Thứ tự ngẫu nhiên 1

LỜI NÓI ĐẦU Thứ tự ngẫu nhiên bất đẳng thức sử dụng nhiều lĩnh vực khác xác suất thống kê lý thuyết độ tin cậy, lý thuyết xếp hàng, sinh học, kinh tế, bảo hiểm, … Với mục đích tập hợp lại cách số kết quan trọng, mở đầu thứ tự ngẫu nhiên định nghĩa đến nay, chọn đề tài “Thứ tự ngẫu nhiên” để làm luận văn Ta biết, cách đơn giản để so sánh hai hàm phân phối so sánh giá trị trung bình tương ứng Tuy nhiên, so sánh dựa hai số riêng lẻ (trung bình), thường khơng có nhiều thơng tin Thêm vào đó, giá trị trung bình đơi khơng tồn Trong nhiều trường hợp ứng dụng, để có nhiều thông tin chi tiết, việc so sánh hai hàm phân phối tốt so sánh hai giá trị trung bình Một số thứ tự ngẫu nhiên liên quan đến hàm phân phối trình bày luận văn Cụ thể, nội dung luận văn gồm chương Chƣơng 1: Thứ tự ngẫu nhiên thường Chƣơng 2: Thứ tự theo hàm tốc độ hỏng Chƣơng 3: Thứ tự theo tỷ số hợp lý Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy giáo: TS Trần Quang Vinh Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn thầy hết lịng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô giáo thuộc tổ môn Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học - Trường ĐHSP Hà Nội, thầy giáo hội đồng bảo vệ giúp đỡ đóng góp cho em ý kiến quý báu Em xin chân thành cảm ơn phòng Quản lý khoa học, Thư viện trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện cho em suốt trình học tập q trình hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Sơn La đặc biệt gia đình tạo điều kiện thuận lợi động viên tơi suốt khóa học Cuối cùng, q trình thực luận văn, khó khăn tài liệu tham khảo khả thân cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy, bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện có hướng phát triển Hà nội, ngày 10 tháng 11 năm 2011 TÁC GIẢ Lưu Thế Dũng CHƢƠNG 1: THỨ TỰ NGẪU NHIÊN THƢỜNG 1.1 Định nghĩa điều kiện tƣơng đƣơng Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên cho P{X  x}  P{Y  x}, x  (,  ) (1.1) Khi đó, X gọi nhỏ Y theo thứ tự ngẫu nhiên thường, ký hiệu: X st Y Chú ý (1.1) tương tự P{X  x}  P{Y  x}, x  (,  ) (1.2) X st Y  P{X  x}  P{Y  x}, x  (,  ) (1.3) Như Thực ra, ta viết lại (1.1) (1.3) cách tổng quát sau P{X U }  P{Y U }, với tập mở U  (,  ) (1.4) E[ IU ( X )]  E[ IU (Y )], với tập mở U  (,  ) (1.5) hay đó, IU ký hiệu hàm tiêu tập U Từ (1.5) ta thấy m  m  X st Y E  IUi ( X )   b  E   IUi (Y )   b  i 1   i 1  (1.6) với  0, i  1,2, , m; b  (,  ) m  Với hàm tăng  cho trước với giá trị m , ta định nghĩa dãy U i , a, b (tất chúng phụ thuộc vào m ), cho m   (1.6) hội tụ tới E  ( X )  E  (Y ) (1.7) miễn kỳ vọng tồn Như vậy, X st Y (1.7) thỏa mãn với hàm  tăng cho kỳ vọng tồn  Các biểu thức dạng   P{X  y}dy x  P{Y  y}dy sử dụng nhiều x chương Ở ta ý   X  st Y   P{Y  y}du   P{X  y}dy giảm với x  (,  ) x (1.8) x Nếu X Y biến ngẫu nhiên rời rạc lấy giá trị  với phân phối xác suất pi  P{X  i} qi  P{Y  i}, i  X  st Y  i  j  pj  i q j    j i j i j , i hay tương đương với X  st Y   p j   q j , i   1.2 Đặc trƣng xây dựng không gian xác suất Một đặc trưng quan trọng thứ tự ngẫu nhiên thường cho định lý sau (ở đó,  st dùng để ký hiệu đẳng thức công thức) Định lý 1.1 Hai biến ngẫu nhiên X Y thỏa mãn X st Y tồn hai biến ngẫu nhiên Xˆ Yˆ xác định không gian xác suất, cho Xˆ  st X (1.9) Yˆ  st Y (1.10) P{Xˆ  Yˆ}  (1.11) Chứng minh * Điều kiện đủ: Hiển nhiên từ (1.9), (1.10) (1.11) kéo theo X st Y * Điều kiện cần: Giả sử X st Y Giả sử F G tương ứng hàm phân phối X Y ; F 1 G 1 tương ứng hàm ngược liên tục phải C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta định nghĩa Xˆ  F 1 (U ) Yˆ  G 1 (U ) , U biến ngẫu nhiên có phân phối [0; 1] Khi đó, dễ thấy Xˆ Yˆ thỏa mãn (1.9) (1.10) Vì X st Y nên có P{X  x}  P{Y  x}, x  (,  ) , từ suy (1.11) thỏa mãn  - Chú ý: Từ (1.2) Định lý 1.1 ta có kết sau: Cho X Y hai biến ngẫu nhiên với F G hàm phân phối tương ứng Khi X st Y  F 1 (u)  G 1 (u), u  (0; 1) (1.12) Định lý 1.1 phát biểu lại cách khác sau, Định lý 1.2 Hai biến ngẫu nhiên X Y thỏa mãn X st Y tồn biến ngẫu nhiên Z hàm  ,  thỏa mãn  ( z )   ( z ) với z X st  ( z ), Y st  ( z ) Trong vài ứng dụng, biến ngẫu nhiên X Y thỏa mãn X st Y ta mong muốn xây dựng Yˆ [Xˆ ] không gian xác suất mà X [Y ] định nghĩa cho Yˆ  st Y P{X  Yˆ}  [Xˆ st X P{Xˆ  Y }  1] Điều Chẳng hạn hàm phân phối F [G] X [Y ] liên tục tuyệt đối, F ( X ) [G(Y )] có phân phối [0; 1] Yˆ  G 1  F ( X )  [Xˆ  F 1  G(Y )  ] Yˆ [Xˆ ] mà ta muốn xây dựng 1.3 Một số tính chất Cho biến ngẫu nhiên Z biến cố A [Z | A] ký hiệu phân phối điều kiện biến ngẫu nhiên Z với điều kiện A Sử dụng từ (1.1) tới (1.11), ta chứng minh kết đóng sau: Định lý 1.3 a) Nếu X st Y g hàm tăng (giảm) g ( X ) st [ st ] g (Y ) b) Giả sử X1, X , , X m họ biến ngẫu nhiên độc lập Y1,Y2 , ,Ym Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an họ biến ngẫu nhiên độc lập khác Khi X i st Yi với i  1,2, , m với hàm tăng  : m   ta có  ( X1, X , , X m ) st  (Y1,Y2 , , Ym ) Đặc biệt m  X j st j 1 m Y j 1 j , nghĩa thứ tự ngẫu nhiên thường đóng tích chập c) Giả sử {X j , j  1,2, } {Y j , j  1,2, } hai dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn X j st X Y j st Y j   ,ở " st " ký hiệu hội tụ theo phân phối Khi đó, X j st Yj , j  1,2, X st Y d) Nếu X , Y  biến ngẫu nhiên thỏa mãn [X |    ] st [Y |    ] với  thuộc  X st Y Định lý 1.4 Giả sử {X j , j  1,2, } dãy biến ngẫu nhiên độc lập không âm M biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm, độc lập với X i Giả sử {Y j , j  1,2, } dãy biến ngẫu nhiên độc lập không âm khác N biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm, độc lập với Yi Khi đó, X i st Yi , i  1,2, M st N M  X j st j 1 N Y j 1 j Định lý 1.5 Giả sử {X j , j  1,2, } dãy biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm có phân phối M biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với X i Giả sử {Y j , j  1,2, } dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối khác N biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với Yi Giả sử với số nguyên dương K K X j 1 j  st [  st ]Y1 M st [ st ] KN Chứng minh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn M X j 1 N j  st [  st ] Y j j 1 C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Theo giả thiết ta có M X i 1 i Ki KN N i 1 i 1 j  K ( i 1)1  st [  st ]  X i    N X j  st [  st ] Yi  i 1 Bây ta xét tập hàm phân phối {G ,   },  tập tập số thực  Ký hiệu X ( ) biến ngẫu nhiên với hàm phân phối G Với biến ngẫu nhiên  với giá trị  , hàm phân phối F , ta ký hiệu X () biến ngẫu nhiên với hàm phân phối H cho H ( y)   G ( y)dF ( ) ,  y  Kết sau trường hợp tổng quát hai phần (a) (c) Định lý 1.3 Định lý 1.6 Xét họ hàm phân phối {G ,  } Giả sử 1  hai biến ngẫu nhiên lấy giá trị  có hàm phân phối F1 F2 tương ứng Giả sử Y1 Y2 hai biến ngẫu nhiên cho Yi st X (i ) , i  1,2 , nghĩa là, giả sử hàm phân phối Yi cho H i ( y)   G ( y)dFi ( ) , y  , i  1,2  X ( ) st X ( ') với    ' Nếu (1.13) 1 st 2 (1.14) Y1 st Y2 (1.15) Chứng minh Chú ý rằng, từ (1.13) P{X ( )  y} tăng theo  với y , ta có P{Y1  y}   P{X ( )  y}dF1 ( )   P{X ( )  y}dF2 ( )  P{Y2  y}, y   đó, bất đẳng thức sau có từ (1.14) (1.7) Do đó, (1.15) suy từ (1.1)  Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ 1.7 Giả sử 1  hai biến ngẫu nhiên nhận giá trị   (0; 1] với hàm phân phối F1 F2 tương ứng Với hàm sống sót K bất kỳ, định nghĩa G  K 1 giả sử X ( ) có hàm sống sót K K 1 ( y)  K 1 ' ,   (0; 1] 1 Ta thấy (1.13) thỏa mãn ( y) với y     '  Do đó, 1 st 2 Yi , với hàm sống sót H i ký hiệu H i ( y)   K 1 ( y )dFi ( ) , y  , i  1,2 thỏa mãn Y1 st Y2 1.4 Một số đặc trƣng tính chất khác Rõ ràng, X st Y EX  EY Hơn nữa, kết sau rằng, hai biến ngẫu nhiên có thứ tự theo thứ tự ngẫu nhiên thường có giá trị kỳ vọng chúng phải có hàm phân phối Định lý 1.8 Nếu X st Y E[h( X )]  E[h(Y )] với h hàm tăng ngặt, X st Y Chứng minh Trước tiên chứng minh kết h( x)  x Giả sử Xˆ Yˆ xác định Định lý 1.1 Nếu P{Xˆ  Yˆ}  EX  EXˆ  EYˆ  EY , dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết EX  EY Do đó, X st Xˆ  Yˆ st Y Tiếp theo, giả sử h hàm tăng ngặt Chú ý rằng, X st Y h( X ) st h(Y ) vậy, từ kết Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an có h( X ) st h(Y ) Kết hợp với giả thiết tính đơn điệu ngặt h ta có X st Y  Như nói trên, X st Y EX  EY Ta dễ dàng tìm phản ví dụ để chiều ngược lại sai Tuy nhiên, X st Y dễ thấy bất đẳng thức quan trọng khác (ví dụ: EX  EY ) Để có đặc trưng thứ tự ngẫu nhiên, định nghĩa lớp hàm hai biến sau st = {  : 2   :  ( x, y) hàm tăng theo biến x giảm theo biến y } Định lý 1.9 Cho X Y biến ngẫu nhiên độc lập Khi X st Y   ( X ,Y ) st  (Y , X ) với  st (1.16) Chứng minh * Điều kiện đủ: Giả thiết (1.16) thỏa mãn Chọn hàm  xác định  ( x, y)  x thuộc st X st Y * Điều kiện cần: Giả thiết X st Y , giả sử  st định nghĩa  ( x, y)   ( x,  y) Khi đó,  hàm tăng  Từ đó, X Y biến ngẫu nhiên độc lập nên X Y độc lập,  X Y độc lập Từ X st Y ta có Y st  X , nên từ Định lý 1.3 (b), ta có:  ( X ,  Y ) st  (Y ,  X ) nghĩa là:  ( X , Y ) st  (Y , X )  Kết đặc trưng tương tự Ta dùng ký hiệu sau: Giả sử 1 2 hàm hai biến, ký hiệu 21 ( x, y)  2 ( x, y)  1 ( x, y) Định lý 1.10 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập, X st Y  E1 ( X ,Y )  E2 ( X ,Y ) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an với 1 2 thỏa mãn rằng, với y 21 ( x, y) giảm theo biến x {x  y} ; với x 21 ( x, y) tăng theo biến y {y  x} 21 ( x, y)  21 ( y, x) với x  y Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên với hàm phân phối F G tương ứng Giả sử M(F,G) ký hiệu lớp phân phối hai chiều Frécchet với phân phối riêng F G cố định Ta sử dụng ký ký hiệu ( Xˆ , Yˆ )  M(F,G), nghĩa biến ngẫu nhiên Xˆ Yˆ có hàm phân phối riêng tương ứng F G Khoảng cách hai biến ngẫu nhiên (trung bình hữu hạn) X Y ký hiệu bởi: d ( X ,Y )  inf ( Xˆ , Yˆ )M ( F , G ) {E | Yˆ  Xˆ |} (1.17) Định lý 1.11 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn cho EX  EY Khi X st Y  d ( X ,Y )  EY  EX Chứng minh * Điều kiện đủ: Giả sử d ( X ,Y )  EY  EX , infimum (1.17) đạt ( Xˆ , Yˆ ) ta có E | Yˆ  Xˆ | E (Yˆ  Xˆ ) Từ P{Xˆ  Yˆ}  theo Định lý 1.1 ta suy X st Y * Điều kiện cần: Giả sử X st Y Xˆ Yˆ với ý nghĩa Định lý 1.1 Khi đó, với ( X ',Y ') M(F,G) ta có E | Y ' X ' || EY ' EX ' | EYˆ  EXˆ d ( X ,Y )  EY  EX  Giả sử a( x) xác định I , I tập tập số thực Số lần thay đổi dấu a I xác định S  (a)  sup S [a( x1 ), a( x2 ), , a( xm )] (1.18) đó, S  ( y1, y2 , , ym ) số mà đổi dấu dãy, số hạng không bị loại 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an giá trị trung bình hữu hạn, X st Y EX  EY Giả sử F G hàm phân phối X Y tương ứng Định nghĩa biến ngẫu nhiên Z X , Y có hàm mật độ h xác định h( z )  G( z )  F ( z ) , z0 EY  EX (3.7) Định lý 3.14 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên không âm với giá trị trung bình dương hữu hạn cho X st Y thỏa mãn EY  EX  Khi AX Ir Z X ,Y  AY Ir Z X ,Y  X hr Y đó, Z X , Y có hàm mật độ xác định hệ thức (3.7) Chứng minh Ký hiệu f e hàm mật độ AY Sử dụng (1.20), thu h( x ) EY  F ( x)   1  , x  fe ( x) EY  EX  G ( x)  phát biểu thứ hai tương đương với (3.1) (2.3) Chứng minh phần thứ tương tự  Liên kết Định lý 3.14 với Định lý 1.5 2.3 ta có Định lý 3.15 Giả sử X , Y  biến ngẫu nhiên thỏa mãn [X |    ] Ir [Y |    '] với   ' lấy giá trị  , X Ir Y Như hệ Định lý 3.15, có kết sau Hệ 3.16 Giả sử N biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương giả sử X i , i  1,2, biến ngẫu nhiên độc lập với N Giả sử Y biến ngẫu nhiên thỏa mãn X i Ir Y , i  1,2, Khi X N Ir Y Bây xét họ (liên tục rời rạc) hàm mật độ {g ,  } , đó,  tập tập số thực Như phần 1.3, giả sử X ( ) ký hiệu biến ngẫu nhiên với hàm mật độ g Với biến ngẫu nhiên bất 47 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an kỳ  nhận giá trị  có hàm mật độ F , giả sử X () biến ngẫu nhiên với hàm mật độ h xác định h( y)   g ( y)dF ( ),  y  Kết sau tổng quát hai Định lý 3.8 Định lý 3.15, giống Định lý 1.6 tổng quát phần (a) (c) Định lý 1.3 Định lý 3.17 Xét họ hàm mật độ {g ,  } Giả sử 1  hai biến ngẫu nhiên nhận giá trị  với hàm phân phối F1 F2 , tương ứng Giả sử Y1 Y2 hai biến ngẫu nhiên thỏa mãn Yi st X (i ), i  1,2 , nghĩa là, giả sử hàm mật độ Yi cho hi ( y)   g ( y)dFi ( ),  y   , i  1,2 Nếu X ( ) Ir X ( ') với    ' (3.8) 1 Ir 2 (3.9) Y1 Ir Y2 (3.10) Chứng minh Giả sử 1  liên tục tuyệt hàm mật độ f1 f tương ứng Giả sử (3.8) có nghĩa g (y) hàm  y TP2 Giả sử (3.9) có nghĩa fi ( ) hàm i {1,2} y TP2 Do có hi ( y ) TP2 với i {1,2} y Khi ta có (3.10) Chứng minh cho trường hợp rời rạc tương tự  Ta có kết liên quan sau Định lý 3.18 Giả sử X1, X , , X m , 1  biến ngẫu nhiên độc lập 48 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an không âm Định nghĩa N j (t ) với t  j  1,2 Định lý 2.19 Nếu 1 Ir 2 , N1 (t ) Ir N2 (t ) với t  Ví dụ sau áp dụng Định lý 3.17, so sánh với ví dụ 1.7 2.16 Ví dụ 3.19 Giả sử   hai biến ngẫu nhiên không âm với hàm mật độ F1 F2 , tương ứng Giả sử G hàm phân phối liên tục tuyệt đối, giả sử g hàm mật độ tương ứng Ký hiệu X ( ) biến ngẫu nhiên với hàm phân phối G Định nghĩa Yi  X (i ) , nghĩa là, hàm phân phối H Yi cho  H i ( y )   G ( y )dFi ( ), y  , i  1,2 Chú ý hàm mật độ k X ( ) cho k ( y)   g ( y)G 1 ( y) , y  Ta dễ dàng thử lại thấy (3.8) thỏa mãn, Định lý 3.17, 1 Ir 2 , Y1 Ir Y2  X ( ) biến ngẫu nhiên với hàm sống sót G Bây giờ, ký hiệu   i X (i ) ; nghĩa là, hàm sống sót H đó, G   G Định nghĩa Y i   Y i xác định   i ( y )  G ( y )dF ( ), H i  y  , i  1,2 X ( ) cho Chú ý hàm mật độ k    1 k  ( y)   g ( y)G ( y), y  X ( ) Ir  X ( ') với    ' Do đó, theo Định lý Dễ dàng thử lại  3.17, 1 Ir 2 Y1 Ir Y2 49 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Để có kết đặc trưng trường hợp hai biến theo thứ tự  Ir , định nghĩa lớp hàm hai biến sau: Ir = {  : 2   :  ( x, y)   ( y, x) , với x  y } Định lý 3.20 Giả sử X Y biến ngẫu nhiên độc lập Khi X Ir Y   ( X ,Y ) st  (Y , X ) với  Ir (3.11) Chứng minh Ta chứng minh cho trương hợp liên tục tuyệt đối, chứng minh cho trường hợp rời rạc tương tự Giả sử (3.11) thỏa mãn Lấy u, v, u  v  cho u  v Định nghĩa  ( x, y)  I{uu  y  u , v  x  vv} Rõ ràng,  Ir Do đó, P{v  X  v  v, u  u  Y  u}  E ( X ,Y )  E (Y , X )  P{v  Y  v  v, u  u  X  u} Chia hai vế cho u.v cho u  v  , thu (3.2), nghĩa X Ir Y Đảo lại, giả sử X Ir Y Giả sử  Ir  hàm tăng E[ ( (Y , X ))  ( ( X , Y ))]    ( ( y, x))  ( ( x, y))  f ( x) g ( y)dxdy y x    ( ( y, x))  ( ( x, y)). f ( x) g ( y)  f ( y) g ( x) dydx   y y x Một ứng dụng Định lý 3.20 cho định lý sau Định lý 3.21 Giả sử X1, X , , X m biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn X1 Ir X Ir Ir X m Giả sử a1, a2 , , am số cho a1  a2   am Khi 50 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an m a i 1 mi 1 X i  st m  a X i 1 i i  st m a X i 1 i i đó,   (1, , , m ) ký hiệu hoán vị tập (1,2, , m) Chứng minh Chúng ta chứng minh cho trường hợp m  , trường hợp tổng quát thu cặp đổi chỗ cho Giả sử X1 Ir X a1  a2 Định nghĩa   ( x, y)  a1 y  a2 x Khi đó, dễ thử lại  Ir Do đó, áp dụng Định lý 3.20 ta có  a1 X  a2 X1 st a X1  a2 X Hai kết đặc trưng tương tự Định lý 3.20 Định lý 3.22 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi X Ir Y  E1 ( X ,Y )  E2 ( X ,Y ) với hàm 1 2 thỏa mãn 21 ( x, y)  x y 21 ( x, y)  21 ( y, x) x  y Định lý 3.23 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi X Ir Y  1 ( X ,Y ) st 2 ( X ,Y ) với hàm 1 2 thỏa mãn 21 ( x, y)  x  y 1 ( x, y)  2 ( y, x) x y (đặc biệt 21 ( x, y)  21 ( y, x) x  y ) Kết cho đặc trưng thứ tự theo tỷ số hợp lý theo ý Định lý 2.11 Định lý 2.49 Định lý 3.24 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi X Ir Y  [X | min( X ,Y )  z1, max( X ,Y )  z2 ] Ir [Y | min( X ,Y )  z1, max( X ,Y )  z2 ] với z1  z2 Chứng minh 51 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trước hết ta giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt hàm mật độ f g tương ứng Ta có P[X  z1 | min( X ,Y )  z1, max( X ,Y )  z ]   P[X  z2 | min( X ,Y )  z1, max( X ,Y )  z2 ]  P[Y  z2 | min( X ,Y )  z1, max( X ,Y )  z2 ]   P[Y  z1 | min( X ,Y )  z1, max( X ,Y )  z2 ]  f ( z1 ) g ( z2 ) f ( z1 ) g ( z2 )  f ( z2 ) g ( z1 ) từ có điều cần chứng minh Chứng minh X Y rời rạc tương tự  Kết sau đưa đặc trưng theo phép biến đổi Laplace thứ tự  Ir Nó so sánh với Định lý 1.13 1.18 Định lý 3.25 Giả sử X X hai biến ngẫu nhiên không âm giả sử N ( X1 ) N ( X ) mô tả Định lý 1.13 Khi X1 Ir X  N ( X1 ) Ir N ( X ) với   Một kết thú vị theo thứ tự tỷ số hợp lý sau Định lý 3.26 Cho X , Y Z biến ngẫu nhiên độc lập Nếu X Ir Y [X | X  Y  v] Ir [Y | X  Y  v] , với v [X | X  Z  v] Ir [Y | Y  Z  v] , với v [Z | X  Z  v] Ir [Z | Y  Z  v] , với v Chứng minh Chúng ta chứng minh phần thứ định lý, kết chứng minh hai phần lại tương tự Trước hết ta giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt 52 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an hàm mật độ f g , tương ứng Ký hiệu hàm mật độ X  Y h Thì hàm mật độ [Y | X  Y  v] xác định mật độ [X | X  Y  v] xác định f (v  ) g (.) hàm h (v ) f (.) g (v  ) Tính đơn điệu h (v ) g / f kéo theo tính đơn điệu tỷ số hai hàm mật độ Chứng minh X Y biến ngẫu nhiên rời rạc hoàn toàn tương tự  Thứ tự  hr liên quan tới thứ tự  Ir mô tả kết sau Định lý 3.27 Giả sử X , Y T biến ngẫu nhiên thỏa mãn T độc lập với ( X , Y ) Nếu X hr Y [T | T  X ] Ir [T | T  Y ] Chứng minh Để đơn giản ta giả sử T biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt hàm mật độ fT Giả sử F X F Y hàm sống sót X Y Hàm mật độ [T | T  X ] tỷ lệ với fT F X hàm mật độ [T | T  Y ] tỷ lệ với fT F Y Kết phát biểu nhận từ (2.3)  Ta có kết sau Định lý 3.28 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên với hàm phân phối F G tương ứng Giả sử W biến ngẫu nhiên với hàm phân phối pF  (1  p)G với p  (0; 1) Nếu X Ir Y X Ir W Ir Y Chứng minh Giả sử A B hai tập đo thỏa mãn A  B Nếu X Ir Y , từ (3.3) P{X  A)}P{W  B}  P{X  A} pP{X  B}  (1  p) P{Y  B}  P{X  B} pP{X  A}  (1  p) P{Y  A}  P{X  B}P{W  A} 53 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an  Do đó, X Ir W Chứng minh W Ir Y tương tự Xét tập hữu hạn có kích thước N với thứ tự tuyến tính giả sử (khơng tính chất tổng qt) biểu diễn {1,2, , N} Giả sử X (1)  X (2)   X ( m) thứ tự thống kê tương ứng mẫu ngẫu nhiên đơn giản có kích thước m tập Ta có Định lý 3.29 Giả sử X (1)  X (2)   X ( m) định nghĩa Khi X (1) Ir X (2) Ir Ir X ( m) Chứng minh Với k {1,2, , m} , giả sử f k hàm mật độ rời rạc X ( k )   j   N  j       k  1 m  k  , j  k , k  1, , k  N  m; fk ( j)   N m      j ; 0, Do đó, với k {1,2, , m  1} , có 0, j  k;  f k 1 ( j )  (m  k )( j  k )  , j  k  1, k  2, , k  N  m; f k ( j )  k ( N  j  m  k  1) , j  k  N  m 1 Hàm tăng theo j X ( k ) Ir X ( k 1)  Dưới số điều kiện, thứ tự theo tỷ số hợp lý đóng cơng thức thứ tự thống kê sau Định lý 3.30 Giả sử X1, X , , X m m biến ngẫu nhiên độc lập giả sử Y1,Y2 , , Yn n biến ngẫu nhiên độc lập khác Nếu X j Ir Yi với  j  m  i  n 54 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an X ( j :m) Ir Y(i : n ) j  i m  j  n  j Chứng minh Trước hết ta chứng minh X1, X , , X m Y1,Y2 , , Yn có hàm phân phối liên tục tuyệt đối Giả sử f j , Fj F j   Fj ký hiệu hàm mật độ, phân phối sống sót X j Tương tự, giả sử gi , Gi Gi   Gi ký hiệu hàm mật độ, phân phối sống sót Yi Hàm mật độ X ( j : m ) Y(i : n ) xác định f X ( j :m ) (t )   f1 (t ) F (t ) F j (t ) F  j 1 (t ) F  m (t )  gY( i :n ) (t )   g1 (t )G (t ) G i (t )G i 1 (t ) G n (t )     tổng theo tất hoán vị   (1, , , m ) (1,2, , m) tổng tất hoán vị   (1, , , n ) (1,2, , n) Có gY( i :n ) (t ) f X ( j :m ) (t )   g (t )G (t ) G (t )G  f (t ) F (t ) F (t ) F  2 i j i 1 j 1 (t ) G n (t ) (t ) F  m (t ) (3.12) Bây giờ, với hoán vị  (1,2, , m) hoán vị  (1,2, , n) , có g1 (t )G (t ) G i (t )G i 1 (t ) G n (t ) f1 (t ) F (t ) F j (t ) F  j 1 (t ) F  m (t )  G j 1 (t ) G i (t ) g1 (t ) G (t ) G j (t ) G i 1 (t ) G n (t ) x x x f1 (t ) F (t ) F j (t ) F  m n i 1 (t ) F  m (t ) F  j 1 (t ) F  m n i (t ) 55 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Từ X 1 Ir Y1 nên từ hệ thức (3.1), phân số thứ tăng theo t Từ X  k Ir Y k Định lý 3.1 ta có X  k rh Y k Nhưng G k (t ) tăng theo t , F k (t ) k  2, , j nên phân số thứ hai tăng theo i Tương tự, từ X  k  mn Ir Y k Định lý 3.1, X  k  mn hr Y k , có nghĩa G k (t ) F  k  m  n (t ) tăng theo t , k  i  1, , n phân số thứ ba tăng theo t Phân số thứ tư tăng tuyệt đối theo t tích phân số tăng theo t Chú ý a1, a2 , , am b1, b2 , , bn hàm biến không âm thỏa mãn   m j 1 n a j (t ) a j (t ) bi (t ) tăng theo t với  j  m  i  n , tăng theo t Từ điều từ (3.12) ta có b (t ) i 1 i gY( i : n ) (t ) tăng f X ( j : m ) (t ) theo t từ (3.1) thu kết phát biểu  Ta có hệ sau Định lý 3.30 Hệ 3.31 Giả sử X1, X , , X m m biến ngẫu nhiên độc lập Y1,Y2 , ,Ym m biến ngẫu nhiên độc lập khác Nếu X j Ir Yi với lựa chọn i j , X ( k ) Ir Y( k ) , k =1, 2,…, m Ví dụ 3.32 Giả sử X Y biến ngẫu nhiên độc lập Nếu X Ir Y min{ X , Y } Ir Y X Ir max{X , Y } Ví dụ 3.33 Giả sử X , Y Z ba biến ngẫu nhiên độc lập Nếu X Ir Y Ir Z min{ X ,Y } Ir min{Y , Z} max{X ,Y } Ir max{Y , Z } Khi tất biến ngẫu nhiên X j Yi Định lý 3.30 có phân phối thu kết sau 56 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Định lý 3.34 Cho m n số nguyên dương, giả sử X1, X , , X max{m, n} biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Khi ta có X ( j : m) Ir X (i : n) với j  i m  j  n  i Trong trường hợp đặc biệt, từ Định lý 3.37 ta có X1 Ir X ( m: m) , m  2,3, (3.13) X1 Ir X (1: m) , m  2,3, (3.14) Chú ý (3.13) (3.14) có nhờ quy nạp từ ví dụ 3.33 Hai hệ sau Định lý 3.34 so sánh với Định lý 2.27 2.28 Hệ 3.35 Giả sử X1, X , , X m biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Khi X ( k 1: m1) Ir X ( k : m) với k  2,3, , m Hệ 3.36 Giả sử X1, X , , X m biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Kki X ( k :m1) Ir X ( k :m) với k  1,2, , m  * Chú ý 3.37 Thứ tự theo tỷ số hợp lý sử dụng vào việc chứng minh Định lý 2.26 sau Giả sử X1, X , , X m biến ngẫu nhiên độc lập không âm giả sử X (1)  X (2)   X ( m) thứ tự thống kê tương ứng Cố định s t cho  s  t Với j  1,2, , m , định nghĩa M j  X j  s M j  X j  s Tương tự định nghĩa N j  X j  t N j  X j  t m m j 0 j 1 Ký hiệu M   M j N   N j Chú ý rằng, cho j  1,2, , m có P{M  j}  P{X ( j )  s} P{N  j}  P{X ( j )  t} Từ P{M j  1}  P{X j  s}  P{X j  t}  P{N j  1} 57 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an suy M j Ir N j , j  1,2, , m Ngoài ra, rõ ràng M j N j có hàm mật độ rời rạc log lõm Do đó, từ Định lý 3.9 ta có M Ir N Bởi vậy, từ Định lý 3.1, M rh N Do từ (2.33), có P{N  j} tăng theo j  P{M  j} Do đó, với k thỏa mãn  k  m  có P{X ( k )  t} P{X ( k )  s}  P{N  k} P{N  k  1} P{X ( k 1)  t}   P{M  k} P{M  k  1} P{X ( k 1)  s} Từ (2.3) ta có X ( k ) hr X ( k 1) Thứ tự  Ir cịn sử dụng để đặc trưng biến ngẫu nhiên với hàm mật độ log lõm Kết sau vài đặc trưng Định lý 3.38 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ log lõm điều kiện tương đương sau thỏa mãn (i) [X  t | X  t ] Ir [X  t ' | X  t '] với t  t ' (ii) X Ir [X  t | X  t ] với t  (Khi X biến ngẫu nhiên không âm) (iii) X  t Ir X  t ' với t  t ' Mối liên hệ khác hàm log lõm thứ tự theo tỷ số hợp lý minh họa kết Định lý 3.39 Giả sử X1, X , , X m biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ log lõm Khi   Xi    X j  s  Ir  X i  j 1   m m X j 1 j   s ' với s  s ', i  1,2, , m  Chứng minh Vì tích chập hàm mật độ log lõm hàm log lõm, nên ta cần 58 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an chứng minh kết m  i  Giả sử f1 f ký hiệu hàm mật độ X X Hàm mật độ điều kiện X với điều kiện X1  X  s f X1| X1  X s ( x1 )   f1 ( x1 ) f ( s  x1 ) f1 (u ) f ( s  u )du Do f X1| X1  X s ' ( x1 ) f X1| X1  X s ( x1 )  f ( s ' x1 )  f1 (u ) f ( s  u )du (3.15) f ( s  x1 )  f1 (u ) f ( s ' u )du Hàm log lõm f kéo theo biểu thức (3.15) tăng theo x1 với s  s ' Từ (3.1) ta suy điều cần chứng minh  Một tính chất đóng hàm mật độ log lõm trình bày kết sau Định lý 3.40 Giả sử X1, X , , X m biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với hàm mật độ log lõm Khi đó, thứ tự thống kê thứ i X (i : m ) có hàm mật độ log lõm,  i  m Chứng minh Giả sử f , F F ký hiệu tương ứng hàm mật độ, phân phối sống sót X Khi hàm mật độ X (i : m ) xác định m i  m  1 i 1 f ( i : m ) ( x)  m  F ( x ) f ( x ) F ( x)   i 1  Từ hàm log lõm f kéo theo hàm log lõm F F , từ f (i : m ) hàm log lõm  59 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an KẾT LUẬN Với nội dung trình bày luận văn, chúng tơi giải nhiệm vụ đặt ra, tập hợp lại cách số kết quan trọng, mở đầu thứ tự ngẫu nhiên định nghĩa đến Các kết phải kể đến nêu định nghĩa, tính chất mối quan hệ , … số thứ tự ngẫu nhiên liên quan đến hàm phân phối, cụ thể là: “ Thứ tự ngẫu nhiên thường, thứ tự theo hàm tốc độ hỏng thứ tự theo tỷ số hợp lý ” Tuy vậy, đề tài cần tiếp tục quan tâm nghiên cứu nhiều khía cạnh khác nữa, chẳng hạn: Thứ tự theo tỷ số hợp lý bị dịch chuyển, thứ tự theo giá trị trung bình sống, … Hy vọng thời gian tới với giúp đỡ thầy, bạn đồng nghiệp, vấn đề tiếp tục sâu nghiên cứu 60 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn