(Luận văn) phương trình hàm đa thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VIẾT BẮC lu an n va to p ie gh tn PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VIẾT BẮC lu an n va PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si TÓM TẮT NỘI DUNG lu an n va p ie gh tn to Luận văn "Phương trình hàm đa thức ứng dụng" chia thành chương, phần mở đầu, phần kết luận Trong Chương 1, luận văn nhắc lại số kiến thức chuẩn bị làm sở cho việc trình bày kiến thức phần sau chương đa thức, nghiệm đa thức, Tiếp đến, luận văn trình bày số phương pháp giải phương trình hàm thường gặp như: Phương pháp đặt ẩn phụ, dồn biến; phương pháp giá trị đặc biệt; phương pháp hệ số bất định; phương pháp đổi biến số; phương pháp sử dụng tính chất nghiệm so sánh bậc Trong Chương 2, luận văn tiếp tục trình bày dạng phương trình hàm P (f )P (g) = P (h) P (f )P (g) = P (h) + Q Ngồi ra, luận văn cịn trình bày thêm phương pháp giải nâng cao như: Phương pháp sử dụng công thức nội suy Lagrange; phương pháp sử dụng số phức; phương pháp sử dụng dãy số Trong số dạng phương trình hàm số phương pháp giải định mà tác giả khơng muốn trình bày tách bạch vấn đề Luận văn tổng hợp lượng lớn ví dụ, với tốn lại cho ta kĩ thuật giải riêng biệt d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Luận văn "Phương trình hàm đa thức ứng dụng" thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên trang bị kiến thức bản, tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Trần Nguyên An, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn tới UBND thành phố Tuyên Quang, phòng Giáo dục Đào tạo thành phố, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THCS Lê Quý Đôn tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn d oa nl w nf va an lu Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Viết Bắc lm ul z at nh oi Học viên Cao học Toán K7A, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên z m co l gm @ an Lu n va ac th si i Mục lục Mở đầu Chương Một số dạng phương pháp giải phương trình hàm đa thức lu an n va 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ, dồn biến 1.3 Phương pháp giá trị đặc biệt 1.4 Phương pháp hệ số bất định 10 gh tn to 1.1 Kiến thức chuẩn bị p ie 1.5 Phương pháp sử dụng tính chất đa thức P (x) = P (x + a) 11 12 1.7 Phần tử đại số đa thức tối tiểu 17 1.8 Phương pháp sử dụng tính chất nghiệm so sánh bậc 21 d oa nl w 1.6 Phương pháp sử dụng phép biến đổi đối số 37 an lu 1.9 Một số phương pháp khác nf va Chương Một số dạng phương pháp giải phương trình hàm nâng cao 40 lm ul 40 2.2 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) 44 2.3 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) + Q 49 2.4 Phương pháp sử dụng số phức 50 z at nh oi 2.1 Phương pháp nội suy Lagrange z gm @ 2.5 Phương pháp sử dụng dãy số 2.6 Phương trình hàm có lời giải hàm đa thức l Kết luận co m Tài liệu tham khảo 56 61 64 65 an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Đa thức biểu thức bao gồm biến hệ số với phép toán: cộng, trừ, nhân lũy thừa nguyên dương Đa thức xuất hầu hết lĩnh vực khác Toán học Khoa học Đa thức dùng để định nghĩa hàm đa thức sử dụng hóa học vật lý, kinh tế khoa học-xã hội, giải tích số, lý thuyết xấp xỉ Trong Tốn học đại đa thức sử dụng để xây dựng vành đa thức đa tạp đại số, khái niệm trung tâm Đại số Hình học đại số Ở phổ thông đa thức đưa vào giảng dạy từ Lớp Các toán đa thức thường gặp kì thi học sinh giỏi tốn cấp tỉnh, quốc gia, khu vực, quốc tế Olympic học sinh, sinh viên Một dạng tốn khó phổ biến đa thức phương trình hàm tập đa thức Dạng tốn phương trình hàm nói chung phương trình hàm tập đa thức nói riêng phong phú đa dạng, với nhiều tốn có lời giải "khơng mẫu mực" Mục đích luận văn phân loại cách tương đối số phương pháp số dạng phương trình hàm tập đa thức mà ta gọi phương trình hàm đa thức Để giải phương trình hàm dạng bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật chung cho việc giải phương trình hàm ta cịn sử dụng tính chất đặc trưng đa thức nghiệm, hệ số, bậc, tính liên tục, tính hữu hạn nghiệm, tính khả vi, Luận văn "Phương trình hàm đa thức ứng dụng" chia thành chương, phần mở đầu, phần kết luận Trong Chương 1, luận văn nhắc lại số kiến thức chuẩn bị làm sở cho việc trình bày kiến thức phần sau chương đa thức, nghiệm đa thức, Tiếp đến, luận văn trình bày số phương pháp giải phương trình hàm thường gặp như: Phương pháp đặt ẩn phụ, dồn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to biến; phương pháp giá trị đặc biệt; phương pháp hệ số bất định; phương pháp đổi biến số; phương pháp sử dụng tính chất nghiệm so sánh bậc Trong Chương 2, luận văn tiếp tục trình bày dạng phương trình hàm P (f )P (g) = P (h) P (f )P (g) = P (h) + Q Ngồi ra, luận văn cịn trình bày thêm phương pháp giải nâng cao như: Phương pháp sử dụng công thức nội suy Lagrange; phương pháp sử dụng số phức; phương pháp sử dụng dãy số Trong số dạng phương trình hàm số phương pháp giải định mà tác giả khơng muốn trình bày tách bạch vấn đề Luận văn tổng hợp lượng lớn ví dụ, với tốn lại cho ta kĩ thuật giải riêng biệt Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, với trình độ hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý Thầy, Cơ, các anh chị đồng nghiệp bạn để luận văn hoàn chỉnh nhiều ý nghĩa d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số dạng phương pháp giải phương trình hàm đa thức lu an n va 1.1 Kiến thức chuẩn bị ie gh tn to Trong mục ta nhắc lại định nghĩa số tính chất đa thức với hệ số trường K p Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức biến với hệ số K viết dạng P (x) = an xn + + a1 x + a0 , a0 , a1 , , an ∈ K, x kí hiệu gọi biến Ta viết đa thức dạng ∞ P P P (x) = xi P (x) = xi , = với i > n Hai i=0 P P i đa thức xi bi x = bi với i Kí hiệu K[x] tập đa thức biến x với hệ số K Cho P (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K[x] Ta gọi a0 hệ số tự P (x) Nếu an 6= n gọi bậc đa thức P (x) kí hiệu degP = n Trong trường hợp an gọi hệ số cao P(x) Nếu n = P (x) gọi đa thức dạng chuẩn (monic polynomial) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức Nếu P (x) = a ∈ K P (x) gọi đa thức Các đa thức bậc gọi đa thức tuyến tính P P i Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thức P (x) = xi Q(x) = bi x K[x], định nghĩa: P P (x) + Q(x) = (ai + bi )xi , P P P (x)Q(x) = ck xk , ck = bj với k d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu i+j=k n va ac th si Khi K[x] vành giao hốn với phép cộng nhân đa thức Vành K[x] gọi vành đa thức biến x với hệ số K Phần tử không vành đa thức 0, phần tử đơn vị đa thức Ta định nghĩa vành đa thức nhiều biến quy nạp sau Định nghĩa 1.1.3 Đặt K1 = K[x1 ] K2 = K1 [x2 ] lu an Kn = Kn−1 [xn ] n va p ie gh tn to vành Kn = Kn−1 [xn ], ký hiệu K[x1 , , xn ] gọi vành đa thức n biến x1 , , xn K Một phần tử K[x1 , , xn ] gọi đa thức n biến x1 , x2 , , xn lấy hệ tử vành K Các phần tử K[x1 , , xn ] thường ký hiệu P (x1 , x2 , , xn ), Q(x1 , x2 , , xn ), d oa nl w Bằng quy nạp ta có phần tử P (x1 , , xn ) ∈ K[x1 , , xn ] biểu diễn dạng X ai1 , ,in xi11 xinn , ai1 , ,in ∈ K, P (x1 , , xn ) = lu (i1 , ,in )∈Λ an nf va Λ ⊆ Nn tập hữu hạn Cho K[x1 , , xn ] vành đa thức n biến x1 , , xn K Mỗi phần tử có dạng xi11 xinn gọi đơn thức bậc i1 + + in K[x1 , , xn ] Các số ij gọi bậc theo biến xj đơn thức xi11 xinn Mỗi phần tử có dạng au a ∈ K u đơn thức gọi từ K[x1 , , xn ], u gọi đơn thức từ au a gọi hệ số Bậc từ au định nghĩa bậc đơn thức u Hai từ gọi đồng dạng đơn thức chúng Với phần tử P ∈ K[x1 , , xn ], rõ ràng ta viết P thành tổng hữu hạn từ không đồng dạng Một biểu diễn gọi biểu diễn tắc P (x1 , , xn ) Tiếp theo ta nhắc lại số tính chất quan cần sử dụng phần sau z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Bổ đề 1.1.4 Cho P (x), Q(x) ∈ K[x] đa thức khác (i) Nếu P (x)+Q(x) 6= deg(P (x) + Q(x)) ≤ max {degP (x), degQ(x)} (ii) Nếu P (x)Q(x) 6= deg(P (x)Q(x)) ≤ deg(P (x) + degQ(x) Định lý 1.1.5 Cho hai đa thức P (x) Q(x) với Q(x) 6= Tồn hai đa thức H(x) R(x) cho P (x) = Q(x)H(x) + R(x), R(x) = deg R(x) < deg Q(x) lu Định nghĩa 1.1.6 Cho đa thức P (x) = an xn + + a1 x + a0 Với phần tử v ∈ K, ta kí hiệu P (v) = an v n + + a1 v + a0 ∈ K Phần tử v ∈ K gọi nghiệm P (x) P (v) = Trong trường hợp ta nói v nghiệm đa thức P (x) an n va Bổ đề 1.1.7 Cho P (x) đa thức Dư phép chia P (x) cho x−a P (a) ie gh tn to Định lý 1.1.8 (Định lý Bezout) Số a nghiệm đa thức P (x) tồn đa thức Q(x) cho P (x) = (x − a)Q(x) p Định nghĩa 1.1.9 Cho P (x) đa thức k > số nguyên Số a gọi nghiệm bội k đa thức P (x) P (x) chia hết cho (x − a)k không chia hết cho (x − a)k+1 Nếu k = a gọi nghiệm đơn Nếu k = a gọi nghiệm kép d oa nl w lu nf va an Bổ đề 1.1.10 Cho P (x) đa thức Số a nghiệm bội k P (x) P (x) = (x − a)k Q(x) Q(a) 6= z at nh oi lm ul Định lý 1.1.11 Cho P (x) 6= a1 , a2 , , ar nghiệm phân biệt P (x) Giả sử nghiệm bội ki P (x) với i = 1, 2, , r Khi ta có P (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 (x − ar )kr Q(x), Q(ai ) 6= với i = 1, , r z Hệ 1.1.12 Cho P (x) đa thức khác Khi số nghiệm P (x), nghiệm tính với số bội nó, khơng vượt q bậc của P gm @ m co l Chứng minh Giả sử a1 , , ar nghiệm P (x) với số bội k1 , , kr Theo Định lí 1.1.11 ta có an Lu P (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 (x − ar )kr Q(x) P P Ta có deg(P (x)) = deg(Q(x)) + ri=1 ki ≥ ri=1 ki n va ac th si p f (x)−f (y) Vì lim = lim |x − y| = nên lim x−y = 0, suy f (x) = 0, gh y→x y→x y→x p ie suy f (x) = c, ∀x ∈ R, (với c số) Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hàm số cần tìm f (x) = c, ∀x ∈ R, (với c số) w d oa nl Bài toán 1.9.2 Tìm hàm số f : R → R có đạo hàm R thỏa mãn điều kiện f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, ∀x, y ∈ R lu nf va an Giải Cho x = y = ta f (0) = Với y 6= cố định x ta z at nh oi lm ul f (x + y) − f (x) f (y) + 2xy f (y) − f (0) = = + 2x y y y−0 z Vì f (x) có đạo hàm nên từ đẳng thức ta cho y → ta suy f (x) = f (0) + 2x = c + 2x Do dó f (x) = x2 + cx + b, ∀x ∈ R, (với b, c số) Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hàm số cần tìm f (x) = x2 + cx + b, ∀x ∈ R, (với b, c số) l gm @ Phương pháp chuyển qua giới hạn m co Bài tốn 1.9.3 Tìm hàm số f : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện   2x 3x f (x) + f = , ∀x ∈ R an Lu n va ac th si 38 lu 3x Giải Đặt x1 = 2x , từ giả thiết suy f (x) + f (x1 ) = , ∀x ∈ R 3x1 Đặt x2 = 2x , từ giả thiết suy f (x1 ) + f (x2 ) = , ∀x ∈ R Đặt xn+1 = 2x3n , từ giả thiết suy f (xn ) + f (xn+1 ) = 3x5n , ∀x ∈ R Nhân vế phương trình thứ i với (−1)i+1 cộng vế với vế phương trình ta "  2  n # 3x 2 −2 f (x) + (−1)n+2 f (xn+1 ) = 1− + − + (1.84) 3   Xét lim (−1)n+2 f (xn+1 ) =lim|[f (xn+1 )]|=|f (lim(xn+1 )| = |f (0)|, (vì   f liên tục) Mặt khác từ đầu suy f (0) = nên lim (−1)n+2 f (xn+1 )