(Luận văn) điều khiển h trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron thần kinh phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN PHƯƠNG HẬU lu an n va p ie gh tn to ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lu va an Chuyên ngành: Toán ứng dụng oi lm ul nf Mã số: 46 01 12 z at nh TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN TS NGUYỄN HỮU SÁU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên, 11/2020 ac th si Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ n va 1.1 Giải tích phân thứ gh tn to 1.2 Một số bổ đề bổ trợ 12 p ie 1.3 Bài toán ổn định thời gian hữu hạn cho hệ phương trình w vi phân phân thứ 13 oa nl 1.4 Bài toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ d phương trình vi phân với bậc nguyên 17 an lu Chương Điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp va 20 ul nf hệ nơ ron thần kinh phân thứ oi lm 2.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 20 2.2 Ví dụ số 30 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc lu nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 an [10, 11] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà va n khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn gh tn to xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [11, 21] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [7] lần ie p mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ nl w (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương oa trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình d vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính lu va an tính chất mạng nơ ron cách xác [7, 21] Do hệ phương ul nf trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều oi lm nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần z at nh Như biết, nhiều lý lỗi đo lường, xấp xỉ tuyến tính, khơng xác việc mơ hình hóa, nhiễu loạn thường khơng thể tránh z gm @ khỏi hệ thống mạng thần kinh mơ tả hệ phương trình vi phân bậc ngun bậc khơng ngun Do nghiên cứu hiệu suất suy giảm l nhiễu thông qua phương pháp kiểm soát H∞ toán quan trọng nhận m co quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Trong năm gần an Lu đây, toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên nhận quan tâm nghiên cứu nhiều va n nhà khoa học nước quốc tế [2, 4, 6, 22, 24] Sử dụng phương ac th pháp tiếp cận thời gian dừng trung bình, Xiang cộng [24] nghiên si cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch trung tính Sau kết Xiang cộng [24] cải tiến Wang cộng [22] cho lớp hệ chuyển mạch trung tính hệ khơng ổn định hữu hạn thời gian Ali Saravanan [4] đưa vài tiêu chuẩn cho toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh không chắn chuyển mạch có trễ hỗn hợp cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Bài tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron lu an thần kinh trung tính Markovian nghiên cứu Baskar cộng n va [6] Chú ý kết nói áp dụng cho lớp hệ phương trình vi tn to phân với bậc nguyên Gần đây, M.V Thuan cộng [20] nghiên cứu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần gh p ie kinh phân thứ cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính w số tính chất đạo hàm, tích phân phân thứ oa nl Luận văn tập trung trình bày tính số tiêu chuẩn cho tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa d an lu sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm ul nf đây: va gần (xem [20]) Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau oi lm Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm z at nh phân thứ Caputo Ngoài ra, chúng tơi trình bày tốn ổn định hữu hạn thời z gian cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Bài toán điều khiển H∞ @ thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên gm tham khảo chủ yếu từ tài liệu [13, 14, 15, 17, 18] m co l chúng tơi trình bày chương Nội dung chương Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho an Lu toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn lớp hệ nơ ron thần kinh ac th [20] n va phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái si Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên lu an cứu n va Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người tn to bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa gh p ie học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực w sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin d oa nl chân thành cảm ơn oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh mục ký hiệu lu an n va không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A gh tn to Rn = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} ie λmax (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ ma trận A, kAk = p λmin (A) λmax (A> A) nl w ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn d oa A≥0 p nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) oi lm ul nf va an lu A≥B z at nh C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ lớn α z AC m [a, b] m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an n va Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính tn to ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ gh p ie sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ an lu 1.1.1 d oa nl 1.1 w Kiến thức sử dụng chương tham khảo [13, 14, 15] nf va Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân tích phân lặp thơng thường oi lm ul thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm z at nh Định nghĩa 1.1 ([15]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- z Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 gm @ l α t0 It := I với I toán an Lu Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước tα−1 e−t dt, α > m co Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với n va < α < cho định lý sau ac th Định lý 1.1 ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi si đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([15]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a lu (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có an n va α t0 It x(t) −α =λ +∞ X tn to j=0 t > Đạo hàm phân thứ p ie gh 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville d oa lĩnh vực nl w đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều an lu Định nghĩa 1.2 ([15]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂  dn  n−α dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn oi lm RL α t0 Dt x(t) ul cho nf va R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 z at nh n := dαe số nguyên nhỏ lớn α đạo z hàm thông thường cấp n dn dtn @ m co l gm Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < an Lu Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– va = t−α Γ(1 − α) ac th RL α Dt f (t) n Liouville cấp α hàm f (t) si Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi lu an [a, b] n va  d D= dt  gh tn to Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau:  AC n [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] p ie Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] oa nl sau: w Mệnh đề 1.1 ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng d f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , an lu k=0 oi lm ul nf va ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có (s), z at nh ϕ(s) = f (n) f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! z l gm thứ Riemann–Liouville @ Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) m co Định lý 1.2 ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 ac th k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) n = n−1 X va RL α t0 Dt f (t) an Lu diễn dạng sau si Hệ 1.1 ([15]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b]   Z t f (t ) f (s)ds RL α + t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([14]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α toán tử tuyến tính, tức lu an RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) va n λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] gh tn to Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) p ie + µg(t)] Z dn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t dn t λ µ n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 d oa nl w lu ul nf va an α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) oi lm Định nghĩa 1.3 ([14]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ C α t0 Dt x(t) z at nh R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho := n−α n D x(t), t0 It z đạo hàm thông thường cấp n dn dxn l gm @ n := dαe số nguyên nhỏ lớn α Dn = T m co Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ :=
T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) n va C α t0 Dt x(t) an Lu Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: thứ cấp α ac th Định lý sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đào hàm Caputo phân si 28 hệ đóng (2.7) đạt hiệu suất H∞ tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) tác động điều khiển ngược u(t) xác định u(t) = Y X −1 x(t), t ∈ [0, Tf ] Chứng minh Khi z(t) ≡ 0, điều kiện (2.22a) (2.22b) suy điều kiện (2.8a) (2.8b) Do đó, theo Định lý 2.1, hệ đóng tương ứng bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) Để giải toán điều khiển H∞ cho hệ (2.1), ta chọn hàm Lyapunov giống chứng minh Định lý 2.1 lu Khi đó, ta thu ước lượng đây: an n va C α Dt V tn to  gh  p ie  x(t)    ξ(t) = f (x(t)) ,   ω(t) (x(t)) + z T (t)z(t) − γ ω T (t)ω(t) ≤ ξ T (t)Ψξ(t), (2.23) nl w   −1 −1 Ψ11 X D X W    Ψ= ∗ Ψ22 ,   ∗ ∗ Ψ33 d oa T Ψ11 = −X −1 A − AX −1 + X −1 BK + K T B T X −1 + 1 X −1 Ea EaT X −1 + −1 Ha Ha an lu T T −1 T −1 + 2 X −1 Eb EbT X −1 + −1 K Hb Hb K + X Ed Ed X nf va + X −1 Ew EwT X −1 + LT L + C T C, oi lm ul Ψ22 = HdT Hd − I, Ψ33 = HwT Hw − I − γ I z at nh Bây nhân tương ứng hai vế Ψ X = diag{X, I, I} chuyển vị z nó, đặt K = Y X −1 sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta có điều kiện Ψ < gm (x(t)) + z T (t)z(t) − γ ω T (t)ω(t) < 0, ∀t ∈ [0, Tf ] (2.24) m co l C α Dt V @ tương đương với (2.22a) Suy ac th (x(t)) n Sử dụng Mệnh đề 1.3 Định lý 1.7, ta thu đánh giá C α ITf DTf V (2.25) va an Lu Lấy tích phân hai vế (2.24) với cận từ tới Tf , ta có Z Tf Z Tf C α T z (t)z(t)dt − γ ω T (t)ω(t)dt < 0 ITf DTf V (x(t)) + si 29 α C α = IT1−α ITf DTf V (x(t)) f   1−α α C α = ITf ITf DTf V (x(t)) = IT1−α (V (x(t)) − V ((0))) = IT1−α V (x(t)) − IT1−α V (x(0)) f f f Mặt khác, ta lại có (x(t)) = Γ(1 − α) 1−α ITf V Z Tf (Tf − s)−α xT (s)X −1 x(s)ds ≥ 0, ∀Tf ≥ 0 lu Với điều kiện ban đầu không, ta thu ước lượng sau Z Tf 1−α (Tf − s)−α xT (0)X −1 x(0)ds = 0, ∀Tf ≥ 0 ITf V (x(0)) = Γ(1 − α) an va n α Suy IT1f C DTf V (x(t)) ≥ 0, ∀Tf ≥ với điều kiện ban đầu không Từ tn to đo suy Z Tf
z T (t)z(t) − γ ω T (t)ω(t) dt < gh J= ie p Vậy hệ đóng (2.7) đạt hiệu suất H∞ tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) oa nl w Định lý chứng minh hoàn toàn Nhận xét 2.2 Dựa hộp công cụ LMI Control Toolbox MATLAB, d va hệ (2.1) an lu ta có bước sau để giải toán điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho ul nf Bước 1: Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.22a) thu ba z at nh trận Y ∈ Rm×n oi lm số dương , 1 , 2 , ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n ma Bước 2: Kiểm tra điều kiện (2.22b) Định lý 2.2 Nếu chuyển sang z Bước trái lại ta quay lại Bước gm @ Bước 3: Ma trận điều khiển ngược K xác định K = Y X −1 Bài toán điều l khiển H∞ thời gian hữu hạn giải m co Trong trường hợp hệ (2.1) khơng có tham số khơng chắn, tức an Lu ∆A(t) ≡ 0, ∆D(t) ≡ 0, ∆W (t) ≡ 0, ∆B(t) ≡ 0, hệ (2.1) rút gọn thành   C α  t ≥ 0,  Dt x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W ω(t) + Bu(t),   (2.26) z(t) = Cx(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ Rn n va ac th si 30 Dưới tác động điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng hệ (2.26) miêu tả   C α   Dt x(t) = (−A + BK)x(t) + Df (x(t)) + W ω(t),   z(t) = Cx(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ Rn t ≥ 0, (2.27) Ta dễ dàng thu hệ sau lu Hệ 2.2 Giả sử Giả thiết 2.2, 2.3 thỏa mãn Cho trước an va số dương c1 , c2 , d, Tf ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n n Nếu tồn ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n , ma trận p ie gh tn to Y ∈ Rm×n , số dương  cho điều kiện thỏa mãn (2.28a) d oa nl w   N11 D W XLT XC T    ∗ −I  0      ∗  < 0, ∗ −I − γ I 0      ∗  ∗ ∗ −I   ∗ ∗ ∗ ∗ −I va an lu (2.28b) oi lm ul d T α < λ1 c2 , Γ(α + 1) f nf λ2 c1 + z at nh N11 = −AX − XAT + BY + Y T B T , z gm @ hệ đóng (2.27) đạt hiệu suất H∞ tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) tác động điều khiển ngược u(t) xác định an Lu Ví dụ số t ∈ [0, Tf ] m co 2.2 l u(t) = Y X −1 x(t), va n Trong mục này, chúng tơi trình bày ba ví dụ số để minh họa cho kết ac th lý thuyết si 31 Ví dụ 2.1 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ (Ví dụ [17])    C D0.8 x(t) = Ax(t) + W ω(t) + Bu(t), t (2.29)   x(0) = (x1 (0), x2 (0))T ∈ R2 ,       3 , B =  , W =  , A= 0.6 lu x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , u(t) = (u1 (t), u2 (t)) ∈ R2 , ω(t) = sin t ∈ R Với an n va gh tn to điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng hệ (2.29) mô tả    C D0.8 x(t) = (A + BK)x(t) + W ω(t), t (2.30)  T  x(0) = (x1 (0), x2 (0)) ∈ R , p ie Để so sánh kết Định lý 2.1 với kết Y.J Ma cộng w [17], ta xét hai trường hợp sau đây: oa nl Trường hợp I: Ta chọn c1 = 5, Tf = 0.1, R = I, d = Áp dụng Hệ 2.1, hệ d đóng (2.30) bị chặn thời gian hữu hạn ứng với  (5, c2 , 0.1, I, 1) với  va an lu −2.500 −4.9939  x(t) c2 ≥ 5.9 điều khiển ngược ổn định hóa cho u(t) =  0.7454 −1.6250 ul nf Chú ý cơng trình Y.J Ma cộng [17], giá trị nhỏ oi lm c2 để hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn c2 = 15 z at nh Trường hợp II: Cho c1 = 5, c2 = 15, R = I, d = Áp dụng Hệ 2.1, hệ đóng (2.30) bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (5, 15, Tf , I, 1) với z khoảng thời gian  < Tf < Tf max  = điều khiển ngược ổn định hóa cho −2.500 −4.9939  x(t) Chú ý cơng trình Y.J by u(t) =  0.7454 −1.6250 l gm @ thời gian hữu hạn Tf max = 0.1 m co Ma cộng [17], giá trị lớn Tf để hệ đóng bị chặn an Lu Do đó, Định lý 2.1 hiệu kết Y.J Ma cộng [17] n va Kết mô phỏng: ac th • Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2, 2)T ∈ R2 , c1 = 5, c2 = 5.9, Tf = 0.1, R = I, d = Hình 2.1 mơ quỹ đạo véc tơ trạng thái si 32 16 x (t) x2(t) 14 12 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Time(sec) 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Hình 2.1: Quỹ đạo trạng thái x1 (t) x2 (t) hệ mở Ví dụ 2.1 2.5 lu an 1.5 x1(t) x2(t) va 0.5 n to −0.5 tn −1 gh −1.5 −2 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Time(sec) 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 p ie nl w Hình 2.2: Quỹ đạo trạng thái x1 (t) x2 (t) hệ đóng Ví dụ 2.1 d oa x1 (t), x2 (t) hệ mở Hình 2.2 mơ quỹ đạo véc tơ trạng lu thái x1 (t), x2 (t) hệ đóng Hình 2.3 2.4 mơ quỹ đạo va an xT (t)Rx(t) hệ mở hệ đóng Rõ ràng từ hình vẽ ta thấy oi lm ul nf hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (5, 5.9, 0.1, I, 1) z at nh • Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2, 2)T ∈ R2 , c1 = 5, c2 = 15, Tf = 6, R = I, d = Hình 2.5 2.6 mô quỹ đạo xT (t)Rx(t) z hệ mở hệ đóng Rõ ràng, hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn ứng gm @ 300 xT(t)Rx(t) l 250 m co 200 150 an Lu 100 50 0.01 0.02 0.03 0.04 0.06 0.07 0.08 0.1 ac th Hình 2.3: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở Ví dụ 2.1 0.09 n 0.05 Time(sec) va si 33 xT(t)Rx(t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Time(sec) 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 lu Hình 2.4: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ đóng Ví dụ 2.1 an n va gh tn to 98 ie x 10 xT(t)Rx(t) p nl w oa d 0 an lu 1 va Time(sec) oi lm ul nf Hình 2.5: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở Ví dụ 2.1 z at nh z @ gm l m co 2 Time(sec) an Lu xT(t)Rx(t) n va Hình 2.6: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ đóng Ví dụ 2.1 ac th si 34 với (5, 15, 6, I, 1) Ví dụ 2.2 Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ   C 0.49  x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W ω(t) + Bu(t), t ≥ 0,  Dt   z(t) = Cx(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ R2 , (2.31) x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 , u(t) = (u1 (t), u2 (t)) ∈ R2 , z(t) ∈ R, ω(t) = lu 0.01 cos t ∈ R         h i 0.5  , C = 0.5 0.1 , W =  , B =  , D =  A= an n va tn to Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng hệ (2.31) mô tả ie gh p       = (−A + BK)x(t) + Df (x(t)) + W ω(t), t ≥ 0, C 0.49 x(t) Dt (2.32) d oa nl w z(t) = Cx(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ R2 lu an Các hàm kích hoạt chọn sau f (x(t)) = (tanh x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 nf va Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1, 1} Cho oi lm ul c1 = 1, c2 = 2, Tf = ma trận R = I Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox MATLAB, điều kiện (2.28a) (2.28b) Hệ z at nh 2.2 thỏa mãn với  = 128.2634     7.6032 0.1030 −29.5516 2.9265 , Y =   X= 0.1030 8.9494 −0.2045 −24.7392 z gm @ Theo Hệ 2.2, hệ đóng (2.32) đạt hiệu xuất H∞ tương ứng với l (1, 2, 5, I, 0.0001) với hiệu suất γ = 1.2598 tác động điều khiển ngược m co ổn định hóa cho bởi: an Lu   −3.8918 0.3718  x(t), t ∈ [0, 5] u(t) =  0.0106 −2.7645 n va ac th Kết mô phỏng: chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1, 0.9)T ∈ R2 , c1 = 1, c2 = 2, Tf = 5, R = I, d = 0.0001 Hình 2.7 2.8 mô quỹ đạo si 35 50 45 40 35 30 25 20 15 10 xT(t)Rx(t) 0 0.5 1.5 2.5 Time(sec) 3.5 4.5 Hình 2.7: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở Ví dụ 2.2 0.5 0.45 lu 0.4 an 0.35 0.3 va xT(t)Rx(t) 0.25 n 0.2 to 0.15 tn 0.1 0.05 gh 0 0.5 1.5 2.5 Time(sec) 3.5 4.5 ie p Hình 2.8: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ đóng Ví dụ 2.2 w oa nl xT (t)Rx(t) hệ mở hệ đóng Rõ ràng, hệ đóng bị chặn thời gian d hữu hạn ứng với (1, 2, 5, I, 0.0001) lu oi lm ul nf va an Ví dụ 2.3 Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ sau   C 0.96   x(t) = − [A + Ea Fa (t)Ha ] x(t) + [D + Ed Fd (t)Hd ]f (x(t)) Dt       +[W + Ew Fw (t)Hw ]ω(t) + [B + Eb Fb (t)Hb ]u(t), t ≥ 0, z at nh   z(t) = Cx(t), t ≥ 0,        x(0) = x0 ∈ R2 , z gm @ (2.33) 70 l 60 m co 50 40 an Lu 30 T x (t)Rx(t) 20 Hình 2.9: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở Vi dụ 2.3 10 ac th Time(sec) n va 10 si 36 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 xT(t)Rx(t) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Time(sec) 10 Hình 2.10: Quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ đóng Vi dụ 2.3 lu an n va p ie gh tn to x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2     h i 0.1 0.5     , Ha = 0.5 0.6 , Fa (t) = sin t, , Ea = A= 0.1 0.6     h i 0.5  , Ed =   , Hd = 0.1 0.2 , Fd (t) = sin t, D= 2.5 0.8     h i 0.2     W = , Ew = , Hw = 0.1 0.3 , Fw (t) = cos t, 0.3     h i h i     B= , Eb = , Hb = 0.4 0.5 , Fb (t) = sin t, C = 1 d oa nl w va an lu C 0.96 x(t) Dt oi lm = [−A − Ea Fa (t)Ha + BK + Eb Fb (t)Hb K] x(t) z at nh           ul nf Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng hệ (2.33) mơ tả +[D + Ed Fd (t)Hd ]f (x(t)) + [W + Ew Fw (t)Hw ]ω(t), z gm @   z(t) = Cx(t), t ≥ 0,        x(0) = x0 ∈ R2 t ≥ 0, (2.34) l   m co 0.01 sin t  Suy véc tơ nhiễu Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) cho ω(t) =  0.01 cos t an Lu đầu vào thỏa mãn Giả thiết 2.3 với d = 0.0001 Hàm kích hoạt f (x(t)) = n va (tanh x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 Ta quan sát thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa ac th mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1, 1} Cho c1 = 1, c2 = 1.6, Tf = 10 ma trận R = I Cho trước γ = 1.2391 Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox si 37 MATLAB, ta thấy điều kiện (2.22a) (2.22b) Định lý 2.2 thỏa mãn với  = 14.1493, 1 = 17.3301, 2 = 14.7246     2.0174 −0.4117 −10.8208 −2.6891 , Y =   X= −0.4117 1.9908 −10.4999 −14.3833 Theo Định lý 2.2, hệ đóng (2.34) đạt hiệu xuất H∞ tương ứng với (1, 1.6, 10, I, 0.0001) với hiệu suất γ = 1.2391 tác động điều khiển lu ngược ổn định hóa cho bởi:   −5.8879 −2.5683  x(t), t ∈ [0, 10] u(t) =  −6.9733 −8.6667 an n va tn to Kết mô phỏng: Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1, 0.9)T ∈ R2 , c1 = ie gh 1, c2 = 1.6, Tf = 10, R = I, d = 0.0001 Hình 2.9 2.10 mơ p quỹ đạo xT (t)Rx(t) hệ mở hệ đóng Rõ ràng, hệ đóng bị chặn thời gian hữu hạn ứng với (1, 1.6, 10, I, 0.0001) d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 38 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Giới thiệu trình bày số tiêu chuẩn đơn giản cho tính ổn định lu tính bị chặn thời gian hữu hạn lớp hệ điều khiển tuyến tính an phân thứ; va n • Giới thiệu tốn điều khiển H∞ thời gian hữu hạn cho lớp hệ gh tn to điều khiển tuyến tính với bậc nguyên; p ie • Trình bày số tiêu chuẩn cho tốn điều khiển H∞ thời gian nl w hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ; d thuyết oa • Trình bày 03 ví dụ số với mô để minh họa cho kết lý oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu an [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân va phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017 n biến thiên, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ie gh tn to [2] Nguyễn Trường Thanh, Điều khiển H∞ hệ phương trình vi phân có trễ p Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 nl w [3] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân d oa số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học Công nghệ, 2017 nf va an lu Tiếng Anh oi lm ul [4] M.S Ali and S Saravanan (2016), “Robust finite-time H∞ control for a class of uncertain switched neural networks of neutral-type with dis- z at nh tributed time varying delays”, Neurocomputing, 177, pp 454–468 [5] F Amato, M Ariola and P Dorato (2001), “Finite-time control of linear z ica, 37, pp 1459–1463 l gm @ systems subject to parametric uncertainties and disturbances”, Automat- m co [6] P Baskar, S Padmanabhan S, M.S Ali (2018), “Finite-time H∞ control an Lu for a class of Markovian jumping neural networks with distributed time varying delays-LMI approach”, Acta Mathematica Scientia, 38(2), pp 561– n va 579 ac th si 40 [7] A Boroomand and M.B Menhaj (2008), “Fractional-order Hopfield neural networks”, In: International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890), Springer [8] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [9] L Chen, C Liu, R Wu, Y He and Y Chai (2016), “Finite-time stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural lu Computing and Applications, 27(3), pp 549–556 an n va [10] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE tn to Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1257–1272 ie gh [11] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Applications”, p IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1273–1290 nl w [12] X Dinh, J Cao, X Zhao and F.E Alsaadi (2017), “Finite-time stability of d oa fractional-order complex-valued neural networks with time delays”, Neural an lu Processing Letters, 46(2), pp 561–580 nf va [13] M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos and R Castro- oi lm ul Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in z at nh Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp 650–659 [14] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, z gm @ Springer [15] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Appli- l m co cations of Fractional Differential Equations, Springer an Lu [16] M.P Lazarevi´c and A.M Spasi´c (2009), “Finite-time stability analysis of fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach”, Mathematical n va and Computer Modelling, 49, pp 475–481 ac th si 41 [17] Y.J Ma, B.W Wu and Y.E Wang (2016), “Finite-time stability and finitetime boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing, 173, pp 2076–2082 [18] Q Meng and Y Shen (2009), “Finite-time H∞ control for linear continuous system with norm-bounded disturbance”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14, pp 1043–1049 [19] C Rajivganthi, F.A Rihan, S Lakshmanan and P Muthukumar (2018), lu “Finite-time stability analysis for fractional-order Cohen–Grossberg BAM an va neural networks with time delays”, Neural Computing and Applications, n 29(12), pp 1309–1320 tn to of uncertain fractional-order neural networks”, Computational and Applied p ie gh [20] M.V Thuan, N.H Sau and N.T.T Huyen (2020), “Finite-time H∞ control w Mathematics, 39, pp 1–19 oa nl [21] Z Shuo, Y.Q Chen and Y Yu (2017), “A Survey of Fractional-Order d Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical lu va an Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers ul nf oi lm [22] S Wang, T Shi, L Zhang, A Jasra and M Zeng (2015), “Extended finitetime H∞ control for uncertain switched linear neutral systems with time- z at nh varying delays”, Neurocomputing, 152, pp 377–387 z [23] R.C Wu, Y.F Lu and L.P Chen (2015), “Finite-time stability of fractional @ gm delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, pp 700–707 m co l [24] Z Xiang, Y.N Sun, M.S Mahmoud (2012), “Robust finite-time H∞ control for a class of uncertain switched neutral systems”, Communications an Lu in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17, pp 1766–1778 va [25] C Xu and P Li (2019), “On finite-time stability for fractional-order neural n networks with proportional delays”, Neural Processing Letters, 50(2), pp ac th 1241–1256 si 42 [26] X.J Yang, Q.K Song, Y.R Liu, Z.J Zhao (2015), “Finite-time stability analysis of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing, 152, pp 19–26 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si