Skkn các dạng toán tích phân hàm ẩn

A THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: Một số dạng tốn tích phân hàm ẩn Lĩnh vực: Toán học Tác giả: Trần Nữ Diệu Thùy Đơn vị: Trường THPT Vĩnh Linh, Quảng Trị Thời gian: B MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong đề thi THPT quốc gia từ kể từ năm học 2016 - 2017 trở lại đây, b f ( x)dx f x câu hỏi trắc nghiệm tốn tính tích phân a hàm số   f x f x không cho biết biểu thức   mà cho biết   thỏa mãn số điều kiện (được gọi tích phân hàm ẩn) xuất thường xuyên Các câu hỏi thường mức vận dụng – vận dụng cao.Đây dạng toán mẻ, khơng với học sinh mà cịn giáo viên, gây khơng khó khăn cho em học sinh tiếp cận Hướng đến mục tiêu nâng cao điểm số thi THPT quốc gia cho em học sinh khối 12, đặc biệt học sinh – giỏi, nghiên cứu xây dựng đề tài: “Các dạng tốn tích phân hàm ẩn” Mục đích nghiên cứu Xây dựng sở lí thuyết dạng tích phân hàm ẩn bản, từ rèn luyện phát triển kĩ tư học sinh để giải toán dạng Đối tượng nghiên cứu Các dạng câu hỏi tích phân hàm ẩn đề thi THPT quốc gia Bộ giáo dục đề thi thử trường THPT nước Đối tượng khảo sát thực nghiệm Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Vĩnh Linh năm học 2018 – 2019 Phương pháp nghiên cứu Kết hợp nghiên cứu xây dựng lý thuyết (dựa sách giáo khoa, đề thi THPT quốc gia Bộ giáo dục đào tạo, đề thi thử trường THPT nước) thực nghiệm trình giảng dạy Phạm vi kế hoạch nghiên cứu a)Phạm vi nghiên cứu: Chương – Giải tích 12 toán liên quan đề thi THPT quốc gia b)Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 3/2018 đến tháng 5/2019 - Tháng 3/2018: Chọn đề tài, lập đề cương - Tháng 4/2018 đến tháng 5/2019: Xây dựng sở lý thuyết, phân dạng tập, áp dụng giảng dạy thực tế rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy - Tháng 5/2019: Viết hoàn thành nội dung đề tài -1- C NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Định nghĩa tích phân: Cho hàm số f  x f  x  a; b  Tích phân từ đoạn  a; b Giả sử F  x  liên tục đoạn nguyên hàm a đến b hàm số f  x  hiệu số F  b  – F  a  , b kí hiệu  f ( x)dx a b b a a f ( x) dx F ( x) Ta có:  F (b)  F (a ) Chú ý: b b b a a  f ( x)dx  f (u )du  f (t )dt 1) a hiệu biến số) 2) b b a a (kết tích phân khơng phụ thuộc vào kí  f ( x)dx   f ( x)dx a 3)  f ( x)dx 0 a Các tính chất tích phân b b k f ( x)dx k f ( x)dx Tính chất 1: a a b ( k số ) b b  f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx Tính chất 2: a a b Tính chất 3: a c b f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx a a  a  c  b c Các phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp đổi biến số:Cho hàm số f  x liên tục đoạn  a; b Giả sử ;  hàm số x  (t ) có đạo hàm liên tục đoạn  cho  ( ) a;  (  ) b a  (t ) b với t    ;   b  ' f ( x) dx f ( (t )). (t ) dt Khi đó: a -2- b) Phương pháp tính tích phân phần:Nếu u u ( x) v v ( x) hai hàm b  a; b  số có đạo hàm liên tục đoạn b b ' b ' u ( x)v ( x) dx (u( x)v( x)) a  u ( x)v( x) dx a a hay b u dv uv b a  v du a a II CƠ SỞ THỰC TIỄN Trước hết, ta cần định nghĩa dạng tốn tích phân hàm ẩn b f ( x) dx Một số toán yêu cầu tính tích phân  chưa cho biết biểu thức a f x f  x hàm số   mà cho biết tích phân hàm ẩn thoả mãn sốđiều kiện ta gọi Mặc dù dạng tốn tích phân hàm ẩn có mặt sách giáo khoa mức độ bản.Tuy nhiên dạng toán đề thi có độ khó cao, đa số mức vận dụng – vận dụng cao nên học sinh thường giải sai bỏ qua câu hỏi thuộc dạng toán này.Mặt khác, tài liệu tham khảo cho dạng tốn chưa nhiều.Do đó, cần xây dựng tảng lý thuyết phân dạng bản, với hệ thống tập tương ứng để hướng dẫn học sinh cách giải toán dạng III CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất tích phân Ví dụ 1(Giải tích 12NC–trang 153): Cho biết f (t )dt tích phân 3  f ( z )dz 3,  f ( x)dx 7 Tính Giải: 3 0 f ( z )dz  f ( x)dx 3 B  f ( x )dx 7 Đặt A =  ; Suy 4 3 C  f (t )dt  f ( x )dx  f ( x )dx   f ( x )dx B  A 4 9 7  f ( x)dx 5,  g ( x)dx 4 Ví dụ 2:(Giải tích 12NC – trang 176) Cho biết Tính tích phân I  f ( x)  3g ( x)  dx Giải: Áp dụng tính chất tính phân ta có : 9 7 I  f ( x)  g ( x)  dx  f ( x)dx  -3- 9 7 3g( x)dx 2  f ( x)dx  3g( x)dx  Nhận xét: Đây dạng câu hỏi tương đối bản, nằm mức độ thông hiểu nên học sinh dễ dàng đưa đáp án f  x Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm f ' x liên tục đoạn  0;1 , đồng thời f  x thỏa mãn f  x   f   x    x2 Giá trị tích phân B A f '  x  dx bằng: D C Giải: Ta có 1 f  x  dx  f  x  0  f  1  f    f     f  f         f  x   f   x    x2     f  1  2 f  1  f   0  Từ Vậy I f '  x  dx  f  1  f     1 5 Nhận xét: Trong cách giải trên, ta khéo léo biến đổi đề đưa giải hệ phương trình chứa f (0) f (1) từ áp dụng định nghĩa tích phân Dạng 2: Áp dụng tính chất hàm số chẵn, hàm số lẻ f  x Tính chất 1: Nếu a  a a a   a; a  hàm số chẵn liên tục đoạn   a; a  f ( x )dx 0 f  x Tính chất 2: Nếu  hàm số lẻ liên tục đoạn a f ( x )dx 2 f ( x )dx Ví dụ 1:Cho g  x hàm số chẵn, sai? f  x g  x hai hàm số liên tục đoạn hàm số lẻ Biết 1 f  x  dx 5 g  x  dx 7 A f  x  dx 10 1   1,1 f  x Mệnh đề sau B -4-  g  x  dx  1 f ( x)  14 C  f  x   g  x   dx 10 1 D  f  x   g  x   dx 10 1 Giải: 1 f  x  dx 2f  x  dx 10 1 1 (1); g  x  dx  g  x  dx  g  x  dx 0 1 0 (2)  g  x  dx  Từ (1) (2) suy  f ( x)  0 Chọn B Nhận xét:Do đề nêu rõ f  x hàm số chẵn, g  x hàm số lẻ nên dễ dàng định hướng phương pháp giảivì câu hỏi đơn giản, học sinh cần áp dụng tính chất Ví dụ 2: Cho hàm số f  1 a, f ( 2) b Tính f  x có đạo hàm f   1  f (2) f ' x  , x   \  0 x  x5 thỏa mãn Giải:  f '( x) dx 0  2   f '( x) dx 0 f' x Ta thấy   hàm số lẻ Từ ta có:   Hay:  f (2)  f ( 2) 0  f (2)  f (  2)   f (1)  f ( 1)  0  f (2)  f ( 1)  f (  2)  f (1) a  b   f (1)  f ( 1) 0 Nhận xét:Để giải toán học sinh cần quan sát liên hệ giá trị f' x biến số –1, –2; nhận dạng   hàm số lẻ, đồng thời nắm tính chất để vận dụng giải tốn Học sinh tính ngun hàm để tìm biểu thức f  x nhiên cách phức tạp nhiều Ví dụ 3:Cho hàm số hàm số chẵn, liên tục f  x  dx 8 1 f  x A I 2 f   x  dx 3   1; 6 Tính tích phân B I 5 I  f  x  dx 1 C I 11 -5- D I 14 Biết Giải f  x Vì hàm số chẵn nên Xét K f  x  dx 3 f   x  dx f  x  dx 3 1  x 1  t 2  x   t  t  x  d t  2d x  Đặt Đổi cận: 6 1 K  f  t  dt  f  x  dx  22 22 Khi Vậy f  x  dx 2K 6 I  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 8  14 1 1 Chọn D Dạng 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số y  f  x Ví dụ 1.Cho hàm số f  x  2018 f  x  e x liên tục    Tính I  f  x  dx 1 A I e2  2019e B I e2  2018e C I 0 D I e2  e Giải: Đặt t  x  dt  dx  x   t 1  Đổi cận:  x 1  t  1 1  I  f   t    dt   f   t  dt  f   x  dx 1 1 (2) 1 e2   I  2018 I   f  x   2018 f   x   dx  2019 I  e dx e e   1 e e 1 1 x  I x e2  2019e Chọn A Nhận xét: 1)Quan sát mối liên hệ hai cận và–1, hai biến x  x nên định hướng đổi biến t = –x -6- 2) Với tốn này, ta tìm biểu thức hàm số giả thiết f   x   2018 f  x  e x cách từ f x  2018 f   x  e  x (1), thay x  x ta có   (2) (20182  1) f ( x) e x  e  x  f ( x)  Từ (1) (2) suy Ví dụ 2: Cho hàm số f  x y  f  x e x  e x e x  e x  (20182  1) 2019.2017 có đạo hàm liên tục R thỏa mãn a f  x   0, x   0; a  a  f x f a  x  1 ( ) Biết    , tính tích phân A I a B I 2a C I dx I  1 f  x a D I a a Giải: dx I  1 f  x (1) Đặt t a  x  dt  dx  x 0  t a  x  a  t   Đổi cận: a a dt 1  I   dt  dx 1 f  a  t  1 f  a  t  1 f  a  x a (2) a   1  I    dx 1 f  x 1 f  a  x   Từ (1) (2) a  f  a  x  1  f  x   dx 1 f  x f  a  x  f  x  f  a  x a a  f  a  x  f  x  dx dx a  f  a  x  f  x 0  I a Chọn A Nhận xét:Dựa vào phép đổi biến đặt t = a + b – x, ta chứng minh b f  x x )dx có đạo hàm liên tục đoạn  1; 2 thỏa mãn liên tục đoạn câu hỏi tương tự ví dụ Ví dụ 3: Cho hàm số f  x   0, x   1; 2 Biết f  x 2 f '  x  dx 10  f  x  dx ln b  a; b  a f ( x)dx a f (a  b  -7- f ' x Tính f  2 , từ giải A f    10 B f   20 C f   10 D f    20 Giải: Ta có: f '  x  dx  f  x   f    f  1 10 2 f ' x f  2 d ( f ( x)) dx   ln  f x   ln  f   ln  f   ln ln        1       f x f x f       1 Vậy ta có hệ:  f    f  1 10    f  2  f     f   20   f  1 10 Vậy f   20 Chọn B Nhận xét:Học sinh sử dụng phép đổi biến số đặt t = f(x) Ví dụ 4:Cho hàm số A f  x f  x   f  x  x, x   thỏa B Tính C 16 I f  x dx  D Giải:  x 0  t 0   x 1  t   t  f  x (12 t  1) dt  dx Đặt ta 4t  t x Đổi cận  Suy I t.(12t  1)dt  16 Chọn C t  f  x Nhận xét: Mấu chốt toán cách đổi biến đặt Học sinh cịn lúng túng với việc đổi cận, qn đổi cận khơng biết tìm cận t Ví dụ 5:Cho hàm số f ( x) xác định liên tục f ( x  x  3) 2 x  1, x   Tích phân A ị f ( x)dx - 32 C B 10 Giải: dx  5t   dt Đặt x t  4t  3, suy -8- D 72  đồng thời  x   t    x 8  t 1 Khi 1 4 f  x  dx  f  t  4t  3  5t   dt   2t 1  5t   dt 10 2 1 1 Chọn B Nhận xét: Quan sát giả thiết f ( x  x  3) 2 x  tích phân cần tính ta phán đốn cách đặt x t  4t  Khi ta sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ việc giải cận (vì việc giải phương trình bậc khơng đơn giản, dù có nhẩm nghiệm), với lưu ý x(t ) t  4t  có đạo hàm x '(t ) 5t   0, t   nên hàm số x t C phương trình   (với C số) có tối đa nghiệm Dạng 4: Áp dụng phương pháp tính tích phân phần Ví dụ 1:Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn  2;3  x   f '  x  dx a A  a  b , f  3 b Tính tích phân f  x  dx B b  a theo a b C a  b D a  b Giải: u x       dv  f x d x Đặt  du dx  v  f  x  3 a  x   f  x  dx  x   f  x   f  x dx  f (3)  2 3 f  x dx b  f  x dx 2 Suy f  x dx b  a Chọn B Nhận xét: Rõ ràng ta đặt u  f '( x) , khơng có du  f ''( x) dx gây bế tắc cho việc giải toán Hơn việc đặt dv  f '( x) dx thuận lợi cho việc tìm v, từ có v  f ( x) Ví dụ 2:Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn 0  0; 2 thỏa mãn  f  x  dx 3 f   2 Tính I  f  x  dx A I 2 Giải: B I 3 C I 5 -9- D I 1  x 4  t 2  Đặt t  x  t  x  2tdt dx Đổi cận:  x 0  t 0 Khi đó: I  2t f  t  dt Đặt u 2t   dv  f  t  dt 2 du 2dt  v  f  t  I 2t f  t    f  t  dt 4 f    2 f  x  dx 8  2 0 Suy ra: Chọn A Nhận xét: Với này, ta sử dụng phương pháp đổi biến để làm rõ đơn giản hóa giả thiết,từ áp dụng phương pháp tính tích phân phần Ví dụ 3:( Đề tham khảo 2018 – BGD) y  f  x Cho hàm số f  1 0,  f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn 1 dx 7, x f ( x)dx  A  0;1 thỏa mãn Tính tích phân f ( x)dx C B D Giải: x3 u  f  x   du  f  x  dx dv x dx  v  Đặt , Ta có x3  f  x  3 1 x3 f  x  dx   3 x f  x dx  1 1 49 x dx 7,  f ( x) dx 7, 2.7 x f  x dx  14  Do 0  x  f ( x ) 0  f  x    x  f ( x)  dx 0 7 x4 f  1 0  C  C 4 , mà   x4  f ( x )d x    dx     4 0 Chọn A Nhận xét: Do giả thiết  f ( x) dx 7 với kết x f  x dx  gợi ý 2 u a.x3 ; v b f '  x  cho ta nghĩ đến đẳng thức (u  v) u  2uv  v với để  ax  bf  x   dx 0 biểu thức từ suy f  x ax3  bf  x  0 - 10 - Sau tìm a, b ta dễ dàng tìm f  x Dạng 5: Tìm biểu thức hàm số      ;  f  x Ví dụ 1:Cho hàm số liên tục đoạn thỏa mãn điều kiện  f   x   f  x  tan x  p - B  1 A Tính tíchphân  f  x  dx C 1  2- D p Giải: Theo đề bài, ta có Thay Từ f   x   f  x  tan x ( 1) x =- x Þ f ( x) - f ( - x) = tan2 ( - x) = tan2 x   ( 1)    suy ra: f ( x) = tan2 x     0 I   f  x  dx  tan x dx 2 tan x dx 2   1+tan x   1 dx    p I = 2( tan x - x) 04 = 2- hay Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số f  x p liên tục đoạn [ 0;1] f  x   f   x  3x  x , " x Ỵ [ 0;1] Tính tích phân A I  15 I = ò f ( 1- x2 ) dx B I = C I =- 15 D I = 15 Giải: Ta có Thay : f  x   f   x  3x  x (1) f   x   f  x  3(1  x )  6(1  x) 3x  (2)  x x thành ta có  f  x   f   x  3x  x ìïï f ( x) + f ( 1- x) = 3x - 6x Û í  ïï f ( x) + f ( 1- x) = 6x2 - 2 f x  f  x  x      ỵ   Xét hệ phương trình: - 11 - Þ f ( x) = 3x2 + 6x - Û f ( x) = ( x +1) - " x Ỵ [ 0;1] , 2 f  x    x    x  x  Khi  ỉx5 4x3 ÷ + x÷ I = ò f ( 1- x ) dx = ũ( x - 4x +1) dx = ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ 0 15 Suy 1 2 Chọn C Nhận xét: Hoặc xét f  x   f   x  3x  x (1), từ thay x thành 2  x để có f   x   f  x  3(1  x )  6(1  x) 3x  (2) Từ (1) (2) ta tìm Rabiểu thức f  x Ví dụ 3:Cho hàm số f  1 2 ln y  f  x liên tục x  x  1 f  x   f  x   x  3x   \  0;  1 Giá trị thỏa mãn điều kiện f   a  b ln , với a, b   2 Tính a  b 25 A B C 13 D Giải: Từ giả thiết, ta có  f  x   x  x  1 f  x   f  x   x  3x  x 2 f  x  x  x  1 x( x  1) x x2 f  x   f  x  x 1  x 1  x 1  x  x   f  x   x 1 , với x   \  0;  1  x 1  x2   x x dx   f  x   f  x   x  ln x   C  dx  x 1 x 1   Suy x  hay x  Mặt khác, ta có f  1 2 ln x f  x   x  ln x   nên C  Do x  3 3 f   1  ln f     ln a b  2 Với x 2 Suy Vậy a2  b2  ChọnB Nhận xét: - 12 - y  f  x Với x  x  1 f  x   để có f  x   Từ liên tục  \  0;  1 , ta nghĩ đến hướng chia hai vế cho x2 f  x   * x  x  1 x ( x  1) x2 f  x  x  x  1 x( x  1) u ( x) f  x   u '( x) f  x   u ( x) f ( x)  ' , liên tưởngđến cơng thức đạo hàm tích u '( x) x  u  x  x 1 với u ( x) x( x  1) suy  x  x  x  f x     x   * với u  x   x  ta có  x 1 , từ dễ Nhân hai vế dàng tìm biểu thức f  x      ;  y  f  x Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục đoạn thỏa mãn điều  kiện f  x   f   x  cos x I   f  x  dx Tính tích phân I B A I    I C D I 2 f   x   f  x  cos x Giải Từ giả thiết, thay x  x ta  f  x   f   x  cos x   f  x  f x  cos x      Do đó:   Khi I   f  x  dx    4 f  x   f   x  2 cos x  f  x   cos x   f  x   f   x  cos x   cos xdx 3 sin x     2  Chọn B Nhận xét: Với số toán, nhờ vào giả thiết ta tìm biểu thức f x hàm số   để áp dụng công thức tính tích phân Khi việc tìm kết đơn giản nhanh có hỗ trợ máy tính cầm tay IV MỘT SỐ CÂU HỎI TƯƠNG TỰ: Câu 1:Cho hàm số f  x liên tục có đạo hàm cấp hai - 13 -  0;1 thỏa 1 x f  x  dx 12 f  1  f  1  A.10 Tính Câu 2:Cho hàm số tích phân e f  x thỏa C B.14 f  x f  x  dx x f  x  e f  x D dx 8 f  3 ln Tính dx A.1 C  ln B.11 y  f  x Câu 3:Cho D  ln f   x   2018 f  x   x sin x liên tục   I   f  x  dx  Tính  A 2019 B 2019 y  f  x Câu 4: Cho   M   ;4    f  t  dt 3 Câu 5:Cho hàm số f  2 A D 2018 hàm số chẵn, liên tục  có đồ thị qua điểm I  sin x f  sin x  dx  Tính A I 10 Tính C 1009  C I 1 B I  f  x D I   f  x  ln  f  x   dx 1 f  1 1, f    thỏa f   2 Câu 6:Cho B y  f  x f   3 C f   e D f   e  x 1  f   x  3, x 1 x  1  x  liên tục với , Tính e 1 I   f  x  dx A I 4e  B I e  - 14 - C I 4e  D I e  Câu 7:Cho hàm số y  f  x hàm số chẵn liên tục đoạn   f  x  dx 2018 thỏa mãn A I 0 Câu f  x I  dx x 2018      ;  , 8:Cho Giá trị tích phân I 2018 hàm số B C I 2018 y  f  x liên bằng: D I 4036 tục với x 0 f  x I  dx 1 x f  x   f   3x, x 0  x Tính: A I  B I  C I  D I  D KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết đạt Qua việc áp dụng đề tài trình dạy học, tơi nhận thấy học sinh có nhiều tiến việc tiếp cận câu hỏi tích phân vận dụng cao đề thi Các em học sinh 12A2 12A3 năm học 2018 – 2019 có nhiều em giải nhanh hầu hết câu hỏi dạng đề thi thử đề kiểm tra cuối chương 3, Giải tích 12 Đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua nghiên cứu, ứng dụng SKKN vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết học sinh đạt khả quan Đề tài giúp học sinh phát triển lực tư duy, lực giải vấn đề, phát huy tính chủ động sáng tạo học tập Những hạn chế Vì dạng tốn khó nên khơng phải học sinh tiếp cận Hơn nữa, số lượng học sinh lớp học lớn thời gian quy định phân phối chương trình cịn hạn hẹp nên việc truyền đạt giáo viên gặp nhiều khó khăn Bài học kinh nghiệm Các dạng tốn tích phân hàm ẩn ngày đa dạng phong phú, đỏi hỏi việc đầu tư xây dựng thêm nhiều dạng, nhiều phương pháp giải tảng lý thuyết Ngoài ra, thời lượng hạn chế tiết dạy lớp độ khó câu hỏi nên cần có phương pháp hướng dẫn để học sinh chủ động học tập Khả ứng dụng đề tài Đề tài ứng dụng vào việc ôn tập thi THPT quốc gia, hướng tới mục tiêu nâng cao điểm số thi mơn Tốn học sinh nhằm sử dụng để xét tuyển vào trường đại học Kiến nghị, đề xuất - 15 - Bản thân giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 12 nhiều năm Khi áp dụng SKKN vào giảng dạy nhận thấy tự tin giải câu hỏi khó tích phân học sinh tăng lên rõ rệt, em tự tin giải tốn tích phân mức độ vận dụng – vận dụng cao đồng thời tỏ hứng thú loại toán Trên kinh nghiệm cá nhân muốn trao đổi với thầy giảng dạy mơn Tốn Rất mong góp ý, bổ sung SKKN hồn thiện hơn, đem lại lợi ích cho học sinh Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Vĩnh Linh, ngày 16 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Trần Nữ Diệu Thùy TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách Giải tích 12, ban ban nâng cao Các đề thi minh họa, đề tham khảo đề thức thi THPT quốc gia mơn Tốn Bộ giáo dục từ năm học 2016- 2017, 2017 - 2018 Các đề thi thử THPT quốc gia trường nước Các tài liệu học tập từ mạng internet sách tham khảo - 16 - MỤC LỤC ST NỘI DUNG Trang T 10 11 12 13 14 15 Thông tin chung đề tài Mở đầu Nội dung Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn Các dạng tốn tích phân hàm ẩn Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất tích phân Dạng 2: Áp dụng tính chất hàm số chẵn, hàm số lẻ Dạng 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số Dạng 4: Áp dụng phương pháp tính tích phân phần Dạng 5: Tìm biểu thức hàm số f(x) Các câu hỏi tương tự Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo Mục lục - 17 - 1 2 3 10 12 14 15 16