không điểm kể bội f − a với số bội không d vượt m (chỉ đếm không điểm bội ≤ m) an lu nf va E m) (a; f ) tập không điểm không kể bội f − a với số bội không oi lm ul vượt m (chỉ đếm không điểm bội ≤ m) Định nghĩa 1.1.12 ([2]) Cho k số nguyên dương với a ∈ C \ {0}, z at nh cho z E k) (a; f ) = E k) (a; g) gm @ Cho z0 không điểm f (z) − a với số bội p không điểm g(z) − a l m co với số bội q an Lu Kí hiệu N L (r, a; f ) hàm đếm không kể bội a điểm z0 f ac th n va g p > q ≥ thỏa mãn ordf −a (z0 ) > ordg−a (z0 ) ≥ 1; si