(Luận văn) phương trình đa thức lượng giác và một số dạng toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN HUẤN lu PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN an n va p ie gh tn to w d oa nl LUẬN VĂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN 05/2017 n va ac th si i Mục lục MỞ ĐẦU lu an n va p ie gh tn to Chương Các tính chất liên quan đến đa thức lượng giác 1.1 Các đẳng thức lượng giác 1.1.1 Tính chất hàm số lượng giác 1.1.2 Đẳng thức liên quan đến hàm cosin 1.1.3 Đẳng thức liên quan đến hàm sin 1.2 Phương trình lượng giác 1.2.1 Dạng phương pháp giải 1.2.2 Các ví dụ minh họa 1.3 Phương pháp lượng giác giải phương trình bậc ba, bậc bốn 1.4 Các đa thức cos sin 1.4.1 Định nghĩa đa thức lượng giác 1.4.2 Một số tính chất đa thức cos sin d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Chương Phương pháp giải phương trình đa thức lượng giác 2.1 Phương trình lượng giác 2.1.1 Phương trình lượng giác bậc 2.1.2 Phương trình lượng giác bậc cao 2.2 Đa thức Chebyshev 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Tính chất đa thức Tn (x) 2.2.3 Tính chất đa thức Un (x) 2.3 Một số lớp phương trình đa thức lượng giác 2.3.1 Phương trình bậc hai bậc cao với hàm số lượng giác 2.3.2 Phương trình đẳng cấp bậc bậc hai sin x cos x 2.3.3 Phương trình đối xứng gần đối xứng 3 6 10 17 17 17 z 31 m co l gm @ 22 22 22 23 25 25 25 28 31 an Lu 33 37 n va ac th si ii 2.3.4 Phương trình lượng giác liên quan đến bất đẳng thức tam giác Phương trình đưa dạng đa thức 2.3.5 Chương Một số dạng toán liên quan 3.1 Sử dụng lượng giác để khảo sát phương trình hệ phương trình 3.2 Sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số 3.3 Sử dụng lượng giác toán cực trị 38 40 46 46 56 58 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Lý chọn đề tài: lu an n va p ie gh tn to Đa thức lượng giác có vị trí quan trọng Tốn học khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm lượng giác mà cịn cơng cụ đắc lực Giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết nội suy, khảo sát phương trình tốn cực trị Ngồi ra, đa thức lượng giác cịn sử dụng nhiều tính tốn ứng dụng Trong kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia Olympic tốn quốc tế tốn đa thức lượng giác thường đề cập đến ẩn dạng áp dụng công cụ lượng giác nên thường tốn khó bậc phổ thơng d oa nl w Lịch sử nghiên cứu: nf va an lu Tuy nhiên nay, tài liệu đa thức lượng giác phương pháp lượng giác chưa đề cập đầy đủ Vì vậy, việc khảo sát sâu vấn đề biện luận nghiệm, biểu diễn đa thức lượng giác cho ta hiểu sâu sắc tính chất đa thức cho định hướng giải nhiều dạng toán liên quan lm ul z at nh oi Mục đích nghiên cứu, luận điểm luận văn: z Luận văn “Phương trình đa thức lượng giác số dạng tốn liên quan” trình bày số vấn đề liên quan đến toán xác định số nghiệm thực đa thức lượng giác với hệ số thực l gm @ m co Mục đích luận văn nhằm thể rõ vai trò quan trọng Giải tích đại số khảo sát nghiệm thực đa thức lượng giác an Lu Phương pháp nghiên cứu: n va ac th si - Đọc dịch tài liệu có liên quan đến đề tài - Trao đổi thảo luận với Thầy hướng dẫn, với bạn bè, với chuyên gia - Thường xuyên phản biện để đến kết tốt Bố cục luận văn: lu Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận chương Chương Các tính chất liên quan đến đa thức lượng giác Chương Các tính chất nghiệm đa thức lượng giác Chương Một số dạng toán liên quan an n va ie gh tn to Trong chương tác giả trình bày tốn đề thi HSG quốc gia Olympic quốc tế sử dụng kiến thức liên quan Các kết lý thuyết tập liên quan đến nội dung luận văn trích dẫn từ tài liệu [1]-[8] p Trong trình nghiên cứu hồn thành nội dung luận văn tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người Thầy trực tiếp hướng dẫn thầy cô Khoa Tốn-Tin trường ĐHKH-ĐHTN hết lịng giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Chắc chắn luận văn cịn thiếu sót định tơi mong q Thầy Cơ độc giả góp ý để luận văn hoàn chỉnh d oa nl w nf va an lu Thái Nguyên, tháng 05 năm 2017 lm ul Tác giả z at nh oi Trần Văn Huấn z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Các tính chất liên quan đến đa thức lượng giác lu an va n 1.1 Các đẳng thức lượng giác tn to Tính chất hàm số lượng giác ie gh 1.1.1 p Xét hàm số f (x) với tập xác định D( f ) ⊂ R tập giá trị R( f ) ⊂ R d oa nl w Định nghĩa 1.1 (Tính chẵn lẻ, xem [1], [6]) Hàm số f (x) với tập xác định D( f ) ⊂ R gọi hàm số chẵn K (K ⊂ D( f )) nếu:  x ∈ K ⇒ −x ∈ K (∀x ∈ K) f (−x) = f (x) nf va an lu lm ul f (x) gọi hàm số lẻ K  x ∈ K ⇒ −x ∈ K f (−x) = − f (x) z at nh oi (∀x ∈ K) z Nhận xét 1.1 Dễ dàng kiểm tra hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ hàm số y = cos x hàm số chẵn tập xác định l gm @ Định nghĩa 1.2 (Tính tuần hoàn, xem [1], [6]) m co - Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ T (T > 0) K K ⊂ D( f )  ∀x ∈ K ⇒ x ± T ∈ K f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ K an Lu n va ac th si - Cho f (x) hàm số tuần hồn K Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng tuần hồn với chu kỳ bé T Nhận xét 1.2 Dễ dàng ta thấy: Hàm số y = sin x y = cos x hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π Hàm số y = tan x y = cot x hàm tuần hoàn với chu kỳ T = π Định nghĩa 1.3 lu - Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0) K K ⊂ D( f )  ∀x ∈ K ⇒ x ± a ∈ K f (x + a) = − f (x), ∀x ∈ K an n va p ie gh tn to - Nếu f (x) hàm số phản tuần hoàn chu kỳ b K mà khơng hàm phản tuần hồn với chu kỳ bé b K b gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hoàn f (x) K d oa nl w Định nghĩa 1.4 (Xem [1], [6]) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hoàn (nhân tính) chu kỳ a (a ∈ / {−1, 0, 1}) K K ⊂ D( f )  ∀x ∈ K ⇒ a±1 x ∈ K f (ax) = f (x), ∀x ∈ K an lu nf va Định nghĩa 1.5 ( Xem [1], [6]) Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn (nhân tính) chu kỳ a (a ∈ / {−1, 0, 1}) K K ⊂ D( f )  ∀x ∈ K ⇒ a±1 x ∈ K f (ax) = − f (x), ∀x ∈ K z at nh oi lm ul 1.1.2 Đẳng thức liên quan đến hàm cosin z cos 2t = cos2 t − m co cơng thức l gm @ Ví dụ 1.1 Hệ thức đại số với công thức an Lu n va      1 a + =2 a+ − a a ac th si Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số với công thức cos 3t = cos3 t − cost công thức         1 1 a + =4 a+ a+ −3 a a a hay   4x − 3x = a + a lu   1 (Với x = a+ , a 6= 0) a an n va Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số với công thức tn to cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + cost ie gh cơng thức p            1 1 1 a + = 16 a+ − 20 a+ +5 a+ a a a a d oa nl w hay lu nf va an   1 16x5 − 20x3 + 5x = a5 + a lm ul 1.1.3   1 (Với x = a+ , a 6= 0) a Đẳng thức liên quan đến hàm sin z at nh oi Từ công thức Euler, ta thu hệ thức i sint = z eit − e−it @ an Lu sin 3t = sint − sin3 t m Ví dụ 1.4 Cơng thức nhân 3: co l gm Từ hệ thức ta có công thức hàm sin sang đẳng thức đại số sau: n va ac th si Từ ta có cơng thức: i sin i(3t) = 3(i sin it) + 4(i sin it)3 Đẳng thức đại số ứng với công thức đẳng thức         1 1 a − =3 a− +4 a− a a a hay   4x + 3x = a − a lu   1 (Với x = a− , a 6= 0) a an n va Ví dụ 1.5 Từ cơng thức tn to sin 5t + sint = sin 3t(1 − sin2 t) ie gh Ta có đẳng thức p        "   2 # 1 1 1 a − + a− =2 a − 1−2 a− a a a a oa nl w Phương trình lượng giác 1.2.1 Dạng phương pháp giải d 1.2 nf va an lu lm ul  (k ∈ Z); gm @ u = v + k2π u = −v + k2π z cos u = cos v ⇔ z at nh oi Giả sử u, v biểu thức theo x : u = u(x), v = v(x) Khi ta có  u = v + k2π sin u = sin v ⇔ u = π − v + k2π (k ∈ Z); m co l ( π u, v 6= + lπ (k, l ∈ Z); tan u = tan v ⇔ u = v + kπ  u, v 6= lπ cot u = cot v ⇔ (k, l ∈ Z) u = v + kπ an Lu n va ac th si 1.2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1.6 Giải phương trình    π 2π sin 3x − − sin x + = 3 (1.1) Lời giải lu    π 2π (1.1) ⇔ sin 3x − = sin x + 3  π 2π 3x − = x + + k2π  3 ⇔  π 2π + k2π 3x − = π − x − 3  π x = + kπ  ⇔ (k ∈ Z)  π π x = +k an n va p ie gh tn to nl w Ví dụ 1.7 Giải phương trình (1.2) d oa sin(4x − 5) + cos(x + 3) = nf va an lu Lời giải Ta có z at nh oi lm ul (1.2) ⇔ sin(4x − 5) = − cos(x + 3) ⇔ sin(4x − 5) = cos(π − x − 3) π  −π +x+3 ⇔ sin(4x − 5) = sin 2 π  ⇔ sin(4x − 5) = sin − + x +  π 4x − = − + x + + k2π  ⇔  π 4x − = π + − x − + k2π  π 2π x = − + +k  3 ⇔ (k ∈ Z)  3π 2π x= + +k 10 5 z m co l gm @ an Lu n va ac th si c - Khi √ ⇔ a2 + b2 ≥ c2 phương trình (2.9) có nghiệm 2 a +b - Khi a + b2 < c2 phương trình (2.9) vơ nghiệm Cách Kiểm tra xem x = π + k2π có nghiệm hay không Điều tương đương với việc kiểm tra đẳng thức c = a có xảy khơng Trường hợp c = a xét riêng x Nếu c 6= a, đặt tan = t (x 6= π + k2π, k ∈ Z) 2t − t2 Thay sin x = ; cos x = vào (2.9), ta đưa phương trình bậc hai + t2 + t2 theo ẩn t: (a + c)t − 2bt + c − a = d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Điều kiện để phương trình có nghiệm ∆0 ≥ ⇔ b2 + a2 ≥ c2 c b Cách Chia hai vế (2.9) cho a cos x + sin x = a a  π π b c Đặt = tan α với α ∈ − , , ta cos x + tan α sin x = hay a 2 a c c cos x cos α + sin α sin x = cos α ⇔ cos(x − α) = cos α a c a Phương trình có nghiệm cos α 1, tức a2 + b2 > c2 a z co l gm @ m Bài toán 2.15 (Đề thi đại học năm 2007) Giải phương trình  x x 2 √ sin + cos + cos x = 2 an Lu (2.10) n va ac th si 35 Lời giải Ta có lu x x x √ x (2.10) ⇔ sin2 + sin cos + cos2 + cos x = 2 2 √2 ⇔ + sin x + cos x = √ 1 cos x = ⇔ sin x + 2 π π π ⇔ sin x sin + cos x cos = cos  6π  π ⇔ cos x − = cos  π x = + k2π  (k ∈ Z) ⇔  π x = − + k2π an n va gh tn to Bài tốn 2.16 Giải phương trình p ie sin x sin π  + x sin √ √ 2π 4π − x + cos x cos(x + ) cos(x + ) = 3 (2.11) π  w oa nl Lời giải Ta có d     √ √ 2π 2π (2.11) ⇔ sin x cos 2x − cos + cos x cos 2x + cos = 3     √ √ 1 ⇔ sin x cos 2x + + cos x cos 2x − = 2 √ √ ⇔ sin x(2 cos 2x + 1) + cos x(2 cos 2x − 1) = √ √ 2 ⇔ sin x(3 − sin x) + cos x(4 cos x − 3) = √ √ ⇔ (3 sin x − sin3 x) + 3(4 cos3 x − cos x) = √ √ ⇔ sin 3x + cos 3x = √ √ ⇔ sin 3x + cos 3x = 2 π π π ⇔ sin 3x cos + cos 3x sin = sin 3  π π ⇔ sin 3x + = sin nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 36   ⇔  x=− π 2π +k 36 (k ∈ Z) 2π 5π +k x= 36 Bài toán 2.17 Giải phương trình a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x = d (a2 + c2 > 0) (2.12) lu an n va a + b tan x + c tan2 x = d(1 + tan2 x) ⇔ (c − d) tan2 x + b tan x + (a − d) = ie gh tn to Lời giải Phương trình (2.12) gọi phương trình đẳng cấp bậc hai sin x cos x π Xét cos x = tức x = + kπ(k ∈ Z) d = c π - Nếu c = d x = + kπ nghiệm (2.12) dễ dàng giải tiếp phương trình π - Nếu c 6= d x = + kπ nghiệm (2.12) Chia hai vế 2 (2.12) cho cos x, ta phương trình p Đặt tan x = t, ta thu phương trình đại số (c − d)t + bt + (a − d) = nl w Bài tốn 2.18 Giải phương trình (2.13) d oa sin2 x − sin x cos x − cos2 x = −2 an lu Lời giải π + kπ (k ∈ Z) không nghiệm phương trình nf va - Xét cos x = suy x = lm ul z at nh oi π + kπ, ta chia hai vế phương trình (2.13) cho cos2 x ta phương trình - Xét cos x 6= ⇔ x 6= cos2 x ⇔2 tan x − tan x − = −2(1 + tan2 x) " tan x = ⇔4 tan x − tan x + = ⇔ tan x =  π x = + kπ  ⇔ (k ∈ Z)  x = arctan + kπ tan2 x − tan x − = − z m co l gm @ an Lu n va ac th si 37 2.3.3 Phương trình đối xứng gần đối xứng Bài toán 2.19 Giải phương trình 2(1 − sin 2x) − 5(sin x − cos x) + = lu an n va p ie gh tn to Lời giải Đặt t = sin x − cos x suy t = (sin x − cos x)2 ⇔ − sin 2x = t Khi phương trình trở thành " t =1 2t − 5t + = ⇔ t=   h √ √ i √ π Mặt khác t = sin x − cos x = sin x − nên ta có t ∈ − 2; , có t = thỏa mãn điều kiện Với  √ π t = ⇔ sin x − =1 4 π √  x = + k2π π 2 ⇔ sin x − = ⇔ (k ∈ Z) x = π + k2π oa nl w d Bài tốn 2.20 Giải phương trình √ sin x cos x − 2(sin x + cos x) + = nf va an lu Lời giải lm ul = (sin x + cos x)2 t2 − ⇔ sin x cos x = Khi z at nh oi Đặt t = sin x + cos x suy phương trình trở thành t2 z t2 − √ − 2t + =  √  √ 2 t = 1+ √ ⇔ t− =1⇔ t = −1 +  h √ √ i √ π Mà t = sin x + cos x = sin x + nên t ∈ − 2; , giá trị t thỏa √ mãn điều kiện t = −1 + 2, suy nghiệm phương trình √ √ π 2−1 3π 2−1 + k2π; x = − arcsin √ + k2π (k ∈ Z) x = − + arcsin √ 4 2 m co l gm @ an Lu n va ac th si 38 2.3.4 Phương trình lượng giác liên quan đến bất đẳng thức tam giác Bài toán 2.21 Giải phương trình cos x + cos 3x − cos 4x = (2.14) Lời giải Đây dạng phương trình liên quan đến bất đẳng thức tam giác Trong tam giác ABC, ta có cos A + cos B + cosC lu (2.15) an hay n va p ie gh tn to cos A + cos B − cos(A + B) Ta áp dụng kĩ thuật biến đổi tương tự cách chứng minh bất đẳng thức (2.15) để giải phương trình (2.14) Ta có d oa nl w cos x + cos 3x − cos 4x = cos 2x cos x − cos2 2x + 1 = cos2 x − (cos x − cos 2x)2 + 2 3 = − (1 − cos2 x) − (cos x − cos 2x)2 2 2 nf va an lu z at nh oi lm ul Vậy (2.14) tương  đương2 với hệ − cos x = cos 2x = cos x hay ( ( cos x = cos x = −1 1 cos 2x = cos 2x = − 2 tức ( ( cos x = cos x = −1 1 cos2 x − = cos2 x − = − · 2 Cả hai hệ vô nghiệm nên phương trình (2.14) vơ nghiệm z an Lu cos x cos 2x cos 3x + = m co l gm @ Bài toán 2.22 Giải phương trình (2.16) n va ac th si