(Luận văn) các ước số của số mersenne

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ PHƯỢNG lu an n va gh tn to p ie CÁC ƯỚC SỐ CỦA SỐ MERSENNE d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ PHƯỢNG lu an va n CÁC ƯỚC SỐ CỦA SỐ MERSENNE p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lm ul z at nh oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si i Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii lu an n va Mở đầu 1 Số hoàn hảo, số Mersenne lịch sử Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler Số Mersenne 1.3 1.4 Một số tính chất đặc biệt số hồn hảo chẵn 18 Số hoàn hảo lẻ 21 p ie gh tn to 1.1 1.2 nl w 25 d oa Các ước nguyên tố số Mersenne 2.1 Ước lượng cận tổng nghịch đảo ước nguyên tố lu z at nh oi 2.2 Một số toán 28 Chứng minh Định lí 2.1 - 2.3 30 lm ul 2.1.2 2.1.3 nf va an số Mersenne 25 2.1.1 Phát biểu kết 25 2.1.4 Chứng minh Định lí 2.4 36 Ước lượng cận tổng nghịch đảo ước nguyên tố z số Mersenne 40 @ Một số kết 40 Các bổ đề 42 2.2.3 Chứng minh Định lí 2.5 46 m 51 an Lu Tài liệu tham khảo co Kết luận kiến nghị l gm 2.2.1 2.2.2 52 n va ac th si ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt lu an n va Hàm Euler m σ(m) Hàm tổng ước m τ (m) Ω(m) Hàm số ước m Số thừa số nguyên tố m ω(m) log x Tương ứng tính bội khơng tính bội m Logarit tự nhiên x [a, b] (a, b) Bội chung nhỏ hai số a, b Ước chung lớn hai số a, b p ie gh tn to φ(m) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu Các số Mersenne số hoàn hảo đề tài xuyên suốt lý thuyết số, từ thời Hy Lạp cổ đại ngày hôm Đây chủ đề vừa phù an hợp với chương trình Tốn bậc THPT, lại vừa chứa đựng nghiên cứu Dưới hướng dẫn tận tình GS.TSKH Hà Huy Khối, tác n va Luận văn có hai mục tiêu chính: - Giới thiệu tranh toàn cảnh lịch sử phát triển số hoàn p ie gh tn to giả chọn đề tài " Các ước số số Mersenne" nl w hảo số Mersenne, phát kiến sai lầm trình nghiên cứu số Mersenne số hồn hảo d oa - Trình bày số kết nghiên cứu đại ước số số Mersenne Đây vấn đề quan trọng, đặc biệt việc tìm lu nf va an số nguyên tố lớn Với mục tiêu trên, tác giả tiến hành nghiên cứu hai nội dung tương z at nh oi lm ul ứng với hai chương: Chương Số hoàn hảo, số Mersenne lịch sử 1.1 Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler 1.2 Số Mersenne z @ co l 1.4 Số hoàn hảo lẻ gm 1.3 Một số tính chất đặc biệt số hoàn hảo chẵn m Chương Các ước nguyên tố số Mersenne an Lu 2.1 Ước lượng cận tổng nghịch đảo ước nguyên tố số Mersenne n va ac th si 2.2 Ước lượng cận tổng nghịch đảo ước nguyên tố số Mersenne Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giáo sư - Tiến sĩ khoa học Hà Huy Khối - người tận tình, bảo, động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập thực luận văn lu Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành an n va tn to luận văn Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để ie gh luận văn hoàn thiện p Tác giả xin chân thành cảm ơn! d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Số hoàn hảo, số Mersenne lu lịch sử an n va Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler gh tn to 1.1 p ie Định nghĩa số hoàn hảo dùng khái niệm gọi "phần chia hết", nguyên gốc "aliquot parts", vốn có nguồn gốc từ tiếng Latin, oa nl w "ali" có nghĩa "khác" "quot" nghĩa "có bao nhiêu" Một "phần chia hết" số thương thực số đó, nghĩa d thương khác số ban đầu Ví dụ 1, "phần chia hết" 10 an lu nf va 10 10 10 ,2 = ,5 = , 10 cịn 10 khơng phải "phần chia hết" 10 thương 1= lm ul z @ "phần chia hết" Ví dụ z at nh oi thực 10 Định nghĩa nguyên thủy: Một số gọi hồn hảo tổng co l gm +) Số có phần chia hết 1, 2, + + = nên số số hồn hảo m +) Số 10 có phần chia hết 1, 2, + + = nên số 10 số hồn hảo an Lu Để có định nghĩa đại, người ta dùng khái niệm sau n va ac th si Định nghĩa 1.1 Hàm tổng ước hàm X σ(n) = d, d|n n số nguyên dương tổng chạy qua tất ước nguyên dương n (bao gồm nó) Nhờ khái niệm này, ta có Định nghĩa 1.2 Một số tự nhiên n gọi hoàn hảo lu σ(n) = 2n an n va Khi σ(n) < 2n n gọi thiếu σ(n) > 2n n gọi thừa ie gh tn to Ví dụ +) Số 12 có ước số 1, 2, 3, 4, 12 Ta có p σ(12) = + + + + + 12 = 28 > 12 Do số 12 số thừa +) Số 10 số thiếu σ(10) = + + + 10 = 18 < 20 nl w oa +) Các số 6, 28 số hồn hảo σ(6) = + + + = 12, d σ(28) = + + + + 14 + 28 = 56 Một cách tương đương, số hồn hảo tổng ước nf va an lu lm ul thực Theo tác giả C.M.Taisbak, dường người Ai Cập cổ đại z at nh oi người sử dụng số hoàn hảo tính tốn Aurelius Augustinus (354 – 430) "The City of God" nhắc z lại Chúa trời thực sáng tạo giới muôn lồi ngày, hồn hảo công việc thể số Nguồn gốc thứ hai @ l gm loài người sinh từ số thiếu 8: Kinh thánh nói tàu Noah có linh hồn từ xuất toàn loài người, co trình sáng tạo khơng hồn hảo số "thiếu" Nguồn gốc m xem chừng không coi trọng nguồn gốc thứ lí đơn giản: số hoàn hảo! Mặt trăng quay vòng quanh Trái đất hết 28 an Lu ngày lí 28 số hồn hảo n va ac th si Theo Pythagoras, hoàn hảo số phụ thuộc vào ước số Những người theo trường phái Pythagoras ln ln tin tưởng vào số 6, họ xem số đẹp nhất, tượng trưng cho sức khỏe vẻ đẹp người Pythagoras cho số hồn hảo khơng phải Chúa chọn nó, mà hồn hảo thuộc tính sở hữu số đó: "số tự hồn hảo khơng phải Chúa tạo vạn vật ngày, thực ngược lại đúng, Chúa tạo vạn vật ngày số hồn hảo hồn hảo chí chuyện khơng xảy ra." lu Trong "Cơ sở" Euclid, viết khoảng 300 năm trước Công nguyên, mệnh đề 36 thứ "Cơ sở" nói an n va tn to "Bắt đầu từ đơn vị, gấp đôi liên tục lấy tổng kết số nguyên tố, đem nhân với số cuối tổng, ta nhận p ie gh số hoàn hảo" Sau ta thực bước theo Euclid Dãy số mà Euclid nói đến nl w 1, 2, 4, 8, 16, 32, d oa Lấy tổng số dãy ta có kết nf va an lu + = 3; + + = 7; lm ul + + + = 15; z at nh oi + + + + 16 = 31 Ta chọn ví dụ số 31 Đem nhân với số cuối tổng ta có 31.16 = 496, z @ l gm số hoàn hảo! Euclid chứng minh p = + + 22 + + 2n co số ngun tố 2n p số hồn hảo Ông 2n p có tất m ước thực 1, 2, , 2n , p, 2p, , 2n−1 p tổng chúng 2n p an Lu Theo ngôn ngữ đại, mệnh đề Euclid trở thành n va ac th si Mệnh đề 1.1 Nếu n số nguyên lớn thỏa mãn 2n − số nguyên tố 2n−1 (2n − 1) số hoàn hảo Các nhà toán học sau thường gọi phát Định lí Euclid số có dạng 2n−1 (2n − 1) (trong 2n − số nguyên tố) số Euclid Nhưng Euclid cho chiều, câu hỏi đặt là: liệu cịn số hồn hảo khác khơng nằm số có dạng khơng? Đây nói vấn đề quan trọng lịch sử nghiên cứu số hoàn hảo Cơng trình ý nghĩa sau Euclid mà ta phải nhắc đến nhà lu toán học Nicomachus (60-120 sau Công nguyên) Năm 100, Nicomachus viết "Introductio Arithmetica" ơng phân loại số dựa an n va tn to vào khái niệm số hoàn hảo Theo đó, có loại: số thừa, số thiếu số hoàn hảo Nicomachus đề kết liên quan đến số hồn hảo, ie gh khẳng định (hay phán đoán?) sau p Số hồn hảo thứ n có n chữ số oa nl w Mọi số hoàn hảo chẵn d Số hồn hảo có chữ số cuối ln phiên lu nf va an Mọi số hồn hảo có dạng 2n−1 (2n − 1) n > 2n − số ngun tố lm ul Có vơ hạn số hoàn hảo z at nh oi Năm khẳng định Nicomachus có từ phân tích cách tìm số hồn hảo Euclid nói với ví dụ số hồn hảo thời điểm đó: 6, 28, 496, 8128 Và chưa kiểm chứng chúng z gm @ công nhận nhiều năm co l Đến tận thời kì đầu giai đoạn Phục Hưng châu Âu (khoảng năm 1500), khẳng định Nicomachus xem Carolus Bovillus m (1470 − 1553) - nhà thần học triết học xuất sách số hoàn hảo năm 1509, ơng cho số hồn hảo số chẵn, an Lu chứng minh ông áp dụng cho số Euclid n va ac th si 35 Khơng có số ngun tố q chia hết n n + 1, nên X A0 + A1 > = log log b − log log a + o(1) q a (log log b − log log a) − Ta có X X X f (n) = + + = B0 + B1 + B2 p p p b b p>log n p|2n −1 e (log x) X 1 d < = O(1) d d (2.15) d=1 tn to Phần khó khăn chứng minh đưa đánh giá cho ie gh B3 (x) = x+z X p n=x X p X (2.16) w r(p)=d d|n d>z p(log x)4 d oa nl Vì p > r(p), ta có lu P i XP i , p i>2 (2.17) giống B3 (x), ta lấy số lm ul tổng nf va an B3 (x) nguyên tố p mà với chúng z at nh oi i i+1 (log x)2 < p (log x)2 z Giả sử Q kí hiệu số nguyên x(x + 1) (x + z) Cố định i > Nếu p P tính i , gm @ i (p − 1, Q) > r(p) > p1/3 > (log x)2 /3 , co l (2.18) i+1 =: y2 , an Lu i y1 := (log x)2 < y (log x)2 m Giả sử y số thực thỏa mãn n va ac th si 39 giả sử S(y) tập hợp số nguyên tố p y mà với chúng, (2.18) nghiệm Từ (2.18) rõ ràng Y Y i|S(y)|/3 (p − 1, Q) > (p − 1, Q) > (log x)2 (2.19) p6y p∈S(y) Bây ta tiếp tục với phương pháp tương tự P Erd˝os[3] Chú ý (trong ∧ hàm số von Mangold π(y, d, 1) số số nguyên tố p y với p ≡ (mod d)) log Y X X X (p − 1, Q) = log(p − 1, Q) = ∧(d) lu p6y p6y an X va = p6y d|(p−1,Q) ∧(d)π(y, d, 1) = S1 + S2 , (2.20) n d|Q p ie gh tn to đó, S1 ta có d y 2/3 S2 ta có d > y 2/3 Đối với S1 ta sử dụng Bất đẳng thức Brun - Titchmarsh để nhận X ∧(d) y y log log Q S1   ϕ(d) log y log y nl w d|Q d oa Với S2 ta đánh giá π(y, d, 1) cách tầm thường y/d sử dụng nf va an lu kiện Q có nhiều O(log Q) ước lũy thừa số nguyên tố để đến X ∧(d) y log y log Q y log Q y log Q y  < S2 d (log x)2 log y y 2/3 y 1/2 log y z at nh oi lm ul d|Q y 2/3 2 lu x exp(− log2 y + O(1)) = log x x x =  log x log y log x log3 y an n va x log2 x x Rx √ √ √ < =  exp(c1 log x) exp(c1 log x) exp(c1 log x − log2 x)   x =0 log x log3 x ie gh tn to sai số (2.30) p (2.32) nl w d oa Từ (2.30), (2.31) (2.32) suy tồn số nguyên tố p x p , log x log3 x nf va an lu (2.33) p < x với p ≡ (mod 8) mà thừa số nguyên tố nhỏ (p − 1)/2 z at nh oi lm ul y Bây hầu hết số có tính chất p − số khơng có ước phương khác Rõ ràng, p − không bội Nếu tồn số nguyên tố q mà q |p − ta suy z q > y Cố định số nguyên tố q vậy, nằm khoảng (y, x1/2 ) Vì p ≡ (mod q)2 , suy có nhiều π(x, 1, q ) số nguyên tố p < x @ gm Khi q < x1/4 , ta sử dụng kiện 2x π(x, 1, q ) , φ(q ) log(x/q ) co l (2.34) m x1/4 q x1/2 , ta sử dụng kiện đơn giản sau   x 2x π(x, 1, q ) + q q an Lu (2.35) n va ac th si 45 Từ (2.34) (2.35), ta thấy số số nguyên tố p < x mà p − chia hết cho bình phương số nguyên tố q > y X X x x  + =: S1 + S2 (2.36) ) log(x/q ) φ(q q 1/4 1/4 y x1/2 , suy X x x X S1 =  φ(q ) log(x/q ) log x y log4 x (2.43) oa nl p∈P p d với giá trị x đủ lớn Thật vậy, phép lấy tích phân phần, ta có X Z z dP (t) P (t) t=z Z z P (t)dt + S= = = (2.44)