Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ NHƯ NGỌC lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w m ll fu an nv a lu oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ NHƯ NGỌC lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 d m ll fu an nv a lu Người hướng dẫn oi z at nh TS LÂM THỊ THANH TÂM z gm @ m co l an Lu n va ac th si i Mục lục lu MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ an n va Bất đẳng thức AM-GM 1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.3 Bt ng thc Hăolder p ie gh tn to 1.1 DỤNG 2.1 oa nl w BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ MỘT SỐ ỨNG 2.2 Một số bất đẳng thức loại Aczél d Bất đẳng thức Aczél 2.2.1 Bất đẳng thức Aczél-Popoviciu 2.2.2 Bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Popoviciu 2.2.3 Bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược 10 Bất đẳng thức Aczél-Bjelica đảo ngược 11 @ 17 gm Một số ứng dụng z 2.3 z at nh 2.2.4 oi m ll fu an nv a lu l an 3.1 23 Lu ACZÉL m co MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI Mở rộng bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược 23 n va ac th si ii 3.2 Mở rộng dạng tích phân bất đẳng thức Aczél-Vasi´cPeˇcaríc đảo ngược 28 3.3 Một vài làm mịn bất đẳng thức loại Aczél 30 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Một số vấn đề bất đẳng thức loại Aczél ứng dụng cơng trình nghiên cứu khoa học lu hướng dẫn TS.Lâm Thị Thanh Tâm, nội dung không an n va chép chưa công bố hình thức nào, gh tn to kết khơng phải riêng tơi trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 p ie Học viên thực đề tài d oa nl w oi m ll fu an nv a lu Mai Thị Như Ngọc z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an MỞ ĐẦU Từ xưa đến nay, bất đẳng thức vấn đề lu khó, đa dạng, hấp dẫn thu hút quan tâm đông đảo người an giảng dạy Tốn từ bậc phổ thơng đến đại học nhà nghiên cứu Toán va n Hiện nay, bất đẳng thức lĩnh vực toán học đồ sộ, phát triển gh tn to rộng phạm vi ứng dụng lớn Các bất đẳng thức p ie công cụ quan trọng để phát triển nhiều lĩnh vực toán học khác Ở tốn oa nl w phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư d học sinh giỏi a lu fu an nv Trong số bất đẳng thức kinh điển tiếng, bất đẳng thức Aczél a2i b21 − n X ! i=2 b2i ≤ a1 b1 − n X !2 bi i=2 z i=2 ! z at nh a21 − n X oi i=2 i=2 m ll phát biểu với số thực không âm , bi (i = 1, 2, , n) cho n n P P b2i > 0, ta có a2i > b21 − a21 − @ Bất đẳng thức Aczél đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương gm m co l trình hàm hình học phi Euclide Trong năm gần đây, nhiều tác giả cải tiến mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng khác an Lu ứng dụng Theo mở rộng thế, bất đẳng thức loại Aczél thiết lập cơng bố tạp chí tốn học uy tín giới n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Tốn học sơ cấp bậc Trung học phổ thơng Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số bất đẳng thức kinh in nh bt ng thc AM-GM, Cauchy-Schwarz, Hăolder lu Chương 2: Bất đẳng thức loại Aczél số ứng dụng an va Chương trình bày bất đẳng thức Aczél số bất đẳng thức n loại Aczél thiết lập công bố tạp chí tốn học uy tín tn to giới Đồng thời trình bày số ứng dụng bất đẳng thức gh p ie oa nl w Chương 3: Một số mở rộng bất đẳng thức loại Aczél Trong chương này, ta tìm hiểu số mở rộng số bất đẳng d a lu thức loại Aczél bao gồm: dạng tổng quát bất đẳng thức Aczél-Vasi´c- fu an nv Peˇcaríc đảo ngược, dạng tích phân bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược làm mịn số bất đẳng thức loại Aczél m ll oi Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình z at nh cô hướng dẫn TS Lâm Thị Thanh Tâm, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến giúp đỡ tơi z @ suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm gm m co l ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Phương an Lu pháp tốn sơ cấp khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ơn đến người thân, bạn bè ln giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô giáo để luận văn hoàn thiện lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu Chương trình bày số bất đẳng thức kinh điển bất đẳng an thc AM-GM, Cauchy-Schwarz, Hăolder Cỏc kt qu chng va n trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [3, 4] tn to Bất đẳng thức AM-GM p ie gh 1.1 d oa nl w Định lý 1.1.1 Với số thực không âm a1 , a2 , , an , (n ≥ 2) ta có √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 an n (1.1) a lu oi m ll fu an nv Định lý 1.1.2 Với số thực không âm a1 , a2 , , an (n ≥ 2), n P số thực λ1 , λ2 , , λn cho λi > 1, i = 1, , n = Khi i=1 λi n X aλj i a1 a2 an ≤ (1.2) λ i i=1 z at nh z Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz gm @ 1.2 b2i ≥ i=1 !2 b i (1.3) n va i=1 n X an i=1 a2i n X Lu n X m co l Định lý 1.2.1 Cho số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn (n ≥ 2), ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.3 Bt ng thc Hă older nh lý 1.3.1 Cho ≥ 0, bi ≥ 0, i = 1, 2, , n (n ≥ 2) 1 + =1 p q với p > Khi n X ! p1 api n X ! 1q bqi ≥ n X i=1 i=1 bi (1.4) i=1 Định lý 1.3.2 Cho ≥ 0, bi ≥ 0, i = 1, 2, , n (n ≥ 2) lu với p < q < Khi ! p1 n X api an n va n X ! 1q bqi ≤ n X i=1 bi (1.5) i=1 tn to i=1 1 + =1 p q p ie gh Định lý 1.3.3 Với aij > (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , m) m P (i) Nếu λj > λj ≥ oa nl w j=1 n Y m X aij ≤ d a lu i=1 j=1 m n Y X j=1 ! λ1 j λ aijj (1.6) (1.7) i=1 fu an nv (ii) Nếu λj < (j = 1, 2, , m) m ll n Y m X oi i=1 j=1 aij ≥ m n Y X j=1 ! λ1 j λ aijj i=1 z at nh (iii) Nếu λ1 > 0, λj < (j = 2, 3, , m) m P j=1 λj ≤ z i=1 j=1 j=1 i=1 ! λ1 λ aijj j (1.8) m co l aij ≥ m n Y X gm @ n Y m X an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 37 " aλ144 × − n X ! aλi44 aλ133 − aλ133 − × n X !# λ1 aλi33 i=2 i=2 " n X ! aλi33 aλ144 − i=2 n X !# λ1 aλi44 i=2 × ! !2 λ1m − λm−1 n+1 n+1 2 X X m m m m + 2aλ(n+1)m aλ1m − aλimm + aλ1m − aλimm × aλ(n+1)m i=2 lu an " m aλ1m − va × n X ! λ aλimm m−1 a1(m−1) − n i=2 to " m−1 a1(m−1) − j=1 n X λ a1jj − n X oa nl w =− m Y m−1 !# λ λ m−1 ai(m−1) i=2 ! λ m aλ1m − m−1 ai(m−1) i=2 p ie gh tn λ × n X i=2 n X m−1 !# λ aλimm i=2 ! λ2 λ arjj j = −Ψ(n) r=2 d Điều chứng tỏ fu an nv a lu Φ(n + 1) − Ψ(n + 1) ≥ Φ(n) − Ψ(n) oi m ll Hay Suy z at nh Ψ(n + 1) − Φ(n + 1) ≤ Ψ(n) − Φ(n) z @ Ve (n + 1) ≤ Ve (n) gm (3.6C) l m co Như vậy, sử dụng bất đẳng thức (2.4) (3.6C), ta bất đẳng thức (3.6) Lu an Trường hợp 2: λ1 > λ2 > · · · > λm > k số lẻ Khi n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 38 Ψ(n) = aλ122 − n X ! aλi22 aλ122 − n X i=2 × aλ111 − × aλ122 − n X aλi11 aλ122 − lu an va × aλ144 − n X aλi22 aλ111 − n to tn − n X aλi44 aλ144 − n X oa nl w × aλ144 λ1 aλj22 n X λ1 aλj11 n X λ1 − λ1 aλj44 aλi33 aλ144 − n X λ1 aλj44 j=2 ! aλi44 aλ133 − i=2 n X λ1 aλj33 j=2 d λ n X ! fu an nv a lu × − n X n X j=2 ! i=2 p ie gh × aλ133 aλj22 j=2 ! i=2 j=2 ! i=2 j=2 ! i=2 λ1 − λ1 m−1 × a1(m−1) − λm−1 aλm−1 − ai(m−1) 1(m−1) i=2 λ ! gm @ i=2 m−2 λ λ m−1 aj(m−1) n X m−2 λ λ m−2 aj(m−2) j=1 m co aλimm λm n X l m × aλ1m − ! λ m−1 aj(m−1) j=2 λm−1 aλm−2 − ai(m−1) 1(m−2) i=2 n X − z λ m−1 × a1(m−1) − n X 1(m−1) z at nh m−2 ai(m−2) i=2 ! aλm−1 oi λ m−2 × a1(m−2) − n X −λ m−1 m−2 λ j=2 m ll n X (3.6D) an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 39 Áp dụng (2.5), ta Φ(n + 1) − Φ(n) 2 2 m n+1 Y m m n Y m Y X Y X = a1j − arj − a1j − arj r=2 j=1 j=1 r=2 j=1 j=1 m n+1 Y m m n Y m Y X Y X = a1j − arj − a1j + arj r=2 j=1 j=1 r=2 j=1 j=1 lu m n+1 Y m m n Y m Y X Y X × a1j − arj + a1j − arj r=2 j=1 an j=1 r=2 j=1 j=1 n va j=1 tn to k m n Y m m n+1 Y m Y Y X Y X = − a(n+1)j a1j − arj + a1j − arj r=2 j=1 j=1 r=2 j=1 j=1 p ie gh ! λ1 ! λ1 m n+1 m m n j j Y X Y Y X λj λj λj λj + a1j − ≤− arj a(n+1)j a1j − arj j=1 oa nl w = − m Y r=2 j=1 a(n+1)j aλ111 − ! λ1 aλi11 m aλ1m − i=2 d j=1 n X r=2 j=1 n X ! λ1 m aλimm i=2 a lu fu an nv ! λ1m ! λ1 m n+1 n+1 Y X λ X λ m + a(n+1)j aλ111 − ai11 aλ1m − aimm j=1 aλ122 aλi22 i=2 " aλ111 − n X aλi11 aλ(n+1)4 aλi44 !# λ1 aλi22 − aλ(n+1)4 aλ133 !# λ1 − λ1 aλi44 i=2 − n X !# λ1 aλi33 i=2 m co i=2 aλ144 n X l − !# λ1 " − n X i=2 gm aλ144 aλ122 @ × aλ(n+1)3 n X aλ(n+1)1 !# λ1 " i=2 " z × − n X z at nh !# λ1 − λ1 " oi aλ(n+1)2 aλ(n+1)2 i=2 i=2 m ll =− " an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 40 × " λ λ m−1 m−1 × a(n+1)(m−1) a1(m−1) − n X !# λ −λ m−1 m−2 !# λ m−2 !# λ m−2 λ m−1 ai(m−1) i=2 " λ λ m−2 m−1 × a(n+1)(m−2) a1(m−1) − n X λ m−1 ai(m−1) i=2 " λm−1 a(n+1)(m−1) × λm−2 a1(m−2) − n X λm−2 ai(m−2) " m aλ(n+1)m m aλ1m − aλ(n+1)2 lu + aλ122 − n+1 X !# λ1 − λ1 " n+1 X aλi22 aλ(n+1)2 aλ111 − an i=2 va " aλ(n+1)1 n × to aλ122 − n+1 X tn gh p ie × aλ(n+1)4 − !# λ1 aλi11 aλ(n+1)4 aλi22 aλ144 − n+1 X !# λ1 − λ1 aλi44 i=2 !# λ1 " 3 aλ(n+1)3 aλi33 aλ144 i=2 − n+1 X !# λ1 aλi44 i=2 λ n+1 X a lu λ oa nl w × " aλ133 n+1 X m aλimm i=2 !# λ1 " i=2 " !# λ1 i=2 i=2 " n X i=2 d m−1 m−1 × a(n+1)(m−1) a1(m−1) − λ λ n+1 X fu an nv " m−1 m−2 × a(n+1)(m−1) a1(m−2) − !# λ −λ m−1 m−2 !# λ m−2 !# λ m−2 λ m−1 ai(m−1) λ m−2 ai(m−2) i=2 m ll " λ (3.6E) gm @ i=2 aλimm !# λ1m z m m − × aλ(n+1)m aλ1m n+1 X m−1 ai(m−1) z at nh i=2 " λ oi λ m−2 m−1 × a(n+1)(m−2) a1(m−1) − n+1 X hợp 1, ta thu bất đẳng thức (3.6) m co l Từ (3.6E), (3.6D) (1.6), cách lập luận tương tự trường an Lu Trường hợp 3: λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm > có dấu "=" xảy ra, m số chẵn Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 trường hợp 1, ta bất đẳng thức (3.6) Trường hợp 4: λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm > có dấu "=" xảy ra, m số lẻ Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự trường hợp 2, ta bất đẳng thức (3.6) Bằng phương pháp chứng minh tương tự Định lý 3.3.1 sử dụng Định lý 2.2.4 thay cho Định lý 2.2.3, nhận kết lu sau an n va r=2 tn to Định lý 3.3.2 Cho n, m ∈ N+ , n ≥ 2, λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm < với arj n P λ λ (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương cho a1jj − arjj > p ie gh (j = 1, 2, , m) Nếu λ a1jj − n X ! λ2 j λ arjj 2 m n m Y XY − a1j − arj r=2 j=1 r=2 j=1 j=1 d oa nl w Ve (n) = m Y fu an nv a lu Ve (n + 1) ≥ Ve (n) ≥ (3.7) oi m ll Định lý 3.3.3 Cho n, m ∈ N+ , n ≥ ; λ1 > 0, λ2 ≤ · · · ≤ λm < với m P ≤ arj (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương j=1 λj n P λj λ cho a1j − arjj > (j = 1, 2, , m) Nếu z at nh ! λ2 λ j=1 r=2 j=1 m co r=2 2 m n Y m Y X − a1j − arj l arjj j gm j=1 λ a1jj − n X @ Ve (n) = m Y z r=2 an Lu (3.8) n va Ve (n + 1) ≥ Ve (n) ≥ ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 Đặt m = 2, ar1 = ar , ar2 = br (r = 1, 2, · · · , n) từ Định lý 3.3.2 Định lý 3.3.3, ta hệ sau 1 + ≤ λ1 λ2 n P aλi > , bi (i = 1, 2, , n) số thực dương, cho aλ1 − Hệ 3.3.4 Cho n ∈ N+ , n ≥ 2; λ1 6= 0, λ2 < 0, bλ1 − n P i=2 V ∗ (n) = i=2 bλi > Nếu aλ1 − n X ! λ2 bλ1 − aλr lu r=2 n X ! λ2 n X bλr − a1 b1 − r=2 !2 ar b r r=2 an n va to (3.9) p ie gh tn V ∗ (n + 1) ≥ V ∗ (n) ≥ Tương tự, đặt m = 2, ar1 = ar , ar2 = br (r = 1, 2, , n) từ Định lý oa nl w 3.3.1, ta có hệ sau 1 + ≥ với λ1 λ2 n P bi (i = 1, 2, , n) số thực dương cho aλ1 − aλi > d Hệ 3.3.5 Cho n ∈ N+ , n ≥ λ1 ≥ λ2 > 0, i=2 bλi > Nếu r=2 aλr bλ1 − n X z at nh aλ1 − ! λ2 oi V ∗ (n) = n X m ll i=2 fu an nv a lu bλ1 − n P ! λ2 bλr − a1 b1 − r=2 !2 ar b r r=2 z n X gm @ V ∗ (n + 1) ≤ V ∗ (n) ≤ m co l (3.10) Đặc biệt, đặt λ1 = λ2 = λ < Hệ 3.3.4 nhận Lu an hệ sau bất đẳng thức Aczél-Bjelica đảo ngược (2.15) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 Hệ 3.3.6 Cho n ∈ N+ , n ≥ λ < với , bi (i = 1, 2, · · · , n) n n P P bλi > Nếu aλi > bλ1 − số thực dương cho aλ1 − i=2 i=2 Vf∗ (n) = aλ1 − n X ! λ2 bλ1 − aλr r=2 n X ! λ2 bλr − a1 b1 − r=2 n X !2 ar b r r=2 Vf∗ (n + 1) ≥ Vf∗ (n) ≥ (3.11) lu Tương tự, đặt λ1 = λ2 = λ Hệ 3.3.5 ta nhận hệ an n va sau bất đẳng thức Aczél-Bjelica (2.14) p ie gh tn to Hệ 3.3.7 Cho n ∈ N+ , n ≥ < λ ≤ với , bi (i = n n P P 1, 2, · · · , n) số thực dương cho aλ1 − aλi > bλ1 − bλi > oa nl w Vf∗ (n) = aλ1 − d n X ! λ2 aλr bλ1 − r=2 n X ! λ2 bλr − a1 b1 − r=2 n X !2 ar b r r=2 fu an nv a lu i=2 i=2 Nếu Vf∗ (n + 1) ≤ Vf∗ (n) ≤ oi m ll (3.12) z at nh Từ Định lý 3.3.2, ta nhận số bất đẳng thức làm mịn bất đẳng thức loại Aczél (2.5) sau z gm @ Hệ 3.3.8 Cho n, m ∈ N+ , n ≥ λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ≤ λm < m co l với arj (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương cho an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 λ a1jj − n P λ r=2 arjj > (j = 1, 2, · · · , m) Khi m Y λ a1jj − n X ! λ1 j λ arjj r=2 j=1 12 m n m XY Y ≥
Ngày đăng: 24/07/2023, 03:07
Xem thêm:
