(Luận văn) tính hyperbolic đầy của miền hartogs

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M Khambay PHAVISAY lu an n va Tẵnh hyperbolic Ưy cừa miÃn Hartogs p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu THI NGUY–N - 2015 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M Khambay PHAVISAY lu an n va Tẵnh hyperbolic Ưy cừa miÃn Hartogs to p ie gh tn Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M số: 60.46.01.02 d oa nl w nf va an lu LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh oi lm ul Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS TrƯn Huằ Minh z m co l gm @ an Lu THI NGUY–N - 2015 n va ac th si Líi cam oan BÊn luên vôn ny sỹ nghiản cựu ởc lêp cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS TrƯn Huằ Minh, cĂc ti liằu tham khÊo luên vôn l trung thỹc Luên vôn chữa tứng ữủc cổng bố bĐt cự cổng trẳnh no Hồc viản Kham bay PHAVISAY lu an n va XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn khoa hồc p ie gh tn to XĂc nhên cừa trững khoa To¡n d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul TS.Tr¦n Hu» Minh z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Mưc lưc LÍI NÂI †U Chữỡng Kián thực chuân b lu an n va p ie gh tn to 1.1 nh xÔ ch¿nh h¼nh [1] 1.2 a tÔp phực [1] 1.3 Khæng gian phùc [1] 1.4 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khỉng gian phùc [1] 1.5 Khæng gian phùc hyperbolic v  khỉng gian phùc hyperbolic ¦y [1] 1.6 Khæng gian phùc taut [1] 1.7 Hm iÃu hỏa dữợi [7] 1.8 Hm a iÃu hỏa dữợi [7] 5 d oa nl w lu 9 nf va an Ch÷ìng Tẵnh hyperbolic Ưy cừa miÃn Hartogs 11 Kát luên 26 T i li»u tham kh£o 27 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si LÍI NÂI †U lu an n va p ie gh tn to Nghiản cựu tẵnh hyperbolic cừa cĂc khổng gian phực l mët nhúng b i to¡n cì b£n nh§t cõa gi£i tẵch phực hyperbolic Viằc nghiản cựu õ ữủc tián hnh dữợi nhiÃu gõc ở khĂc nhau, chng hÔn nhữ tẳm kiám nhỳng c trững cho tẵnh hyperbolic cừa mởt khổng gian phực tũy ỵ; khÊo sĂt tẵnh hyperbolic cừa nhỳng lợp khổng gian phực cử th; ựng dửng tẵnh hyperbolic cõa khỉng gian phùc v o nhúng l¾nh vüc kh¡c cừa hẳnh hồc phực v giÊi tẵch phực Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, viằc nghiản cựu tẵnh hyperbolic cừa nhỳng lợp khổng gian phực cử th cụng nhữ viằc tẳm hiu nhỳng lợp khổng gian phực hyperbolic dÔng tữớng minh  thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhi·u nh  to¡n håc Mi·n Hartogs thuëc v o sè nhúng lợp khổng gian phực nhữ vêy Cho X l mởt khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l  h m nûa li¶n tưc tr¶n tr¶n X Mi·n Hartogs (X) ữủc nh nghắa bi oa nl w d   −ϕ(z) Ωϕ (X) = (z, w) ∈ X × C : |w| < e an lu nf va RĐt nhiÃu tẵnh chĐt cừa miÃn Hartogs  ữủc tẳm dữợi quan im cừa giÊi tẵch phực hyperbolic Luên vôn " Tẵnh hyperbolic Ưy cừa miÃn Hartogs " nhơm trẳnh by mởt số iÃu kiằn cƯn v ừ º mi·n Hartogs Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y V  ch¿ mởt số lợp hm a iÃu hỏa dữợi trản X  (X) l hyperbolic Ưy Nởi dung chẵnh cừa luên vôn dỹa trản kát quÊ cừa bi bĂo" Complete hyperbolicity of Hartogs domains " cõa t¡c gi£ D.D Thai v N.Q Diằu Luên vôn gỗm 28 trang, õ cõ phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo Chữỡng 1: Trẳnh by tờng quan v hằ thống lÔi cĂc khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cƯn thiát cho chữỡng sau z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Chữỡng 2: L nởi dung chẵnh cừa luên vôn, trẳnh by mởt số iÃu kiằn cƯn v ừ cho tẵnh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Ωϕ(X) v  ch¿ mët số lợp hm a iÃu hỏa dữợi trản X cho mi·n Hartogs Ωϕ (X) l  hyperbolic ¦y Cuèi l phƯn kát luên trẳnh by tõm tưt cĂc kát quÊ ữủc nghiản cựu luên vôn BÊn luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa TS TrƯn Huằ Minh Em xin by tọ lỏng biát ỡn Cổ v sỹ hữợng dăn tên tẳnh, hiằu quÊ quĂ trẳnh nghiản cựu v hon thnh luên vôn Em xin cÊm ỡn o tÔo, Ban chừ nhiằm khoa ToĂn, cĂc thƯy cổ giĂo Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Viằn ToĂn hồc v Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi  giÊng dÔy v tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho em quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu khoa hồc v hon thnh luên vôn Xin cÊm ỡn án cĂc bÔn hồc viản lợp cao hồc toĂn K21  luổn ởng viản, chia s khõ khôn v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng Cuối cũng, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh cừa mẳnh, nhỳng ngữới luổn ởng viản, quan tƠm giúp ù tổi v luổn mong tổi thnh cổng BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát, vẳ vêy em rĐt mong nhên ữủc nhỳng õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản  luên vôn ny ữủc hon chnh hỡn ThĂi Nguyản, ngy th¡ng n«m 2015 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m co l TĂc giÊ luên vôn an Lu ac th n va Kham bay PHAVISAY si Chữỡng Kián thực chuân b lu 1.1 nh xÔ chnh hẳnh [1] an n va p ie gh tn to Gi£ sû X l  mët tªp mð Cn v  f : X → C l  mët h m số Hm f ữủc gồi l khÊ vi phực tÔi x0 X náu tỗn tÔi Ănh xÔ tuyán tẵnh λ : Cn → C cho |f (x0 + h) − f (x0 ) − λ(h)| = 0, |h| P h = (h1 , , hn ) ∈ Cn v  |h| = ( ni=1 |hi |2 ) lim|h|→0 w d oa nl â H m f ữủc gồi l chnh hẳnh tÔi x0 X náu f khÊ vi phực mởt lƠn cên no õ cừa x0 v ữủc gồi l chnh hẳnh trản X náu f chnh hẳnh tÔi mồi im thuởc X Mởt Ănh xÔ f : X Cm cõ th viát dữợi dÔng f = (f1, , fm), â fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, , m l  c¡c h m tåa ë Khi õ f ữủc gồi l chnh hẳnh trản X náu fi chnh hẳnh trản X vợi mồi nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ i = 1, , m m co l nh xÔ f : X f (X) Cn ữủc gồi l song chnh hẳnh náu f l song Ănh, chnh hẳnh v f cụng l Ănh xÔ ch¿nh h¼nh an Lu n va ac th si 1.2 a tÔp phực [1] a) nh nghắa lu an n va p ie gh tn to Gi£ sû X l  mët khæng gian tæpæ Hausdorff + C°p (U, ϕ) ữủc gồi l mởt bÊn ỗ a phữỡng cừa X , â U l  tªp mð X v  : U Cn l Ănh xÔ, náu cĂc iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn: i) (U ) l tªp mð Cn ii) ϕ : U → ϕ(U ) l mởt ỗng phổi + Hồ A = {(Ui, i)}iI cĂc bÊn ỗ a phữỡng cừa X ữủc gồi l mởt têp bÊn ỗ giÊi tẵch (atlas) cừa X náu cĂc iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn i) {Ui}iI l  mët phõ mð cõa X ii) Vỵi måi Ui, Uj m Ui Uj 6= , Ănh xÔ nl w oa l Ănh xÔ chnh hẳnh Xt hồ cĂc atlas trản X Hai atlas A1, A2 ữủc gồi l tữỡng ữỡng náu hủp A1 A2 l mởt atlas Ơy l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản têp cĂc atlas Mội lợp tữỡng ữỡng xĂc nh mởt cĐu tróc kh£ vi phùc tr¶n X , v  X cịng vợi cĐu trúc khÊ vi phực trản nõ ữủc gồi l mởt a tÔp phực n chiÃu d j ϕi −1 : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj ) nf va an lu z at nh oi lm ul z b) nh xÔ chnh hẳnh giỳa cĂc a tÔp phực m co l gm @ GiÊ sỷ M, N l cĂc a tÔp phực nh xÔ liản tửc f : M N ữủc gồi l chnh hẳnh trản M náu vợi mồi bÊn ỗ a phữỡng (U, ) cừa M v mởt bÊn ỗ a phữỡng (V, ) cừa N cho f (U ) V thẳ Ănh xÔ an Lu ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) l Ănh xÔ chnh hẳnh n va ac th si Hay t÷ìng ÷ìng, vâi måi x ∈ M, y N, tỗn tÔi hai bÊn ỗ a phữỡng (U, ) v (V, ) tÔi x v y tữỡng ựng cho l Ănh xÔ chnh hẳnh GiÊ sỷ f : M → N l  song ¡nh giúa c¡c a tÔp phực Náu f v f l cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh thẳ f ữủc gồi l Ănh xÔ song ch¿nh h¼nh giúa M v  N ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) 1.3 Khỉng gian phùc [1] lu ành ngh¾a 1.3.1 Gi£ sû Z l a tÔp phực Mởt khổng gian phực õng an l  mët tªp âng cõa Z m  v· mt a phữỡng ữủc xĂc nh bi hỳu hÔn cĂc phữỡng trẳnh giÊi tẵch Tực l, vợi x0 X tỗn tÔi lƠn cên m V cừa x Z v hỳu hÔn cĂc hm chnh hẳnh 1, , m tr¶n V cho n va X p ie gh tn to w X ∩ V = {x ∈ V |ϕi (x) = 0, i = 1, , m} d oa nl Gi£ sû X l  mët khæng gian phực a tÔp phực Z Hm f : X C ữủc gồi chnh hẳnh náu vợi mội im x X tỗn tÔi mởt lƠn cên U (x) ⊂ Z v  mët h m ch¿nh h¼nh fˆ tr¶n U cho nf va an lu lm ul fˆ|U ∩X ⇒ f |U ∩X z at nh oi Gi£ sû f : X → Y l  ¡nh xÔ giỳa cĂc khổng gian phực X v Y f ữủc gồi l chnh hẳnh náu vợi mội hm chnh hẳnh g trản mởt têp m V cừa Y , h m hñp g ◦ f l  h m ch¿nh hẳnh trản f 1(V ) z @ m co l gm 1.4 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khỉng gian phùc [1] an Lu °t Hol(X, Y ) l  khæng gian cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh tứ mởt khổng gian phực X tợi mởt khổng gian phực Y ữủc trang bà tæpæ compact n va ac th si mð Vỵi < r < ∞, ta °t Dr = {z ∈ C : |z| < r}; D1 = D Trản ắa ỡn v m D, ta xt khoÊng cĂch Bergman - Poincar² cho bði + |a| ; ∀a ∈ D − |a| z1 − z2 1+| | − z z2 ρD (z1 , z2 ) = `n , ∀ z1 , z2 ∈ D |z1 − z2 | 1−| | − z z2 ρD (0, a) = `n lu an n va tn to Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc, p, q l hai im tũy ỵ cừa X Xt d¢y iºm p0 = p, p1, , pk = q cõa X , d¢y iºm a1, a2, , ak cõa D v dÂy cĂc Ănh xÔ f1, , fk Hol(D, X) thäa m¢n ie gh fi (0) = pi−1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, , k p Ta gåi tªp hđp α = {p0, , pk , a1, , ak , f1, , fk } l mởt dƠy chuyÃn chnh hẳnh nối p v q X Vợi mội dƠy chuyÃn nhữ vêy, ta lªp têng Pki=1 pD (0, ai)   Pk °t dX (p, q) = infα i=1 pD (0, ), α ∈ Ωp,q , â Ωp,q l  tªp hủp tĐt cÊ cĂc dƠy chuyÃn chnh hẳnh nối p v q X Dạ thĐy dX : X × X −→ R l  mët gi£ kho£ng c¡ch v  gåi l  gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi tr¶n khỉng gian phùc X Ta cõ th dng chựng minh ữủc cĂc tẵnh chĐt sau Ơy cừa dX : i) dX l hm liản tửc ii) Náu f : X Y l Ănh xÔ chnh hẳnh giỳa hai khổng gian phực thẳ f lm giÊm khoÊng cĂch ối vợi giÊ kho£ng c¡ch Kobayashi, ngh¾a l  d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ ∀ p, q ∈ X n va ac th an Lu dX (p, q) > dY (f (p), f (q)), si hyperbolic Ưy nản X l taut, bơng cĂch lĐy dÂy ta cõ th giÊ thiát rơng dÂy {fj } hởi tử Ãu a phữỡng trản D tợi mởt Ănh xÔ chnh hẳnh f Hol(D, (X)) Dạ thĐy f (w) = (z0, rw) i·u n y cho ta r|w| < e−ϕ(z ), ∀ w ∈ D, v  â r e(z ) iÃu ny mƠu thuăn vợi (2) Vêy ϕ l  li¶n tưc tr¶n X Ci cịng ta chựng minh l hm a iÃu hỏa dữợi trản X Theo nh lỵ cừa Fornaess v Narasimhan ữủc nõi trản ta ch cƯn chựng X) Ta minh rơng g l iÃu hỏa dữợi vợi måi g ∈ Hol(D, X) ∩ (D, x²t mi·n Hartogs nh÷ sau: 0 lu an va n  (z, w) : z ∈ D, |w| < e−(ϕ◦g) tn to Ωϕ◦g (D) =  p ie gh Ta s³ chựng minh rơng g (D) l giÊ lỗi GiÊ sỷ ngữủc lÔi, s tỗn g (D)) thọa mÂn : tÔi mởt dÂy {j } Hol(D, g (D)) C(D, ¯ ⊂ Ωϕ◦g (D), ∀n ≥ i) ϕn (D) ¯ ¸n ϕ∗ cho ϕ∗ (∂D) ⊂ Ωϕ◦g (D) ii) {ϕn } hëi tư ·u tr¶n D iii) ϕ∗ (D) 6⊂ Ωϕ◦g (D) °t ψ(λ, w) = (g(λ), w), (, w) D ì C Xt dÂy cĂc Ănh xÔ {n} xĂc nh bi n = ϕn Tø (i) v  (ii) ta câ d oa nl w nf va an lu ∪ (ψ ◦ ϕ∗ )(∂D) ⊂⊂ Ωϕ (X) z @ ˜n (∂D) n≥1 ϕ z at nh oi lm ul S m co l gm Vẳ vêy, ta cõ th tẳm ữủc mởt têp m compact tữỡng ối S U cừa (X) chùa n≥1 ϕ˜n (∂D) ∪ (ψ ◦ ϕ∗ )(∂D) Do õ tỗn tÔi n0 ừ lợn v z0 D ừ gƯn D cho n(z0) U vợi måi n ≥ n0 Ta °t: an Lu F = {f ∈ Hol(D, Ωϕ (X)) : f (z0 ) ∈ U } n va ac th 14 si lu an n va p ie gh tn to V¼ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy nản (X) l taut Do vêy F l chuân tưc Vẳ khổng cõ dÂy F cõ th l phƠn ký compact v n F, vợi mồi n n0 nản ta cõ Ănh xÔ giợi hÔn thuởc F c biằt Ănh xÔ D vo (X), iÃu ny mƠu thuăn vợi (iii) Vẳ vêy g (D) l giÊ lỗi Suy g l a iÃu hỏa dữợi nh lỵ ữủc chựng minh  chựng minh kát quÊ tiáp theo, ta nhưc lÔi Mằnh à sau: Mằnh à 2.4.([7], p55) Cho X l  mët khæng gian phùc, a ∈ X v  c¡c sè d÷ìng ρ, ε Khi õ tỗn tÔi hơng số c > cho vỵi méi δ > 0, måi c°p iºm (p, q) thuởc hẳnh cƯu m U (a, ) = {b X : dX (a, b) < ρ} câ thº ÷đc nối bi mởt dƠy chuyÃn cĂc ắa chnh hẳnh câ ë d i l(β) < C(dX (p, q) + δ) n¬m U (a; 3ρ + ε) °t bi»t dU (a;3ρ+ε)(p, q) ≤ C.dX (p, q), ∀ p, q ∈ U (a; ρ) Chùng minh L§y < r < l  sè d÷ìng x¡c ành bði dD (0, r) = , vẳ vêy ắa Dr = {z C, |z| < r} bêc kẵnh r cõ bĂn kẵnh ùng vỵi kho£ng c¡ch Poincar² dD Ta chån C thọa mÂn dDr (0, x) C.dD (0, x) vợi x ∈ D º chùng minh C thäa m¢n yảu cƯu , ta nối p, q U (a, ) bi mởt dƠy chuyÃn cĂc ắa chnh hẳnh X câ ë d i l(α) < dX (p, q) + < vợi ừ nhọ Vẳ ở di cừa liản kát || b hỡn nản || bà ch°n U (a, 3ρ) L§y fi : D X l ắa chnh hẳnh thự i cừa dƠy chuy·n α bi¸n ai, bi ∈ D th nh pi−1, pi ∈ X Khỉng m§t têng qu¡t , ta câ thº gi£ thi¸t = v  |bi| < 2r Vẳ pi1 U (a, 3) nản fi(Dr ) U (a, + ), vẳ vêy náu z ∈ Dr , th¼ dD (0, z) < ε v  dX (pi−1 , fi (z)) = dX (fi (0), fi (z)) < Bơng cĂch thu hàp ắa chnh hẳnh fi : D → X tr¶n Dr , ta câ d¥y chuy·n β l  d¥y chuy·n nèi p v  q n¬m U (a, 3ρ + ε) v  l(β) ≤ oa nl w r d nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu C.l(α) < C.(dX (p, q) + δ) n va ac th 15 si lu an n va p ie gh tn to V¼ δ tũy ỵ nản ta cõ iÃu phÊi chựng minh Hằ qu£ 2.5.[2] Gi£ sû X l  mët khæng gian phùc , a X, > Khi õ tỗn tÔi hơng số C > cho vợi p, q ∈ U (a, ρ) = {b ∈ X : dX (a, b) < ρ} ta câ dU (a,4ρ)(p, q) C.dX (p, q) nh lỵ 2.6.[11] GiÊ sỷ X l  mët khæng gian phùc hyperbolic, ϕ l  mët h m a iÃu hỏa dữợi liản tửc, giĂ tr thỹc trản X thọa mÂn tẵnh chĐt sau: Vợi mội im biản (z0, w0) cừa (X) vợi z0 X , tỗn tÔi mởt lƠn cên V cừa z0 X v mởt Ănh xÔ chnh hẳnh f tứ (X) vo khổng gian hyperbolic Ưy Y cho dÂy f (zn, wn) khổng l compact tữỡng ối Y vợi bĐt ký dÂy {(zn, wn)} hởi tử tợi (z, w) Khi õ Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y Chùng minh : Theo M»nh · 2.1, Ωϕ(X) l  hyperbolic Chóng ta ph£i chùng minh r¬ng (X) l hyperbolic Ưy Ta giÊ thiát rơng tỗn tÔi mët d¢y Cauchy {pk }k≥1 = {(zk , wk )}k≥1 Ωϕ(X) cho {pk } khỉng hëi tư tỵi bĐt ký im no (X) Theo tẵnh chĐt giÊm kho£ng c¡ch, {zk } l  mët d¢y Cauchy X Vẳ X l hyperbolic Ưy nản dÂy ny hởi tư tỵi z0 ∈ X Gi£ sû U l  mởt lƠn cên compact tữỡng ối cừa z0 X Bơng cĂch lĐy mởt dÂy náu cƯn thiát , ta cõ th giÊ thiát rơng {zk }k1 U Tø â suy {(zk , wk )}k≥1 ⊂ U × ∆ ⊂ U × C, â ∆ l  ¾a {w : |w| < e− inf ϕ(z) } Bơng cĂch lĐy mởt dÂy náu cƯn thiát, ta cõ th giÊ sỷ rơng dÂy {pk }k1 hởi tử tợi im ((X)) Tứ giÊ thiát, ta cõ th lĐy mởt lƠn cên V cừa z0 X , mët h m ch¿nh h¼nh f π−1(V ) v  mởt khổng gian hyperbolic Ưy Y thọa mÂn cĂc iÃu kiằn  cho LĐy < < 51 inf{dX (z0, x) :∈ X\V }, v  N d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z @ z∈U m co l gm an Lu n va ac th 16 si õ lỵn cho pn ∈ U(p ,ρ) vỵi måi n ≥ N Bơng cĂch sỷ dửng tẵnh chĐt giÊm khoÊng c¡ch ta câ N dX (z0 , zn ) ≤ ρ, ∀ n ≥ N Ta s³ chùng minh U (pN , 4) 1(V ) Thêt vêy, náu d (X) (pN , p) < 4ρ th¼ ϕ dX (π(p), z0 ) ≤ dX (π(p), zN ) + dX (zN , z0 ) ≤ dΩϕ (X) (p, pN ) + ρ < 5ρ ≤ dX (z0 , X\V ) lu Do vêy (p) V , ta ữủc iÃu cƯn chùng minh Theo H» qu£ 2.5 ta câ C1, C2 > thäa m¢n: an n va to ≤ C1 dΩϕ (X) (pn , pN ) < C2 , ∀ n > N M°t kh¡c, ta câ p ie gh tn dπ−1 (V ) (pn , pN ) ≥ dU (pN ,4ρ) (pn , pN ) nl w d oa dπ−1(V ) (pn , pN ) ≥ dY (f (pn ), f (pN )), ∀ n > N nf va an lu Vẳ Y l hyperbolic Ưy v dÂy {f (pn)} khổng phÊi l compact tữỡng ối Y, ta cõ mƠu thuăn Vêy nh lỵ ữủc chựng minh Tứ nh lỵ trản, ta cõ kát quÊ sau: nh lỵ 2.7.[11] Cho X l mởt khổng gian phực hyperbolic, l mởt hm a iÃu hỏa dữợi liản tửc, giĂ tr thỹc trản X thọa mÂn tẵnh chĐt: Vợi mồi im biản (z0, w0) cừa (X) m z0 X, tỗn tÔi mởt lƠn cên V cừa z0 X, mởt hm chnh hẳnh f trản (V ) cho: z at nh oi lm ul z l gm @ n ac th 17 va Khi â Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y an Lu lim(z,w)→(z0 ,w0 ) |f (z, w)| = m co |f (z, w)| < 1, ∀ (z, w) ∈ Ωϕ (V ) si ành ngh¾a 2.8.[11] Gi£ sû X l  mët khỉng gian phùc, ϕ l  h m nûa li¶n tưc tr¶n tr¶n X Ta nõi rơng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mởt im a X náu tỗn tÔi mởt lƠn cên Ua cừa a X v mởt hm chnh hẳnh fa trản Ua thọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau: (i) ϕ(z) ≥ log |fa (z)|, ∀ z ∈ Ua , (ii) ϕ(a) = log |fa (a)| Nhªn x²t lu an n va p ie gh tn to Gi£ sỷ l trản hm nỷa ữủc liản tửc trản X GiÊ thiát rơng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mồi im cừa X , õ kim tra phÊi l a iÃu hỏa dữợi trản X iÃu ngữủc lÔi khổng úng Bờ à 2.9.[11] GiÊ sû X l  hyperbolic ¦y, ϕ l  mët h m a iÃu hỏa dữợi liản tửc, giĂ tr thỹc trản X GiÊ thiát rơng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi måi iºm cõa X Khi â Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy Chựng minh LĐy mởt im tũy ỵ (z0, w0) ((X)) vợi z0 X Vẳ cõ tẵnh chĐt (S) tÔi z0 nản ta cõ th lĐy mởt lƠn cên b U cừa z0 v mởt hm chnh hẳnh fz thọa mÂn cĂc iÃu kiằn (i) v (ii) ành ngh¾a 2.8 °t: f (z, w) = wfz (z), ∀(z, w) ∈ π−1(U ) Rã r ng f l chnh hẳnh trản 1(U ) Ta cõ: |f (z, w)| = |wfz (z)| ≤ |weϕ(z)| < 1, ∀(z, w) ∈ π−1(U ) Do |f (z0, w0)| = 1, theo nh lỵ 2.7 ta cõ iÃu phÊi chựng minh nh ngh¾a 2.10.[11] Cho X l  mët khỉng gian phùc Mët h m ϕ : X → [−∞, ∞) gåi l  a iÃu hỏa dữợi ngt trản X náu vợi mồi Ănh xÔ nhúng a phữỡng j : X , Cn, l hÔn chá a phữỡng cừa mởt hm a iÃu hỏa dữợi ngt trản nh lỵ sau Ơy trẳnh by iÃu kiằn ừ cho tẵnh hyperbolic ¦y cõa mi·n Hartogs Ωϕ(X) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 18 si nh lỵ 2.11.[11] Gi£ sû X l  mët khỉng gian hyperbolic ¦y GiÊ lu thiát rơng l mởt hm a iÃu hỏa dữợi ngt trản X Khi õ (X) l hyperbolic Ưy Chựng minh Ta ch cƯn chựng minh tÔi mội im a X , hm cõ tẵnh chĐt (S) Vẳ bi toĂn l a phữỡng, ta cõ th giÊ thiát rơng quanh im a, X l mởt têp giÊi tẵch cừa mởt têp m Y Cn Do l hm a iÃu hỏa dữợi ngt trản X nản tỗn tÔi mởt hm a iÃu hỏa dữợi ng°t ϕ˜ tr¶n Y cho ϕ|X ˜ = ϕ Ta ành ngh¾a an va n ˜ + pa (z) = 21 ϕ(a) tn to j=1 ∂ ϕ˜ (a)(zj − aj )+ ∂zj ∂ ϕ˜ (a)(zj − aj )(zk − ak ) j,k=1 ∂zj ∂zk Pn ie gh Pn p Tø â ta câ ϕ(a) ˜ = Re(2pa (a)) Ta xt khai trin Taylor cừa tÔi a nl w oa ∂ ϕ˜ (a)(zj − aj ) j=1 ∂zj  P ∂ ϕ ˜ (a)(zj − aj )(zk − ak ) + 21 nj,k=1 ∂zj , ∂zj d ϕ(z) ˜ = ϕ(a) ˜ + 2Re Pn nf va an lu z at nh oi = 2Re(pa (z)) + lm ul + ∂ ϕ˜ (a)(zj − aj )(zk − ak ) + o(|z − a|2 ) j,k=1 ∂zj ∂ z¯k Pn ∂ ϕ˜ (a)(zj − aj )(zk − ak ) + o(|z − a|2 ) j,k=1 ∂zj ∂ z¯k Pn z V¼ ϕ l  a iÃu hỏa dữợi ngt trản Y , nản tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa a cho (z) ˜ ≥ Re(2pa (z)) = log |e2p (z) |, ∀z ∈ U Tø â suy ϕ câ t½nh chĐt (S) tÔi a Theo Bờ  2.9 ta cõ i·u c¦n chùng minh m co l gm @ a an Lu n va ac th 19 si H» qu£ 2.12.[11] Gi£ sû X l  mët khæng gian hyperbolic Ưy, l mởt hm liản tửc cõ giĂ tr thỹc trản X GiÊ thiát rơng vợi mồi im z0 X , tỗn tÔi mởt lƠn cên U cõa z0 cho ϕ(z) = supj≥1 {cj log |fj (z)|}, ∀ z ∈ U, (3) â {fj }j≥1 thọa mÂn log |fj | > trản U vợi mồi j l mởt dÂy cĂc hm chnh hẳnh trản U v {cj }j1 l mởt dÂy cĂc số dữỡng thäa m¢n < a < cj < b < ∞, ∀ j lu Khi â Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y Chùng minh Ta chån mët d¢y {nj }j≥1 cho an n va to gh tn ϕ(z0 ) = limj→∞ cnj log |fnj (z0 )| p ie V¼ ϕ l  bà ch°n tr¶n U sau thu nhä U , tø (3) ta câ w a.(supj≥1 ||fnj ||U ) ≤ supU ϕ < ∞ d oa nl V¼ vêy, bơng cĂch lĐy dÂy v thu nhọ U lƯn thự hai, cõ th ta giÊ thiát rơng dÂy {fn }j1 hởi tử iÃu a phữỡng trản U tợi mët h m ch¿nh h¼nh f Do â cj → c ≥ a > Ta ành ngh¾a nf va an lu j lm ul ϕ∗ (z) = c log |f (z)|, ∀z ∈ U z at nh oi D¹ kiºm tra ÷đc ϕ∗(z0) = ϕ(z0) v  ϕ∗(z) ≤ ϕ(z), z U Vẳ vêy cõ tẵnh chĐt (S) tÔi im z0 Theo Bờ à 2.9, ta ữủc iÃu cƯn chựng minh Ta cõ th ch cõ hm a iÃu hỏa dữợi m khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mởt im z m co l gm @ an Lu n va ac th 20 si Nhªn x²t [11] Gi£ sû X l  mët khỉng gian phực, l hm a iÃu hỏa dữợi trản X GiÊ sỷ rơng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi iºm z0 ∈ X ,v  ϕ(z0 ) 6= −∞, ta s³ chùng tä r¬ng mi·n  X ∗ = (z, w) ∈ X × C : Re w + ϕ(z) < lu an va thọa mÂn: tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa z0, mởt hm chnh hẳnh tr¶n U m  X ∗ ∩ {(z, ψ(z))|z ∈ U } = ∅, â ψ(z0) = −ϕ(z0) Thªt vªy, lĐy mởt lƠn cên U cừa z0 X ừ b cho U l co rút ữủc X Vẳ ϕ(z0) 6= −∞ n¶n ta câ fz (z0) 6= 0, suy tỗn tÔi mởt hm chnh hẳnh trản U thäa m¢n: n gh tn to ψ(z0 ) = −ϕ(z0 ), ∀z ∈ U p ie |fz0 (z)eψ(z) | = nl w Ta ỵ rơng d oa ϕ(z) ≥ log |fz0 (z)| = log |e−ψ(z) | = −Re ψ(z), ∀ z ∈ U, nf va an lu v (z0) = (z0) Vẳ vêy ta ữủc iÃu cƯn chựng minh Theo vẵ dử cừa Konn v Nirenberg ([12]) v tứ nhên xt trản, ta suy tỗn tÔi mởt hm iÃu hỏa dữợi ; giĂ tr thỹc trản C2 cho khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi Mằnh à sau Ơy chựng tọ rơng tỗn tÔi mởt hm cho (X) l hyperbolic Ưy khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi mởt iºm M»nh · 2.13.[11] Gi£ sû X l  mët mi·n hyperbolic Ưy C chựa 0, lĐy t > cho cos(5π/7) < −1/t < −5/9 X¡c ành h m ϕ bði z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu ϕ(z) = |z|6 + t|z|2 Re(z ) ac th 21 n va Khi õ (X) l hyperbolic Ưy khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi si Mằnh à ny ữủc suy trüc ti¸p tø hai Bê · sau : Bê · 2.14.[11] Gi£ sû X l  mët mi·n hyperbolic ¦y C, l mởt hm iÃu hỏa dữợi trản X GiÊ thiát rơng tÔi mồi im z0 X , tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản n 4, mởt lƠn cên U cừa z0 cho l hm thuởc lợp C n trản U , v hỡn nỳa tỗn tÔi i, l cho i ≤ l − ≤ n − v  ∂l ϕ (z0 ) 6= ∂z l−i ∂ z¯ i (4) lu Khi â ta câ Ωϕ(X) l  hyperbolic Ưy Chựng minh LĐy (z0, w0) (X) cho z0 ∈ X v  |w0eϕ(z )| = Vỵi r > õ b², ta x¡c ành an (5) n va to tn Wz0 , r = {(z, w) ∈ X × C : |z − z0 | < r, |w| < e−ϕ(z) } ⊂ Ωϕ (X) p ie gh X²t khai triºn Taylor cõa ϕ mët l¥n cªn õ b² cõa z0 P ϕ(z) = nj=0 Pj (z − z0 ) + o(|z − z0 |n ), õ Pj l a thực thuƯn nhĐt cừa z, z¯ v  câ bªc j Ta s³ chùng minh Pl khỉng ph£i l  h m i·u háa Ta vi¸t l d oa nl w lu Pl m=0 ∂ϕ (z0 )z l−m z¯ m l−m m ∂z ∂ z¯ nf va an Ta câ Pl (z) = ∂lϕ ∆Pl (z) = m=1 m(l − m) l−m m (z0 )z l−m−1 z¯ m−1 ∂z ∂ z¯ biºu thùc n y cõa ∆Pl v  i·u ki»n (4) suy Pl khæng lm ul Pl−1 z at nh oi Tø h m i·u hỏa Vẳ vêy, ta cõ th viát lÔi dữợi dÔng sau: th l z gm @ (z) = (z) + Pk (z − z0 ) + o(|z − z0 |k ), (6) l m co â ψ l  h m i·u háa v  k ∈ [1, n] l  số nguyản b nhĐt cho Pk khổng l hm i·u háa an Lu n va ac th 22 si LĐy l mởt hm chnh hẳnh trản mởt lƠn cên cừa z0 thọa mÂn: Re((z)) = (z) Ta vi¸t ˜ |w2 e2ϕ(z) | = |weψ(z) |2 e2(ϕ(z)−ψ(z)) = |weψ(z) |2 e2(ϕ(z)−ψ(z)) Dòng ph²p èi tåa ë ( z = z − z0 ˜ ˜ w0 = weψ(z) − w0 eψ(z0 ) lu Khi â Wz ,r s ữủc bián ối thnh an va Wr0 ˜ 0 = {(z , w ) : |z | < r, |w0 + w0 eψ(z0 ) |2 |e2(ϕ(z +z0 )−ψ(z +z0 )) | < 1} n ˜ 0 k p ie gh tn to = {(z , w0 ) : |z | < r, |w0 + w0 eψ(z0 ) |2 e2 Re Pk (z )+o(|z | ) < 1}  = (z , w0 ) : |z | < r,

˜ (1 + |w0 |2 + Re w0 w¯0 e−ψ(z0 ) + Re Pk (z ) + o(|z |k ) <  ˜ )
−ψ(z = (z , w0 ) : |z | < r, + |w0 |2 + Re w0 w¯0 +2 Re Pk (z ) + |w0 |2
˜ +4 Re Pk (z )Re w0 w¯0 e−ψ(z0 ) +o(|z |k ) < 
˜ = (z , w0 ) : |z | < r, Re Pk (z )+2 Re w0 w¯0 e−ψ(z0 ) +o(|w0 |+|z |k ) < d oa nl w lu nf va an Ð ¥y, dáng thù hai câ tø (6) v  dáng thù ba câ tø (5) v  tø khai triºn ex = + x + o(x) Vẳ vêy vợi r > 0, > ừ b², Wr0 bà chùa mi·n z at nh oi lm ul  Ωε = (z , w0 ) : |z | < r, Re w0 + Re Pk (z ) < |ε|(|w0 | + |z |k ) z p dửng nh lỵ cỡ bÊn cõa Bedford v  Taylor ([4], p559) chóng ta câ mët h m f ∈ Hol(Ωε) ∩ C(Ω¯ε) cho l gm @ m co f (0, 0) = > |f (z , w0 )|, ∀(z , w0 ) an Lu Tứ nh lỵ 2.7 ta cõ (X) l hyperbolic Ưy Vêy bờ à ÷đc chùng minh n va ac th 23 si Bê · 2.15.[11] Cho X l  mët mi·n hyperbolic ¦y C chùa 0, l§y t > cho cos 5π7 < − 1t < − 95 Vỵi måi số nguyản m 6, tỗn tÔi (0, 2π) cho + t cos(4θ0 ) < 0, cos(mθ0 ) > lu an n va p ie gh tn to Chùng minh: V¼ cos(5π/7) < −1/t < 5/9 nản tỗn tÔi (/2, 5/7)
thäa m¢n: cho cos α = −1/t Ta s³ ch¿ tỗn tÔi m4 , m(2) cos(0 ) > Thêt vêy, ta xt hai trữớng hủp: n¸u m ≥ 7, ta câ thº chån 6(2π−α) 3π ữủc vẳ m(2) m = 3() > v  4 > π , n¸u m = th¼ v¼
m(2π−α) 3π 6(2π−α) < 5π thäa m¢n cos(θ0) > n¶n ta câ thº chån θ ∈ , B¬ng c¡ch chån θ0 = θ0/m ta câ i·u ph£i chùng minh Chùng minh m»nh · 2.13 V¼ −1/t < −5/9 n¶n ta câ w ∆ϕ(z) = 9|z|4 + 5t(z + z¯ )/2 ≥ 0, ∀z ∈ C d oa nl Vẳ vêy l hm giÊi tẵch thỹc iÃu hỏa dữợi trản C Chú ỵ rơng tÔi mồi im z0 C, iÃu kiằn (2) l ữủc thọa mÂn (nõi cĂch khĂc, tĐt cÊ Ôo hm rảng cừa s triằt tiảu tÔi z0, v hm giÊi tẵch thỹc phÊi l ỗng nhĐt trản mởt lƠn cên cừa z0, Ãu ny ró rng l khổng th) Vẳ vêy tĐt cÊ cĂc giÊ thiát Bờ Ã 2.14 ữủc thọa mÂn, v vêy (X) l hyperbolic Ưy Ta ch cƯn chựng minh rơng khổng cõ tẵnh chĐt (S) tÔi GiÊ sỷ ngữủc lÔi, õ tỗn tÔi mởt hm chnh hẳnh f trản ắa U chựa cho nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ ϕ(z) ≥ log |f (z)|, ∀z ∈ U, = log |f (0)| l (7) m co Rã rng ta cõ th viát f = eg trản U , vẳ vêy (5) ữủc viát lÔi l an Lu
ϕ(z) ≥ Re g(z) , ∀z ∈ U, Re g(0) = n va ac th 24 si Gi£ sỷ < trản nỷa ữớng thng l = {reiπ/4 : r > 0}, g câ thº khæng l  h¬ng sè B¬ng c¡ch khai triºn g v o chuéi Taylor Ôt ữủc
(z) Re az m + o(|z|m ) , a 6= 0, ∀z ∈ U (8) Qua mët ph²p quay, ta câ thº gi£ thi¸t rơng a = Vẳ vá trĂi cừa (8) cõ bêc bơng 6, nản tứ (8) ta cõ th kát luên rơng m LĐy l mởt số thäa m¢n Bê · 2.14 Khi â tø c¡ch chån cõa θ0, ta câ lu ϕ(z) < 0, ∀z ∈ l0 = {reiθ0 : r > 0} an n va p ie gh tn to M°t kh¡c, v¼ Re(zm) = rm cos(m0), z l0, kát luên rơng vá phÊi cừa (8) l dữỡng vợi z l v ừ gƯn iÃu ny l vổ lỵ Do vêy khổng tẵnh chĐt (S) tÔi Mằnh à ÷đc chùng minh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 25 si Kát luên lu an n va p ie gh tn to Luên vôn  trẳnh by mởt số iÃu kiằn cƯn v ừ cho tẵnh hyperbolic Ưy cõa mi·n Hartogs Ωϕ(X), cư thº ¢ chùng minh c¡c kát quÊ chẵnh sau: +) GiÊ sỷ X l mởt khæng gian phùc, ϕ : X → [−∞, ∞) l  h m nûa li¶n tưc tr¶n x¡c ành tr¶n X Náu (X) l hyperbolic Ưy, thẳ X l hyperbolic Ưy v  ϕ l  mët h m gi¡ trà thüc, a i·u hỏa dữợi liản tửc trản X +) GiÊ sỷ X l  mët khæng gian phùc hyperbolic, ϕ l  mët hm a iÃu hỏa dữợi liản tửc, giĂ tr thỹc trản X thọa mÂn tẵnh chĐt sau: Vợi mội im biản (z0, w0) cừa (X) vợi z0 X , tỗn tÔi mởt lƠn cên V cừa z0 X v mởt Ănh xÔ chnh hẳnh f tứ (X) vo khổng gian hyperbolic Ưy Y cho dÂy f (zn, wn) khổng l compact tữỡng ối Y vợi bĐt ký dÂy {(zn, wn)} hởi tử tợi (z, w) Khi â Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y +) Gi£ sû X l mởt khổng gian hyperbolic Ưy GiÊ thiát rơng l mởt hm a iÃu hỏa dữợi ngt trản X Khi â Ωϕ(X) l  hyperbolic ¦y d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 26 si T i li»u tham kh£o Tiáng Viằt [1] PhÔm Viằt ực (2005), M Ưu và lỵ thuyát cĂc khổng gian phực hyperbolic, NXB Ôi hồc Sữ phÔm [2] PhÔm Viằt ực (2000), Tẵnh hyperbolic Ưy v tẵnh nhúng hyperbolic cừa khổng gian phực, luên Ăn tián sắ toĂn hồc H Nởi Viằt Nam II Ti¸ng Anh [3] Barth T.J (1972), The Kobayashi distance induces the standard topology, proc Amer Math Soc, (35), pp.439-441 [4] Begford E and Fornaess J (1978), A construction of peak function on weakly pseudoconvex domain, Ann Math, (107), 555-568 [5] Fornaess J and Narasimhan R (1980), The Leri problem on complex spaces with singularities, Ann Math, (248), 47-72 [6] Kiernan P (1970), On the relations between taut, tight and hyperbolic manifolds, Bull Amer Math Soc, (76), 49-51 [7] Kobayashi S (1998), Hyperbolic complex spaces, V 318 Grundlehren der mathematis chen Wissenschaften [8] Lang S, Introduction to complex Hyperbolic spaces, Springer - Verlag, NY [9] Peternell Th (1994), Pseudoconvexity, the Leri problem and vanishing theorems, Encyclopaedia of Math Sciences, (74), 357-372 [10] Thai D.D and Duc P.V (2000), On the complex hyperbolicity and the tautnes of the Hartogs domains, Inter Jour Math, (11), I lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 27 si 103 - 111 [11] Thai D.D anh Dieu N.Q (2003),Complete hyperboliccity of Hartogs domains, Manuscripta math, (112), 171 - 181 [12] Sibony N (1991), Some aspects of weakly pseudoconvex domains Proceedings of Symposia in Pure Math, (52), 199 - 231 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 28 si