(Luận văn) đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm logarit

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N NGÅC QUY˜N lu an NG THÙC V€ B‡T NG THÙC TRONG LỴP H€M LOGARIT n va p ie gh tn to d oa nl w LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu THI NGUY–N - 2020 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N NGÅC QUY˜N lu NG THÙC V€ B‡T NG THÙC TRONG LỴP H€M LOGARIT an n va p ie gh tn to LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC d oa nl w Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M sè: 46 01 13 nf va an lu lm ul GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu z at nh oi Ngữới hữợng dăn khoa hồc: z m co l gm @ an Lu THI NGUY–N - 2020 n va ac th si i Mưc lưc MÐ †U Ch÷ìng Mët số kián thực liản quan án hm logarit lu an Mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm logarit 1.2 c trững cừa hm tuƯn hon nhƠn tẵnh 1.2.1 Hm tuƯn hon nhƠn tẵnh 1.2.2 H m ph£n tu¦n ho n nhƠn tẵnh 1.2.3 CĂc bi toĂn liản quan án hm tuƯn hon nhƠn tẵnh n va 1.1 gh tn to 1.3 Mởt số nh lẵ liản quan án lợp hm lỗi v hm lỗi logarit ie p Chữỡng ng thực v phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit 14 Phữỡng trẳnh hm Cauchy dÔng logarit 14 2.2 Phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit 22 2.3 Hằ phữỡng trẳnh logarit 34 d oa nl w 2.1 lu Ph²p chuyºn v· hằ Ôi số 34 2.3.2 Sû dưng t½nh ìn i»u cõa h m sè 36 nf va an 2.3.1 3.1 CĂc dÔng toĂn ữợc lữủng v b§t ¯ng thùc logarit z at nh oi 3.2 38 lm ul Chữỡng BĐt ng thực lợp hm logarit 38 38 3.1.1 BĐt ng thực hm logarit 3.1.2 Phữỡng phĂp giÊi bĐt ng thực chựa logarit Mởt số tẵnh to¡n kh¡c li¶n quan 44 51 z B i to¡n cüc trà liản quan án hm logarit 51 3.2.2 BĐt ng thực dÂy số v giợi hÔn 56 3.2.3 ng dửng hm lỗi, hm logarit chùng minh @ 3.2.1 l gm 60 66 m an Lu Kát luên co cĂc bĐt ng thực n va ac th si M Ưu BĐt ng thực cõ v trẵ °c bi»t quan trång to¡n håc v  l  mët bở phên quan trồng cừa giÊi tẵch v Ôi số ng thực, bĐt ng thực lợp hm logarit l mët nhúng nëi dung cì b£n v  quan trång cừa chữỡng trẳnh toĂn bêc trung hồc phờ thổng Chuyản à nơm chữỡng lu an trẳnh bỗi dữùng HSG ð c¡c lỵp THPT phưc vư c¡c ký thi HSG quèc gia va v  khu vüc n °c bi»t, cĂc kẳ thi hồc sinh giọi toĂn cĂc cĐp, cĂc bi toĂn liản tn to quan tợi cĂc tẵnh chĐt cừa hm logarit thữớng xuyản ữủc à cêp Nhỳng gh dÔng toĂn ny thữớng ữủc xem l thuởc loÔi khõ v ỏi họi tữ duy, khÊ ie nông phĂn oĂn cao, song nõ lÔi luổn cõ sực hĐp dăn, thu hút sỹ tẳm tỏi, p õc sĂng tÔo cừa hồc sinh w  Ăp ựng nhu cƯu bỗi dữùng giĂo viản v bỗi dữùng hồc sinh giọi và oa nl chuyản à hm logarit, tổi chồn à ti luên vôn "ng thực v bĐt ng thực lợp hm logarit" d an lu Ti¸p theo, kh£o s¡t mët sè lỵp b i to¡n tø c¡c · thi HSG Qc gia v cĂc tnh thnh cÊ nữợc nhỳng nôm gƯn Ơy nf va CĐu trúc luên vôn gỗm ba chữỡng v phƯn m Ưu, kát luên lm ul Chữỡng Mởt số kián thực liản quan án hm logarit Trong chữỡng ny tĂc giÊ trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cì b£n cõa h m logarit, °c tr÷ng z at nh oi cừa hm tuƯn hon nhƠn tẵnh v mởt số nh lẵ liản quan án lợp hm lỗi v hm lỗi logarit Chữỡng Trẳnh by và ng thực logarit lợp hm số chuyn ời z cĂc Ôi lữủng trung b¼nh thỉng qua mët sè b i to¡n, sû dưng phữỡng trẳnh @ gm hm Cauchy  giÊi phữỡng trẳnh hm Cauchy dÔng logarit Cuối chữỡng dnh  trẳnh by cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh siảu viằt dÔng logarit co l vợi cĂc vẵ dử tữỡng ựng m Chữỡng BĐt ng thực lợp hm logarit Chữỡng ny trẳnh by an Lu và bĐt ng thực hm logarit v phữỡng phĂp giÊi bĐt ng thực chựa logarit thỉng qua c¡c v½ dư cư thº Ngo i cán tr¼nh b y c¡c ùng dưng n va cõa c¡c ành l½ º gi£i c¡c b i to¡n cüc trà h m logarit cơng nh÷ c¡c b i ac th si to¡n tẳm giợi hÔn v ựng dửng hm lỗi, hm logarit chựng minh mởt lợp cĂc bĐt ng thực kinh in Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa GiĂo sữ, Tián sắ khoa hồc Nguyạn Vôn Mêu TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi ThƯy, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, v truyÃn Ôt kián thực, kinh nghiằm nghiản cựu cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn TĂc giÊ cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi cĂc ThƯy Cổ khoa ToĂn-Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy, giúp ù v tÔo iÃu kiằn cho tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp tÔi Trữớng ỗng thới, tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh v bÔn b ỗng lu nghiằp  luổn giúp ù v ởng viản tổi quĂ trẳnh hon thnh luên an vôn va ThĂi Nguyản, thĂng 03 nôm 2020 n T¡c gi£ gh tn to p ie Nguy¹n Ngåc Quy¸n d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Mởt số kián thực liản quan án hm logarit Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm lu logarit; c trững cừa hm tuƯn hon nhƠn tẵnh v mởt số nh lẵ liản an quan án lợp hm lỗi v hm lỗi logarit CĂc kát quÊ chẵnh cừa ch÷ìng n va ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2] ie gh tn to 1.1 Mët sè t½nh chĐt cỡ bÊn cừa hm logarit nh nghắa 1.1 a > 0, a 6= f (x) = loga x p Cho h m sè logarit Khi â h m số ữủc a log x x Tứ nh nghắa ny ta suy ra: loga a = 1, loga = 0, x = a a , x = loga a gåi l  cì sè oa nl w d Trong cĂc phƯn tiáp theo, ta giÊ sỷ nf va an lu Nhªn x²t 1.1 D = (0; +∞) i) H m sè logarit câ tªp x¡c ành f (x) = loga x x ln a Ta kh£o s¡t t½nh ìn i»u cõa h m sè a > gm ln a > hìn núa @ Khi â, (T½nh ìn i»u) tr÷íng hđp - Tr÷íng hđp 1: x > 0, z f (x) = loga x I = R z at nh oi f (x) = Tẵnh chĐt 1.1 v têp giĂ tr liản tửc v cõ Ôo hm vợi mồi lm ul ii) Hm số < a 6= n¶n suy l - Trữớng hủp 2: l hm ỗng bián trản D n va f (x) = loga x < a < thẳ an Lu a>1 m Vêy, > 0, ∀x > x ln a co f (x) = (loga x)0 = ac th si Trong tr÷íng hđp n y loga x f (x) < 0, x D Vêy, 0 0, (Tẵnh lỗi, lóm) Xt hm sè ta câ f (x) = (loga x)0 = f 00 (x) = - N¸u - N¸u −1 x2 ln a , x ln a a > tùc ln a > th¼ y 00 < suy h m sè lãm tr¶n (0; +∞) < a < tùc ln a < th¼ y 00 > suy hm số lỗi trản (0; +) Tẵnh chĐt 1.3 Vợi mồi a > 0, a 6= v Tẵnh chĐt 1.4 Vợi mồi a > 0, a 6= v  lu x1 , x2 ∈ (0; +∞), ta câ x1 loga (x1 x2 ) = loga x1 + loga x2 , loga = loga x1 − loga x2 x2 an n va tn to gh loga xα = αloga x, loga x = p ie Tẵnh chĐt 1.5 w Vợi mồi oa d < a 6= 1, b 6= v  x > 0, < a 6= 1, < c 6= loga x = Tẵnh chĐt 1.7 Hm sè lm ul nf va an lu Vỵi måi Vỵi α b§t ký, ta câ loga xα = α logaα x = logaα xα α loga b logb c = loga c, loga b = nl Tẵnh chĐt 1.6 x > Tẵnh chĐt 1.8 Vợi mồi a > 0, a 6= ta câ logb a v  x > 0, ta câ logc x logc a z at nh oi f (x) = loga x (0 < a 6= 1) cõ Ôo hm tÔi måi N¸u h m sè u = u(x) cõ Ôo hm im x (0; +) v (loga x) = x ln a tr¶n kho£ng J ∈ R th¼ h m sè y = loga u(x), (0 < a 6= 1) cõ Ôo hm trản u0 (x) J v  (loga u(x)) = u(x) ln a z x1 , x2 ∈ (0; +∞), loga x1 < loga x2 ⇔ x1 > x2 an Lu th¼ m 0 1) Hm số M trản náu f (x) ÷đc gåi M ⊂ D(f ) v  l  h m tuƯn hon nhƠn tẵnh chu lu x M suy a±1 x ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M an n va tn to V½ dö 1.1 f (x) = sin(2π log2 x) Khi â f (x) l  h m tu¦n ho n + + ±1 + ký trản R Thêt vêy, ta cõ x ∈ R th¼ x ∈ R v  X²t ie gh nhƠn tẵnh chu p f (2x) = sin(2 log2 (2x)) nl w = sin(2π(1 + log2 x)) ký tữỡng ựng l a d Tẵnh chĐt 1.9 lu oa = sin(2π log2 x) = f (x) N¸u f (x) an b tr¶n nf va v  v  g(x) M v  l hai hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ln |a| m = , m, n ∈ N∗ ln |b| n th¼ F (x) = ln |a| m n m = suy |a| = |b| ln |b| n cõa F (x) v G(x) Thêt vêy, ta Tứ giÊ thiát T := a2n = b2m l  chu ký z at nh oi Chùng minh lm ul f (x) + g(x) v  G(x) = f (x).g(x) l  c¡c h m tu¦n ho n nhƠn tẵnh trản M Ta chựng minh cõ z F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M ; @ n va trản R thẳ R+ f (x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký a, a > g(t) = f (ln t), (t > 0) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký ea Náu an Lu trản l cĂc hm tuƯn hon m Tẵnh chĐt 1.10 F (x), G(x) co nhƠn Do â, l ∀x ∈ M, T ±1 x ∈ M tẵnh trản M Hỡn nỳa, gm G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M ac th si f (x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a (a > 1) g(t) = f (et ) l  h m tu¦n hon cởng tẵnh chu ký ln a trản R Ngữủc lÔi, náu R+ thẳ Chựng minh GiÊ sỷ f (x) l hm tuƯn trản R Xt g(t) = f (ln t), (t > 0) hon cởng tẵnh chu ký trản a, a > Ta câ g(ea t) = f (ln(ea t)) = f (ln ea + ln t) = f (a + ln t) = f (ln t) = g(t), t R+ Vêy g(t) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký Ngữủc (0 lÔi, giÊ sỷ f (x) l  lu < a 6= 1) tr¶n R+ t X²t g(t) = f (e ), ∀t ∈ R hm tuƯn ea trản hon R+ nhƠn tẵnh chu ký a Ta câ an n va g(t + ln a) = f (et+ln a ) = f (et eln a ) tn to = f (aet ) = f (et ) = g(t), ∀t ∈ R g(t) l  hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký ln a trản R ie gh Vêy p 1.2.2 Hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh nh nghắa 1.3 chu ký d oa nl w f (x) ữủc gồi l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh a (a > 1) trản M náu M ⊂ D(f ) v   ∀x ∈ M suy a±1 x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M H m sè nf va an lu lm ul Vẵ dử 1.2 nhƠn tẵnh chu Thêt vêy, ta câ ∀x ∈ R+ z at nh oi f (x) = cos(π log2 x) Khi â f (x) l  h m phÊn tuƯn hon + ký trản R Xt th¼ z f (2x) = cos(π log2 (2x)) = cos(π+π log2 x) = − cos(π log2 x) = −f (x), ∀x ∈ R+ @ V½ dư 1.3 Khi â m co l f (x) = gm √ [sin(2π log2 ( 2x)) − sin(2π log2 x)] √ f (x) l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký trản R+ + + Thêt vêy, ta cõ x R thẳ ( 2) x ∈ R v  √ √ f ( 2x) = [sin(2π log2 (2x)) − sin(2π log2 ( 2x))] X²t an Lu n va ac th si √ = [sin(2π(1 + log2 x)) − sin(2π log2 ( 2x))] √ = [sin(2π log2 x) − sin(2π log2 ( 2x))] = f (x) Tẵnh chĐt 1.11 Mồi hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh trản tuƯn hon nhƠn tẵnh trản Chựng minh M Ãu l hm M Theo giÊ thiát tỗn tÔi b > cho x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v  f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ra, ∀x ∈ M th¼ b±1 ∈ M v  f (b2 x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), x M lu an Nhữ vêy, f (x) n va Tẵnh chĐt 1.12 f (x) M v ch trản M l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký f (x) tn to tr¶n b2 l  h m tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký b (b > 1) cõ dÔng: p ie gh f (x) = (g(bx) g(x)), g(x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký b2 tr¶n M w â, d oa nl Chùng minh (i) Gi£ sû f l  h m phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký b trản M Khi â g(x) = −f (x) l  h m tu¦n hon nhƠn tẵnh chu ký b2 trản M an lu v  nf va 1 (g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x))) 2 = (−(−f (x)) + f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Ngữủc lÔi, f (x) = (g(bx) g(x)), thẳ 1 f (bx) = (g(b2 x) − g(bx)) = (g(x) − g(bx)) 2 = − (g(bx) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M z at nh oi lm ul (ii) z b±1 x ∈ M Do â, f (x) l  h m ph£n tu¦n hon m co nhƠn tẵnh thẳ l gm @ ∀x ∈ M tr¶n M Hìn núa, an Lu n va ac th si 53 Suy s    23 2 S≥3 =3 3 D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ cõa S x=y=z=   23 l Vẵ dử 3.20 Vêy giĂ tr nhọ nhĐt Chựng minh rơng + x ln(x + + x2 ) ≥ √ + x2 , ∀x, y ∈ R Líi gi£i lu X²t h m sè an f (t) = ln(t + va n Rã r ng f (t) > √ + t2 ) > 0, ∀x ∈ R+ t > v  f (t) = t = Khi Z x √ ln(t + + t2 )dt > vỵi â, vỵi 0 lm ul Vỵi √ nf va x ln(x + tdt > 0, + t2 logarit Ta thữớng dũng kát quÊ sau Ơy an Lu Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử và phữỡng phĂp tẵch phƠn bĐt ng thực n va ac th si 54 nh lỵ 3.3 Cho hm số y = f (x) liản tửc, khổng Ơm, ỡn iằu tông trản [0, c) vợi c > Gồi f −1 (x) l  h m ng÷đc cõa nâ Khi â, vỵi måi a ∈ [0, c) v  b ∈ [f (0), f (c)) ta câ Z a Z b f (x)dx + f −1 (x)dx ≥ ab f (0) D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ b = f (a) Vẵ dử 3.21 f (x) liản tửc v ỗng bián trản [0; b] v a [0; b] Cho h m sè Chùng minh r¬ng a Z f (x)dx ≥ a b Z f (x)dx Líi gi£i b lu an BĐt ng thực trản tữỡng ữỡng vợi va n (b a) Z a f (x)dx ≥ a to tn f (x) f (x)dx a [a; b] n¶n Z a Z a (b − a) f (x)dx ≥ (b − a) f (a)dx = (b − a)a.f (a) 0 Z b Z b =a f (a)dx a f (x)dx nghch bián trản p ie gh Do b Z [0; a] v  oa nl w a a d Chùng minh r¬ng a−b a a−b < ln < a b b z at nh oi lm ul < a < b nf va Líi gi£i Cho an V½ dư 3.22 lu Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh 1 > > n¶n a x b Z b Z b Z b dx dx > > dx, a a b a a x Ta câ nhªn x²t: vợi mồi a (a, b) thẳ z an Lu n va b−a b b−a > ln > a a b m b b−a b−a > ln |x| a > a b co Vªy l gm @ hay ac th si 55 Vẵ dử 3.23 Tẳm giĂ trà nhä nh§t cõa biºu thùc f (x) = (3 + ln 2)x − 2x+1 − ln 2.x2 , x ∈ [0; 2] Líi gi£i Ta câ g(t) = 2t + t l hm liản tửc v ỗng bián trản [0; 2], nản theo vẵ dử 3.21, ta câ Z x Z t (2 + t)dt ≤ x (2t + t)dt 0 t   t  x t t2 2 ⇔2 + + ≤x ln 2 ln 2 4x x 2x+1 + x2 − ≤ + 2x − ⇔ ln ln ln ln x+1 ⇔2 + x ln − ≤ 4x + 2x ln − x lu an va n ⇔ (3 + ln 2)x − 2x+1 − ln 2.x2 ≥ −2 tn to Vªy gi¡ trà nhọ nhĐt cừa p ie gh Vẵ dử 3.24 f (x) = b¬ng −2 x = 0, x = Tẳm giĂ tr lợn nhĐt cừa hm sè √ √ √ √ 2x5 − x[4 − ln(1 + 2)] − ln(1 + x), x ∈ [0, 2] â x nf va √ Z t+1 l  h m li¶n tưc v  nghàch bián vợi mồi an [0, 2], lu g(t) = −t4 + d Ta th§y oa nl w Líi gi£i f (x) t∈ √  2 1 dt ≥ x dt −t4 + −t4 + t+1 t+1 0 " √ #   √ √ x ⇔ − + ln(1 + x) ≥ x − + ln(1 + 2) 5 √ √ √ √ ⇔ − 2x5 + ln(x + 1) ≥ [−4 + ln(1 + 2)]x  Z z at nh oi lm ul z @ Suy √ √ √ 2x5 − x[4 − ln(1 + 2)] − ln(1 + x) ≤ lợn nhĐt cừa f (x) bơng x = ho°c x = T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc e n va A = e b + b(ln b − 1), < b e an Lu Vẵ dử 3.25 m Vêy giĂ trà co l gm √ ac th si