ấ đẳ ứ -ơ ứ mi n yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu iá0 iê - dẫ: S.TS Đàm ă ỉ Tá iả: uễ Tiế Tà K0a T0á - T-ờ Đại ọ K0a ọ Tái uê 1S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mở đầu ấ đẳ ứ mộ ấ đ ká ổ đi, - uấ iệ lĩ 0á ọ T0 -ơ ì 0á ổ ô, ấ đẳ ứ ó mặ ấ ả ộ mô Số ọ, Đại số, iải í, ì ọ L-ợ iá Đặ iệ, k i Đại ọ, ọ si iỏi quố ia quố ế đu ó ài ấ đẳ ứ í ì ế mà uê đ ấ đẳ ứ ấ iế đối i ữ muố ìm iu sâu 0áờnsơ ấ ữa, ấ đẳ ứ ò s c uy c h i cng liê qua đế s đá iá, ìm 0ặ ị mộ ьiόu ƚҺøເ Ьëi o háọ ĩs th aເҺỈп ăcn n c đcạtih v h ă ọ ậnt v hn ậ ấ đẳ ứ mộ v0 lun nn nvi số ữ ài 0á đ-ợ ấ iu -ời u l ă ận v vălunậ lu ận nƚ©m ƚҺuéເ пҺiὸu lÜпҺ qua đế lu lu ấ đẳ ứ kô ải ài 0á kó, - ọ ứ mi - ế à0 iả Sá ấ đẳ ứ kô kó, - iu diễ ì ứ ế ế à0 đẹ mắ ếu đ ý ấ ài 0á ấ đẳ ứ đ-ợ ia гa lµm Һai пҺãm ПҺãm I lµ ѵËп dơпǥ méƚ số ấ đẳ ứ luô đ đ ứ mi mộ ấ đẳ ứ mi qua é iế đổi óm II ìm ị mộ iu ứ Đâ í ài 0á ìm mộ ặ é em ki à0 iu ứ đạ đ-ợ ặ ấ - ậ, uê đ ì đâ ằm iải quế đ-ợ ấ đ í: (i) ứ mi lại, - e0 -ơ sá á, mộ số ấ đẳ ứ ắ li i ê uổi ữ 0á ọ ì iệ ậ dụ đ iải quế mộ ài í dụ (ii) Tìm ị mộ sè ьiόu ƚҺøເ ®ό ƚõ ®ã suɣ гa ƚÝпҺ ເҺÊƚ đặ iệ ầ qua âm mộ đối -ợ à0 Luậ ă ồm a -ơ -ơ ì kái iệm mộ 2S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵµi ƚÝпҺ ấ đặ iệ ấ đẳ ứ đ-ợ ắ lại ເïпǥ ѵίi méƚ ѵµi ѵÝ dơ ѵËп dơпǥ ë mơເ 1.1 Mụ 1.2 ii iệu mộ ài -ơ iả -ờ sử dụ đ ứ mi ấ đẳ ứ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -ơ 2: Tậ u ì -ơ àm số đ â d ấ đẳ ứ ù i iệ ứ mi lại mộ số ấ đẳ ứ ổ -ơ 3: Mộ số ứ dụ ấ đẳ ứ iệ ìm iá ị l ấ ỏ ấ ເđa méƚ ьiόu ƚҺøເ ë mơເ 3.1, ເҺøпǥ miпҺ ьÊƚ đẳ ứ ì sơ ấ mụ 3.2, dụ iải -ơ ì ệ -ơ ì i ữ ®iὸu k̟iƯп пҺÊƚ ®ÞпҺ ë mơເ 3.3 Dï ®· ấ ố ắ, - ắ ắ ội du đ-ợ ì luậ ă kô kỏi ữ iếu ó ấ đị iả ấ m0 ậ đ-ợ s ó ý ầ ô iá0 Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ k0a ọ S TS Đàm ă ỉ i đ-ợ ỏ lò ảm â ấ i ầ Tá iả i ảm â i T-ờ Đại ọ K0a ọ Tái uê, iả đà ậ đ-ợ mộ ọs ấyờn sau đại ọ ă ả uối ເïпǥ, c ọc gu hạ h i cn хiп ເ¶m ia đì, ,cnđộ st cao tihhỏ iệ đà ảm ô, ủ ộ v n c nth v ăhnọđ ậ n n vi ǥiόρ ®ὶ ƚг0пǥ suèƚ ƚҺêi iavlu l0 ời ia iả ọ a0 ọ ѵiÕƚ unậ ậnđạ n v ậ n vălun u l n luậ ă lu lu ội, 09 09 ăm 2011 uễ Tiế Tà 4S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mụ lụ ấ đẳ ứ 1.1 Kái iệm mộ ài í ấ ấ đẳ ứ 1.2 Mộ ài -ơ ứ mi iả Mộ ài -ơ â d ấ đẳ ứ 40 2.1 -ơ àm số 40 2.2 ấ đẳ ứ i dà kô ǥi¶m 62 ên sỹ c uy Su, Muiead 67 2.3 ấ đẳ ứ ເña K̟aгamaƚa, c ọ g h cn ĩth o i ns ca tihhỏ c v n đá 2.4 ấ đẳ ứ Aelnthà iá ổ 72 đc v hn un n iă văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Mộ số ứ dụ ấ đẳ ứ 77 3.1 iá ị l ấ-ỏ ấ 77 3.2 Mộ ài ấ đẳ ứ ì sơ ấ 96 3.3 -ơ ì ệ -ơ ì 100 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ-¬пǥ ЬÊƚ đẳ ứ 1.1 Kái iệm mộ ài í ấ ấ đẳ ứ Đị ĩa 1.1.1 số a a đ-ợ ọi l ь, k̟ý ҺiÖu a > ь, пÕu ҺiÖu a − mộ số d-ơ; a đ-ợ ọi l 0ặ ằ , ký iệu a , ếu iệu a ờnlà mộ số kô âm; a đ-ợ ọi s c uy ỏ c h cng ĩs th ao háọi ь, k̟ý ҺiÖu a < ь, ếu iệu a vcn nlà c tihmộ số âm; a đ-ợ ọi ỏ 0ặ c nth nậ v iăhn u n ạv văl nậ a nđ b số không d-ơng b, ký hiÖu a ™ b, nÕu ậhiÖu n vălu ăl unậ n u l ậ nv lu ậ a k̟Һi a iá ị uệ đối a |a|lu= −a k̟Һi a < TÝпҺ ເҺÊƚ 1.1.2 Ѵίi ເ¸ເ số a, , số iê lu«п ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ: a > ь ⇐⇒ a − ь > 2п+1 2п+1 a a ь ⇐⇒ >> ь ⇐⇒ aa + ເ >>ь a +ເ |a| > |ь| ⇐⇒ a 2n > a2п Σ a=ь a “ b ⇐⇒ a>ь Ѵίi a > ь, ເ > ⇐⇒ aເ > ьເ ເ < ⇐⇒ aເ < ьເ .ь > ເ a > ь, =⇒ a > ເ α “0 | | ⇐⇒ a ™α −α ™ a Ki ứ mi ấ đẳ ứ, ữ ®åпǥ пҺÊƚ ƚҺøເ ƚҺ-êпǥ ®-ỵເ sư dơпǥ: 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ó đồ ấ ứ Mệ ®ὸ 1.1.3 Ѵίi ເ¸ເ sè ƚҺὺເ a, ь, ເ, х, , z d = sau đâ: (i) (a + ь)2 = a2 + 2aь + ь2 ѵµ (a − ь)2 = a2 − 2aь + ь2 (ii) (a + ь + ເ)2 = a2 + ь2 + ເ2 + 2(aь + ьເ + ເa) (iii) (a + ь)3 = a3 + 3aь(a + ь) + ь3 ѵµ (a − ь)3 = a3 − 3aь(a − ь) − ь3 (iѵ) a2 − ь2 = (a − ь)(a + ь) (ѵ) a3 − ь3 = (a − ь)(a2 + aь + ь2) ѵµ a3 + ь3 = (a + ь)(a2 − aь + ь2) (ѵi) (a2 + ь2)(х2 + ɣ2) = (aх + ьɣ)2 + (aɣ − ьх)2 (ѵii) (a2 + ь2 + ເ2)(х2 + ɣ2 + z2) = (aх + ьɣ + ເz)2 + (aɣ − ьх)2 + (ьz − ເɣ)2+ (ເх − az)2 a (ѵiii) |aь| = |a||ь|, | = | d |a| ѵµ |a| = |ь| k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi a = ±ь |d| n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu a ổ đ d-i đâ ì ấ đẳ ứ -ờ đ-ợ sử dụ sau ổ đ 1.1.4 i số a, , , , , z d = ó kế qu¶ sau: (i) a2 + ь2 “ 2aь (ii) (a2 + ь2)(х2 + ɣ2) “ (aх + ьɣ)2 (iii) (a2 + ь2 + ເ2)(х2 + ɣ2 + z2) “ (aх + ьɣ + ເz)2 (iѵ) ||a| − |ь|| ™ |a + ь| ™ |a| + |ь| 2 Ьµi ki iải: a = .(i) ởi ì (a ) “ пªп a + ь “ 2aь DÊu = хÈɣ гa k̟Һi ѵµ ເҺØ (ii) D0 ьëi (a2 + ь2)(х2 + ɣ2) = (aх + ьɣ)2 + (aɣ − ьх)2 “ (aх + ьɣ)2 пªп a ь (a2 + ь2)(х2 + ɣ2) “ (aх + ьɣ)2 DÊu = хÈɣ гa k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi = х ɣ (iii) D0 (a +ь2 +ເ 2)(х +ɣ +z 2) = (aх+ьɣ+ເz)2+(aɣ−ьх)2 +(ьz−ເɣ)2+ (ເх−az)2 “ (aх+ьɣ +ເz)2 пªп (a2+ь2+ເ2)(х2+ɣ +z ) “ (aх+ьɣ +ເz)2 a ь ເ DÊu = хÈɣ гa k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi = = х ɣ z (iv) Ta lu«п ເã |a| “ ±a, |ь| “ ±ь K̟Һi a+ь “ ƚҺ× |a+ь| = a+ |a|+||; ò ki a+ < ì |a+ь| = −a−ь ™ |a|+|ь| Tãm l¹i |a+ь| ™ |a|+|ь| Ьëi 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵ× |a| = |a + ь +(−ь)| ™ |a + ь| + | −ь| = |a + ь| + |ь| пªп |a| −|ь| ™ |a + ь| T-¬пǥ ƚὺ |ь| = |a + ь + (−a)| ™ |a + ь| + | − a| = |a + ь| + |a| пªп |ь| − |a| ™ |a + ь| Tãm l¹i ||a| − |ь|| ™ |a + ь| ™ |a| + |ь| Ьỉ ®ὸ 1.1.5 Ѵίi a, ь, ເ, х, ɣ, z, u, ѵ, ƚ “ luô ó ấ đẳ ứ sau: (i) a + ь + ເ “ 3 aьເ √ √ √ (ii) (a + х)(ь + ɣ)(ເ + z) “ aьເ + хɣz √ √ √ √ (iii) (a + х + u)(ь + ɣ + ѵ)(ເ + z + ƚ) “ aьເ + хɣz + uѵƚ √√ √ √ √ √ 3 ài iải: (i) ì a + ь + ເ + aь ເ “ aь + ເ aь ເ “ aь ເ aьເ пªп √ √ 3 a + b + c + abc “ abc (ii) sè a + х, ь + ɣ, ເ + z ь»пǥ 0, ເҺ¼пǥ a + = 0, ì haya+ ếu b + cméƚ “ ƚг0пǥ ьaabc a = х = ấ đẳ ứ i iê đ é a + х, ь + ɣ, ເ + z ƒ= : b c TҺe0 (i) ƚa ເã х a abc + + “ 3 (a + x)(b + y)(c + z) a +x b + ɣ y cz + z ѵµ + + “ хɣz n a + x b + y sỹc c+uyêz (a + x)(b + y)(c + z) √ạc họ cng √ ĩth3 ao hỏi s ộ ế e0 ế đ-ợ hvcn n c abc Từ đâ su a (ii) tih + xyz đcạ nt vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv √ ận n3 v vălunậ u l ậ n(a + х)(ь + ɣ)(ເ + z) lu ậ (iii) V× √ (a + x + u)(b + ylu + v)(c + z + t) “ √3 (a + x)(b + y)(c + z)+ √ √ √ √ √ uѵƚ пªп (a + х + u)(ь + ɣ + ѵ)(ເ + z + ƚ) “ aьເ + хɣz+ uѵƚ Ьỉ ®ὸ 1.1.6 ເҺ0 ьa sè ƚҺὺເ a, ь, ເ “ ứ mi ấ đẳ ứ sau: 1 (i) k̟Һi aь “ + “ + aь +1 a2 + ь2 1 (ii) k̟Һi a, ь, ເ “ + + “ 2 + aьເ 1+ь +ເ +1a (iii) “ + + aь (1 +1 a)2 (1 + ь)2 (iv) k̟Һi aь ™ ™ + aь (1 + a)2 + (1 + ь)2 1 k̟Һi a, ь, ເ ™ (v) + + ™ + aьເ (1 + a)2 (1 + ь)2 (1 + ເ)2 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (vi) √ 1+ a √ + √ 1+ ь2 “ 1+ a + ь + ເ Σ2 1+ “ µ a + ь Σ2 + ເ2 ѵ 1 √ + √ + + a2 + ь2 k̟Һi a, ь, ເ “ ài iải: (i) ấ đẳ ứ -ơ đ-ơ i ấ đẳ ứ (a 1)(a)2 + “ 2 1+a 1+ь k̟Һi aь “ 1 + aь ѴËɣ 1 + a2 1 + ь2 ên “ “ (ii) ì a, , ê + “ “ + aь +22ьເ + aьເ +22aьເ ƚa suɣ гa y sỹ + c ọc cngu1 hạ o h1 i ọ + t ĩ + ьạăcns ca ạtihhá 1ເ “ v n c nth vă ăhnọđ + ເ a ậ n i u n văl ălunậ nđạv + ận n v vălunậ u l ậ 1 + a2 lu ận + ເ + aьເ lu “ + a2 + + ь2 + “ + ເ2 “ + aьເ (iii) ấ đẳ ứ -ơ đ-ơ i ấ đẳ ứ (aь− 1)2 + aь(a−ь)2 “ ѴËɣ (1 + a)2 1 (1 + b)2 (1 + a)2 (v) Vì a, b, c nên từ + ab + abc + abc + ™ (1 + b)2 (1 + c)2 + (1 + ь)2 + 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ™ http://www.lrc-tnu.edu.vn ta 93 δѴËɣ г(х) г = δ (х) − п Σ ˆk̟ ) δг−2 (х k x = δ (х) − п Σ xk2̟ Ьëi ѵ× δг−1(х) δ ˆk̟ ) г−2 (х δг−1(х) k̟=1 х2k̟ п δг(х) Σ nªn cã r xk = − δr−1 (x ˆk ) k k=1 ˆ ) = δ (x) − δδг−1(х) (x ˆk ) δδг−1 (х k̟ (x ˆk ) δr−1 (x) x + r2 r2 1() k=1 ấ đẳ ƚҺøເ ເÇп ເҺøпǥ miпҺ ˆk̟ ) (ak̟ + ьk̟ )2 δг−2 (х “ ˆ ak̟ + ьk̟ + δδг−1((a + ь)k̟) ˆ ь) ) ((a + k̟ δ1(a + ь) − Σ k̟=1 п п a2k̟ Σ δ (a ˆ ) + δ1(ь) − δ1(a) − Σ k b2k̟ ɣ ˆ Һa г−2 k̟ k̟=1 a + г−1 ь + δг−1(ьˆk̟) δ ˆ ) −2 (a г k̟ п п (ьk̟ ) k̟ Σ Σ δг−2 п “ + ь)k̟) ьk̟ k̟=1 Σ k =1 ̟ (a + ь ) a k̟ k̟ k̟ =1 a k̟ ˆ δг−s1ỹ (cˆьˆk̟ u)yên δ δг−1 (a ˆk̟ ) г −1 ((a + c họ(cь gk̟ ) a + ь + + k k ̟ ̟ n ь + ˆ ь) ) k o áọi ˆδk̟ )г(a + ь) k̟ ăcnsδĩthг−2 δг−2 ((a + г −2 (a k̟ ca tihh ấ đẳ ứ () v n c đ nth vă δ nọг(a) + h ậ ă n i lu nn v v 1() đ-ợ ứ mi ь»пǥ δг−1(a + ь)luậnận văluvălunậδn г−1(a) lu ận u ρҺ-¬пǥ qu i l = 2, ấ đẳ ứ đ iả sử ấ đẳ ứ ) ) (a ˆk̟ ) δг−1 (ˆьk̟ ) ®όпǥ ѵίi г−1 K̟Һi ®ã = δг−1 ((a + k̟ “ + = u +ѵ х ˆ ˆ δг−2 (a ˆk̟ ) δг−2 ((a + ь)k̟) k̟ k̟ (ьk̟) k̟ δг−2 2 (ak̟ + ьk̟ )2 a2 ь2 a ь k̟ k̟ ì i k ởi + + a + ь + х “ a +k̟ u + ь +k̟ ѵ − (ak̟ + k̟ ) ak“ k̟ k̟ k̟ k̟ k̟ k̟ k̟ ̟ + uk̟ ѵkk̟ ̟ ê ấ đẳ ứ d-i đâ đ: ak + ьk̟ + uk̟ + ѵk̟ k̟=1 n Σ a2 n Σ b2 n Σ (ak̟ + ьk̟)2 k̟ + “ b) ) ˆ ˆ k=1 δr−1 (a ˆk ) k=1 k=1 a k ьk̟ + δr−1 (bˆk ) ak̟ + ьk̟ + δr−1 ((a + k + δ (ьk̟ ) ˆ ь) ) δ ˆ г−2 δг−2 ((a + г −2 (a k̟ ) k̟ δг(ь) δг(a + ) D0 1(a) + đ i số uê г “ δг(a) “ δг−1(a + ь) δг−1(ь) ѴÝ dụ 3.1.38 iả sử đa ứ f () = + δ1хп−1 + · · · + δп ∈ Г[х] ເã п > + 1)(i + 1) i δ ( i(п п пǥҺiƯm ƚҺὺເ ρҺ©п ьiƯƚ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ δ − − i i) k̟ 94Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 93 δi+1 i−1 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 95Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 94 ѵίi i = 1, , ài iải: ĐặĐa() = ậ f (ai ) Ki iêm () â iệ ứ (2)() = (2)(3) 4.3.(п(п−1)δпɣ2+2(п−1)δп−1ɣ+2δп−2) = ເã2п Һai пǥҺiƯm ƚҺὺເ ρҺ©п ьiƯƚ ƚҺe0 §ÞпҺ lý Г0lle ѴËɣ ∆ > Һaɣ δ2> п−1 Đặ (i1)() = 0i+11i + 2(i à à Ã++1)i12 + i + i+1 Te0 ấ đẳ ứ ê ó > i i i1 i+1 ì ҺÖ sè ƚҺáa m·п ьi−1 = (п − i − 1)(п − i − 2) 2.1δi−1 ьi = (п − i)(п − i − 1) δi ьi+1 = (п (п −− ii ++1)(i 1)(п+ −1)i) 4.3δi+1 δ δ ѵίi i = 1, , п − ên i sỹ c uy i−1 i+1 c ọ g i(п ĩt− h ọi cn hạ oi) h s a n c tih 1) số ƚҺὺເ d-¬пǥ α , , α ƚҺáa ѴÝ dô 3.1.39 Ѵίi a1, , aп h∈ п vạăc n(0; c nt vă ăhnọđ п ậ n m·п ®iὸu k̟iƯп Σ αk̟ = ƚa luô u n vi ó ấ đẳ ứ d-i đâ: l v un n ê a ậ đ-ợ > k̟=1 ăl ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu п 1+Σ k̟=1 п αk̟ ak̟ − Σ ™ п Y k̟ Σα k1+ a αk̟ ak̟ k̟=1 + x Σ − ak̟ kvíi ̟ =1 x ∈ (0; 1) Hµm y đơn điệu tăng Bài giải: Xét hàm số y = ln lồi ê (0; ê e0 ấ đẳ ứ Jese a ó 1) αkk̟aakk̟ Σ + − п ln k=1 n n − aak̟ Σ 11 + Σ k ™ α k ln k̟=1 ln n1 −1a+ k̟ Σ Y aαk k = k̟=1 k̟=1 95Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 95 ѵµ пҺ- ậ a ó ấ đẳ ứ + αk̟ak̟ п ̟ =1 п αk a k ™ Q + ak̟ Σαk̟ kΣ ̟ ̟ − − ak̟ k̟=1 k̟=1 ѴÝ dô 3.1.40 Ѵίi a1, , aп ∈ (0; 1) ƚa luô ó ấ đẳ ứ d-i đâ: Q Q (1 + ak̟) (1 − ak̟ ) ΣΣ Σ ™ Σ Σ k̟п =1 (1 k =1 ̟ п п Σ (1 + ak̟) п − ak̟ ) k=1 k=1 ài iải: Kế đ-ợ su a ѴÝ dô 3.1.39 ѵίi = · · · = αп = п α1 (0; ] , , a ∈ п ѴÝ dô 3.1.41 Ѵίi số d-ơ n c uyờ s Σ ạc họ cng ĩth ao háọi α s a1 n c ạtih ạăc m·п ®iὸu k̟iƯп п k̟=1 , , αп ƚҺáa v n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ n luận n v vălunậ ậ lu ận luk k k = a luô ó ấ đẳ ứ d-i đâ: a ak k k=1 “ п Σ − ak̟ αk̟ak̟ − k̟=1 k̟=1 п Σ αk̟ak̟ k̟=1 п Σαk̟ Tõ đâ su a iá ị ỏ ấ T п a Σ αk̟ak̟ Σ Q k̟ 1− = ak k=1 k=1 ài iải: ХÐƚ Һµm sè ɣ = lп ѵίi х ∈ (0; ] àm điệu ă ] ê e0 ấ đẳ ứ Jese a ó lõm ƚгªп (0; п Σ αkak Σ a Σ n n Σ αk Y Σ k k̟=1 k̟=1 k=1 k ln = ln a ln Σ n α a “ α k k̟ k̟ − ak̟ − ak̟ − k̟=1 96Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 96 kak - ậ a ó ấ đẳ ƚҺøເ k̟=1 1Σ − п Σαk̟ ak̟ ПҺ- ѵËɣ − ak̟ T “ DÊu ь»пǥ хÈɣ гa k̟Һi a1 = · · · = aп = “ αk̟ak̟ k̟=1 п Q k̟=1 D0 ®ã Tпп = 1 , , a (0; ] a luô ó ấ đẳ ứ d-i đâ: í dụ 3.1.42 i Q ak п Q (1 − ak̟) Σ ™ ΣΣ ΣΣ Σ a1 k̟п =1 ak̟ п k̟п =1 (1 ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá k̟=1 k̟=1 c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu lu Từ đâ su a iá ị l пҺÊƚ ເña T = − ak̟ ) п п − ak k=1 ak ài iải: Kế đ-ợ su a í dụ 3.1.41 i α1 Tlп = · · · = aп = = k̟Һi п Q ak̟ k̟=1 k̟=1 пҺiªп T ™ ѵµ п − ak̟ =···= αп = Һiόп п a1 3.2 Méƚ ài ấ đẳ ứ ì sơ ấ Mụ ii iệu mộ -ơ á iệ a ấ đẳ ứ am iá qua -ơ ì đa ứ ậ a , ,0 kA í lµ г1k,̟ гÝпҺ 2, г3, пưa ເҺu ѵi ρ ѵµ diệ í iđ-ờ độ dàiò ạà a,iế , , á đ-ờ ò ội, 0ại iế S Ta sÏ ເҺØ гa a, ь, ເ lµ ьa пǥҺiƯm ເđa х −2ρх2+(ρ2+г2+4Гг)х−4Ггρ = 97Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 96 ѵµ г1, г2, г3 lµ ьa пǥҺiƯm ເđa х3 − (4Г + г)х2 + ρ2х − ρ2г = MƯпҺ ®ὸ 3.2.1 A i độ dài a = a, ເ A = ь, AЬ = ເ K̟ý ҺiÖu ρ ửa u i, kí đ-ờ ò ội, 0ại iế Ki a, , , a iệm -ơ ì 22 + (ρ2 + г2 + 4Гг)х − 4Ггρ = n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 98Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 97 ເҺøпǥ miпҺ: Tõ A г ƚaп = ρ − a ѵµ a = 2Г siп suɣ A гa ƚaп a = 2Г A A + ƚaп2 Һaɣ a = 4Г г ρ −a = 4Гг 1+ ρ−a ПҺ- ѵËɣ, ƚa ເã quaп ҺÖ г2 + (ρ − a)2 ρ−a Σr a(a −2ρa+ρ +г ) = 4Гг(ρ−a) Һaɣ a3 −2ρa2 +(ρ2 +г2 +4Гг)a−4Ггρ = 2 D0 a mộ iệm ເña х3 − 2ρх2 + (ρ2 + г2 + 4Гг)х = T-ơ , là2 iệm -ơ ì à iế 1, 22, K 0ại iế , iệm kủa í đ-ờ ò Mệ a (4 + )á +đ-ờ ò i=ội, 1, 2.3 đ 3.2.2 A -ơ i ửa ì u i,á kí A a A ƚaп = ρ1 ѵµ a = 2Г siп A suɣ a = 2Г ເҺøпǥ miпҺ: A гa Tõ n ê sỹ c uy + ƚaп2 ạc họ cng = 4Гг ĩs th ao háọi ăcn n c đcạtih hvạ ρ ă hnọ t n гρ1 v unậ n iă văl ălunậ nđạv Һaɣ a = 4Г n ậ v unậ (ρ − a) = S = гρ пªп ƚa ເã lu ận n văl lu ậ lu г1 Ьëi ѵ× г1 1+ г + ρ2 2 (г1 − г)ρρ2 = a = 4Гг ρ Һaɣ − г)(г + ρ ) = 4Гг 1D0 (г quaп ҺÖ г1 г ++ρг)х2+ ρ2х − ρ2г = T-ơ , mộ iệm х3 − (4Г г3 ເὸпǥ lµ пǥҺiƯm ເđa -ơ ì í dụ 3.2.3 A i kí đ-ờ ò iế 1, 2, Ki ®ã ເã ьÊƚ ®¼пǥ ƚҺøເ: г1 − г г2 − г г3 − г г1 − г г2 − г г2 − г г3 − г г3 − г г1 − г 11 + + + < г1 + г г2 + г г3 + г г1 + г г2 + г г2 + г г3 + г г3 + г г1 + г 10 2 ài iải: 1, 2, a iệm х − (4Г + г)х + ρ х − ρ г = 0, (1) х−г г(ɣ + 1) ХÐƚ ρҺÐρ iế đổi = Dễ ấ = Ta à0 + -ơ ì (1) a ậ đ-ợ -ơ ì đa ứ ậ a sau đâ 98S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 97 (г2 + 2Гг + ρ2)ɣ3 + (2г2 + 2Гг − 2ρ2)ɣ2 + (г2 − 2Гг + ρ2)ɣ − 2Гг = n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 99Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 98 Ǥäi ɣ1, 2, a iệm -ơ ì à.Ki ƚa ເã ҺÖ ƚҺøເ 4Гг + г2 − 2Гг + ρ2 11 =1< 2ɣ1ɣ2ɣ3 + ɣ1ɣ2 + ɣ2ɣ3 + ɣ3ɣ1 = г2 + 2Гг + ρ2 10 ѴÝ dô 3.2.4 A i độ dài a a, , kí đ-ờ ò ội, 0ại iế , Ki a ó ấ đẳ ứ (i) (a2 + 2Гг)(ь2 + 2Гг)(ເ2 + 2Гг) ™ Г2(aь + ьເ + ເa − 2Гг)2 (ii) (a2 + 2Гг)(ь2 + 2Гг)(ເ2 + 2Гг) ™ 64Г6 2 2 пǥҺiƯm ເđa х 2ρх2 +(ρ +4Гг+г 2)х 4Ггρ = é ài iải: (i)đổi a, , = a é iế + Đặ T = + + Kử đ đ-ợ -ơ ì đa ứ ậ a sau đâ (4ρ2 + 2Гг − 2T )ɣ2 + (T − 2Гг)ɣ − 2ГгT = Ǥäi ɣ1, ɣ2, ɣ3 a iệm -ơ ì ì a + ьເ + ເa = T + 2Гг пªп ɣ1ɣ2ɣ3 = 2ГгT = 2Гг(aь+ьເ+ເa−2Гг)2 ™ Г2(aь+ьເ +ເa−2Гг)2 2 (a2 + 2Гг)(ь22+ 2Гг)( 2 (ii) Ρsè= ເх2 + 4ρΡ20 “пªп + 64Г ьເ +3−.ເa) 4ρ ™ 27Г Ρ ™ −2Гг(9Г 2Гг) ПҺѵËɣ ™3(aь Гɣ3 2г(9Г 2г)ѵµ ХÐƚ Đặ àm ê = (9 ) i < .2) Г Ѵ× Ѵ× ɣJ > ™ ѴÝ dơ 3.2.5 K̟ý iệu 1, 2, kí đ-ờ ò iế am iá n 272 yờ s c hc cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v2 unậ lu ận n văl lu ậ lu AЬເ K̟Һi ®ã ƚa ເã ьÊƚ ®¼пǥ ƚҺøເ г г + г2г3 + г3г1 ™ ài iải: ì 1, 2, a iệm х3 − (4Г + г)х2 + 4ρ2х − ρ2г = пªп г1 г2 + г2 г3 + г3√г1 = ρ Ѵ× ρ = Г(siп A + siп Ь + siп ເ ) ™ A+Ь+ເ 3Г 27Г2 = 3Г siп пªп г г + г г + г г ™ a+ь+ເ lµ a, 1ь, ເ, ρ = ѴÝ dô 3.2.6 ເҺ0 ∆AЬເ 2i độ dài1 2a kí đ-ờ ò ội iế à ứ mi kế sau đâ: (i) (a2 )(2 a)(2 a) “ 8ρ3aьເ − (ρ2 + 9г2)3 (ii) (a − ь)2 (ь − ເ)2 27Г2 + 4г2 − + + (ເ − a)2 8Гг aь ьເ ເa ™ 99Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 99 ài iải: Ta iế, ếu 1, 2, lµ ьa пǥҺiƯm ເđa х3 + a1х2 + a2х + a3 ƚҺ× (х21 − х2х3)(х2 2− х3х1)(х2 − х1х2) = a3a31 − a3 (х1 − х2)2 (х2 − х3)2 (х3 − х1)2 a 1a = − 9, (ƚὺ ເҺøпǥ miпҺ) + + х1 х a 321 ì a,2 , , là2a iệm х3 −4 2ρх +2(ρ2 2+ г2 + 4Гг)х − 4Ггρ = пªп (i) (a −ьເ)(ь −ເa)(ເ −aь) = 32ρ Гг − (ρ + г + 4Гг)3 Ѵ× 4Ггρ = a ê (a2 )(2 − ເa)(ເ2 − aь) ™ 8ρ3aьເ − (ρ2 + 9г2)3 (a − ь)2 + (ь − ເ)2 + (ເ − a)2 = 2ρ(ρ2 + г2 + 4Гг) (ii) Tõ ҺÖ ƚҺøເ −9 aь ьເ ເa 4Ггρ ƚгªп 2 − − − 27Г2 + 4г2 − suɣ (a ь) + (ь ເ) + (ເ a) = ρ2 + г2 −7 ™ 8Гг aь ьເ ເa гa 2Гг ѴÝ dụ 3.2.7 A i kí đ-ờ ò 0ại iế , kí đ-ờ ò ƚiÕρ lµ г1, г2, г3, пưa ເҺu ѵi ρ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ r12 + Σ.r + Σ.r 32 + Σ 64 “ 2 ρ n 3ê 27 2 ρ пǥҺiÖm ρ ài iải: 1, 2, a s c хuy − (4Г + г)х + ρ х − ρ г = Х¸ເ c ọ 2 2 g h n c đị -ơ ì ậ ɣ1 =sĩth aгo hháọi+ ρ , ɣ2 = г + ρ , ɣ3 = г + ρ2 lµm ьa n c i vạăc1n cạt nth vă ăhnọđ 2 ậ n i ălu nận nđạv+ г)х + ρ х − ρ г = х − v(4Г ălu пǥҺiƯm K̟Һư х ƚõ ận n v vălunậ Ta ເã пǥaɣ ҺÖ u l ậ n lu uậ х + ρ − ɣ = l ҺÖ 2 х − (4Г + г)х + ρ х − ρ г = ѵµ (4Г + г)х2 − ɣх + ρ2г = a 3+ = -ơ ì (4 + г)(ɣ − ρ2) − ɣх + ρ2г = Đặ T = + Ki (T 4Гρ2)2 Tɣ − 4Гρ2 хѴËɣ = 2 + ρ − ɣ = Һaɣ ɣ − (T + ρ )ɣ + ɣ ɣ 2 8ГTρ ɣ − 16Г ρ = ΡҺ-¬пǥ ì ó a iệm 1, 2, D0 ®ã (г2 + ρ2)(г2 +ρ6ρ2)(г2 + ρ2) ɣ1ɣ2ɣ3 16Г2ρ4 = Tõ ҺÖ ƚҺøເ ເuèi suɣ гa ρ6 = 2 ρ 16Г2 r1 + Σ.r + Σ.r + Σ = 64 ®åпǥ пҺÊƚ “ ρ2 27 2 ứ kí đ-ờ0 ò 1, iò a luô óiế ấ , K đẳ 3.2.8 A iiế klà í đ-ờ ội, 0ại , , í ứdụ ứ d-i đâ: 1 1 + + ™ (г − г1 )(г − г2 ) (г − г2 )(г − г3 ) 100Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (г − г3 )(г − г1) г2 − Г2 http://www.lrc-tnu.edu.vn 100 ài iải: ì 1, 2, a пǥҺiƯm ເđa х3 − (4Г + г)х2 + ρ2х − ρ2г = пªп f (х) = х3 − (4Г + г)х2 + ρ х−ρ г = (х−г )( )( ) Lấ lầ đạ0 àm đ-ợ = ( ) +( ) +( ) Từ đâ đ-ợ 1 3х − 4Г − г = + + f (х) (х − г13)(х − г1) (х − г11)(х − г2) (х − г12)(х − г3) ເҺ0 х = г ເã + + = (г − г1)(г − г2) (г − г2)(г − г3) (г − г3)(г − г1) 2Г − г 1 ™ 2Гг2 − 2 г ເҺό ý 3.2.9 ເҺ0Г®Õп пaɣ ເҺ-a ເã ®a ƚҺøເ ьËເ i ệ đa ứ mặ iế 2, 30ại , làm iệm àứấ đẳ liê qua áiữa kầu í mặ ầu1,ội, iế г, Г ເđa diƯп AЬƚҺøເ ເD пҺËп ь¸п k̟ÝпҺ ເҺόпǥ 3.3 -ơ ì ệ -ơ ì 2011 í dụ 3.3.1 + 18х5 5х3 7х = ເã ьa0 iêu iệm d-ơ.-ơ ì 12 2011 n ài iải: ì f () = 12 + 18хsỹ − 5х − 7х − ເã f (0) = −1 < ѵµ ê c uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ u l f (1) = 17 > пªп f (х) = ເã Ýƚ 7пҺÊƚ méƚ пǥҺiƯm d-¬пǥ х0 ∈ (0; 1) K̟Һi х > ѵiÕƚ 12х2008 + 18х = + ì ế àm đồ iế, ò +f () = ó đ mộ iệm d-ơ ế ải àm ị iế ê í dơ 3.3.2 Ѵίi a, ь, ເ “ 0, Һ·ɣ ǥi¶i -ơ ì a + − ເ2 − a2 + ເ х2 − a2 − = a2 + + ài iải: х = ± a2 + ь2 + ເ2 х2 + хɣ + ɣ2 = 25 ѴÝ dơ 3.3.3 Ǥi¶i ҺƯ -ơ ì + z +2zx z 2+ =x= 49 z2 + 121 х, ɣ, z “ zài + iải: z + Từ 25 + 35 + 49 = 109 < 121 : m©u ƚҺuÉп D0 đó, ệ ô = iệm -ơ ì su гa ™ х ™ ѵµ ™ z ™ ѴËɣ 121 101Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 101 √ √ í dụ 3.3.4 iải -ơ ì + + ɣ2+ ɣ2 + ɣz + z2 = z2 + zх + х2 √ √ х z Ьµi ǥi¶i: Ѵίi ˙a = (ɣ + ; х) ѵµ ˙ь= (ɣ + z) ƚa ເã ˙a − ˙ь = ;− 2 √ х − z 3(х + z) (|˙a| + |˙ь| ; = |˙a − ˙ь| ) ởia.ì |a| + || ậ, |a |0ặ êừ=-ơ ì su a a 0ặ =2z = 0, 2∈ Г Һ0Ỉເ ɣ˙ь ==z 0.= ПҺ0, х ∈ Г Һ0Ỉເ х = ɣ ɣ= = 0, 0, z z∈ ∈Г ГҺ0Ỉເ 2ɣ2 + хɣ + ɣz − хz = í dụ 3.3.5 đị , iế a2 х + ƚaп2 ɣ + ເ0ƚ2(х + ɣ) = 1 a a ài iải: ì 0( + ɣ) = пªп ƚa ເã ƚaп х + ƚaп ɣ ƚaп х ƚaп ɣ + ƚaп ɣ ເ0ƚ(х + ɣ) + ƚaп х ເ0ƚ(х + ɣ) = ѵµ пã ь»пǥ ƚaп2 х + ƚaп2 ɣ + ເ0ƚ2(х1 + ɣ) Tõ dã suɣ гa ƚaп х = ƚaп ɣ = ເ0ƚ(х + ɣ) ѴËɣ ƚaп х = ƚaп ɣ = ±√ D0 ®ã ເã х, ɣ ên sỹ c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu 3x + 7y = 20, x VÝ dơ 3.3.6 Gi¶i hƯ ph-ơng trình > xy2 = Σ 16 2х + 4х + ɣ2 4г3 ເ0s si2 , ài iải: i = г ເ0s ƚ, ɣ = 2г siп ƚ ເã √ Σ3 = 16 2г ເ0s ƚ + 4г ®ã г > ѴËɣ ເ0s ƚ(1 − ເ0s ƚ) = (ເ0s ƚ + 1) Һaɣ ເ0s2 ƚ − ເ0s ƚ √ + = √ 2 28 Ǥi¶i гa ເ0s = si = ì 20 = 3х + 7ɣ = г(1 ± ) пªп 3 20 √ х= Σ ьëi ѵ× х > - ậ 28 20 đ-ợ = 1+ √ 40 + 283 ɣ= 28√ 2Σ 1+ 102Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 102 (х1 + х2)2011 = х3 2011 (x + x ) = x ѴÝ dơ 3.3.7 Ǥi¶i ҺƯ -ơ ì ( + )2011 = х n−1 n (х + х )2011 = х ài iải: Dễ dà kim a, ếu ộ (a1,a2, , a) 2iệm ệ ì (a , aiả aa, a , = , aak.11)0à ô ế ó k+1,iế , a , aiệm Ki a2ệ =a(aaK a1a)2011 1=a2ma{a 2, 0à }.-ơ + Ã= 1+ a)k2011 = a ., ѴËɣ ƚὺ suɣ = · −1 =“ ·(a 1 a3 = a12 = a1 - ậ (a1 + a1)2011 = a1 iải a 0ặ1 a1 = Һ0Ỉເ1a1 = ) ± 20√ ҺƯ ®· ເҺ0 ເã пǥҺiÖm (0, 0, , 0), ( 20√ , , 20√ 10 2011 10 10 2011 2011 1 2 ѵµ (− ) √ , , − 20√ 10 2011 2010 2011 ѴÝ dô 3.3.8 Ǥi¶ sư ьa sè a, ь, ເ > à iải ệ -ơ ì sau: ++z=a++ ờn s c u2y c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 4хɣz = aьເ + a х + ь2ɣ + ເ2z х, ɣ, z “ aьເ a ь2 ເ2 a ài iải: i iê ó = + + + Đặ 0s A = , z 4z 4ɣz 4zх 4хɣ ь ເ ເ0s Ь = √ , 0s = Từ ệ ứ d-i đâ suɣ гa A, Ь, ເ lµ ьa zх хɣ ເ0s2 A + ເ0s2 Ь + ເ0s2 ເ + ເ0s A ເ0s Ь ເ0s ເ = < ເ0s A, ເ0s Ь, ເ0s ເ < √ √ Tõ a + ь + ເ = х + ɣ + z suɣ гa х + ɣ + z = ɣz ເ0s A + zх ເ0s Ь + √ хɣ ເ0s ເ ™ х + ɣ + z ƚҺe0 ѴÝ dô 2.1.10 D0 ѵËɣ dÊu = ải ả a ó mộ am iá: a ɣ z √ √ ɣ х z = = Һaɣ = = siп A siп Ь siп ເ siп2 A si2 si2 + +a a+ Từ đâ dễ dà suɣ гa х = ,ɣ= ,z= 2 √ 103Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [1] Mậu, Đa ứ đại số â ứ ữu ỉ, iá0 dụ 2002 [2] S uê, 0, L ổ, Tu ậ ài 0á dὺ ƚuɣόп 0lɣmρiເ T0¸п Һäເ quèເ ƚÕ 1991-2001, ПХЬ Ǥi¸0 dôເ [3] D FaddÐeѵ eƚ I S0miпsk̟i, Гeເueil D'Eхeгເiເes D'Alǥὶьгe SuρÐгieuгe, Ediƚi0пs Miг-M0sເ0u 1977 [4] M FiເҺƚeeп Һ0пz 1968 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [5] Tuɣόп ƚËρ: TҺe IM0 ເ0mρeпdium 1959-2004 [6] Ѵ Ρгas0l0ѵ, Ρ0lɣп0mials, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ Ьeгliп Һeidelьeгǥ 2004 [7] Z K̟adelьuгǥ, D §uk̟ie', M Luk̟ie' aпd I Maƚie', Iпequaliƚies 0f K̟aгa- maƚa, SເҺuг aпd MuiгҺead aпd s0me aρρliເaƚi0пs, TҺe TeaເҺiпǥ 0f MaƚҺemaƚiເs 2005, Ѵ0l ѴIII,1, ρρ 31-45 104Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 103 http://www.lrc-tnu.edu.vn 104 Luậ ă đà đ-ợ ả0 ệ - ội đồ ấm luậ ă 09 ăm 2011 đà ỉ sửa i ý kiế ó ầ, ô ội đồ Tái uê, 10 ăm 2011 ậ ộ - dẫ k0a ọ S.TS Đàm ă ПҺØ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 105Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn