(Luận văn) tỉ lệ vàng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ LINH lu an TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG n va p ie gh tn to d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên, 10/2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ LINH lu an TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG n va p ie gh tn to oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC d Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi PGS.TS NGUYỄN DANH NAM z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên, 10/2017 ac th si i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu lu Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 1.1 Tỉ lệ vàng 1.2 Dãy số Fibonacci 18 1.3 Mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 30 an n va p ie gh tn to Ứng dụng tỉ lệ vàng liên hệ tỉ lệ vàng với thực tiễn 33 2.1 Hình chữ nhật vàng 33 2.2 Hình tam giác vàng 39 2.3 Đường xoắn ốc vàng 47 2.4 Một số ứng dụng tỉ lệ vàng thực tiễn 52 d oa nl w 71 an lu Kết luận 72 nf va Tài liệu tham khảo z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Danh Nam, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho nhận xét quý báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn d oa nl w lu nf va an Nguyễn Thị Linh z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to √ 1+ Nó quan Tỉ lệ vàng số vô tỉ xác định tâm nhà tốn học, vật lí học, triết học, kiến trúc sư, nghệ sĩ chí nhạc sĩ từ thời cổ đại Euclide - nhà toán học nói đến tỉ lệ vàng tác phẩm bất hủ ông mang tên "Cơ bản" Theo Euclide, điểm I đoạn AB gọi điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng (còn gọi AI AB AI AB điểm vàng) thoả mãn: = Đặt = = x, số x IB AI IB AI gọi tỉ lệ vàng điểm I điểm vàng đoạn AB Ở thời kỳ trung đại, có nhiều phát tồn tỉ lệ vàng hình tự nhiên hình ngơi năm cánh, hình đa giác mười cạnh, dãy số Fibonacci Luca Pacioli (1445 - 1517) xác định tỉ lệ vàng "tỉ lệ thần thánh" tác phẩm Proportione Divina Ở thời kỳ đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ Hy Lạp phi (ϕ) kí hiệu tỉ lệ vàng Như vậy, ngồi tên tỉ lệ vàng cịn gọi phần vàng, cắt vàng, tỉ lệ thần thánh có giá trị 1.61803 Một số vô tỉ biểu diễn tỉ số hữu hạn số nguyên Những số tạo thành tập vô hạn số π (tỉ số chu vi với đường kính đường trịn) e (cơ sở logarit tự nhiên) tiếng có ứng dụng nhiều lĩnh vực Tại tỉ lệ vàng lại thu hút quan tâm sâu sắc ứng dụng √ gì? a+ b Một số vô tỉ thể dạng I = ϕ c xác định giá trị a = 1, b = c = Các số vô tỉ a = 3, b = c = có đối xứng so với tỉ lệ vàng giá trị tương tự 1.57735 Tuy nhiên, tỉ lệ vàng chiếm hữu số tính thú vị tính chất quan trọng làm cho trở lên thu hút tập hợp số vô tỉ Các nghệ sĩ kiến trúc sư bắt đầu tính tốn xây dựng cho d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to tác phẩm họ xấp xỉ tỉ lệ vàng cịn nhà tốn học nghiên cứu tỉ lệ vàng tính độc đáo tính chất lí thú Qua nhiều năm, nghệ sĩ kiến trúc sư nỗ lực tìm kiếm mối quan hệ tỉ lệ vàng với nghệ thuật, kiến trúc, sinh học, thực vật lĩnh vực khác Những số bật nên số cơng trình xây dựng hình học có số tính chất tốn học thú vị Từ dẫn đến u thích người đam mê gán thuộc tính huyền bí đến số dẫn đến tên như: giá trị trung bình vàng tỉ lệ thần thánh Về mặt nguyên lý thiết kế, tỉ lệ vàng yếu tố quan trọng tạo nên tổng thể cơng trình kiến trúc đẹp, khơng gian hài hịa hay sản phẩm mỹ thuật có điểm nhấn sáng tạo Trong toán học nghệ thuật, đại lượng xem tỉ số vàng hay tỉ lệ vàng tỉ số tổng đại lượng với đại lượng lớn tỉ số đại lượng lớn với đại lượng nhỏ tức tồn thể tất có giá trị tương quan 1, 618033987 (con số vàng) Tỉ số người sử dụng hàng kỷ qua tiếp tục có mặt tác phẩm mỹ thuật, kiến trúc, điêu khắc ngày Nó xuất tỉ lệ thể người, biến động thị trường chứng khoán nhiều ảnh hưởng khác tới sống vạn vật Luận văn tìm hiểu tỉ lệ vàng, số ứng dụng tỉ lệ vàng Toán học liên hệ toán học với thực tiễn Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung luận văn, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci" trình bày định nghĩa tỉ lệ vàng, dãy số Fibonacci mối quan hệ chúng Các kiến thức tỉ lệ vàng, kiến thức dãy Fibonacci mối quan hệ tỉ lệ vàng dãy Fibonacci Chương 2: "Ứng dụng tỉ lệ vàng liên hệ Toán học với thực tiễn" trình bày ứng dụng tỉ lệ vàng hình học: hình chữ nhật vàng, hình tam giác vàng, đường xoắn ốc vàng mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy Fibonacci đời sống: tự nhiên, kiến trúc, hội hoạ thiết kế đồ hoạ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci lu Chương đưa kiến thức bản, tính chất biểu diễn khác tỉ lệ vàng Các kiến thức dãy Fibonacci mối quan hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci an n va 1.1 Tỉ lệ vàng tn to Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [3] [5] p ie gh Định nghĩa 1.1.1 Trong toán học, hai đại lượng gọi tỉ lệ vàng tỉ số tổng đại lượng với đại lượng lớn tỉ số đại lượng lớn với đại lượng nhỏ w d oa nl Tỉ lệ vàng kí hiệu kí tự ϕ (phi) bảng chữ Hy Lạp Dạng tổng quát tỉ lệ vàng là: nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ co l Hình 1.1 Cách chia AB tỉ lệ vàng suy rộng m Giả sử đoạn thẳng AB chia thành hai đoạn AC CB (Hình 1.1) cho  n AB βAC (1.1) a = AC CB an Lu n va ac th si a β số thực dương     βAC AB AC + CB CB Cho = x a = a =a 1+ CB AC AC AC β = a+ x   aβ = xn Như vậy, ta có a + x xn+1 = ax + b (1.2) đó, aβ = b Trong trường hợp đặc biệt cho n = ta chia AB AB βAC cho a = , ta có: AC CB lu x2 − ax − b = an Hoặc va n x1 = a+ tn to gh p ie x2 = a− (1.3) √ a2 + 4b (1.4) √ a2 + 4b (1.5) d oa nl w Ta gọi nghiệm dương phương trình tổng quát hai tham số tỉ lệ vàng ϕ(a, b)   r 4b 1+ 2 1  a  ϕ(a, b) = a  +  2  nf va an lu lm ul z at nh oi Trong trường hợp b = 1, ta có: √ a2 + 4b z a ϕa = ϕ(a, 1) = + @ m co l gm gọi tỉ lệ vàng tổng quát Cho a = ta có tỉ lệ vàng: √ 1+ ϕ = ϕ1 = ϕ(1, 1) = an Lu n va ac th si Hãy xem xét tính chất tỉ lệ vàng Cho a = b ta có:   r 1+  1  a ϕ = a +  2  lu an n va p ie gh tn to Đó cách giải cho phương trình x2 − ax − b = Bây có b thể xem xét tính chất khác tỉ lệ này, ta có: a + = ϕ Khi ϕ đó, tỉ lệ vàng √ tổng quát ϕ (với a = 1) giảm xuống đến tỉ lệ vàng lịch 1+ sử ϕ = có nhiều tính chất ứng dụng nghệ thuật, kỹ thuật, vật lí tốn học Các tính chất tương tự thiết lập trường hợp tổng qt Ví dụ: tổng qt ϕ thể số hạng ϕ = a + Nó mở rộng thành phân số nghiệm ϕ phương trình lồng gọi phân số liên tục hay nghiệm lồng r q √ ϕ = + + + v s u r u q √ t ϕa = + a + a + a + a d oa nl w lu nf va an s ϕ(a, b) = r b+a q √ b + a b + a lm ul ϕ= z at nh oi Sử dụng mối quan hệ số hạng ta nhận phân số liên tục ϕ, ϕa , ϕ(a, b) tương ứng 1 + ϕa = a + 1 a + an Lu a+ m a+ co l gm @ 1+ z 1+ n va ac th si b ϕ(a, b) = a + b a+ b a+ a+ b a + lu an n va p ie gh tn to Stakhov Rozin đưa số kết từ n = a = b = 1, kết tương tự xác minh với giá trị khác a b Bằng cách sử dụng phân số liên tục khái quát hóa ứng dụng nghệ thuật kiến trúc Đoạn thẳng AB chia thành n phần theo tỉ lệ hệ phương trình tạo cho a có giá trị n, (1.1) mở rộng đến tham số tỉ lệ để tạo tỉ lệ vàng nhiều tham số Ở đây, ta tập trung vào tham số tổng quát ứng dụng tỉ lệ Nếu a = b (1.3)   r 1+  1  a ϕ(a, a) = a  +   2 d oa nl w Tỉ số tham số tổng quát khác với ϕ(a, 1) Thật vậy, (1.2) xem hàm đặc trưng phương trình khác n với tham số a b lu nf va an Pn+2 (a, b) = aPn+1 (a, b) + bPn (a, b) Pn+p (a1 , a2 , , ap ) = p X i=1 z at nh oi lm ul khái quát thành trường hợp nhiều tham số Pn+p−i (a1 , a2 , , ap ), p = 2, 3, z 1.1.1 Các tính chất tỉ lệ vàng @ m co l gm Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [3] [5] Tỉ lệ vàng xuất số mối quan hệ liên quan đến số mà từ nhiều tính chất tỉ lệ vàng phát Một dãy số tổng dãy biểu thức toán học Trong đa số trường hợp sử dụng, biểu thức dãy xây dựng cơng thức hay thuật tốn hay chí số ngẫu nhiên an Lu n va ac th si < , (1.47) 5 ϕn nghĩa là, Fn số gần đến √ Áp dụng kết ta tính F60 máy tính cầm tay thơng thường ϕ60 √ = 1548008755920.003 Hay F60 = 1548008755920.003 1.2.2 Một số đẳng thức cho số Fibonacci lu Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [5] [6] P F1 + F2 + F3 + + Fn = nk=1 Fk = Fn+2 − Chứng minh Trước tiên, ta lưu ý: an n va (1.48) k p ie gh tn to − ϕn+1 ϕn+1 − (ϕn+1 − 1)(ϕ + 1) = = k=0 ϕ = 1−ϕ ϕ−1 ϕ2 − Pn d oa nl w = (ϕn+1 − 1)ϕ = ϕn+2 − ϕ Tương tự trên,ta có: an lu Pn k k=0 Ψ = Ψn+2 − Ψ nf va Dựa vào hai kết công thức Binet, để thuận tiện ta đặt F0 = mà khơng tính tổng qt, ta có: Pn Pn Pn ϕn − Ψn (ϕn+2 − Ψn+2 ) − (ϕ − Ψ) √ √ = k=1 Fk = k=0 Fk = k=0 5 Với z at nh oi lm ul Do đó, ta có: Pn = Fn+2 −  m co k=1 Fk l gm @ Fn+2 ϕn+2 − Ψn+2 √ = z ϕ−Ψ= √ an Lu F1 + F3 + F5 + + F2n−1 = F2n (1.49)(Tổng n số hạng lẻ) Chứng minh Bằng quy nạp ta chứng minh sau: n va ac th si 23 Với n = 1, ta có: F0 + F1 = + = = F2 (luôn đúng) Giả sử (1.49) với n = k > 1, nghĩa ta có: F1 + F3 + + F2k−1 = F2k Khi F1 + F3 + + F2k−1 + F2k+1 = F2k + F2k+1 = F2k+2 = F2(k+1) (1.49) với n = k + Như (1.49) với n  F2 + F4 + F6 + + F2n = F2n+1 − (1.50)(Tổng n số hạng chẵn) Chứng minh Từ biểu thức (1.48) ta có: lu F1 + F2 + + F2n−1 + F2n = F2n+2 − (1.51) Lấy biểu thức (1.51) trừ biểu thức (1.50) theo vế, ta có: F2 + F4 + F6 + + F2n = F2n+2 − − F2n = (F2n+1 + F2n ) − F2n − an n va  F12 + F22 + F32 + + Fn2 = Fn Fn+1 (1.52) Chứng minh Chứng minh quy nạp sau: Với n = 1, ta có: F12 = 1, F1 F2 = × = 1, nên (1.52) với n = Giả sử (1.52) với n = k > 1, nghĩa ta có: p ie gh tn to = F2n+1 − d oa nl w lu nf va an F12 + F22 + F32 + + Fk2 = Fk Fk+1 z at nh oi lm ul Khi đó: 2 F12 + F22 + F32 + + Fk2 + Fk+1 = Fk Fk+1 + Fk+1 = Fk+1 (Fk + Fk+1 ) = Fk+1 Fk+2 Biểu thức (1.52) với n = k + 1, nên với n  z Fm−1 Fn + Fm Fn+1 = Fm+n (1.53) Chứng minh Cố định m, quy nạp ta chứng minh (1.53) với n Với n = 1, ta có: F1 = F2 = 1, nên (1.53) trở thành: m co l gm @ an Lu Fm−1 + Fm = Fm+1 Biểu thức biểu thức định nghĩa dãy số n va ac th si 24 Fibonacci Giả sử (1.53) với n, ta chứng minh (1.53) với n + Fm−1 Fn+1 + Fm Fn+2 = Fm−1 (Fn−1 + Fn ) + Fm (Fn + Fn+1 ) = Fm−1 Fn−1 + Fm−1 Fn + Fm Fn + Fm Fn+1 = (Fm−1 Fn−1 + Fm Fn ) + (Fm−1 Fn + Fm Fn+1 ) = Fm+n−1 + Fm+n = Fm+n+1 (1.53) với n + 1, nên với n Số nguyên m cố định, nên (1.53) với m n  Fn+1 − Fn2 = Fn−1 Fn+2 (1.54) 2 2 Chứng minh Fn+1 − Fn = (Fn−1 + Fn ) − Fn = Fn−1 + 2Fn−1 Fn = Fn−1 (Fn−1 + Fn + Fn ) = Fn−1 (Fn+1 + Fn ) lu = Fn−1 Fn+2 an  n va p ie gh tn to Fn+1 + Fn2 = F2n+1 (1.55) Chứng minh Xét biểu thức (1.55) với biểu thức khác, chứng minh hai biểu thức với n Xét hệ phương trình sau: ( F2n = Fn (Fn+1 + Fn−1 ) (i) (1.55) oa nl w F2n+1 = Fn+1 + Fn2 d Ta chứng minh hệ phương trình quy nạp Ta có: nf va an lu F0 = 0, F1 = F2 = 1, F3 = z at nh oi lm ul Cả hai biểu thức với n = Giả sử hệ phương trình với n Ta chứng minh hệ phương trình với n + 1, ta có: F2(n+1) = F2n+2 = F2n+1 +F2n = (Fn+1 +Fn2 )+Fn (Fn+1 +Fn−1 ) z = Fn+1 (Fn + Fn+1 ) + Fn (Fn + Fn−1 ) @ m co l gm = Fn+1 Fn+2 + Fn Fn+1 = Fn+1 (Fn+2 + Fn ) Như (i) với n + với n an Lu n va ac th si 25 Mặt khác, ta có: F2(n+1)+1 = F2n+3 = F2n+2 + F2n+1 = Fn+1 (Fn+2 + Fn ) + Fn+1 + Fn2 = Fn+1 (Fn+1 + 2Fn ) + Fn+1 + Fn2 2 = (Fn+1 + 2Fn+1 Fn + Fn2 ) + Fn+1 2 = (Fn+1 + Fn )2 + Fn+1 = Fn+2 + Fn+1 Vậy (1.55) với n + với n  Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n (1.56) Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp, hiển nhiên ta thấy (1.56) với n = Giả sử biểu thức với n, ta chứng minh với n + 2 Fn+2 Fn − Fn+1 = (Fn + Fn+1 )Fn − Fn+1 = Fn2 + Fn Fn+1 − Fn+1 lu = Fn2 − Fn+1 (Fn+1 − Fn ) = Fn2 − Fn+1 Fn−1 an n va = −(−1)n = (−1)n+1 Như (1.56) với n + với n  gh tn to 1.2.3 Tính chất chia hết số Fibonacci p ie Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [5] [6] Các số Fibonacci có tính chia hết thú vị, ta liệt kê hai mươi số Fibonacci phân tích chúng thành thừa số nguyên tố d oa nl w z gm @ F (n) 89 144 = 122 233 377 = 13.29 610 = 2.5.61 987 = 3.7.47 1597 2584 = 23 17.19 4181 = 37.113 6765 = 3.5.11.41 10946 = 3.13.421 m co l an Lu n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 z at nh oi F (n) 1 = 23 13 21 = 3.7 34 = 2.17 55 = 5.11 lm ul n = 22 = 2.3 = 23 = 32 10 = 2.5 nf va an lu Bảng 1.3 Phân tích hai mươi số Fibonacci thành số nguyên tố n va ac th si 26 Dựa vào Bảng 1.3,ta thấy: F3 = 2, F6 = F6 chia hết cho F3 F4 = 3, F8 = 21 F8 chia hết cho F4 Một cách tổng quát ta có: Định lý 1.2.1 Nếu n chia hết cho m Fn chia hết cho Fm lu Chứng minh Thật vậy, giả sử n chia hết cho m n = mk với k nguyên dương Ta quy nạp k, k = 1, ta có n = m Vậy Định lý 1.2.1 với k = Giả sử Định lý 1.2.1 với k bất kì, ta phải chứng minh với k + 1.Theo công thức cộng Fibonacci: Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 , ta có Fm(k+1) = Fmk−1 Fm + Fmk Fm+1 an n va p ie gh tn to Theo giả thiết, ta có: Fmk F +m chia hết cho Fm , Fmk−1 Fm + Fmk Fm+1 chia hết cho Fm hay Fm(k+1) chia hết cho Fm Do Định lý 1.2.1 với k + Theo phương pháp quy nạp, Định lý chứng minh  Giả sử n > số nguyên tố Fn số nguyên tố Với n = 3, 5, 7, 11, 13, 17 Fn số nguyên tố Kể từ n = 19 F19 = 4181 = 37.113 Nếu giả sử có vơ số số nguyên tố Fibonacci Hiện chưa biết số lượng số Fibonacci nguyên tố có hữu hạn hay không Tuy nhiên, n 6= Fn nguyên tố n số nguyên tố Tương tự ta có: d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Định lý 1.2.2 Nếu n hợp số khác Fn hợp số z Chứng minh Thật vậy, n ≥ hợp số, phải chia cho số m < n, theo Định lý 1.2.1, Fn chia cho Fm Một tính chất khác mà ta dự đốn dựa vào Bảng 1.3 là: l gm @ m co Định lý 1.2.3 Hai số Fibonacci liên tiếp nguyên tố an Lu n va ac th si 27 Chứng minh Thật vậy, từ phương trình (−1)n = Fn+1 Fn−1 − Fn2 , ta có: (−1)n = Fn−1 Fn+1 − Fn2 Do đó, Fn+1 Fn+2 có chung ước số số ước số (−1)n (vơ lí)  Định lý 1.2.4 Nếu n m số nguyên dương U CLN (Fm , Fn ) = FU CLN (m,n) lu an n va p ie gh tn to Trong đó: UCLN ước chung lớn hai số nguyên dương Chứng minh Lấy m = 12 n = 18, U CLN (F12 , F18 ) = U CLN (144, 2584) = FU CLN (12,18) = F6 = Thật vậy, đặt d = U CLN (m, n) d ước số m n Theo Định lý 1.2.1, ta có Fd ước số Fm Fn Ta phải chứng minh Fd ước số chung lớn Fm Fn Vì d = U CLN (m, n), áp dụng Định lý Bezout ta tìm số nguyên r s cho d = mr+ns Bằng công thức cộng cho số Fibonacci, ta có: oa nl w Fd = Fmr+ns = Fmr−1 Fns + Fmr Fns+1 d Hệ thức chứng tỏ ước số Fm Fn ước số Fd Do Fd ước chung lớn Fm Fn  Ví dụ: Lấy m = 12, n = 18 Khi d = U CLN (12, 18) = F6 = Trong F12 = 144, F18 = 2584, U CLN (144, 2584) = Như U CLN (144, 2584) = FU CLN (12,18) = nf va an lu z at nh oi lm ul Bây ta phát biểu Định lý đảo Định lý 1.2.1 z Định lý 1.2.5 Nếu Fn chia hết cho Fm n chia hết cho m @ m co l gm Chứng minh Thật vậy, Fn chia hết cho Fm U CLN (Fn , Fm ) = Fm theo Định lí 1.2.4 ta có U CLN (Fm , Fn ) = FU CLN (m,n) Do U CLN (Fn , Fm ) = Fm m = U CLN (n, m), tức n chia hết cho m  an Lu n va ac th si 28 Kết hợp Định lý 1.2.1 Định lý 1.2.5 ta có: Định lý 1.2.6 Fn chia hết cho Fm n chia hết cho m Định lý 1.2.7 Lấy m = 2, 3, 5, 7, 11, 13 Với F3 = 2, Fn chia hết cho n chia hết cho Với F4 = 3, Fn chia hết cho n chia hết cho Với F5 = 5, Fn chia hết cho n chia hết cho Với F7 = 13, Fn chia hết cho 17 n chia hết cho Với F11 = 89, Fn chia hết cho 89 n chia hết cho 11 Với F13 = 233, Fn chia hết cho 233 n chia hết cho 13 lu Lưu ý: Ta chọn m cho Fm số nguyên tố Nếu chọn m = F6 = Fn chia hết cho n chia hết cho Tuy nhiên, ta có Fn chia hết cho n chia hết cho Thật vậy, thay m + n k công thức cộng Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 , ta có dạng sau: an n va tn to ie gh Fn = Fk Fn−k+1 + Fk−1 Fn−k p Với k = 6, ta có: w d oa nl Fn = 8Fn−5 + 5F n − nf va an lu Do đó, Fn chia hết cho Fn−6 chia hết cho Vì F0 = nên F6j chia hết cho với j = 1, 2, Vì F1 = khơng chia hết F6j+1 không chia hết cho với j = 1, 2, Tương tự, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = khơng chia hết cho F6j+2 , F6j+3 , F6j+4 , F6j+5 không chia hết cho  Bằng cách sử dụng quy nạp ta chứng minh: Fn chia hết cho n chia hết cho 8, Fn chia hết cho 11 n chia hết cho 10, Fn chia hết cho n chia hết cho 12, Fn chia hết cho 13 n chia hết cho 14, Fn chia hết cho 10 n chia hết cho 15 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 29 Định lý 1.2.8 Có vơ số số nguyên tố Chứng minh Thật vậy, giả sử có hữu hạn số nguyên tố Cho p1 , p2 , , pn số nguyên tố, ta có: Fp1 , Fp2 , , Fpn Theo Định lý 1.2.6, số cặp số nguyên tố Vì có n số ngun tố nên khơng có số có nhiều thừa số nguyên tố Điều mâu thuẫn với thực tế F19 = 3181 = 37.113 1.2.4 Tam giác Pascal số Fibonacci Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [2], [5] [6] lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu lm ul Hình 1.5 Tam giác Pascal z at nh oi Tam giác Pascal tam giác tạo nên số mà số hạng hàng thứ n là: n! Cjn = ,0 ≤ j ≤ n (n − j)!j! Đó hệ số xj khai triển (1 + x)n Tam giác mang tên nhà Toán học Pháp Pascal (1623 - 1662) Thật nhà Toán học Trung Hoa tên Yanghui nhà Thiên văn học Ba Tư tên Omar Khayam tìm nhiên cứu trước Pascal 500 năm Ta không sâu vào đặc điểm tam giác mà nêu tính chất đặc biệt mà thơi Đó tổng số số hạng z m co l gm @ an Lu n va ac th si 30 đường chéo nghiêng tam giác số hạng dãy số Fibonacci Trong Hình 1.5 đường chéo mà tổng số hạng là: F1 = 1, F2 = F3 = + = F4 = + = F5 = + + = F6 = + + = F7 = + + + = 13 lu an Số hạng thứ n là: n va Fn = C0n−1 + C1n−2 + C2n−3 + 1.3 Mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci p ie gh tn to Lưu ý rằng, Cjn = j > n Khi ta viết: P Fn = nj=0 Cjn−1−j , j = 0, 1, 2, , n − d oa nl w Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [2],[5] [6] Dãy Fibonacci dãy vô hạn số tự nhiên bắt đầu hai phần tử và 1, phần tử sau thiết lập theo quy tắc phần tử tổng hai phần tử trước Từ đó, cho ta dãy số Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Mặc dù quy luật tưởng chừng đơn giản lại xuất thứ phức tạp xung quanh thân vũ trụ Điều khiến trở thành dãy số tiếng xem diện tạo hóa cạnh người Dãy số có quy luật đơn giản lại thể quy luật vận động phát triển giới khách quan bao gồm tự nhiên vũ trụ Có thể nói phát triển dãy số phát triển tự nhiên Điều giúp hiểu giới khách quan thơng qua Tốn học Một liên hệ gần gũi tỉ lệ vàng thực tế Nếu có tỉ lệ hai đại lượng số xấp xỉ 1,61803398 người ta gọi tỉ lệ vàng Trong dãy Fibonacci có tính chất đặc biệt đáng ý Tỉ số hai số liên tiếp dãy ngày tiến gần đến tỉ lệ vàng nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 31 1.61803398 số nghịch đảo 0.618 Các tỉ số là: 1 13 21 34 55 89 , , , , , , , , , , 13 21 34 55 89 144 Trong Tốn học giới hạn tỉ lệ dãy Fibonacci tỉ lệ vàng Như vậy, thấy mối liên hệ mật thiết dãy số Fibonacci tỉ lệ vàng Cũng dãy số xác định cơng thức đệ quy tuyến tính, số Fibonacci tìm cơng thức dạng tường minh Ta chứng minh (công thức Binet): ϕn − (1 − ϕ)n √ , ϕ tỉ lệ vàng F (n) = lu Như vậy, từ hệ thức truy hồi Fibonacci ta có: an n va F (n + 2) − F (n + 1) − F (n) = p ie gh tn to Dẫn tới phương trình xác định tỉ lệ vàng x2 − x − = (là phương trình đa thức đặc trưng quy hồi) Chứng minh (Bằng quy nạp) Một nghiệm phương trình thỏa mãn tính chất x2 = x + Nhân hai vế với xn−1 ta có: oa nl w xn+1 = xn + xn−1 d Chú ý rằng, theo định nghĩa ϕ nghiệm phương trình nghiệm − ϕ Do đó: nf va an lu ϕn+1 = ϕn + ϕn−1 (1 − ϕ)n+1 = (1 − ϕ)n + (1 − ϕ)n−1 lm ul z at nh oi Bây ta định nghĩa hàm: Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ)n xác định với số thực a, b Tất hàm thỏa mãn hệ thức truy hồi Fibonacci, thật vậy: Fa,b (n + 1) = aϕn+1 + b(1 − ϕ)n+1
= a(ϕn + ϕn−1 ) + b (1 − ϕ)n + (1 − ϕn−1 ) = aϕn + b(1 − ϕ)n + aϕn−1 + b(1 − ϕ)n−1 = Fa,b (n) + Fa,b (n − 1) −1 Chọn a = √ b = √ Tiếp tục 5 z m co l gm @ an Lu 1 Fa,b (0) = √ − √ = 5 n va ac th si 32 ϕ (1 − ϕ) −1 + 2ϕ −1 + (1 + √ √ Fa,b (1) = √ − √ = = 5 5 √ 5) = Chứng minh chứng tỏ rằng: ϕn − (1 − ϕ)n √ F (n) = với n lu Chú ý rằng, với hai giá trị khởi đầu a, b hàm Fa,b (n) công thức tường minh cho loạt hệ thức truy hồi Giới hạn thương kế tiếp, Johannes Kepler chứng minh hội tụ sau: F (n + 1) hội tụ với tỉ lệ vàng ϕ F (n) an n va Kết với cặp giá trị khởi đầu trừ (0, 0) Từ cơng thức tường minh ta có, với a 6= 0, b 6= : p ie gh tn to Fa,b (n + 1) aϕn+1 − b(1 − ϕ)n+1 = lim n→∞ n→∞ Fa,b (n) aϕn − b(1 − ϕ)n n+1  1−ϕ aϕ − b(1 − ϕ) ϕ  n = ϕ = lim n→∞ 1−ϕ a−b ϕ lim d oa nl w nf va an lu Dễ thấy lm ul