Tóm tắt những kết quả mới của luận án: Luận án đã đạt được một số kết quả mới cụ thể như sau: + Xây dựng mô hình tính toán học tính toán vỏ trụ composite lớp chịu tác dụng đồng thời tải trọng cơ nhiệt trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D. + Phân tích ảnh hưởng của các thông số hình học, các thông số vật liệu, số lớp, trật tự xếp lớp, các điều kiện liên kết và dạng tải trọng đến trạng thái ứng suất-biến dạng của vỏ trụ composite lớp. + Dựa vào quá trình nghiên cứu phân tích luận án đã chỉ ra và giải thích được vùng ứng suất mạnh có thể gọi (tập trung ứng suất) tại vùng suy biến biên.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ NGUYỄN TRƢỜNG THANH NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT CỦA VỎ TRỤ COMPOSITE LỚP DƢỚI TÁC DỤNG CỦA ÁP SUẤT TRONG VÀ NHIỆT TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC CAO QUASI-3D LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT HÀ NỘI - 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ NGUYỄN TRƢỜNG THANH NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT CỦA VỎ TRỤ COMPOSITE LỚP DƢỚI TÁC DỤNG CỦA ÁP SUẤT TRONG VÀ NHIỆT TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC CAO QUASI-3D Ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trần Ngọc Đoàn TS Phan Văn Chƣơng HÀ NỘI - 2023 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận án trung thực chƣa đƣợc công bố cơng trình nào, liệu tham khảo đƣợc trích dẫn đầy đủ Hà Nội, ngày 02 tháng năm 2023 Tác giả Nguyễn Trƣờng Thanh ii LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến tập thể thầy hƣớng dẫn TS Phan Văn Chƣơng PGS.TS Trần Ngọc Đồn, tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị giúp tơi hồn thành luận án Sự động viên, khuyến khích kiến thức khoa học nhƣ chuyên môn mà thầy chia sẻ nhiều năm qua giúp nâng cao lực khoa học phƣơng pháp nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn tập thể Phịng Động cơ– Viện Tên lửa, Phòng Đào tạo – Viện Khoa học Công nghệ quân Bộ môn Thiết kế hệ thống, Khoa Hàng không vũ trụ - Học viện Kỹ thuật Quân tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận án Tơi xin trân thành cảm ơn thầy, bạn cộng sự, nhà khoa học Viện Tên lửa, Viện Khoa học Công nghệ quân sự, thầy cô giáo Học viện Kỹ thuật Quân giúp đỡ q trình hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, Viện Tên lửa, Viện Khoa học Công nghệ quân sự, cộng sự, bạn bè thông cảm, động viên chia sẻ, giúp đỡ, cổ vũ tinh thần vật chất để tơi hồn thành luận án Tác giả luận án iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT vi DANH MỤC CÁC BẢNG ix DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ xi MỞ ĐẦU Chƣơng TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG PHÁP TÍNH TỐN KẾT CẤU VỎ COMPOSITE LỚP 1.1 Tổng quan vật liệu composite lớp 1.2 Tổng quan lý thuyết tính tốn kết cấu vỏ composite 10 1.2.1 Lý thuyết vỏ cổ điển 12 1.2.2 Lý thuyết biến dạng trƣợt bậc 13 1.2.3 Lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao 14 1.3 Tổng quan tình hình nghiên cứu kết cấu vỏ composite 17 1.3.1 Tổng quan nghiên cứu vỏ composite giới 17 1.3.2 Tình hình nghiên cứu kết cấu vỏ composite nƣớc 22 1.4 Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu 24 1.5 Kết luận chƣơng 25 Chƣơng NGHIÊN CỨU TÍNH TỐN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT CỦA VỎ TRỤ COMPOSITE LỚP 27 2.1 Mô hình tốn giả thiết 27 2.2 Xây dựng mô hình tính tốn vỏ trụ composite lớp 28 2.2.1 Trƣờng chuyển vị 29 2.2.2 Quan hệ biến dạng chuyển vị 30 2.2.3 Quan hệ ứng suất biến dạng 32 2.2.4 Hệ phƣơng trình cân điều kiện biên 33 2.2.5 Hệ phƣơng trình cân theo chuyển vị 37 2.2.6 Trình tự giải tốn xác định ứng suất, biến dạng vỏ 39 2.3 Xây dựng phƣơng pháp giải tích tính tốn trạng thái ứng suất vỏ 39 2.3.1 Áp dụng chuỗi lƣợng giác đơn biến đổi hệ phƣơng trình cân iv vỏ 39 2.3.2 Phép biến đổi Laplace giải hệ phƣơng trình cân vỏ 41 2.3.3 Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vi phân 44 2.3.4 Dạng hàm ảnh số dạng phân bố tải trọng vỏ 46 2.4 Xây dựng sơ đồ thuật tốn chƣơng trình tính tốn 49 2.5 Kiểm chứng mơ hình chƣơng trình tính tốn 51 2.6 Kết luận chƣơng 53 Chƣơng NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI VÙNG ỨNG SUẤT MẠNH CỦA VỎ TRỤ COMPOSITE LỚP 54 3.1 Phân tích dạng nghiệm hệ phƣơng trình cân vỏ 54 3.1.1 Đa thức đặc trƣng dạng nghiệm hệ phƣơng trình cân vỏ 54 3.1.2 Nghiệm đặc trƣng số kết cấu vỏ 56 3.1.3 Khảo sát vùng ứng suất mạnh theo lý thuyết khác 58 3.2 Ảnh hƣởng số tham số tới tƣợng gia tăng ứng suất vùng ứng suất mạnh 66 3.2.1 Ảnh hƣởng tham số kết cấu 66 3.2.2 Ảnh hƣởng điều kiện liên kết 68 3.2.3 Ảnh hƣởng tải trọng 74 3.3 Kết luận chƣơng 84 Chƣơng NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA THAM SỐ KẾT CẤU VÀ TẢI TRỌNG ĐẾN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 86 4.1 Nghiên cứu ảnh hƣởng tham số kết cấu 86 4.1.1 Ảnh hƣởng chiều dày vỏ (tỉ số R/h) 86 4.1.2 Ảnh hƣởng chiều dài vỏ (tỷ số L/R) 90 4.1.3 Ảnh hƣởng số lớp, thứ tự xếp lớp 91 4.1.4 Ảnh hƣởng góc xếp lớp 93 4.2 Nghiên cứu ảnh hƣởng số dạng tải trọng 97 4.2.1 Tải trọng phân bố theo quy luật tuyến tính 97 4.2.2 Tải trọng phân bố theo quy luật tuần hoàn 99 v 4.2.3 Tải trọng phân bố theo quy luật hàm mũ 102 4.2.4 Tải trọng phân bố theo quy luật hàm đa thức 104 4.3 Nghiên cứu ảnh hƣởng nhiệt độ 107 4.3.1 Ảnh hƣởng điều kiện biên vỏ chịu tải trọng nhiệt 107 4.3.2 Ảnh hƣởng phân bố nhiệt theo chiều dày vỏ 113 4.4 Nghiên cứu trạng thái ứng suất vỏ dƣới tác dụng tải cơ-nhiệt 118 4.5 Kết luận chƣơng 122 KẾT LUẬN 123 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ 125 TÀI LIỆU THAM KHẢO 126 PHỤ LỤC 136 vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT A Công ngoại lực tác dụng lên vỏ, [Nm]; A Ma trận hệ số hệ phƣơng trình vi phân; C k Ma trận hệ số độ cứng; Ek Mô đun đàn hồi lớp k, [N/m2]; h, hk Chiều dày kết cấu, chiều dày lớp vật liệu, [m]; Gk Mô đun trƣợt lớp k [N/m2]; L Chiều dài vỏ [m]; N(i ) , N(i ) , N z(i ) , N(i ) , N(i ) , N(iz) , N(iz) : thành phần nội lực suy rộng với i=1,K; Q0 Độ lớn lực phân bố, [N/m2]; Q k Ma trận hệ số độ cứng lớp thứ k hệ tọa độ tổng thể; q() Tải trọng tác dụng theo phƣơng pháp tuyến bề mặt vỏ, [N/m2]; S Độ dày tƣơng đối vỏ trụ; R Bán kính vỏ, [m]; T k Ma trận chuyển hệ tọa độ cục lớp k sang hệ tọa độ chung; Tref, T Lần lƣợt nhiệt độ tham chiếu thời điểm tính biến dạng, [K]; U Thế biến dạng vỏ composite; U km Các hàm khai triển chuỗi Fourier chuyển vị; u Véc tơ chuyển vị điểm [m]; u0 Véc tơ chuyển vị điểm mặt trung bình, [m]; ui, vi, wi Các thành phần chuyển vị điểm lớp k, [m]; i uok , vok , wok Chuyển vị điểm mặt trung bình lớp k, [m]; Vkm i Các hàm khai triển chuỗi Fourier chuyển vị; vii Wkm Các hàm khai triển chuỗi Fourier chuyển vị; ij( k ) Hệ số Pốt xơng lớp k; , , z Các tọa độ trụ; k Véc tơ hệ số biến dạng màng nhiệt lớp thứ k; i -1 1( k ) , 2( k ) ,3( k ) Các hệ số giãn nở nhiệt hệ trục lớp thứ k, [K ]; ( k ) ,( k ) , z( k ) ,( k ) hệ số giãn nở nhiệt hệ trục O z lớp thứ k, [K-1]; A Vi phân công tải trọng áp suất [Nm]; U Vi phân biến dạng vỏ composite; Vi phân tổng lƣợng vỏ composite; (k ) Góc đặt cốt lớp thứ k [o]; T Biến thiên nhiệt độ, [K]; Véc tơ biến dạng điểm; Véc tơ biến dạng màng uốn điểm; k Véc tơ trƣờng biến dạng lớp k hệ tọa độ chung; k Véc tơ trƣờng biến dạng nhiệt lớp k hệ tọa độ chung; T Véc tơ trƣờng ứng suất điểm, [N/m2]; Véc tơ trƣờng ứng suất lớp k hệ tọa độ chung, [N/m2]; DQM Phƣơng pháp cầu phƣơng sai phân (differential quadrature method; CC Liên kết ngàm hai đầu (clamped - clamped); CF Liên kết ngàm tự (clamped - free); CS Liên kết ngàm tựa đơn (clamped - simply supported); CLPT Lý thuyết vỏ cổ điển (classical laminated plate theory); FGM Vật liệu có tính biến thiên (functionally graded materials); FSDT Lý thuyết biến dạng trƣợt bậc (first order shear deformation theory); (k ) viii HSDT Lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao (high-order shear deformation theory); INPL Áp suất (Internal pressure load); SF Liên kết tựa đơn tự (simply supported - free supported); SS Tựa đơn hai đầu (simply supported - simply supported); 130 41 Fix George, Strang Gilbert (1969), ―Fourier analysis of the finite element method in Ritz‐Galerkin theory‖, Studies in Applied Mathematics 48(3), pp 265-273 42 Fletcher Clive AJ (1984), ―Computational galerkin methods‖, Computational galerkin methods, Springer, tr 72-85 43 Franklin Harold G (1967), ―Membrane Solution of Fiber-Reinforced Corrugated Shells of Revolution‖, Journal of Composite Materials 1(4), pp 382-388 44 Galin'sh AK (1967), ―Analysis of plates and shells using refined theories‖, Investigations on Plate Shell Theories, pp 23-64 45 Ghugal YM, Shimpi RP (2002), ―A review of refined shear deformation theories of isotropic and anisotropic laminated plates‖, Journal of Reinforced Plastics 21(9), pp 775-813 46 Grigolyuk EI, Selezov IT (1972), ―A nonclassical theory of vibrations of rods, plates, and shells”, Advances in Science and Engineering 47 Grigolyuk EI, Kogan AF (1972), ―Present state of the theory of multilayered shells (in Russ.)‖, Prikl Mekh 8(6), pp 3-17 48 Hawkes Terry D, Soldatos Kostas P (1992), ―Three-dimensional axisymmetric vibrations of orthotropic and cross-ply laminated hollow cylinders”, AIAA journal 30(4), pp 1089-1098 49 Hildebrand FB, Reissner E, Thomas GB (1949), ―Notes on the foundations of the theory of small displacements of orthotropic shells‖, NACA TN-1833 50 Reddy JN, (2004), (―Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells Theory and Analysis” CRC PRESS 51 Hongyu Sheng, Jiarang Fan (1997), ―Exact solution for laminated continuous open cylindrical shells”, Applied Mathematics Mechanics 18(11), pp 1073-1086 52 Hung Sying Jing, Goang Kuan Tzeng (1995), ―Elasticity solution for laminated anisotropic cylindrical panels in cylindrical bending‖, Composite Structures 30(3), pp 307-317 131 53 Kalnins Arturs (1964), ―Analysis of shells of revolution subjected to symmetrical and nonsymmetrical loads”, Journal of Appled of Mechenical 54 Khare Ralesh Kumar, Kant Tarun, Ajay Kumar Garg (2003), ―Closed-form thermo-mechanical solutions of higher-order theories of cross-ply laminated shallow shells‖, Composite Structures 59, pp 313-340 55 Khandan Rasoul, Noroozi Siamak, Sewell Philip, Vinney John (2012), ―The development of laminated composite plate theories: a review‖, Journal of Materials Science 47(16), pp 5901-5910 56 Kirchhoff Gustav (1850), ―Über das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe‖ 57 Kumari Poonam, Kar Shranish (2019), ―Static behavior of arbitrarily supported composite laminated cylindrical shell panels: An analytical 3D elasticity approach‖, Composite Structures 207, pp 949-965 58 Kunukkasseril VX (1967), ―Vibration of Multi-Layered anisotropic cylindrical shells‖, Watervliet Arsenal Ny Benet Labs 59 Librescu Liviu (1975), ―Elastostatics and kinetics of anisotropic and heterogeneous shell-type structures‖, Tập 2, Springer Science & Business Media 60 Mantari JL, Oktem AS, Soares C Guedes (2012), ―A new higher order shear deformation theory for sandwich and composite laminated plates‖, Composites Part B 43(3), pp 1489-1499 61 Mehar K, Panda S Kumar (2017), ―Numerical investigation of nonlinear thermomechanical deflection of functionally graded CNT reinforced doubly curved composite shell panel under different mechanical loads‖, Vol 161: pp 287-298 62 Mindlin RD (1951), ―Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates”, Journal of Applied Mechanics 18, pp 31-38 63 Nguyen Hoai Nam, Nguyen Thi Phuong, Dao Huy Bich (2018), ―Buckling analysis of parallel eccentrically stiffened functionally graded annular spherical segments subjected to mechanic loads‖, Mechanics of Advanced Materials, pp 1-10 132 64 Neves Ana, Carrera E, Cinefra M et all (2013), ―Free vibration analysis of functionally graded shells by a higher-order shear deformation theory and radial basis functions collocation, accounting for through-the-thickness deformations‖, European Journal of Mechanics A Solids 37, pp 24-34 65 Nhon NT, Kiendl Josel, Hung NX, and … (2011), ―Rotation free isogeometric thin shell analysis using PHT-splines‖, Computer Methods in Appied Mechanics Engineering 200(47-48), pp 3410-3424 66 Trung NT, Phuc PV, Chien TH, Hung NG (2013), ―A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell structures‖, International Journal of Mechanical Sciences 74, pp 32-45 67 Nguyen Tan, CH Thai, LA Tuan, NX Hung, Lee Jaehong (2019), ―NURBSbased postbuckling analysis of functionally graded carbon nanotube-reinforced composite shells‖, Computer Methods in Appied Mechanics Engineering 347, pp 983-1003 68 Pagano (1967), ―Analysis of the flexure test of bidirectional composites‖, Journal of Composite Materials 1(4), pp 336-342 69 Pagano (1969), ―Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending‖, Journal of Composite Materials 3(3), pp 398-411 70 Pagano (1970), ―Influence of shear coupling in cylindrical bending of anisotropic laminates‖, Journal of Composite Materials 4(3), pp 330-343 71 Pagano (1971), ―Stress gradients in laminated composite cylinders”, Journal of Composite Materials 5(2), pp 260-265 72 Pagano, Whitney (1970), ―Geometric design of composite cylindrical characterization specimens”, Journal of Composite Materials 4(3), pp 360-378 73 Patel Brof, Gupta Shakti and … (2005), ―Free vibration analysis of functionally graded elliptical cylindrical shells using higher-order theory‖, Composite structures 69(3), pp 259-270 74 Punera Devesh, Kant Tarun, Desai Yogesh (2018), ―Thermoelastic analysis 133 of laminated and functionally graded sandwich cylindrical shells with two refined higher order models‖, Journal of Thermal Stresses 41(1), pp 54-79 75 Reddy JN (1984), ―A simple higher-order theory for laminated composite plates‖, Journal of applied mechanics 51(4), pp 745-752 76 Reddy JN (2004), ―Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells Theory and Analysis‖, Second Edition, ed, CRC PRESS 77 Ren (1987), ―Exact solutions for laminated cylindrical shells in cylindrical bending”, Composite Science and Technology, pp 169-187 78 Rizzo and Vicario (1972), ―A finite element analysis for stress distribution in gripped tubular specimens‖, Composite Materials: Testing and Design (Second Conference), ASTM International 79 Shen Hui Shen (2014), ―Nonlinear thermal bending of FGM cylindrical panels resting on elastic foundations under heat conduction‖, 113: p 216-224 80 Shi Guangyu (2007), ―A new simple third-order shear deformation theory of plates‖, International Journal of Solids Structures 44(13), pp 4399-4417 81 Swaminathan, Naveenkumar, Ashraf Zenkour, Erasmo Carrera (2015), ―Stress, vibration and buckling analyses of FGM plates- A state ofthe art review‖, Composite Structures 120, pp 10-31 82 Tran Ich Thinh, Ngo Nhu Khoa (2000), ―Modelling the mechanical and hygrothermal behaviour of composite laminates using a high-order displacement formulation‖, International colloquium in Mechanics of Solids, Fluids, Structures and Interactions, Nhatrang (Vietnam) 83 Tran Ich Thinh, Ngo Nhu Khoa (2001), ―Higher-order finite element algorithm for the thich layered composite plate bending problem‖, Proceeding of the National Coonference on Engineering Mechanics 84 Tran Ich Thinh, Nguyen Manh Cuong (2013), ―Dynamic stiffness matrix of continuous element for vibration of thick cross-ply laminated composite cylindrical shells‖, Composite Structures 98, pp 93-102 85 Timoshenko Stephen (1921), ―On the correction for shear of the differential 134 equation for transverse vibrations of prismatic bars‖, The London, Edinburgh, Dublin Philosophical Magazine Journal of Science 41(245), pp 744-746 86 Xuan Doan, Khuc Van Phu, Dao Huy Bich, (2019), ―Analysis of nonlinear thermal dynamic responses of sandwich functionally graded cylindrical shells containing fluid‖, Journal of Sandwich Structures Materials 21(6), pp 1953-1974 87 Xuan Doan, Khuc Van Phu, Dao Huy Bich, (2019), ―Nonlinear thermal vibration and dynamic buckling of eccentrically stiffened sandwich-FGM cylindrical shells containing fluid‖, Journal of Reinforced Plastics Composites Engineering 38(6), pp 253-266 88 Varadan TK, Bhaskar K (1991), ―Bending of laminated orthotropic cylindrical shells—An elasticity approach‖, Composite Structures 17(2), pp 141-156 89 VG Piskunov, AO Rasskazov (2002), ―Evolution of the theory of laminated plates and shells‖, Journal International applied mechanics 38(2), pp 135-166 90 Vu Bac, Duong TX, Lahmer T, Areias P, Sauer RA, HS Park, Rabczuk Timon (2019), ―A NURBS-based inverse analysis of thermal expansion induced morphing of thin shells‖, Computer Methods in Appied Mechanics Engineering 350, pp 480-510 91 Vuong Pham Minh, Duc Nguyen Dinh (2018), ―Nonlinear response and buckling analysis of eccentrically stiffened FGM toroidal shell segments in thermal environment‖, Aerospace Science and Technology 79, pp 383-398 92 JM Whitney (1971), ―On the use of shell theory for determining stresses in composite cylinders‖, Journal of Composite Materials, 5(3), pp 340-353 93 JM Whitney, NJ Pagano, RB Pipes, (1972), ―Design and fabrication of tubular specimens for composite characterization‖, Composite Materials: Testing and Design (Second Conference), ASTM International 94 Jianqiao Y, Soldatos KP, (1994), ―Three-dimensional stress analysis of orthotropic and cross-ply laminated hollow cylinders and cylindrical panels‖, Computer Methods in Applied Mechanics Engineering 117(3-4), pp 331-351 95 Zenkour AM (2015), ―Thermal bending of layered composite plates resting on 135 elastic foundations using four-unknown shear and normal deformations theory‖, Composite Structures 122, pp 260-270 96 Zien HM (1973), ―Bending of laminated anisotropic composite cylinders‖, Journal of Composite Materials 7(3), pp 394-398 97 Zien HM, (1973),‖Bending of laminated anisotropic composite cylinders‖, Journal of Composite Materials 7(3): p 394-398 P.1 PHỤ LỤC Các số đàn hồi ma trận vật liệu viết theo (Pl.1) sau: (k ) Q11( k ) C11( k ) c C12( k ) 2C44 s 2c2 C22( k ) s , (k ) (k ) Q12( k ) C12( k ) c s C11( k ) C22 4C44 s 2c2 , Q13( k ) C13( k ) c C23( k ) s , Q14( k ) C11( k ) C12( k ) 2C44( k ) sc3 C12( k ) C22( k ) 2C44( k ) cs , (k ) (k ) (k ) Q22 C11( k ) s C22 c C12( k ) 2C44 s 2c , (k ) (k ) Q23 C13( k ) s C23 c , (k ) 24 Q C (k ) 11 C (k ) 12 2C (k ) 44 cs C (k ) 12 C 2C (k ) 22 (k ) 44 (Pl.1) sc , (k ) (k ) (k ) (k ) Q33 C33 , Q34 C13( k ) C23 sc, (k ) (k ) (k ) Q44 C11( k ) 2C12( k ) C22 2C44 c2 s C44(k ) c4 s , Q55( k ) C55( k ) c C66( k ) s , Q56( k ) C66( k ) C55( k ) cs, Q66( k ) C55( k ) s C66( k ) c , đó, đẳng thức Qij( k ) Q(jik ) i, j c cos , s sin Các hệ số H in, j hệ phương trình cân viết theo chuyển vị viết theo (Pl.2): H 0, H 0, 10 H 11,11 H 10,22 11 NL h( k ) NL h( k ) H 0, H 0, 12 13 h( k ) h( k ) Q11( k ) z 1 dz , R k 1 h( k 1) R NL h( k ) NL NL Q( k ) z Q(k ) z Q11( k ) z z z z 1 11 1 dz , H12,11 11 1 dz , H13,11 1 dz R R R R k 1 h( k 1) k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R 3! k 1 h( k 1) NL h( k ) Q44( k ) dz , Rz Q44( k ) z dz , R z 3! H 11,22 H 21,12 Q12( k ) z Q44( k ) zdz , 1 R R k 1 h( k 1) R z H 23,12 Q12( k ) z Q44( k ) z dz , 1 R R 3! k 1 h( k 1) R z k 1 h( k 1) NL NL H NL H 12,22 NL h( k ) k 1 h( k 1) Q44( k ) z dz , Rz h( k ) Q12( k ) z Q44( k ) dz , R R k 1 h( k 1) R z NL 20,12 h( k ) Q( k ) z 44 dz , k 1 h( k 1) R z 13,22 H H 10,11 h( k ) H 22,12 H 30,1 h( k ) h( k ) Q12( k ) z Q44( k ) z dz , 1 R R k 1 h( k 1) R z NL NL h( k ) k 1 h( k 1) Q12( k ) z 1 dz , Rz R (Pl.2) P.2 31,1 H h( k ) Q( k ) z z 12 Q13( k ) 1 dz , k 1 h( k 1) R z R NL H H 0, NL H (k ) 55 h( k ) NL 13,11 NL NL k 1 h( k 1) Q11( k ) h( k ) NL z4 z z 2 dz H Q44( k ) dz , H11,22 , 10,22 6R R R z k 1 h( k 1) H 12,11 NL k 1 h( k 1) Q11( k ) z3 z 1 dz , 2R R h( k ) Q h( k ) k 1 h( k 1) Q44( k ) z3 dz , 2 R z h( k ) NL H13,22 k 1 h( k 1) h( k ) Q44( k ) z z 1 dz , R R (k ) 11 k 1 h( k 1) H12,22 z2 z 1 dz , R R h( k ) NL h( k ) (k ) 11 Q k 1 h( k 1) H 10,11 12 h( k ) z Q55( k ) 1 Rzdz , R k 1 h( k 1) NL H (k ) 55 z z2 H Q 1 R dz , R k 1 h( k 1) H Q12( k ) z z Q13( k ) z 1 dz k 1 h( k 1) R z R h( k ) h( k ) NL 11,11 h( k ) NL z H Q 1 Rdz , R k 1 h( k 1) 11 10 13 32,1 NL h( k ) k 1 h( k 1) Q44( k ) z2 dz , Rz z4 dz , 6 R z h NL ( k ) (k ) z (k ) z z z (k ) z (k ) z Q Q dz H Q Q , 21,12 12 R z R 44 R 12 R z R 44 R dz , k 1 h( k 1) k 1 h( k 1) NL H 20,12 NL h( k ) (k ) z3 z (k ) z Q Q dz , 12 44 2 R z R 2R k 1 h( k 1) H 22,12 H 23,12 H 31,1 h( k ) z4 z (k ) z Q12( k ) dz , 1 Q44 6 R z R R k 1 h( k 1) NL NL h( k ) Q k 1 h( k 1) (k ) 13 z Q 1 zdz , R (k ) 55 h( k ) z Q55( k ) 1 zdz , R k 1 h( k 1) NL H , H113 10 h( k ) z z3 (k ) Q 55 R dz , k 1 h( k 1) NL H133 H 11,11 NL h( k ) Q11( k ) z z3 1 dz , R k 1 h( k 1) R H 30,1 H 32,1 h( k ) z Q55( k ) 1 dz , R k 1 h( k 1) NL h( k ) ( k ) Q55( k ) z Q13 1 z dz R k 1 h( k 1) NL h( k ) z Q55( k ) 1 z dz , R k 1 h( k 1) NL H123 h( k ) Q11( k ) z z2 dz , R k 1 h( k 1) R NL H10,11 H 12,11 NL h( k ) Q11( k ) z z4 1 dz , R k 1 h( k 1) R P.3 H h( k ) h( k ) NL Q( k ) Q( k ) z z z5 11 1 dz , H10,22 44 dz , R 12 k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R z NL 13,11 NL h( k ) h H 21,12 Q( k ) z Q( k ) z 12 1 44 dz , R R k 1 h( k 1) R z H 23,12 Q( k ) z Q( k ) z 12 1 44 dz , R R 12 k 1 h( k 1) R z H 31,1 h( k ) NL H 30,1 h( k ) Q( k ) z z2 12 Q13( k ) 1 dz , k 1 h( k 1) R z R NL H 22,12 h( k ) NL H 0, H 32,1 h( k ) NL h( k ) k 1 h( k 1) NL h( k ) Q12( k ) z z (k ) z Q 1 dz 13 R k 1 h( k 1) R z NL h( k ) 12 (k ) 55 H Q( k ) z z4 11 1 dz , R k 1 h( k 1) R H 13,11 Q11( k ) z z6 1 dz , R 36 k 1 h( k 1) R NL h( k ) NL NL H12,22 h( k ) k 1 h( k 1) H 10,22 h( k ) h( k ) Q12( k ) z Q44( k ) z dz , R R 12 k 1 h( k 1) R z H 22,12 h( k ) NL h( k ) k 1 h( k 1) Q44( k ) z dz , Rz Q44( k ) z dz , R z 12 Q12( k ) z Q44( k ) z dz , R R k 1 h( k 1) R z NL H 20,12 Q12( k ) z z (k ) z Q 1 dz , 55 R z R k 1 h( k 1) NL H 12,11 h( k ) 11,11 H 30,1 H 10,11 h( k ) z z3 (k ) Q 55 R R dz , k 1 h( k 1) NL H (k ) 55 z z4 H Q 1 R dz , R k 1 h( k 1) NL Q12( k ) z z2 dz , Rz R h( k ) NL k 1 h( k 1) Q44( k ) z dz , Rz Q12( k ) z Q44( k ) z dz , R R k 1 h( k 1) R z NL z z2 H Q 1 R dz , R k 1 h( k 1) 11 10 13 h( k ) h k 1 h( k 1) NL NL ( k ) NL ( k ) Q( k ) Q44( k ) z Q( k ) z z Q( k ) z 3 dz , H13,22 44 dz , H 20,12 12 1 44 dz , Rz R R k 1 h( k 1) R z 12 k 1 h( k 1) R z 12,22 H H 11,22 h( k ) Q11( k ) z z3 dz , R k 1 h( k 1) R NL h( k ) Q11( k ) z z5 dz , R 12 k 1 h( k 1) R NL H 11,22 NL h( k ) k 1 h( k 1) NL H13,22 h( k ) k 1 h( k 1) Q44( k ) z dz , Rz Q44( k ) z dz , R z 36 h( k ) Q12( k ) z Q44( k ) z dz , R R k 1 h( k 1) R z NL H 21,12 h( k ) Q12( k ) z Q44( k ) z dz , R R 36 k 1 h( k 1) R z NL H 23,12 h( k ) Q12( k ) z z (k ) z Q 1 dz , 55 R z R k 1 h( k 1) NL H 31,1 P.4 32,1 H h( k ) h NL ( k ) Q( k ) z Q66( k ) z4 z 5 12 Q55( k ) 1 dz H 20 dz , H 21 R z 12 R R z k 1 h( k 1) k 1 h( k 1) NL h( k ) NL H 22 Q66( k ) z2 Rz dz , Rz 2 k 1 h( k 1) NL H 23 h( k ) k 1 h( k 1) h( k ) NL h( k ) k 1 h( k 1) Q66( k ) Rdz , Rz Q66( k ) z z3 R dz , Rz 6 h( k ) H 20,11 Q( k ) z 44 1 dz , R k 1 h( k 1) R H 22,11 NL NL Q( k ) Q( k ) Q44( k ) z z2 z z3 5 44 1 dz , H 23,11 44 1 dz , H 20,22 dz , R R k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R z H NL h( k ) NL 21,22 H NL h( k ) k 1 h( k 1) 21,11 Q22( k ) zdz , Rz H 22,22 NL h( k ) h( k ) k 1 h( k 1) Q22( k ) z dz , Rz h( k ) H Q( k ) Q( k ) z 21 44 1 dz , R z R k 1 h( k 1) R H 12,12 Q( k ) Q( k ) z z 21 44 1 dz , R z R k 1 h( k 1) R H 11,12 h( k ) NL h( k ) 10,12 NL (k ) Q44 z 1 zdz R k 1 h( k 1) R NL H 13,12 H H H k 1 h( k 1) Q22( k ) z dz , Rz h( k ) Q21( k ) Q44( k ) z z3 dz , R z R k 1 h( k 1) R NL 31,2 h( k ) Q21( k ) Q44( k ) z 1 zdz , R z R k 1 h( k 1) R h /2 A22 A66 dz , Rz h /2 NL h( k ) NL h /2 30,2 23,22 A 22 A66 h /2 z A23 dz , Rz h( k ) (k ) z2 (k ) Q Q Q23( k ) z dz 22 66 2 R z k 1 h( k 1) NL H 32,2 NL H 206 h( k ) k 1 h( k 1) NL h( k ) H 23 h( k ) NL Q66( k ) Q66( k ) Rdz , H 216 R dz , Rz k 1 h( k 1) R z k 1 h( k 1) H H 23,11 z z4 Q 1 dz , R 6R k 1 h( k 1) NL H 20,11 H 22,11 h( k ) z z2 Q 1 dz , R R k 1 h( k 1) (k ) 44 h( k ) (k ) 44 H 20,22 NL h( k ) k 1 h( k 1) RQ66( k ) z z R dz , Rz 21,11 NL NL H 226 h( k ) k 1 h( k 1) RQ66( k ) z2 Rz dz , Rz 2 h( k ) z Q44( k ) 1 dz , R k 1 h( k 1) NL h( k ) z z3 (k ) Q dz , 44 R 2R k 1 h( k 1) NL h( k ) NL Q22( k ) Q22( k ) zdz , H 21,22 z dz , Rz k 1 h( k 1) R z P.5 NL h( k ) h h NL ( k ) NL ( k ) Q( k ) Q( k ) Q22( k ) z Q22( k ) z z 6 dz , H 23,22 dz , H10,12 21 44 1 dz , Rz R z R k 1 h( k 1) R z k 1 h( k 1) R 22,22 H 11,12 Q( k ) Q( k ) z 21 44 1 z dz , R z R k 1 h( k 1) R H 13,12 Q( k ) Q( k ) z z 21 44 1 dz , R z R k 1 h( k 1) R H H H 31,2 32,2 k 1 h( k 1) NL NL NL h( k ) h( k ) Q h( k ) (k ) 22 Q k 1 h( k 1) NL (k ) (k ) Q21 Q44 z z3 dz , R z R k 1 h( k 1) R (k ) 22 H z RQ66( k ) Q23( k ) zdz , Rz z RQ66( k ) Q23( k ) z dz 2 R z h( k ) z z H Q R dz , 2 R z k 1 h( k 1) 20 NL h( k ) h( k ) k 1 h( k 1) NL H 12,12 30,2 h( k ) Q k 1 h( k 1) (k ) 22 z RQ66( k ) dz , Rz NL h( k ) z Rz Q66( k ) R dz , 2 R z k 1 h( k 1) H 21 (k ) 66 NL h( k ) h NL ( k ) z z2 z z z z3 z (k ) (k ) Q R Rz dz H Q R , 23 66 66 R R z dz , Rz k 1 h( k 1) k 1 h( k 1) NL H 227 h( k ) z z2 (k ) Q 44 R 2R dz , k 1 h( k 1) NL H 20,11 NL h( k ) NL h( k ) h( k ) z z3 (k ) Q 44 R 2R dz , k 1 h( k 1) NL H 21,11 h( k ) h( k ) NL NL Q22( k ) z z z4 z z5 (k ) (k ) Q dz H Q dz H dz , , , 23,11 20,22 44 R 4R 44 R 12R k 1 h( k 1) k 1 h( k 1) k 1 h( k 1) R z H 22,11 H 21,22 k 1 h( k 1) Q22( k ) z dz , Rz H 22,22 NL h( k ) k 1 h( k 1) h( k ) Q44( k ) z Q21( k ) z dz , R R k 1 h( k 1) R z NL H10,12 h( k ) Q44( k ) z Q21( k ) z dz , R R k 1 h( k 1) R z NL H12,12 h( k ) z (k ) z (k ) (k ) z dz , Q22 RQ66 Q66 2R z k 1 h( k 1) NL H 30,2 (k ) Q22 z4 dz , Rz NL H 23,22 h( k ) k 1 h( k 1) Q22( k ) z dz , R z 12 h( k ) Q44( k ) z Q21( k ) z dz , R R k 1 h( k 1) R z NL H11,12 h( k ) Q44( k ) z Q21( k ) z dz , R R 12 k 1 h( k 1) R z NL H13,12 P.6 H 31,2 H 32,2 h( k ) z z dz , 2 h( k ) z z3 dz 2 Q22( k ) z Q23( k ) RQ66( k ) Q66( k ) Rz Rz k 1 h( k 1) R z NL Q22( k ) z Q23( k ) RQ66( k ) Q66( k ) Rz Rz k 1 h( k 1) R z NL h( k ) z Q( k ) z H R 66 dz , Rz k 1 h( k 1) 20 NL H h( k ) z Q( k ) z z2 H R 66 Rz dz , Rz 2 k 1 h( k 1) 22 20,11 H NL h( k ) z Q66( k ) z z3 R Rz dz , R z 3 k 1 h( k 1) NL H 23 h( k ) Q( k ) z z3 66 1 dz , R k 1 h( k 1) R NL NL h( k ) NL h( k ) h( k ) z RQ66( k ) z R R z dz , k 1 h( k 1) NL 21 H 21,11 h( k ) (k ) Q66 z z4 1 dz , R k 1 h( k 1) R NL h( k ) h( k ) (k ) (k ) (k ) NL NL Q44 Q44 Q22 z z5 z z6 z3 8 , , dz H dz H dz , 23,11 20,22 R 12 R 36 k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R z H 22,11 21,22 H k 1 h( k 1) (k ) Q22 z4 dz , Rz H 22,22 NL H 12,12 h( k ) H 30,2 (k ) Q22 z5 dz , R z 12 H 23,22 NL h( k ) k 1 h( k 1) (k ) Q22 z6 dz , R z 36 h( k ) (k ) (k ) Q44 z4 z Q21 dz , R R k 1 h( k 1) R z NL H11,12 h( k ) Q( k ) z Q( k ) z 44 1 21 dz , R R 12 k 1 h( k 1) R z NL k 1 h( k 1) (k ) (k ) Q44 z3 z Q21 dz , R R k 1 h( k 1) R z NL H10,12 h( k ) H 13,12 h( k ) (k ) (k ) Q44 z6 z Q21 dz , R R 36 k 1 h( k 1) R z NL h( k ) z2 (k ) z (k ) (k ) 2z dz , Q22 RQ44 A66 Q66 3 2 R z k 1 h( k 1) NL h( k ) Q22( k ) z RQ66( k ) Q66( k ) z z (k ) z Q dz , 23 R z R z k 1 h( k 1) R z NL H 31,2 NL h( k ) NL h( k ) (k ) Q22 RQ66( k ) Q66( k ) z z z (k ) z Q dz 23 R z R z k 1 h( k 1) R z H 32,2 H 30 H 30,11 k 1 h( k 1) h( k ) (k ) Q22 dz , Rz h( k ) Q( k ) H 22 Q23( k ) dz , k 1 h( k 1) R z 31 NL h( k ) h( k ) (k ) Q22 (k ) Q23 zdz , k 1 h( k 1) R z NL H 32 h( k ) NL NL Q( k ) Q( k ) Q( k ) z z z z2 9 55 1 dz , H 31,11 55 1 zdz , H 32,11 55 1 dz , R R R k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R NL P.7 30,22 H H 10,1 h( k ) NL Q66( k ) dz , Rz k 1 h( k 1) H h( k ) NL H 20,2 h( k ) k 1 h( k 1) H k 1 h( k 1) Q66( k ) zdz , Rz H (k ) (k ) z Q21 Q 55 R 2R k 1 h( k 1) 23,2 h( k ) Q( k ) 21 dz , k 1 h( k 1) R NL H NL H h( k ) NL H12,1 22,2 31,22 Q66(k ) Q22(k ) z zdz , 11,1 32,22 NL h( k ) k 1 h( k 1) Q66( k ) z dz , Rz h( k ) (k ) (k ) z Q21 Q z dz , 55 R R k 1 h( k 1) NL h( k ) (k ) (k ) z Q21 z z2 Q 55 dz , R 3 R k 1 h( k 1) NL H13,1 NL dz , Rz H 21,2 h( k ) RQ (k ) 66 k 1 h( k 1) Q22( k ) z dz , Rz h( k ) (k ) z2 (k ) z Q Rz Q dz , 66 22 2 Rz k 1 h( k 1) NL h( k ) (k ) z z3 (k ) z Q R Q dz , 66 22 Rz k 1 h( k 1) 3 NL h/ H To A21 A22 A23 z To dz , h H 49 R 1 , 2R h/2 H Tin h/2 A 21 h H 59 R 1 , 2R A22 A23 z Tin dz h/ h( k ) (k ) Q22 z RQ32( k ) z 1 dz , R z R k 1 h( k 1) R z NL 10 H 30 h( k ) Q22( k ) z RQ32( k ) z z z (k ) (k ) Q z 23 1 RQ33 1 dz , Rz R R k 1 h( k 1) R z NL H 10 31 h( k ) Q22( k ) z RQ32( k ) z z3 z (k ) (k ) Q z 23 RQ33 1 z dz , Rz R R k 1 h( k 1) R z NL H 10 32 h( k ) H 10 30,11 Q( k ) z 55 1 zdz , R k 1 h( k 1) R H 10 32,11 Q( k ) z z3 55 1 dz , R k 1 h( k 1) R H H 10 32,22 10 11,1 NL H h( k ) NL NL h( k ) k 1 h( k 1) h( k ) Q66( k ) z dz , Rz H 10 30,22 NL h( k ) k 1 h( k 1) Q66( k ) zdz , Rz H (k ) (k ) Q21 z z Q z z Q31( k ) 1 z dz , 55 R R R k 1 h( k 1) NL 10 31,11 10 10,1 H h( k ) h( k ) Q55( k ) z 1 z dz , R k 1 h( k 1) R NL 10 31,22 NL h( k ) k 1 h( k 1) Q66( k ) z dz , Rz (k ) Q21 z z Q31( k ) 1 dz , R k 1 h( k 1) R NL P.8 H 10 12,1 H 10 13,1 H 10 20,2 H 10 21,2 h( k ) (k ) z Q21( k ) z z z2 (k ) Q z Q 31 dz , 55 R R R k 1 h( k 1) NL h( k ) (k ) z z Q21( k ) z z z3 (k ) Q Q 55 R R 31 R dz , k 1 h( k 1) NL h( k ) (k ) Q66( k ) z Q22 z RQ32( k ) z 1 dz , R z R z R k 1 h( k 1) R z NL h( k ) (k ) Q66( k ) Q22 z RQ32( k ) z 1 zdz , R z R z R k 1 h( k 1) R z NL h( k ) (k ) (k ) Q66 RQ32( k ) Q22 z z 1 z dz , k 1 h( k 1) R z R z R z R NL 10 H 22,2 H 10 23,2 H 10 h( k ) (k ) (k ) Q66 RQ32( k ) Q22 z 2z z z3 R R z 3 R z 3 R z R dz , k 1 h( k 1) NL h( k ) , H h h H 410 R 1 2R , NL (k ) z h h 10 (k ) (k ) H Q21 Q22 Q23 z Q31( k ) Q32( k ) Q33( k ) R 1 z To dz , R 1 To 2R R k 1 h( k 1) 10 Tin NL h( k ) Q k 1 h( k 1) (k ) 21 z Q22( k ) Q23( k ) z Q31( k ) Q32( k ) Q33( k ) R 1 z Tin dz R h( k ) (k ) Q22 z RQ32( k ) z 1 zdz , R z R k 1 h( k 1) R z NL 11 H 30 h( k ) (k ) (k ) Q22 RQ32( k ) z Q23 z z dz , R z R k 1 h( k 1) R z NL 11 H 31 h( k ) Q( k ) z RQ32( k ) z z (k ) H 22 Q23 dz , R z R k 1 h( k 1) R z 11 32 H 11 31,11 H 11 31,22 NL NL h( k ) NL h( k ) H 11 30,11 h( k ) h( k ) Q55( k ) z z2 dz , R k 1 h( k 1) R NL h( k ) NL NL Q(k ) Q( k ) Q66( k ) z z z3 z z4 11 11 55 1 dz , H 32,11 55 1 dz , H 30,22 dz , R R k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R k 1 h( k 1) R z k 1 h( k 1) h h NL ( k ) NL ( k ) Q( k ) z Q66( k ) z Q66( k ) z z 11 11 dz , H 32,22 dz , H10,1 21 Q31( k ) 1 zdz Rz R k 1 h( k 1) R z k 1 h( k 1) R P.9 H 11 11,1 H 11 12,1 h( k ) (k ) Q55( k ) z Q21 z z Q31( k ) 1 z dz , R R R k 1 h( k 1) NL h( k ) (k ) (k ) z Q21 z z z3 (k ) Q Q 55 31 dz , R R R k 1 h( k 1) NL h( k ) (k ) Q55( k ) z Q21 z Q31( k ) z z 1 dz , R R R k 1 h( k 1) NL 11 H13,1 h( k ) (k ) (k ) Q66 z RQ32( k ) Q22 z z 1 zdz , k 1 h( k 1) R z R z R z R NL 11 H 20,2 h( k ) (k ) (k ) Q66 z RQ32( k ) Q22 z z 1 z dz , k 1 h( k 1) R z R z R z R NL H 11 21,2 H 11 22,2 (k ) Q( k ) RQ32( k ) Q22 z z z z3 66 R 1 dz , R z R z R k 1 h( k 1) R z NL h( k ) h( k ) (k ) (k ) Q66 RQ32( k ) Q22 z z z R z R z R z 3 R z R dz , k 1 h( k 1) NL 11 H 23,2 R h h H 1 R , H 511 h( k ) (k ) z (k ) (k ) z Q Q Q Q31( k ) Q32( k ) Q33( k ) 1 Rz z To dz , 22 23 21 R k 1 h( k 1) NL 11 HTo h( k ) (k ) z (k ) (k ) z Q Q Q Q31( k ) Q32( k ) Q33( k ) 1 Rz z Tin dz 22 23 21 R k 1 h( k 1) NL 11 H Tin 11 R h h 1 R ,