(Luận văn) hệ tiên đề pogorelov và mô hình carte của hình học euclid

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG lu an n va p ie gh tn to HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HƯƠNG lu an n va HỆ TIÊN ĐỀ POGORELOV VÀ MƠ HÌNH CARTE CỦA HÌNH HỌC EUCLID p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương 1: Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid lu an 1.1 n va gh tn to p ie 1.2 d oa 1.3 nl w Tổng quan lịch sử Hình học 1.1.1 Tác phẩm "Elements" Euclid 1.1.2 Nỗ lực chứng minh Định đề 1.1.3 Phát Hình học khác Hình học Euclid 1.1.4 Nền tảng hình học nửa sau kỉ 19 Hệ tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid 1.2.1 Yêu cầu phương pháp tiên đề 1.2.2 Các nhóm tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.3.1 Nhóm tiên đề phép cộng véc tơ 1.3.2 Nhóm tiên đề phép nhân véc tơ với số thực 1.3.3 Nhóm tiên đề số chiều 1.3.4 Nhóm tiên đề tích vơ hướng hai véc tơ 1.3.5 Nhóm tiên đề đặt véc tơ từ hai điểm Mối quan hệ hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne 1.4.1 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Hilbert 1.4.2 Ưu - khuyết điểm Hệ tiên đề Wayne nf va an lu z at nh oi lm ul 1.4 Chương 2: Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid 21 z @ Hệ tiên đề Pogorelov hệ trực tiếp Mơ hình Carte Hình học Euclid 2.2.1 Lý xây dựng Mơ hình Carte 2.2.2 Kiểm tra tiên đề qua Mơ hình Carte m co l gm 2.1 2.2 5 11 13 13 14 16 17 17 18 18 19 19 19 20 21 30 30 31 an Lu n va ac th si ii Chương 3: Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng 3.1 3.2 Hệ tiên đề sách giáo khoa phổ thông Một vài áp dụng 3.2.1 Tam giác vuông 3.2.2 Hệ tọa độ Carte vng góc 3.2.3 Định lý Stewart Kết luận Tài liệu tham khảo 38 38 40 40 41 42 46 47 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, Trường ĐHSP Hà Nội Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên tận tình bảo, hướng dẫn thầy Tác giả xin gửi tới Ban giám hiệu, phịng đào tạo, thầy Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, đào tạo nhà trường Tác giả xin chân thành cảm ơn tới lãnh đạo UBND thành phố Tuyên Quang, phòng Giáo dục Đào tạo thành phố Ban giám hiệu trường THCS Ỷ La, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù thân có nhiều cố gắng thời gian nghiên cứu có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hồn thiện Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Đỗ Thị Hương z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu A Một vài điểm quan trọng Hình học phẳng lu Như biết, đối tượng để xây dựng Hình học Euclid điểm, đường thẳng, mặt phẳng tương quan liên thuộc, nằm giữa, Với Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Pogorelov, ta xét vị trí tương đối xảy như: an n va (1.1) Với hai điểm, ta xét điểm trùng nhau, điểm khác gh tn to (1.2) Với đường thẳng, xét đường thẳng trùng nhau, đường thẳng cắt nhau, đường thẳng song song với nhau, đường thẳng chéo p ie (1.3) Với điểm đường thẳng (đoạn thẳng), ta xét điểm thuộc đường thẳng (đoạn thẳng), điểm không thuộc đường thẳng (đoạn thẳng) w d oa nl Với tiên đề độ dài: Mỗi đoạn thẳng AB có độ dài `(AB) > C thuộc đoạn AB, C 6= A, C 6= B, `(AB) = `(AC) + `(CB) Để giải trường hợp hai điểm trùng ta cịn có khái niệm khoảng cách hai điểm tùy ý A, B: ( `(AB) A 6= B d(A, B) = A ≡ B nf va an lu z at nh oi lm ul khái niệm góc với số đo Tiếp theo, ta xét tập điểm hay hình sau: z (2.1) Xét đa giác Đặc biệt việc xét tam giác cân, tam giác đều, tam giác vng hình vng gm @ m co l (2.2) Xét tập điểm cách điểm O với khoảng cách không đổi R Đó đường trịn (`) tâm O bán kính R Xét tiếp tập điểm khơng thuộc (`) Đó tập điểm bên bên ngồi đường trịn (`) an Lu n va (2.3) Xét tập điểm cách hai điểm phân biệt A B Đó đường trung trực đoạn thẳng AB ac th si d Đó đường (2.4) Xét tập điểm cách cạnh góc xOy phân giác góc Tùy theo tốn, ta xét đường phân giác hay đường phân giác ngồi góc (2.5) Xét tập điểm cho khoảng cách từ đến điểm cố định khơng đổi Đó đường trịn Xét tập điểm cho tổng khoảng cách từ đến điểm cho trước A, B số khơng đổi Đó đường elíp với hai tiêu điểm A B Xét tiếp, tập điểm cho giá trị tuyệt đối hiệu khảng cách từ đến hai điểm cho trước A B số khơng đổi Đó đường hypebol với hai tiêu điểm A B lu (2.6) Với điểm A đường thẳng d không chứa A, xét tập điểm cho khoảng cách từ đến A khoảng cách từ điểm đến d Đó đường parabol với tiêu điểm A đường chuẩn d an n va Xuất phát từ điểm đặc biệt sau đây: ie gh tn to B Phương pháp tọa độ Hình học p (3.1) Khi dựng hình ta sử dụng thước kẻ compa Việc dựng đường thẳng đường trịn dễ dàng Nhìn vào hình vẽ tương đối xác ta sử dụng vài kết biết (Mệnh đề, Định lý, Hệ quả,v.v ) để giải tốn Với thước kẻ compa, ta khơng vẽ xác parabol, hypebol,v.v Do vậy, số kết khơng cịn trực giác để ta cảm nhận cách giải không áp dụng d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul (3.2) Phải thay đổi định nghĩa vài khái niệm Chẳng hạn, xét parabol (P ) với tiêu điểm A đường chuẩn d, ta hạ AH⊥d với H ∈ d Khơng khó để chứng minh đường thẳng AH đường trung trực d0 đoạn AH có chung với (P ) điểm, d0 tiếp tuyến (P ), cịn AH lại khơng z (3.3) Với thước kẻ compa, ta khó xây dựng hệ thức liên hệ lớp tập bị thu hẹp gm @ m co l (3.4) Xét phép biến đổi F mặt phẳng Giả sử hình (H) có tính chất P Nếu ảnh (H ) = F (H) có tính chất P P gọi tính chất bất biến (H) qua F ; cịn ảnh (H ) = F (H) khơng có tính chất P P gọi tính chất không bất biến (H) qua F Vấn đề đặt ra: Xét tính chất P khơng bất biến biến đổi qua F thành tính chất gì? an Lu n va ac th si (3.5) Khi xét toán tập điểm hệ thức liên hệ ta thường phải xử lý đối tượng tiến vô tận Để biểu thị đối tượng tiến vô tận, ta đưa phần tử ∞ vào tập R (3.6) Phương pháp tọa độ để ta phụ thuộc vào hình vẽ, biểu thị mối quan hệ qua phương trình Khi ta khơng phải vẽ hình, khơng phải kẻ thêm đường phụ phức tạp Ta dễ dàng biện luận trường hợp mở rộng toán làm biến dạng thành tốn khác lu Do Hệ tiên đề Pogorelov tác giả dùng mô hình thử để kiểm tra Hệ tiên đề dựa hình học giải tích, nhiều tài liệu tham khảo Hình học sơ cấp người ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán an n va C Nội dung luận văn p ie gh tn to Luận văn tập trung trình bày lại số mục Giáo trình Hình học viện sĩ A Pogorelov viết cho sinh viên toán trường đại học Liên xơ Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương Hệ tiên đề Hilbert hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Chương tập trung trình bày nét hai hệ tiên đề nêu Mục 1.1 trình bày đơi nét tổng quan phát triển Hình học Euclid Mục 1.2 trình bày Hệ tiên đề Hilbert Luận văn trình bày yêu cầu phương pháp tiên đề nhóm tiên đề Hilbert cho Hình học Euclid Mục 1.3 dành để trình bày Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid Trong mục làm bật việc sử dụng Đại số tuyến tính xây dựng hệ tiên đề Ở Mục 1.4 đưa vài ý kiến riêng mối quan hệ hai hệ tiên đề việc sử dụng Hệ tiên đề Wayne để xây dựng hình học Euclid vài nước Chương Hệ tiên đề Pogorelov cho Hình học Euclid Trong chương tập trung trình bày lại hệ tiên đề cho Hình học Euclid mơ hình Carte Pogorelov đưa Chương chia làm hai mục Mục 2.1 trình bày Hệ tiên đề Pogorelov vài hệ suy trực tiếp từ hệ tiên đề Mục 2.2 trình bày nội dung Mơ hình Carte Hình học Euclid Trong Mơ hình Carte, Pogorelov sử dụng phương pháp tọa độ để kiểm tra hệ tiên đề Do phần nêu lý để có phương pháp tọa độ hình học d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Hệ tiên đề xây dựng Hình học Việt Nam vài áp dụng Chương trình bày nội dung hệ tiên đề xây dựng hình học Việt Nam vài áp dụng Nó chia làm hai mục Mục 3.1 trình bày hệ tiên đề cho hình học sách giáo khoa bậc phổ thông Mục 3.2 vài áp dụng lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Hệ tiên đề Hilbert Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid lu an 1.1 Tổng quan lịch sử Hình học va n 1.1.1 Tác phẩm "Elements" Euclid p ie gh tn to Hình học xuất phát phần khoa học thực nghiệm phát triển đặc biệt người Ai Cập Những người áp dụng hình học vào đo đạc thổ nhưỡng cơng trình tưới tiêu Trong thiên niên kỷ trước cơng ngun, kiến thức hình học người Ai Cập bắt nguồn từ người Hy Lạp nhờ tạo kỷ nguyên Các nhà hình học Hy Lạp từ kỷ thứ bảy đến kỷ thứ ba trước công nguyên không làm khoa học phong phú kiến thức mới, mà họ tiến bước quan trọng việc thiết lập dãy suy luận logic chặt chẽ Các thành vun đắp qua nhiều kỷ tổng kết hệ thống hóa Euclid (từ năm 330 275 trước công nguyên) tác phẩm "Elements" tiếng Lần lịch sử, Euclid giới thiệu tường thuật logic chặt chẽ hình học Xét thời đại đó, cách giải mơ tả hình học hồn tồn khơng có khuyết điểm, đến mức 2000 năm sau tác phẩm "Elements" xuất hiện, sách sổ tay hình học độc vô nhị Quyển I - IV VI tổng số 13 sách trình bày chương mặt phẳng đóng góp cho hồn thiện hình học, Quyển XI - XIII bao gồm hình học khơng gian Các chương khác nêu ứng dụng số học việc xử lý hình học Mỗi sách bắt đầu khái niệm mới, (ví dụ: Quyển bao gồm 23 định nghĩa) Đặc biệt ba định nghĩa đây: d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 33 lu an n va p ie gh tn to ax1 + c ax2 + c ax3 + c Nếu b 6= y1 = − , y2 = − y3 = − Ta b b b a a có y1 − y3 = − (x1 − x3 ) y3 − y2 = − (x3 − x2 ) Ta thấy rằng, b b x1 − x3 x3 − x2 dấu y1 − y3 y3 − y2 dấu ngược lại Do đó, ta chứng minh tương đương hai định nghĩa nêu Bây ta chứng minh tiên đề thứ tự mơ hình Tiên đề II1 nói rằng, ba điểm thuộc đường thẳng có điểm nằm hai điểm lại Giả sử đường thẳng với phương trình ax+by +c = ba điểm phân biệt (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) thuộc đường thẳng Giả sử b 6= Ta thấy ba số x1 , x2 , x3 đôi khác ax2 + c ax1 + c Quả vậy, x1 = x2 y1 = − =− = y2 Như b b vậy, điểm (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) trùng (mâu thuẫn) Do số x1 , x2 x3 đôi khác Sắp xếp ba số theo thứ tự từ bé đến lớn Khơng tính tổng qt, giả sử x1 < x2 < x3 Khi hiệu x2 − x1 x3 − x2 dấu Vậy, (x2 , y2 ) nằm (x1 , y1 ) (x3 , y3 ) Các hiệu x1 − x3 x3 − x2 trái dấu nên (x3 , y3 ) không nằm hai điểm (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) Các hiệu x1 − x3 x2 − x1 trái dấu nên (x1 , y1 ) không nằm hai điểm (x3 , y3 ) (x2 , y2 ) Do đó, ba điểm nằm đường thẳng có điểm nằm hai điểm lại Tiếp theo chứng tỏ tiên đề phân chia mặt phẳng, Tiên đề II2 mơ hình Cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = Chúng ta nói rằng, điểm (x, y) mặt phẳng không thuộc đường thẳng ax + by + c = 0, nằm nửa mặt phẳng thứ ax + by + c > nằm nửa mặt phẳng thứ hai ax + by + c < Tiên đề nói rằng, hai điểm A1 (x1 , y1 ) A2 (x2 , y2 ) nằm nửa mặt phẳng, đoạn thẳng A1 A2 không cắt đường thẳng cho Nếu chúng nằm hai nửa mặt phẳng khác nhau, đoạn thẳng nối A1 với A2 cắt đường thẳng cho Ta chứng minh, mặt phẳng chia làm hai nửa mặt phẳng thỏa mãn tính chất Thật vậy, Giả sử đường thẳng qua hai điểm A1 , A2 có phương trình αx + βy + γ = Giả sử β 6= Hiển nhiên x1 < x < x2 hay x2 < x < x1 với điểm (x, y) thuộc đoạn thẳng αx + γ A1 A2 Thay tọa độ điểm x y = − vào phương trình β ax + by + c = Chúng ta nhận phương trình tuyến tính f (x) = c1 x + c2 Nếu A1 A2 nằm nửa mặt phẳng f (x1 ) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 f (x2 ) dấu Do f (x) khơng đổi dấu khoảng (x1 , x2 ), có nghĩa A1 A2 không cắt đường thẳng ax + by + c = Tuy nhiên, A1 A2 không nằm nửa mặt phẳng f (x1 ) f (x2 ) trái dấu Do f (x) triệt tiêu khoảng (x1 , x2 ), có nghĩa A1 A2 cắt đường thẳng ax + by + c = Trường hợp β = (α 6= 0) xem xét tương tự Do đó, tiên đề thứ tự với Mơ hình Carte Độ dài đoạn thẳng, Tiên đề độ đo Với hai điểm A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ), khoảng cách A, B Mơ hình Carte p d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 lu an n va p ie gh tn to Độ dài đoạn thẳng khoảng cách hai điểm đầu mút đoạn thẳng Để chứng tỏ rằng, tiên đề phép đo đoạn thẳng, Tiên đề III1 , Mơ hình Carte, trước hết phải ý rằng, đoạn thẳng có độ dài lớn Cho A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) hai điểm nằm đường thẳng C(x3 , y3 ) điểm nằm hai điểm Chúng ta chứng tỏ độ dài đoạn thẳng AB tổng độ dài đoạn thẳng AC BC Thật vậy, giả sử y = px + q phương trình đường thẳng Vì C nằm A B nên x1 < x3 < x2 x1 > x3 > x2 , chẳng hạn x1 < x3 < x2p Ta có y1 = px1 + q, y2 = px2 + q, y3 p = px3 + q Độ dài 2 x1 ) + (y2 − y1 ) = (x2 − x1 ) (1 + p2 ), độpdài đoạn AB = (x2 −p đoạn AC = (x3 −x1 ) + p2 độ dài đoạn BC = (x2 −x3 ) + p2 Ta dễ dàng kiểm tra tính AB = AC + BC Do vậy, tiên đề Mơ hình Carte Với khoảng cách điểm Mơ hình Carte, bất đẳng thức tam giác đúng, có nghĩa: Khoảng cách hai điểm khơng lớn tổng khoảng cách chúng đến điểm thứ ba Khi ba điểm khơng thẳng hàng khoảng cách hai điểm thực nhỏ tổng khoảng cách từ hai điểm đến điểm thứ ba Thật vậy, với bốn số không âm a, b, c, d ta ln có bất đẳng thức p (a2 + b2 )(d2 + c2 ) > ac + bd d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Nhân hai vế bất đẳng thức với cộng chúng với a2 + b2 + c2 + d2 ta suy bất đẳng thức n va ac th si 35 p a2 + b2 + p p d2 + c2 > (a + c)2 + (b + d)2 Với a = d = y2 − y3 ta nhận √ x3 − x1 , b = y3√− y1 , c = x2 − x3 ,p 2 2 CA = a + b , BC = d + c AB = (a + c)2 + (b + d)2 bất đẳng thức CA + CB > AB Dấu xảy ad = bc hay (x3 − x1 )(y2 − y3 ) = (x2 − x3 )(y3 − y1 ), tức điểm nêu nằm đường thẳng có phương trình (x3 − x)(y2 − y3 ) = (x2 − x3 )(y3 − y) Carte phép biến đổi cho cơng thức ( Phép dời hình Mơ hình        x0 = ax + by + c a b x c x0 + với hay = −b a y d y y = −bx + ay + d lu an n va tn to  số a và b thỏa mãn  a2+ b2=   Nếu  đặt a = cos t, b = sin t ta có x cos t sin t x c = + Bằng chứng minh trực tiếp, y0 − sin t cos t y d phép dời hình lập thành nhóm nhân ánh xạ Cụ thể thấy: p ie gh (i) Phép biến đổi đồng (x0 = x, y = y) phép dời hình  0      x cos t sin t x c (ii) Tích hai phép dời hình = + y − sin t cos t y d         x” cos t0 sin t0 x0 c0 = + phép dời hình y” − sin t0 cos t0 y0 d0      x” cos(t0 + t) sin(t0 + t) x = 0 y” − sin(t + t) cos(t + t) y   c cos t0 + d sin t0 + c0 + −c sin t0 + d cos t0 + d0  0      x cos t sin t x c (iii) Phép dời hình = + có nghịch y − sin t cos t y d đảo phép dời hình        x cos(−t) sin(−t) x −c cos t + d sin t = + y − sin(−t) cos(−t) y0 −c sin t − d cos t d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z l gm @ m co Ta chứng minh phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm Từ bất đẳng thức tam giác ta chứng minh rằng, phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng an Lu n va ac th si 36 Số đo góc - Tiên đề III2 Ta định nghĩa số đo góc độ Mơ hình Carte Đầu tiên ta giả thiết số đo góc bẹt 1800 Tiếp theo, xét góc với đỉnh hai cạnh nằm nửa mặt phẳng x > phương trình hai cạnh góc y = k1 x, y = k2 x, x > Khi số đo góc 180 α= π Zk2 dt 180 arctan k2 − arctan k1