(Luận văn) bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC D×ÌNG CỈNG CØ lu an n va p ie gh tn to B‡T NG THÙC V€ CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC „I SÈ BA BI˜N d oa nl w LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu THI NGUY–N - 2019 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG I HC KHOA HC DìèNG CặNG Cỉ lu BT NG THÙC V€ CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC „I SÈ BA BI˜N an n va p ie gh tn to LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC d oa nl w Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M sè: 60 46 01 13 nf va an lu lm ul Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu z at nh oi z m co l gm @ an Lu THI NGUY–N - 2019 n va ac th si i Mưc lưc MÐ †U Ch÷ìng a thùc v  c¡c h» thùc li¶n quan lu an 1.1 Mởt số bĐt ng thực cờ in liản quan án a thực 1.2 a thực bêc ba v mët sè h» thùc cì b£n n va ie gh tn to p 1.3 1.2.1 Cổng thực Vite v phữỡng trẳnh bêc 1.2.2 H» ph÷ìng trẳnh ối xựng ba ân 13 1.2.3 PhƠn tẵch a thùc th nh nh¥n tû 16 1.2.4 T½nh chia h¸t cõa c¡c a thùc èi xùng 18 a thùc bªc ba v  c¡c h» thùc tam gi¡c 19 22 2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 22 2.1.2 CĂc nh lỵ cỡ bÊn cừa a thực Ôi sè ba bi¸n 24 nf va an C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc Ôi số ba bián 28 2.2.1 Mởt sè m»nh · b§t ¯ng thùc 28 2.2.2 p dưng chùng minh b§t ¯ng thùc 33 z at nh oi lm ul 2.3 lu 2.2 B§t ¯ng thùc sinh bði a thùc bªc ba d 2.1 oa nl w Chữỡng CĂc bĐt ng thực sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 22 Mët số dÔng bĐt ng thực ba bián phƠn thực 35 z Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bi¸n 38 @ Cüc trà theo r ng buëc têng v tẵch ba số 3.2 CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián 41 3.3 Mởt số dÔng toĂn liản quan 45 co 38 47 m an Lu 48 n va K˜T LUŠN T€I LI›U THAM KHƒO l gm 3.1 ac th si M Ưu Chuyản à bĐt ng thực cõ vai trỏ rĐt quan trồng bêc trung hồc phờ thổng BĐt ng thực khổng ch l ối tữủng nghiản cựu trồng tƠm cừa Ôi số v GiÊi tẵch m cỏn l cỉng cư ­c lüc nhi·u l¾nh vüc kh¡c cõa toĂn hồc Ta  biát rơng cĂc bĐt ng thực a thực  ữủc lu an nhiÃu nh toĂn håc kh£o s¡t nh÷ Newton, Lagrange, Berstein, Markov, va Kolmogorov, Landau, CĂc bĐt ng thực dÔng ny cụng cõ th chựng n minh ữủc bơng nhiÃu phữỡng phĂp khĂc cừa hẳnh hồc nhữ phữỡng tn to ph¡p v²ctì v  ph÷ìng ph¡p tåa ë, ph÷ìng ph¡p sè phực, gh Tuy nhiản, cĂc dÔng bĐt ng thực ựng vợi lợp a thực tờng quĂt thẳ ngữới ie ta cƯn án cĂc cổng cử cừa giÊi tẵch (tẵnh lỗi, lóm)  khÊo sĂt chúng p  Ăp ựng nhu cƯu bỗi dữùng giĂo viản v bỗi dữùng håc sinh giäi v  w n¥ng cao nghi»p vư cừa bÊn thƠn và chuyản à bĐt ng thực v cỹc tr oa nl sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián, tổi chồn à ti luên vôn "BĐt ¯ng thùc v  cüc trà sinh bði c¡c a thùc Ôi số ba bián" d an lu Luên vôn ny nhơm cung cĐp mởt số dÔng bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số mởt số dÔng liản quan nf va Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, kát luên v chữỡng lm ul Chữỡng a thực v cĂc hằ thực liản quan Chữỡng CĂc bĐt ng thực sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián z at nh oi Chữỡng CĂc dÔng toĂn cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l khÊo sĂt mởt số lợp bĐt ng thực v cỹc tr sinh bi cĂc a thực Ôi sè ba bi¸n v  x²t c¡c mð rëng cõa chóng z º ¡p döng kh£o s¡t c¡c b i to¡n cüc trà li¶n quan @ gm T¡c gi£ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu l  tên tẳnh hữợng dăn v giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp co v nghiản cựu luên vôn TĂc giÊ cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh m tợi cĂc ThƯy Cổ khoa ToĂn-Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc têp tÔi Trữớng an Lu ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v giúp ù cho tĂc giÊ suốt thới gian hồc n va ac th si ỗng thới, t¡c gi£ cơng xin gûi líi c£m ìn tỵi gia ẳnh v cĂc bÔn ỗng mổn  luổn giúp ù v ởng viản tổi thới gian hồc têp v quĂ trẳnh hon thnh luên vôn ThĂi Nguyản, 12 thĂng 05 nôm 2019 TĂc giÊ Dữỡng Cổng Cứ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ch÷ìng a thực v cĂc hằ thực liản quan Mửc ẵch cừa chữỡng ny l trẳnh by mởt số bĐt ng thực cờ in lu liản quan án a thực nõi chung, a thực bêc ba nõi riảng v xt mởt số an hằ thực cỡ bÊn Mởt phƯn cừa chữỡng ny ữủc dnh  nảu và a thực n va bªc ba v  c¡c h» thùc tam gi¡c C¡c kát quÊ chẵnh cừa chữỡng ữủc tn to tham khÊo tø c¡c t i li»u [2], [3] p ie gh 1.1 Mởt số bĐt ng thực cờ in liản quan án a thực nh nghắa 1.1 A bián x l mët v nh giao ho¡n câ ìn Ta gåi a thực l mởt biu thực cõ dÔng oa nl n w bªc Cho fn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an 6= 0), d (1.1) an lu â c¡c tü cõa a thùc ÷đc gåi l  h» sè, nf va ∈ A an a0 l  h» sè cao nh§t v  l  h» sè z at nh oi lm ul fn (x) l  sè mơ cao nh§t cõa lụy thứa cõ mt (1.1) v ữủc kỵ hiằu l  deg(f ) Khi â n¸u (1.1) an 6= thẳ deg(f ) = n Náu = 0, i = 1, , n v  a0 6= thẳ ta cõ bêc cừa a thực l N¸u = 0, i = 0, , n thẳ ta coi bêc cừa a thực l  −∞ v  gåi a Bªc cõa a thùc thùc khổng (nõi chung thẳ ngữới ta khổng nh nghắa bêc cừa a thực z khổng) Têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số lĐy vnh gm A[x] A=K ữủc kỵ @ hiằu l A l mởt trữớng th¼ v nh m co l K[x] l  mët v nh giao ho¡n câ ìn Ta th÷íng x²t A = Z, ho°c A = Q ho°c A = R ho°c A = C Khi â, ta câ c¡c v nh a thùc t÷ìng ùng l  Z[x], Q[x], R[x], C[x] Khi an Lu n va ac th si C¡c ph²p t½nh tr¶n a thùc Cho hai a thùc f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 Ta nh nghắa cĂc php tẵnh số hồc f (x) + g(x) = (an + bn )xn + · · · + (a1 + b1 )x + a0 + b0 , f (x) − g(x) = (an − bn )xn + · · · + (a1 − b1 )x + a0 − b0 , f (x)g(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + · · · + c1 x + c0 , lu â an ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 , k = 0, , n n va nh lỵ 1.1 GiÊ sỷ A l mët tr÷íng, f (x) v  g(x) 6= l  hai a thực gh tn to CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn A[x], th¸ A[x] cho p ie cõa v nh w f (x) = g(x)q(x) + r(x) vỵi oa nl r(x) = ta nâi d N¸u q(x) v  r(x) thc th¼ bao gií cơng câ c°p a thùc nhĐt f (x) chia hát cho deg r(x) < deg g(x) g(x) A[x], ph¦n tû f (a) = lm ul þ cõa v nh l  ph¦n tû tịy þ cõa v nh nf va a an lu Gi£ sû n P A, f (x) = n P x i l  a thực tũy i=0 ai cõ ữủc bơng cĂch thay x bði a i=0 z at nh oi f (x) tÔi a Náu f (a) = thẳ ta gồi a l  nghi»m cõa f (x) B i to¡n t¼m c¡c nghi»m cõa f (x) A gåi l  gi£i ph÷ìng trẳnh Ôi số bêc n A ữủc gồi l gi¡ trà cõa z an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) @ f (x) cho x−a ch½nh l  f (a) l php chia gm nh lỵ 1.2 Gi£ sû A l  mët tr÷íng, a ∈ A v  f (x) ∈ A[x] D÷ sè cõa l  mët tr÷íng, an Lu a ∈ A, f (x) ∈ A[x] v  m l mởt số tỹ nhiản hỡn hoc bơng Khi â a l  nghi»m bëi c§p m cõa f (x) v  ch¿ f (x) chia h¸t cho (x − a)m v  f (x) khỉng chia h¸t cho (x a)m+1 GiÊ sỷ A m co nh lỵ 1.3 a l  nghi»m cõa f (x) v  ch¿ f (x) chia hát cho (xa) lợn n va ac th si m = th¼ ta gåi a l  nghi»m ìn cán m = thẳ a Trong trữớng hủp ữủc gồi l nghiằm kp Sè nghi»m cõa mët a thùc l  têng sè c¡c nghi»m cõa a thùc â kº c£ bëi cõa c¡c nghiằm (náu cõ) Vẳ vêy, ngữới ta coi mởt a thực cõ mởt nghiằm cĐp m nhữ mởt a thực cõ m nghiằm trũng Lữủc ỗ Horner GiÊ sû f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ A[x] (vợi A f (x) l mởt trữớng) Khi õ thữỡng gƯn úng cừa lu mởt a thực cõ bêc bơng n 1, cho (x a) l cõ dÔng an n va q(x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 , tn to â ie gh bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, , n − 2, p v  d÷ sè r = ab0 + a0 nh lỵ 1.4 w (nh lẵ Vite) oa nl a GiÊ sỷ phữỡng trẳnh an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (an 6= 0) d (1.2) nghi»m (thüc ho°c phùc) nf va n an lu câ x1 , x2 , , xn th¼ z at nh oi lm ul    E1 (x) := x1 + x2 + · · · + xn       E2 (x) := x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn z         En (x) := x1 x2 xn x1 , x2 , , xn thọa mÂn hằ trản thẳ chúng l n l thnh phƯn v vá trĂi cừa m co nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.2) Hằ (1.3) cõ k thnh phƯn thự k cõ Cn số hÔng an Lu E1 (x), E2 (x), , En (x) ÷đc gåi l  h m (a thùc) èi xùng bªc 1, 2, , n, t÷ìng ùng c C¡c h m sỡ cĐp Vite (1.3) gm @ b Ngữủc lÔi náu c¡c sè an−1 =− an an−2 = an a0 = (1)n an n va nh lỵ 1.5 Mội a thùc thüc bªc n ·u câ khỉng qu¡ n nghi»m thüc ac th si H» qu£ 1.1 a thùc câ væ sè nghi»m l  a thùc khæng H» quÊ 1.2 Náu a thực cõ bêc n m nhên mởt giĂ tr nhữ tÔi n+1 im phƠn biằt cừa ối số thẳ õ l a thực hơng Hằ quÊ 1.3 Hai a thực bêc n m nhên n + trũng tÔi n + im phƠn biằt cừa ối số thẳ chúng ỗng nhĐt bơng nh lỵ 1.6 Mồi a thực f (x) ∈ R[x] câ bªc n v  câ h» sè chẵnh (hằ số an 6= cao nhĐt) Ãu cõ th phƠn tẵch (duy nhĐt) thnh nhƠn tỷ dÔng m s Y Y f (x) = an (x − di ) (x2 + bk x + ck ) i=1 vỵi k=1 di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, s, m, n ∈ N∗ lu ành ngh¾a 1.2 an 1) Måi nghi»m x0 cõa a thùc (1.1) ·u thäa m¢n b§t |x0 | ≤ + n va ¯ng thùc tn to A , |a0 | A = max |ak | 1≤k≤n r gh am 2) N¸u l  h» sè Ơm Ưu tiản cừa a thực (1.1) thẳ số n 1+ p ie cên trản cừa cĂc nghiằm dữỡng cõa a thùc ¢ cho, â B B am l l giĂ tr nl w lợn nhĐt cừa mổun cĂc hằ số Ơm fn (x) dÔng (1.1) viát dữợi dÔng fn (x) = g(x)q(x) vợi deg(g) > v deg(q) > thẳ ta nõi g l ữợc cừa fn (x) v  ta vi¸t g(x)|fn (x) hay fn (x) g(x) Náu g(x)|f (x) v g(x)|h(x) thẳ ta nõi g(x) l ữợc chung cừa f (x) v h(x) Náu hai a thực f (x) v h(x) ch cõ ữợc chung l cĂc a thực bêc thẳ ta nõi rơng chúng nguyản tố v viát (f (x), h(x)) = d oa 3) Khi a thùc nf va an lu z at nh oi lm ul ành lỵ 1.7 iÃu kiằn cƯn v ừ  hai a thùc f (x) v  h(x) nguy¶n tè cịng l  tỗn tÔi cp a thực u(x) v v(x) cho z h(x) v  an Lu n va g(x) f (x) m chia hát cho nguyản tố v f (x), g(x), h(x) thäa m¢n i·u ki»n g(x), g(x) v  h(x) nguyản tố thẳ f (x) Náu cĂc a thực chia hát cho g(x) nguyản tố thẳ cĂc a thực cụng nguyản tố Tẵnh ch§t 1.2 f (x)h(x) v  v  co g(x)h(x) f (x) f (x) l c¡c a thùc N¸u c¡c a thực gm Tẵnh chĐt 1.1 @ f (x)u(x) + h(x)v(x) ac th si Tẵnh chĐt 1.3 Náu a thực vợi nguyản tố thẳ g(x) h(x) v Tẵnh chĐt 1.4 m [f (x)] v f (x) N¸u c¡c a thùc n [g(x)] chia h¸t cho c¡c a thùc f (x) f (x) v  chia h¸t cho g(x) g(x) v h(x) g(x)h(x) nguyản tố thẳ s nguyản tố vợi mồi m, n nguyản dữỡng Mởt số bĐt ng thực Ôi số cỡ bÊn Trong phƯn ny trẳnh by cĂc bĐt ng thực liản quan án cĂc a thực Ôi số cỡ bÊn nh lỵ 1.8 GiÊ sỷ (BĐt ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn) lu an x1 , x2 , , xn l  c¡c sè khỉng ¥m Khi â √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n x1 = x2 = = xn n va D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ (1.4) tn to B§t ¯ng thực (1.4) cõ nhiÃu ti liằu bơng tiáng Viằt v ữủc gồi gh l bĐt ng thực Cổsi (Cauchy) Tuy nhiản, cĂc ti liằu nữợc ngoi ie bĐt ng thực trản cõ tản tiáng Anh l AM-GM Inequality, cho nản và p sau, ta gồi bĐt ng thực (1.4) l BĐt ng thực giỳa trug bẳnh cởng v w trung bẳnh nhƠn oa nl BĐt ng thực (1.4) khĂ quen thuởc vợi a số bÔn ồc v  ữủc chựng minh nhiÃu ti liằu bơng tiáng Viằt, nản chúng tổi s khổng trẳnh d an Cho cĂc số khổng Ơm nf va Vẵ dử 1.1 lu b y chùng minh m  ch¿ x²t v½ dư ¡p dưng x, y, z Chùng minh b§t ¯ng thùc B§t ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi z at nh oi Líi gi£i lm ul x y z + + ≥ x1/2 y 1/3 z 1/6 3x + 2y + z p ≥ x3 y z z @ Ta vi¸t v¸ tr¡i cõa bĐt ng thực trản dÔng l gm 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z = 6 m co Theo bĐt ng thực giỳa trung bẳnh cởng v trung bẳnh nhƠn ta cõ an Lu 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z p = ≥ x3 y z 6 n va BĐt ng thực ữủc chựng minh ac th si M p = − a n−1 q q p ∈ Z) Suy q = |p − qa|.|M | M  (q, p − qa) = nản M chia n vẳ vêy M = r.q Do â = |p − qa||r| v  |p − qa| = M l  mët sè n nl w (vợi v d (nh lỵ nhĐt) ϕ(t, u, v), ψ(t, u, v) thay t = x+y+z, u = xy+yz+zx, còng mët a thùc èi xùng P (x, y, z) thẳ chúng phÊi ỗng nf va nhĐt bơng an cho ta lu Náu hai a thực v = xyz qn oa nh lỵ 2.4 hát cho fm (x, y, z) ữủc biu diạn qua c¡c a thùc èi xùng cì sð theo cỉng thùc X aijk σ1i σ2j σ3k , gm @ i+2j+3k=m (i, j, k ∈ N) z fm (x, y, z) = z at nh oi Khi â lm ul M»nh · 2.2 Cho fm(x, y, z) l  mët a thùc èi xựng thuƯn nhĐt bêc m Mằnh à 2.2 ữủc suy trỹc tiáp tứ cĂc nh lỵ trản Ta cõ mët sè n va f3 (x, y, z) = a1 σ23 + a2 σ1 σ2 + a3 σ3 , an Lu f2 (x, y, z) = a1 σ12 + a2 σ2 , m f1 (x, y, z) = a1 σ1 , co l trữớng hủp riảng cừa Mằnh à n y ac th si 27 f4 (x, y, z) = a1 σ12 + a2 σ12 σ2 + a3 σ22 + a4 σ1 σ3 , , (i = 1, 2, ) l cĂc hơng số ữủc xĂc nh nhĐt Ta cõ th xĂc nh bơng c¡ch cho x, y, z nhªn c¡c gi¡ trà cư thº th½ch â, hđp n o â V½ dư 2.3 Biu diạn a thực sau Ơy theo cĂc a thực èi xùng cì sð f (x, y, z) =x3 + y + z − 4xyz + 2x2 y + 2xy + + 2x2 z + 2xz + 2y z + 2yz Líi gi£i Ta câ lu an f (x, y, z) =(σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 ) − 4σ3 + 2(σ1 σ2 − 3σ3 ) n va =σ13 − σ1 σ2 − 73 tn to nh lỵ 2.5 (nh lỵ Bezout) f (t) l  thùc cho t − a f (a) = n ≥ a thùc bªc gh Gi£ sû f (a) a thùc f (t) chia h¸t cho t−a v  ch¿ p ie b¬ng Khi â sè d÷ ph²p chia cõa a w Chùng minh nl Thªt vªy, thüc hi»n ph²p chia a thùc oa ÷đc f (t) cho t − a, ta d f (t) = g(t)(t − a) + r(t) lu an t a cõ bêc bơng 1, nản a thực r(t) cõ bêc bơng khổng, nghắa l r(t) = r = const Trong ¯ng thùc tr¶n cho t = a, ta ÷đc r = f (a) Tø â suy f (t) chia h¸t cho t − a v ch f (a) = nh lỵ ữủc Vẳ nf va lm ul chựng minh z at nh oi nh lỵ 2.6 Mồi a thực phÊn ối xựng ba bián f (x, y, z) Ãu cõ dÔng f (x, y, z) = (x − y)(x − z)(y − z)g(x, y, z), Cho a thùc bªc 3n m vỵi s a= √ √ 1− n va 1+ + s an Lu P (a) co l P (x) = (x3 + 3x + 1)n T½nh x, y, z gm B i to¡n 2.2 l  a thùc èi xùng theo c¡c bi¸n @ g(x, y, z) z â ac th si 28 Líi gi£i Sû dưng ¯ng thùc (u + v)3 = u3 + v + 3uv(u + v) a ta chựng minh ữủc v vẳ vêy chẵnh l nghiằm cừa phữỡng trẳnh x3 + 3x = P (a) = 2n 2.2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bi cĂc a thực Ôi số ba bián Trong phƯn ny ta ỗng nhĐt kỵ hiằu cừa a thực ối xựng cỡ s ba bián nhữ sau lu   σ = xx + y + z,   σ2 = xy + yz + zx,    σ = xyz an n va tn to 2.2.1 Mët sè m»nh · b§t ¯ng thùc p ie gh M»nh · 2.3 Vỵi c¡c sè thüc x, y, z câ c¡c b§t ¯ng thùc: b)σ22 ≥ 3σ1 σ3 (2.4) nl w a)σ12 ≥ 3σ2 , x = y = z d oa D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ an lu Chùng minh x, y, z nf va a) Vỵi måi sè thüc ta ln câ b§t ¯ng thùc lm ul (x − y)2 + (x − z)2 + (y − z)2 ≥ x = y = z Khai triºn v¸ tr¡i cừa bĐt ng thực trản v giÊn ữợc ta ÷đc s2 − σ2 ≥ Thay s2 = σ1 − 2σ2 , ta 2 câ b§t ¯ng thùc σ1 − 3σ2 ≥ Tø â suy σ1 ≥ 3σ2 z at nh oi D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ z gm @ b) Theo a), ta câ x = ab, y = bc, z = ca, ta ữủc m co Trong bĐt ng thùc tr¶n thay l (x + y + z)2 ≥ 3(xy + xz + yz) σ22 ≥ 3σ1 σ3 vỵi c¡c sè thüc a, b, c n va Tø â suy an Lu (ab + bc + ca)2 ≥ 3(a2 bc + ab2 c + abc2 ) = 3(a + b + c)abc ac th si 29 M»nh à 2.4 Vợi cĂc số thỹc dữỡng x, y, z ta câ b)σ13 ≥ 27σ3 , a)σ1 σ2 ≥ 9σ3 , c)σ23 ≥ 27σ32 (2.5) Chùng minh a) Do x, y, z l cĂc số dữỡng nản , σ2 , σ3 cơng l  c¡c sè d÷ìng Theo M»nh · 2.3 ta câ σ12 ≥ 3σ2 , σ22 ≥ 31 NhƠn tứng vá cĂc bĐt ng thực trản, ta ữủc 12 22 91 σ2 ≥ 9σ3 lu an tùc l  n va (x + y + z)(xy + yz + xz) ≥ 9xyz tn to b) Tø b§t ¯ng thùc gh tø â suy σ13 ≥ 27σ3 , σ12 ≥ 3σ2 , suy σ13 ≥ 3σ1 σ2 V¼ σ1 σ2 ≥ 9σ3 n¶n tùc l  p ie (x + y + z)3 ≥ 27xyz w Tø cỉng thùc tr¶n ta cõ bĐt ng thực quen biát giỳa trung bẳnh cởng oa nl v trung bẳnh nhƠn: d x+y+z ≥ xyz an lu σ22 ≥ 3σ1 σ3 , σ1 σ2 ≥ 9σ3 , σ23 ≥ 27σ32 , tùc l  Suy b§t ¯ng thùc lm ul σ1 σ23 ≥ 27σ1 σ32 nf va c) Nh¥n tøng vá cĂc bĐt ng thực ta ữủc (xy + yz + xz)3 ≥ 27x2 y z z at nh oi Mằnh à 2.5 Vợi cĂc số dữỡng x, y, z ta câ c¡c b§t ¯ng thùc σ12 σ2 ≥ 3σ1 σ3 , σ1 σ22 ≥ 2σ12 σ3 + 2σ2 σ3 , σ13 σ3 + σ23 ≥ 6σ1 σ2 σ3 z @ Tø c¡c b§t ¯ng thùc M»nh · 2.3, ta câ gm Chùng minh x, y, z ta cõ bĐt ng thực ữủc chựng minh v õ, vợi an Lu cĂc số dữỡng 12 31 m Nhữ vêy bĐt ng thực co l σ12 σ2 ≥ 3σ22 = σ22 + 2σ22 ≥ 1σ1 σ3 + 2σ22 (x + y + z)2 (xy + yz + xz) ≥ 3(x + y + z)xyz + 2(xy + yz + xz)2 n va ac th si 30 σ1 σ22 ≥ 2σ12 σ3 + 2σ2 σ3 Theo M»nh · 2.3 a), ta câ σ12 σ3 ≥ 3σ2 σ3 M°t kh¡c, cơng theo M»nh · 2.3 b), ta X²t b§t ¯ng thùc σ12 ≥ 3σ2 , suy câ σ2 ≥ 3σ1 σ3 , â σ1 σ22 ≥ 3σ12 σ3 = 2σ12 σ3 + σ12 σ3 ≥ 2σ12 σ3 + 3σ2 σ3 Tø b§t ¯ng thùc vøa chùng minh tr lÔi cĂc bián (x, y, z) > ta câ b§t ¯ng thùc (x + y + z)(xy + yz + xz)2 ≥ 2(x + y + z)2 xyz + 3(xy + yz + xz)xyz σ13 σ3 + σ23 ≥ 6σ1 σ2 σ3 ÷đc chùng minh t÷ìng tü Do õ vợi x, y, z ta cõ bĐt ng thực BĐt ng thực cĂc số dữỡng lu (x + y + z)3 xyz + (xy + yz + xz)3 ≥ 6(x + y + z)(xy + yz + xz)xyz an Dạ thĐy rơng cĂc bĐt ng thực mằnh à ny văn cỏn úng náu va n x, y, z l  c¡c sè khỉng ¥m tn to M»nh · 2.6 x, y, z r>0 l  c¡c sè thüc khæng Ơm Khi õ, vợi mội thẳ ie gh GiÊ sỷ (Schur) p fr (x, y, z) := xr (x − y)(x − z) + y r (y − x)(y − z) + z r (z − x)(z − y) ≥ nl w (2.6) Chùng minh oa Thªt vêy, vẳ fr (x, y, z) d khổng mĐt tẵnh têng qu¡t ta gi£ sû r¬ng l  h m èi xùng theo x, y, z n¶n x ≥ y ≥ z Khi â b§t ¯ng thùc lu nf va an  cho ữủc viát lÔi nhữ sau fr (x, y, z) := (x − y)[xr (x − z) + y r (y − z)] + z r (x−)(y − z) lm ul Dạ thĐy rơng bĐt ng thực n y óng thùc (2.6) Ta câ fr (x, y, z) ÷đc x¡c ành theo cỉng z at nh oi X²t mët v i tr÷íng hđp °c bi»t cõa f1 (x, y, z) = x(x − y)(x − z) + y(y − x)(y − z) + z(z − x)(z − y) z gm @ = (x3 + y + z ) + 3xyz − (x2 y + x2 z + y x + y z + z x + z y) m co = σ13 − 4σ1 σ2 + 9σ3 l = (σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 ) + 3σ3 − (σ1 σ2 − 3σ3 ) an Lu f2 (x, y, z) =x2 (x − y)(x − z) + y (y − x)(y − z) + z (z − x)(z − y) n va =(x4 + y + z ) + (x + y + z)xyz ac th si