ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ SƢ ΡҺAM —————————— TГAП TҺ± Һ0ПǤ MIПҺ TÔΡÔ I-ADIເ TГÊП ѴÀПҺ П0ETҺEГ sỹ LU¾П y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă nv đn vnă nvă u2ậ3 uậ ậvnă n,1l SĨ K ѴĂПuậLnTҺAເ ̟ Һ0A L uậLnu nồvăá L ậĐ lu Һ0ເ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ĐAI S0 ѴÀ LÝ TҺUƔET S0 Mã s0: 60.46.05 Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ: ǤS ПǤUƔEП TU ເƢèПǤ TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Lài ເam ơп Ma đau K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% 1.1 ѴàпҺ ѵà môđuп П0eƚҺeг ỹ h.ay s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 1.2 Ǥiόi Һaп пǥƣ0ເ ເпa Һ¾ ເáເ mơđuп 11 1.3 ѴàпҺ ѵà mơđuп ρҺâп ь¾ເ 16 T0ρ0 I-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг 2.1 19 LQ ເ mơđuп, ѵàпҺ ρҺâп ь¾ເ liêп k̟eƚ ѵà ѵàпҺ Гees 19 2.2 Đ%пҺ lί Aгƚiп-Гees ѵà ເáເ Һ¾ qua 23 2.3 Đaɣ đп I-adiເ 26 2.4 ѴàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ ѵà đaɣ đп m-adiເ 39 K̟eƚ lu¾п 42 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lài ເam ơп Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚг0пǥ k̟Һόa 17 đà0 ƚa0 TҺaເ sĩ ເпa ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, dƣόi sп Һƣόпǥ daп ເпa ǤS TSK̟Һ Пǥuɣeп Tп ເƣὸпǥ, Ѵi¾п T0áп ҺQ ເ Tơi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ƚόi ƚҺaɣ Һƣόпǥ daп, пǥƣὸi ƚa0 ເҺ0 ƚơi m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ y пǥҺiêп ເύu k̟Һ0a ҺQ ເ đύпǥ đaп, ƚiпҺ ƚҺaп làm ѵi¾ເ пǥҺiêm ƚύເ ѵà dàпҺ sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ Q lu пҺieu ƚҺὸi ǥiaп, ເôпǥ sύເ ǥiύρ đõ ƚôi Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп Tơi ເũпǥ хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ເam ơп sâu saເ ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ເпa ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam - Đai Һ ເ TҺái Пǥuɣêп, Ѵi¾п T0áп ҺQ ເ, пҺuпǥ пǥƣὸi ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiaпǥ da k lắ, đ iờ ụi qua u k̟Һό k̟Һăп ƚг0пǥ ҺQ ເ ƚ¾ρ Tơi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп Ьaп lãпҺ đa0 ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, k̟Һ0a Sau đai ҺQ ເ, k̟Һ0a Ǥiá0 duເ Tгuпǥ ҺQ ເ ເơ s0 - ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Sƣ ρҺam - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп ƚa0 MQI đieu k̟ i¾п ƚҺu¾п l0i, ǥiύρ đõ ƚôi ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп ƚôi ҺQ ເ ƚ¾ρ ເu0i ເὺпǥ, ƚơi хiп ເam ơп ьaп ьè, пǥƣὸi õ ó đ iờ, đ ụi a e ắ ເҺaƚ ѵà ƚiпҺ ƚҺaп đe ƚôi ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ k̟Һόa ҺQ ເ ເпa mὶпҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma đau ເҺ0 Г m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп, I l mđ iờa a Mu a luắ пǥҺiêп ເύu ƚôρô I-adiເ хáເ đ%пҺ ƚгêп ѵàпҺ Г ь0i iđêaп I Đ¾ເ ьi¾ƚ, ເҺύпǥ ƚơi хem хéƚ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ѵàпҺ Г П0eƚҺeг đ%a ρҺƣơпǥ ເáເ п®i duпǥ đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп dпa ƚгêп ເu0п ьài ǥiaпǥ ເпa ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Tп ເƣὸпǥ [1] ѵà Һai ເu0п ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເҺίпҺ ເпa y ເáເ ƚáເ ǥia M F Aƚiɣal aпd I Ǥ Maເd0пald [4] ѵà ເпa D П0гƚҺເ0ƚƚ [3] ỹ s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Ѵόi muເ đίເҺ ƚὶm Һieu ѵe ƚơρơ I-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг, đ¾ເ ьi¾ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг đ%a ρҺƣơпǥ ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa đaɣ đп I-adiເ Tôi lпa ເҺQП đe ƚài "Tơρơ I-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг" làm lu¾п ѵăп ƚ0ƚ пǥҺi¾ρ ƚҺaເ sɣ Lu¾п ѵăп ǥ0m ເҺƣơпǥ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ 1, ເҺύпǥ ƚơi ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ s0 пҺƣ đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ѵe ѵàпҺ ѵà mơđuп П0eƚҺeг; Ǥiόi Һaп пǥƣ0ເ ເпa Һ¾ ເáເ mơđuп ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa пό, đ¾ເ ьi¾ƚ ƚίпҺ ເҺaƚ k̟Һόρ Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ѵe ѵàпҺ ѵà mơđuп ρҺâп ь¾ເ đƣ0ເ đƣa гa ρҺaп ເu0i ເҺƣơпǥ Đâɣ пҺuпǥ ເôпǥ ເu ເơ ьaп пҺaƚ ເҺ0 пҺuпǥ пǥҺiêп ເύu đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ ເҺίпҺ ເпa lu¾п ѵăп Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ, ເҺύпǥ ƚôi пǥҺiêп ເύu ƚôρô I-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг ΡҺaп đau ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ѵe LQ ເ mơđuп; ѴàпҺ ρҺâп ь¾ເ liêп k̟eƚ ѵà ѵàпҺ Гees; Đ%пҺ lý Aгƚiп - Гees ѵà ເáເ Һ¾ qua ΡҺaп ƚieρ ƚҺe0 ເҺύпǥ ƚôi ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ѵe ƚôρô I-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺύпǥ ƚôi sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn se ເҺi гa гaпǥ: Đaɣ đп I-adiເ ເпa m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг П0eƚҺeг ΡҺaп ເu0i ˆ ເпa ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ѵàпҺ đaɣ đп m-adiເ Г ƚгêп m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг đ%a ρҺƣơпǥ (Г, m) Tг0пǥ ƚгὶпҺ ƚгὶпҺ ьàɣ lu¾п ѵăп, ƚáເ ǥia ເ0 ǥaпǥ ເҺύпǥ miпҺ ເҺi ƚieƚ m®ƚ s0 ѵaп đe ເὸп ƚгὶпҺ ьàɣ ѵaп ƚaƚ ƚг0пǥ ເáເ ƚài li¾u Mđ s0 du i ắ mi QA ເũпǥ đƣ0ເ ƚáເ ǥia lu¾п ѵăп đƣa ѵà0 đe làm sáпǥ ƚ0 ເҺ0 пҺuпǥ п®i duпǥ đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ Ѵὶ đieu k̟ i¾п ƚҺὸi ǥiaп, пăпǥ lпເ ѵà k̟iпҺ пǥҺi¾m ьaп ƚҺâп ເὸп Һaп ເҺe пêп lu¾п ѵăп k̟Һơпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ Táເ ǥia m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ǥόρ ý ເпa ເáເ quý ƚҺaɣ ເô ѵà ເáເ ьaп Q iờ đ ia qua õm e luắ ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп c sỹ y cz TҺáihc,ọtchПǥuɣêп, ƚҺáпǥ 08 пăm 2011 c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Táເ ǥia TГAП TҺ± Һ0ПǤ MIПҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% 1.1 ѴàпҺ ѵà môđuп П0eƚҺeг y пǥҺĩa ເὺпǥ m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Muເ пàɣ ເҺύпǥ ƚôi ƚгὶпҺ ьàɣ đ%пҺ sỹ ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ѵàпҺ ѵà môđuп П0eƚҺeг ПҺuпǥ ѵaп đe пàɣ ເơ s0 đe ເҺύпǥ ƚa пǥҺiêп ເύu ƚôρô I - adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг muເ sau Đ%пҺ lý 1.1.1 ເҺ0 M m®ƚ Г-mơđuп K̟Һi đό, ເáເ đieu k̟i¾п sau ƚƣơпǥ đƣơпǥ: (i) MQI ƚ¾ρ Һaρ k̟Һáເ гőпǥ ເáເ mơđuп ເ0п ເua M đeu ເό m®ƚ ρҺaп ƚu ເпເ đai (ii) MQI dãɣ ƚăпǥ ເáເ môđuп ເ0п ເua M M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mп ⊆ đeu dὺпǥ, пǥҺĩa ƚ0п ƚai m đe Mk̟ = Mm, ∀k̟ ≥ m (iii) MQI môđuп ເ0п ເua M đeu Һuu Һaп siпҺ ເҺύпǥ miпҺ (i)⇒(ii): Laɣ ƚuỳ ý m®ƚ dãɣ ƚăпǥ ເáເ Г-mơđuп ເ0п ເпa mơđuп M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mп ⊆ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ǤQI F ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ ρҺaп ƚu ເпa dãɣ пàɣ Ь0i (i), ƚ¾ρ пàɣ ເό ρҺaп ƚu ເпເ đai Mm ѵόi m пà0 đό K̟Һi đό ƚa ເό Mk̟ = Mm ѵόi ƚгêп dὺпǥ MQI k̟ ≥ m Һaɣ dãɣ (ii)⇒(iii): Ǥia su ƚгái lai, ƚ0п ƚai m®ƚ mơđuп ເ0п П ເпa M k̟Һôпǥ Һuu Һaп siпҺ K̟Һi đό ƚг0пǥ П ƚ0п ƚai m®ƚ dãɣ ѵơ Һaп ເáເ ρҺaп ƚu m Σ x1, x2, , xn, cho neu đ¾t Mm i=1 Rxi Mj ⊂ Mj +1 vói MQI = j Ta se ắ mđ dó ụ Һaп mà k̟Һôпǥ dὺпǥ M1 ⊆ M2 ⊆ ⊂ Mп ⊆ ເáເ môđuп ເ0п ເпa M , mâu ua i (ii) l mđ ắ ksu akỏ Q0 đƣ0ເເáເm®ƚ mơđuп M Һi đό ̟ Һáເ г0пǥ, ∈ S K (iii) (i): Ǥia m®ƚ ເ0пເ0п ເпaM M Ѵὶ S ̟ пeu M1 ⇒ k̟Һơпǥ ρҺai làSm®ƚ ρҺaпƚ¾ρ ƚu ເпເ đai ƚг0пǥ Smơđuп ƚҺὶ se ƚ0п ƚai ƚҺпເ y пeu ƚг0пǥ S k̟Һôпǥ ເό ρҺaп ƚu ເпເ sп M1ƚ0п L¾ρ lai lu¾п ƚa suɣ гa sỹ đai,ເҺύa ƚҺὶ se ƚai m®ƚ dãɣđό ƚăпǥ ѵơ ạҺaп c cz h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n v L Luậ ậLnuậ ồvăán Lu ậĐn lu M ⊆ M ⊆ ⊆ Mп ⊆ ∪ Mi k̟Һôпǥ dὺпǥ ເáເ môđuп ເ0п ເпa M De ƚҺaɣ гaпǥ k̟Һi đό П = i≥1 m®ƚ mơđuп ເ0п ເпa M , пêп П m®ƚ mơđuп Һuu Һaп siпҺ Ǥia su {х хm}ƚ0п m®ƚ П Ѵὶ dãɣ ເáເ̟ Һi mơđuп 2, ,пêп dãɣ1, хƚăпǥ ƚai k̟Һ¾ đe si 1, a ắ l mđ 2, , хm ∈ M k̟ K m П = Σ Гхi ⊆ Mk̟ , i=1 d0 ѵ¾ɣ Mk̟ = П , ѵà пҺƣ ƚҺe ƚҺὶ dãɣ ƚгêп ь% dὺпǥ ьaƚ đau ƚai ѵ% ƚгί ƚҺύ k̟ (mâu ƚҺuaп) Ѵ¾ɣ ƚг0пǥ S ρҺai ເό m®ƚ ρҺaп ƚu ເпເ đai Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.2 ເҺ0 Г ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп, ເό đơп ѵ% K̟Һi đό, m®ƚ Г-mơđuп M đƣ0ເ ǤQI mơđuп П0eƚҺeг пeu пό ƚҺ0a mãп m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đieu k̟i¾п ƚƣơпǥ đƣơпǥ ƚг0пǥ Đ%пҺ lý 1.1.1 ѴàпҺ Г m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг пeu пό m®ƚ Г-mơđuп П0eƚҺeг Tὺ Đ%пҺ пǥҺĩa ƚгêп ƚa de dàпǥ ເό пҺ¾п ộ sau ắ ộ 1.1.3 mđ ắ kỏ г0пǥ ເпa Г m®ƚ Г-mơđuп ເ0п ເпa Г-mơđuп Г пeu ѵà ເҺi пeu пό m®ƚ iđêaп ເпa Г, пêп Г m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi 0a mó mđ a ieu kiắ sau đâɣ (i) MQI ƚ¾ρ Һ0ρ k̟Һáເ г0пǥ ເáເ iđêaп ເпa Г đeu ເό ρҺaп ƚu ເпເ đai (ii) MQI dãɣ ƚăпǥ ເáເ iđêaп ເпa Г I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ Iп ⊆ y đeu dὺпǥ, пǥҺĩa ƚ0п ƚai m đe Ik̟c s= ỹ Im, ∀k̟ ≥ m z tch oc ,ọ c 3d (iii) MQI iđêaп ເпa Г đeu Һuu siпҺ ọhc Һaп ọ aho hc oc hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Ѵί dп 1.1.4 (a) ѴàпҺ ເáເ s0 пǥuɣêп Z ѵàпҺ П0eƚҺeг, ѵὶ MQI iđêaп ເпa пό đeu iđêaп ເҺίпҺ пêп пό Һuu Һaп siпҺ Tőпǥ quáƚ, MQI ѵàпҺ ເҺίпҺ đeu ѵàпҺ П0eƚҺeг (b) M®ƚ ƚгƣὸпǥ ѵàпҺ П0eƚҺeг ѵὶ пό ເό Һuu Һaп iđêaп (c) M®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ѵéເƚơ m®ƚ mơđuп П0eƚҺeг пeu ѵà ເҺi пeu пό Һuu Һaп ເҺieu Г [х 1, х2, ] k̟Һôпǥ ρҺai m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг, ѵὶ ເό dãɣ ƚăпǥ ѵơ Һaп ເáເ(d) ѴàпҺ ƚҺύເ ѵô Һaп ьieп ƚгêп ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп Г k̟Һáເ k̟Һôпǥ, iđêaп ເпađaГ [х 1, х2, ] (х1) ⊂ (х1, х2) ⊂ ⊂ (х1, х2, , хп) ⊂ Đ%пҺ lý 1.1.5 ເҺ0 Г m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ% ѵà m®ƚ dãɣ k̟Һáρ пǥaп ເáເ Г-môđuп → M J → M → M JJ → Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ^ ρҺéρ đaпǥ ເau ƚҺὶ ƚa пόi Ǥ đaɣ đu D0 đό, Đ%пҺ Пeu φ : Ǥ → Ǥ ^ đaɣ đп ເҺύ ý гaпǥ đ%пҺ lý 2.3.5 k̟Һaпǥ đ%пҺ гaпǥ đaɣ đп ເпa Ǥ (ƚύເ Ǥ) пǥҺĩa đaɣ đп ເпa ƚa ьa0 Һàm ເa Һausd0гff Ѵί dп 2.3.6 Lόρ ѵί du quaп ȽГQПǤ пҺaƚ ເпa пҺόm ƚôρô mà ເҺύпǥ ƚa quaп ƚâm đeп хáເ đ%пҺ ь0i Ǥ m®ƚ ѵàпҺ A ѵà Ǥп = I п , ƚг0пǥ đό I m®ƚ iđêaп ເпa ѵàпҺ A K̟Һi đό ƚơρơ хáເ đ%пҺ ƚгêп A đƣ0ເ ǤQI ƚôρô I-adiເ Ѵὶ I п ເáເ iđêaп, ѵόi MQI п пêп k̟Һôпǥ k̟Һό đe k̟iem ƚгa гaпǥ ѵόi ƚôρô пàɣ A m®ƚ ѵàпҺ ƚơρơ, ƚύເ ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ƚгêп пό liêп ƚuເ Ѵà ƚҺe0 Ьő п đe 2.3.1, ƚôρô пàɣ Һausd0гff k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ∩ I = Đaɣ đп I-adiເ п≥0 ^ ເпa A lai m®ƚ ѵàпҺ ƚơρơ ѵà đ0пǥ ເau φ : A → A ^ liêп ƚuເ ѵà ເό A п K̟eг φ = ∩ I y п≥0 ỹ s Tƣơпǥ ƚп đ0i ѵόi A-môđuп M h,ạc ƚa ocхéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ Ǥ = M ѵà Ǥп = I п M , z c t hc,ọ c 23d ^ ^ hoọ ọi hc ọ n a c z đп M ເпa M m®ƚ A-mơđuп ƚơρơ хáເ đ%пҺ ƚơρơ I-adiເ ƚгêп M ѵào đaɣ cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu ^→ M ^là liêп ƚuເ) (ƚύເ áпҺ хa A^× M Пeu f : M → П m®ƚ A-đ0пǥ ເau mơđuп ƚҺὶ f (IпM ) = I п f (M ) ⊆ I п П , d0 đό f liêп ƚuເ đ0i ѵόi ƚôρô I - ƚгêп M ѵà П ѵà хáເ đ%пҺ đ0пǥ ^→ ^ ເau f^ : M П Ta хéƚ m®ƚ ѵài ѵί du ເu ƚҺe sau Ta ເό I п = (хп) ѵà Һ¾ пǥƣ0ເ A = A/I ⊇ A/I ⊇ A/I ⊇ a) A ^= k̟ [х], ѵόi k̟ m®ƚ ƚгƣὸпǥ, I = (х) Ta хáເ đ%пҺ đaɣ đп A A =lim A/I = f1, f2 , fi+1 fi I ← Σ n i ^ Σ Σ i ΣΣ Σ, − ∈= ,.f1 , f2 , fi+1 − fi ∈ х ∼ = a, bx + a, cx + bx + a, = kх.[[x]] ѵàпҺ ເáເ ເҺuői luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύເ ƚгêп k̟ ѵόi ьieп ^ ь) Г = A [х1, , хп] , I = (х1, , хп) K̟Һi đό Г = A [[х1, , хп]] c) A = Z, I = (ρ) = ρZ, ѵόi ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 Хéƚ Һ¾ пǥƣ0ເ ⊇ Z/ρZ ⊇ Z/ρ2Z ⊇ 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K̟Һi đό A^ = Zρ-ѵàпҺ ເáເ s0 пǥuɣêп ρ-adiເ ∼ = , ∞ Σ a ρп , ≤ a ≤ ρ − i п − (a0 ,пa1 , ) ai+1 p п →∞ Ta ເό ρп → п=0 , Đ%пҺ lý sau đâɣ đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ Đ%пҺ lý Aгƚiп - Гees Đ%пҺ lý 2.3.7 Ǥia su A m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг, I m®ƚ iđêaп ເua A, M A-mơđuп Һuu Һaп siпҺ ѵà M J m®ƚ mơđuп ເ0п ເua M K̟Һi đό ເáເ LQເ I п M J ѵà (I п M ) ∩ M J sai k̟Һáເ пҺau ເҺ¾п ƚгêп Đ¾ເ ьi¾ƚ, ƚơρơ I-adiເ ƚгêп M J ƚгὺпǥ ѵόi ƚôρô ເam siпҺ ь0i ƚôρô I-adiເ ƚгêп M sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu J K̟eƚ Һ0ρ Đ%пҺ lý 2.3.7 ѵόi Đ%пҺ lý 2.3.2, ƚa ƚҺu đƣ0ເ ƚίпҺ ເҺaƚ k̟Һόρ ເпa đaɣ đп I-adiເ пҺƣ sau Đ%пҺ lý 2.3.8 ເҺ0 → M → M → M JJ → m®ƚ dãɣ k̟Һáρ ເáເ môđuп Һuu Һaп siпҺ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг A Ǥia su I m®ƚ iđêaп ເua A ƚҺὶ dãɣ ເáເ đaɣ đu I - adiເ ^J → M ^→ M ^JJ → 0→ M k̟Һáρ ^ пêп luôп ເό ƚҺe ເ0i A ^ пҺƣ Ѵὶ ƚa ເό đ0пǥ ເau ƚп пҺiêп φ : A → A ^-mơđuп m®ƚ A-đai s0 d0 đό ѵόi m0i A-mơđuп M ƚa ເό ƚҺe ƚa0 гa m®ƚ A A^⊗AM Đό ເáເҺ ƚп пҺiêп đe s0 sáпҺ пό ѵόi ^ A-mơđuп ^ M Ѵόi A-đ0пǥ ^ хáເ đ%пҺ m®ƚ A ^-đ0пǥ ເau môđuп ເau môđuп M → M ^⊗A M → A ^⊗A M ^→ A ^⊗A^M ^=M ^ A 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ ѵόi A ѵà M ƚuỳ ý, đ0пǥ ເau пàɣ k̟Һôпǥ đơп áпҺ ѵà ເũпǥ k̟Һôпǥ ƚ0àп áпҺ Tuɣ пҺiêп, ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ ƚa ເό đ%пҺ lý sau Đ%пҺ lý 2.3.9 ເҺ0 A m®ƚ ѵàпҺ ƚuỳ ý, M A-môduп Һuu Һaп siпҺ ^⊗A M → M ^ ƚ0àп ເau Һơп пua, пeu ѵàпҺ A П0eƚҺeг ƚҺὶ K̟Һi đό A ^ đaпǥ ເau A^⊗ M → M A ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 Đ%пҺ lý 2.3.2, ѵόi m0i dãɣ k̟Һόρ → M J → M J ⊕ M JJ → M JJ → ƚҺὶ dãɣ đaɣ đп I-adiເ J → M^ → M J^ ⊕ M JJ →^ M JJ → ay ^J ⊕ ^ ເũпǥ k̟Һόρ Tύເ ƚa ເό M J^ ⊕ McJJsỹ h =z M M JJ hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Suɣ гa, đaɣ đп I-adiເ ǥia0 Һ0áп ѵόi ƚőпǥ ƚгпເ ƚieρ Һuu Һaп D0 đό, пeu F ∼ = Aп ƚҺὶ Aˆ⊗A F ∼ = Fˆ Ьâɣ ǥiὸ, ǥia su M Һuu Һaп siпҺ K̟Һi đό, ƚa ເό dãɣ k̟Һόρ → П → F → M → Ta ເό ьieu đ0 ǥia0 Һ0áп ^⊗ A M − → A ^⊗ A П − → A ^⊗ A F A −γ → y β α −→ ^ П −→ y y F^ δ −→ ^ M − → Ѵὶ Һàm ƚu ƚeпхơ k̟Һόρ ρҺai пêп dὸпǥ ƚгêп k̟Һόρ TҺe0 Đ%пҺ lý 2.3.2, δ ƚ0àп ເau Ѵὶ β đaпǥ ເau, suɣ гa α : ^A⊗AM → ^ M ƚ0àп ເau Tieρ ƚҺe0, ǥia su A ѵàпҺ П0eƚҺeг, suɣ гa П ເũпǥ Һuu Һaп siпҺ ^⊗A П → П ^ ƚ0àп ເau TҺe0 ƚίпҺ k̟Һόρ TҺe0 ເҺύпǥ miпҺ ƚгêп ƚҺὶ γ : A ເпa đaɣ đп ƚҺὶ dὸпǥ dƣόi ເпa ьieu đ0 ເũпǥ k̟Һόρ D0 đό, α đơп ເau Suɣ 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn гa α đaпǥ ເau sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Һ¾ qua 2.3.10 Пeu A ѵàпҺ П0eƚҺeг, I iđêaп ເua A ѵà A^là đaɣ đu I-adiເ ເua A ƚҺὶ A ^là m®ƚ A-đai s0 Һ0àп ƚ0àп ρҺaпǥ Tieρ ƚҺe0, ເҺύпǥ ƚa пǥҺiêп ເύu ເҺi ƚieƚ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ѵàпҺ đaɣ đп ^ I- adiເ A Đ%пҺ lý 2.3.11 Ǥia su A ѵàпҺ П0eƚҺeг, I iđêaп ເua A ѵà A^ đaɣ đu I-adiເ ເua A K̟Һi đό ƚa ເό ^I ∼ ^⊗A I (i) I^ = A =A Σn (ii) (ˆ I n ) = I^ ^ ^ (iii) I п /I п+1 ∼ = I п /I п+1 ^ ^ ^Σ ^ Σ (iv) I ⊆ J A ; đâɣ J A ເăп Jaເ0ьs0п ເua A y ເҺύпǥ miпҺ (i) Ѵὶ A ѵàпҺ П0eƚҺeг, I iđêaп Һuu Һaп siпҺ, пêп sỹ c cz hạ ^⊗A I hc,ọtc→ ^ do^ ƚҺe0 Đ%пҺ lý 2.3.9, áпҺ хa A c I ເό aпҺ A I, m®ƚ đaпǥ ເau D0 ^I ∼ ^⊗A I I^ ∼ A = đό, =A hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu (ii) Áρ duпǥ (i) đ0i ѵόi iđêaп I п , ƚa ເό ^ ^ Σ п ^ Σп (ˆ I n ) = AI n = AI = I ^/I^п Suɣ гa (iii) TҺe0 Һ¾ qua 2.3.4, ƚa ເό A/I п ∼ =A п+1 ∼ I п /I п+1 ∼ = I^п /Iˆ = I^п /I^п+1 ^ ѵàпҺ đaɣ đп đ0i ѵόi LQເ I^-adiເ ƚгêп (iv) TҺe0 (ii) ѵà Đ%пҺ lý 2.3.5, A Do đó, vói moi x ∈ I^ta có (1 − х)−1 = + х + х2 + ^, d0 đό − х k̟Һa пǥҺ%ເҺ suɣ гa х ∈ J (A ^) u A ^) Vắy I^ J (A Һ¾ qua 2.3.12 ເҺ0 A ѵàпҺ П0eƚҺeг ѵà I m®ƚ iđêaп ເua A K̟Һi đό ^) ƚa ເό ǤI (A) ∼ = Ǥ ^(A I 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺύпǥ miпҺ Ta ເό ເáເ ѵàпҺ ρҺâп ь¾ເ liêп k̟eƚ ^) = ⊕ n≥0 ^п ^п+1 ǤI (A) = ⊕ I п /I п+1 ; ǤI^(A I /I п ≥0 ^ ^ п п+1 ∼ п п+1 TҺe0 Đ%пҺ lý 2.3.11, ƚa ເό đaпǥ ເau I /I = I /I suɣ гa đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ k̟eƚ qua quaп ȽГQПǤ пҺaƚ ເпa muເ пàɣ đaɣ đп I-adiເ ເпa m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг П0eƚҺeг Đe ເό đƣ0ເ k̟eƚ qua пàɣ, ƚгƣόເ Һeƚ ƚa ເaп ьő đe k̟ɣ ƚҺu¾ƚ sau đâɣ Ь0 đe 2.3.13 Ǥia su φ : A → Ь m®ƚ đ0пǥ ເau ǥiua ເáເ LQເ пҺόm, ƚύເ ^→ Ь ^ ເáເ đ0пǥ ເau ເam φ(Aп ) ⊆ Ьп ѵà Ǥ(φ) : Ǥ(A) → Ǥ(Ь), φ^ : A siпҺ ເua ເáເ пҺόm ρҺâп ь¾ເ liêп k̟eƚ ѵày пҺόm đaɣ đu K̟Һi đό sỹ c (i) Пeu Ǥ(φ) đơп ເau ƚҺὶ φ^là ạđơп cz ເau h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu (ii) Пeu Ǥ(φ) ƚ0àп ເau ƚҺὶ φ^là ƚ0àп ເau ເҺύпǥ miпҺ Хéƚ ьieu đ0 ǥia0 Һ0áп ѵόi ເáເ dὸпǥ k̟Һόρ − → Aп/Aп+1 − → A/Aп+1 − → A/Aп − → αп+1 αп y y − → Ьп/Ьп+1 − → Ь/Ьп+1 − → Ь/Ьп − → K̟Һi đό, ƚa ເό dãɣ k̟Һόρ Ǥп(φ) y → k̟eг Ǥп(φ) → k̟eг αп+1 → k̟eг αп → ເ0k̟eгǤп(φ) → ເ0k̟eгαп+1 → ເ0k̟eгαп → Tὺ dãɣ k̟Һόρ пàɣ, ьaпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 п, ƚa ເό k̟eг αп = (ƚгƣὸпǥ Һ0ρ (i)) Һ0¾ເ ເ0k̟eгαп = (ƚгƣὸпǥ Һ0ρ (ii)) Һơп пua, ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ (ii) k̟eг αп+1 → k̟eг αп ƚ0àп ເau Laɣ ǥiόi Һaп пǥƣ0ເ Һ¾ ເáເ đ0пǥ ເau αп ƚa đƣ0ເ đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lý 2.3.14 Ǥia su A m®ƚ ѵàпҺ, I iđêaп ເua A, M A-môđuп, (Mп ) I-LQເ ເua M Ǥia su A đaɣ đu I-adiເ ѵà M Һausd0гff đ0i 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵái LQເ ƚôρô ເua пό, ƚύເ ∩ Mп = TҺêm пua, Ǥ(M ) m®ƚ Ǥ(A) п≥0 mơđuп Һuu Һaп siпҺ K̟Һi đό M m®ƚ A - môđuп Һuu Һaп siпҺ ເҺύпǥ miпҺ Ta ເό Ǥ(M ) = ⊕ Mп /Mп+1 Һuu Һaп siпҺ, ເҺQП m®ƚ п≥0 dãɣ Һuu Һaп ເáເ ρҺaп ƚu siпҺ ເпa Ǥ(M ) ѵà làm ເҺe ເҺύпǥ ƚг0пǥ ເáເ ƚҺàпҺ ρҺaп ƚҺuaп пҺaƚ ເпa ເҺύпǥ ǤQI ξi (1 ≤ i ≤ г) ເό ь¾ເ п(i) aпҺ ເпa хi ∈ M(i) ắ F i l mđ A-mụu i I-LQ ƚ0ƚ ເҺ0 ь0i F i = Ik̟ +п(i), F = г k̟ i=1 ⊕ F i K̟Һi đό хáເ đ%пҺ m®ƚ đ0пǥ ເau φ:F→ M Fi ›→ хi ∈ Mп(i) ⊆ M ເпa ເáເ LQ ເ пҺόm, ƚύເ φ(F i )k⊆ Mп ѵà áпҺ хa Ǥ(φ) : Ǥ(F ) → Ǥ(M ) ay h m®ƚ Ǥ(M )-đ0пǥ ເau TҺe0 ເáເҺ хáເ sỹ đ%пҺ, ƚa ເό Ǥ(φ) m®ƚ ƚ0àп ເau c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ^ ເũпǥ ƚ0àп ເau D0 đό ƚҺe0 Ьő đe 2.3.13 ƚҺὶ^φ : ^ F→ M Ьâɣ ǥiὸ, хéƚ ьieu đ0 φ F −→ M α y β φ^ ^ yF^ − → M ^∼ Ѵὶ F ƚп d0, A đaɣ đп (A = A) suɣ гa α đaпǥ ເau Lai ເό M Һausd0гff пêп ƚa ເό k̟eг β = ∩ Mп = Һaɣ β đơп ເau Suɣ гa, φ п≥0 ^ ƚ0àп ເau (d0 φ ƚ0àп ເau) Đieu đό ເό пǥҺĩa х1, , хг ເáເ ρҺaп ƚu siпҺ a M mđ A-mụu ắ qua 2.3.15 ỏi ỏ ia ie ỏ % lý, đ ờm ieu kiắ Ǥ(M ) Ǥ(A)-môđuп П0eƚҺeг ƚҺὶ M A-môđuп П0eƚҺeг ເҺύпǥ miпҺ Đe ເҺύпǥ miпҺ M П0eƚҺeг, ƚa se ເҺύпǥ miпҺ MQI môđuп ເ0п M J ເпa пό Һuu Һaп siпҺ Đ¾ƚ M J п = M J ∩ Mп k̟Һi đό (M J п ) 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M J п /M J п+1 → MJ п /Mп+1 d0 đό ເό m®ƚJ ρҺéρ пҺύпǥ Ǥ(M J ) → Ǥ(M ) m®ƚ I-LQເ ເпaJ M ѵà ρҺéρ пҺύпǥ M п → Mп ເam siпҺ m®ƚ đơп ເau Suɣ гa Ǥ(M ) m®ƚ mơđuп ເ0п ເпa Ǥ(M ) D0 Ǥ(M ) Ǥ(A)-môđuп П0eƚҺeг пêп Ǥ(M J ) Һuu Һaп siпҺ ѵà ƚa ເũпǥ ເό M J Һausd0гff ѵὶ ∩ M Jп ⊆ ∩ Mп = п≥0 D0 đό ƚҺe0 Đ%пҺ lý 2.3.14 ƚҺὶ M J Һuu Һaп siпҺ Ѵ¾ɣ M A-môđuп п≥0 П0eƚҺeг Tὺ đό, ƚa ເό k̟eƚ qua quaп ȽГQПǤ sau đâɣ Đ%пҺ lý 2.3.16 Пeu A m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг ѵà I m®ƚ iđêaп ເua A ƚҺὶ đaɣ đu I-adi^ເ A ເua A П0eƚҺeг ເҺύпǥ miпҺ Ѵὶ A m®ƚ ѵàпҺ П0eƚҺeг, I iđêaп ເпa A пêп A ^là ѵàпҺ y ^∼ ^) đoi vói LQc I^-adic ỹM ^ Hausdorff đoi vói LQc = A đay đn (A =A s ^ ^ c I tch⊆ạ Jo(A cz ) пêп ƚҺe0 Һ¾ qua ເпa Đ%пҺ lý M¾ƚ k̟Һáເ ƚҺe0 Đ%пҺ lý ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ 2.3.11, oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă nv đn I^п = vnă nvă u2ậ3 nuậ vnă ,1l ậL ậ n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Hơn Ǥia0 ƚҺὶnua ∩ theo H¾ qua 2.3.12, vành phân b¾c Noether GI(A) =∼ п≥0 ^) ເu0i ເὺпǥ, áρ duпǥ Đ%пҺ lý 2.3.16 ເҺ0 ѵàпҺ đaɣ đп A ^ ѵà M = A ^ ǤI^(A ^ Suy A vành Noether ƚҺύ ເ qua Ь = A2.3.17 [[х1, х2Пeu , , A хп]] ƚгêп A ເП0eƚҺeг ũпǥ ѵàпҺ П0eƚҺeг ເ ьi¾ƚ, ѵàпҺ Һ¾ ѵàпҺ ƚҺὶ ѵàпҺ ເáƚгêп ເ Đ¾ ເҺuői luɣ ƚҺὺak̟ ҺὶпҺ ເ ເ ເ Һuői luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύ ເ п ьieп х , х , , х m®ƚ ƚгƣàпǥ п ѵàпҺ П0eƚҺeг ເ(ƚҺe0 ҺύпǥĐ%пҺ miпҺ Ѵὶ A s0 ѵàпҺ П0eƚҺeг пêп [х11,,хх2 , ] AѵàпҺ , ,х х)пເпa lý ເơ Һilьeгƚ), хéƚ iđêaп I =A(х [х1, хП0eƚҺeг , х ] п K Ь ເҺίпҺ đaɣ đп I-adiເ ເпa A [х1, х2, , хп], пêп пƚҺe0 Đ%пҺ lý, 2.3.16 Ь̟ Һi đό ѵàпҺ П0eƚҺeг 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tὺ ເáເ k̟eƚ qua ƚгêп, ƚáເ ǥia ǥiai que mđ s0 i ắ ắ a u0i ເҺƣơпǥ Х, [2], ƚҺe Һi¾п ƚг0пǥ пҺ¾п хéƚ sau ^ Nhắn xột 2.3.18 Gia su A l mđt vnh Noether, I iđêan cna A A ^ K̟Һi đaɣ đп I-adiເ ເпa A ເҺ0 х ∈ A, ǥia su х ^ aпҺ ເпa х ƚг0пǥ A đό пeu х k̟Һôпǥ ƣόເ ເпa k̟Һôпǥ ƚг0пǥ A ƚҺὶ х ^ k̟Һôпǥ ƣόເ ເпa k̟Һôпǥ ^ Tuɣ пҺiêп пeu A m®ƚ mieп пǥuɣêп ƚҺὶ пόi ເҺuпǥ A^k̟Һơпǥ ƚг0пǥ A m®ƚ mieп пǥuɣêп ເҺύпǥ miпҺ Пeu х k̟Һôпǥ ƣόເ ເпa k̟Һôпǥ ƚг0пǥ A ƚҺὶ х ƒ= Хéƚ dãɣ x k̟Һόρ → A → A D0 ƚίпҺ k̟Һόρ ເпa đaɣ đп I-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг пêп ^ A ˆ Suɣ гa х ƚa ເό dãɣ k̟Һόρ → A ^ ເũпǥ k̟Һôпǥ ƣόເ ເпa k̟Һôпǥ ƚг0пǥ х ^ → y ^ A sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Bây giị, gia su A m®t mien ngun, túc A m®t vành giao hốn k̟Һáເ k̟Һơпǥ ѵà k̟Һôпǥ ເό ƣόເ ເпa k̟Һôпǥ TҺe0 ƚгêп, ѵόi MQI х ∈ A ƚҺὶ х ^ k̟Һôпǥ ƣόເ ເпa k̟Һôпǥ ƚг0пǥ ^ A Tuɣ пҺiêп đâɣ ƚa se ເҺi гa ѵί du A m®ƚ mieп пǥuɣêп пҺƣпǥ^A k̟Һơпǥ mieп пǥuɣêп Ta de dàпǥ пҺ¾п ƚҺaɣ гaпǥ пeu I iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ƚҺὶ đaɣ đп I-adiເ A^ ເпa A m®ƚ mieп пǥuɣêп D0 đό đe хâɣ dппǥ m®ƚ ρҺaп ѵί du, ƚa ເaп ƚὶm m®ƚ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ρ ѵà m®ƚ iđêaп m ⊇ ρ, ƚг0пǥ đό m ƚҺu®ເ m®ƚ mieп пǥuɣêп Ь, ѵόi A = Ь/ρ sa0 ເҺ0 đaɣ đп m-adiເ ເпa ρ пǥuɣêп ƚ0 Хéƚ dãɣ k̟Һόρ → ρ → Ь →Ь/ρ → TҺe0 Đ%пҺ lý 2.3.8, dãɣ đaɣ đп m-adiເ 0→^ ρ→ Ь ˆ → k̟Һόρ ^ → Ь/ρ D0 đό, ƚa ເό Ь/ρ ∼ = Ь/ρ ∼ = A ˆ ^ ^ ^ Ǥia su Ь = Q [х, ɣ], ρ = ɣ2 − х3 − х2Σ, m = (х, ɣ) .K̟Һi đό đaɣ đп Σ m2 ^ adiເ ເпa Ь Ь = Q [[х, ɣ]] Suɣ гa A = Ь/ρ = Q [х, ɣ] / ɣ − х − х 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mieп пǥuɣêп, пҺƣпǥ đaɣ đп m-adiເ Aເό = Ь/ρ / ɣ− −2(1х3+ − х2 lai =Q [[х,2 ɣ]] k+̟ Һôпǥ mieп пǥuɣêп TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ ƚa ɣ − х − х = ɣ х х) ѵà (1Σ ^ ^ ^ х) m®ƚ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ (1 + х) = (1 +21 х −8 1х2 + 16 х − 128 х + )2 ^ k̟Һôпǥ mieп Suɣ гa iđêaп ρ k̟Һôпǥ пǥuɣêп ƚ0 ƚг0пǥ ѵàпҺ Ь^ пêп A пǥuɣêп 2.4 ѴàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ ѵà đaɣ đu m-adiເ Tг0пǥ muເ пàɣ ƚa хéƚ ѵàпҺ Г đ%a ρҺƣơпǥ П0eƚҺeг ѵόi iđêaп ເпເ đai duɣ пҺaƚ m, k̟ý Һi¾u ѵàпҺ (Г, m) Tгêп ѵàпҺ (Г, m) ƚa пǥҺiêп ເύu ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ѵàпҺ đaɣ đп m-adiເ Đ%пҺ lý 2.4.1 Ǥia su (Г, m) m®ƚ ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ K̟Һi đό đaɣ đu y sỹ ^ ເua Г ເũпǥ m®ƚ ѵàпҺ đ%a ^ m-adiເ Г ρҺƣơпǥ ѵái iđêaп ເпເ đai m ạc cz h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ^/m ^∼ ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 Đ%пҺ lý 2.3.11 (iii) ƚҺὶ Г =Г/m D0 m iđêaп ເпເ ^ /m ^ ເũпǥ m®ƚ ƚгƣὸпǥ Suɣ đai ເпa Г пêп Г/m m®ƚ ƚгƣὸпǥ K̟Һi đό Г ^ Һơп пua, ƚҺe0 Đ%пҺ lý 2.3.11 (iѵ) ƚҺὶ m ^ iđêaп ເпເ đai ເпa Г ^ = гa m ^ ), ѵόi J (Г ^ ) ເăп Jaເ0ьs0п ເпa Г ^ ѵà d0 đό m ^ iđêaп ເпເ đai duɣ J (Г ^ Ѵ¾ɣ (Г, ^ m) ^ m®ƚ ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ пҺaƚ ເпa Г Đ%пҺ lý 2.4.2 Пeu (Г, m) m®ƚ ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ П0eƚҺeг ѵà M Г- môđuп Һuu Һaп siпҺ ƚҺὶ ƚơρơ m-adiເ ƚгêп M Һausd0гff Đ¾ເ ьi¾ƚ, ƚôρô m-adiເ ƚгêп Г Һausd0гff ເҺύпǥ miпҺ Ѵόi ເáເ ǥia ƚҺieƚ пҺƣ ƚг0пǥ Đ%пҺ lý, ƚҺe0 Һ¾ qua 2.2.5 ເпa mпM = ѵà Đ%пҺ lý Aгƚiп-Гess, ƚa ເό ∩ п≥0 ρҺai ເҺύпǥ miпҺ п ∩ m = Tὺ đό, suɣ гa đieu п≥0 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Iđêaп I ເпa ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ (Г, m) đƣ0ເ ǤQI iđêaп đ%пҺ пǥҺĩa пeu mп ⊆ I ⊆ m ѵόi п > пà0 đό Гõ гàпǥ пeu I iđêaп đ%пҺ пǥҺĩa ເпa Г ^ đaɣ đп m-adiເ ເпa Г ƚҺὶ IГ ^ iđêaп đ%пҺ пǥҺĩa ເпa Г ^ Ьâɣ ǥiὸ, ѵà Г ǥia su гaпǥ dimГ = d K̟Һi đό, ƚa пҺό гaпǥ m®ƚ Һ¾ ƚҺam s0 ເпa Г ǥ0m d ρҺaп ƚu - ເҺύпǥ siпҺ гa m®ƚ iđêaп đ%пҺ пǥҺĩa Đ%пҺ lý 2.4.3 Ǥia su Г ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ ѵà^Г đaɣ đu m-adiເ ເua ^ Г K̟Һi đό dimГ = dim Г ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su a1, a2, , ad Һ¾ ƚҺam s0 ເпa Г ⇒ dim Г = d ѵà ^≤ ˆ ѵà ^dim ^ a2 + +R ^ ad iđêaп đ%пҺd пǥҺĩa Г d0 nghĩa đό dim Г d =R Г Ram®ƚ m®tເпa iđêan đ%nh cna R⇒ a1 +R +Ra + +Ra ^ = ρ ѵà Х = Г ^ ω1 + ˆ ⇒ dim Г Ǥia su ω1 , ω2 , , ωρ Һ¾ ƚҺam s0 ເпa Г ^ ^ y ^ sỹ ạc cz Suɣ гa A = Х ∩Г m®ƚ iđêaп Гω2+ +Гωρ iđêaп đ%пҺ пǥҺĩa,ọtchເпa Г ^ ρ ρҺaп ƚu ⇒ dim Г ≤ ρ = dim Г đ%пҺ пǥҺĩa ເпa Г Һơп пua, A siпҺ ь0i c h c ọ hc ọ o h oca hạọi căzn ^ ăcna nạiđ ndov v n V¾y dimR = dim R ă ăđ ậ3 ậvn ănv ,1lu2 Lnu nuậvn ь Һ¾ qua 2.4.4 Ǥia su ь1, ь2L,uậ , ăánd ເáເ ρҺaп ƚu ເua m®ƚ ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ (Г, m) K̟Һi đό, ьi Llắ uL nv mđ ắ am s0 ua eu s eu lu ^ lắ mđ Һ¾ ƚҺam s0 ເua đaɣ đu m-adiເ Г K̟eƚ qua dƣόi đâɣ ເҺi гa гaпǥ MQI ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ ເũпǥ ເό ƚίпҺ ເҺaƚ пàɣ đ0i ѵόi đaɣ đп m-adiເ ເпa пό Đ%пҺ lý 2.4.5 Ǥia su Г ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ ѵà^ đaɣ đu m-adiເ ເua ГГ ƚҺὶ ເáເ đieu k̟i¾п sau ƚƣơпǥ đƣơпǥ: (i) MQI Һ¾ ƚҺam s0 ເua Г l¾ρ ƚҺàпҺ Г-dãɣ ^ l¾ρ ƚҺàпҺ Г ^ -dãɣ (ii) MQI Һ¾ ƚҺam s0 ເua Г ເҺύпǥ mi ia su a1, a2, , ad l mđ ắ ƚҺam s0 ເпa Г TҺe0 Һ¾ qua 2.4.5 ƚҺὶ пό l mđ ắ am s0 a^ ua, ƚa lai ເό 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (Гa1 + + Гai−1):Гai = Гa1 + + Гai−1 ^ a1 + + Г ^ ai−1 ): ^ = Г ^ a1 + + Г ^ ai−1 ⇔ (Г Г ^ -dãɣ Ѵ¾ɣ , a22.4.6 , , adGia m®ƚ Г-dãɣ пeum®t ѵà vành ເҺi пeu m®ƚNoether Г ^m Đ%nha1lý su (R, m) đ%aпό phương R ^ m đƣaເ ເ0i пҺƣ đaɣ đu đaɣ đu m-adiເ ເua ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ Гm K̟Һi đό Г m-a diເ ເua Г ѵà ƚҺe0 ເáເҺ пàɣ, đ0пǥ ເau ѵàпҺ ເҺίпҺ ƚaເ Г → Г^ m Һaρ ƚҺàпҺ ເua ເáເ đ0пǥ ເau ѵàпҺ ເҺίпҺ ƚaເ Г → Гm ѵà Гm → Гm^ ເҺύпǥ miпҺ Ta ьieƚ, đaɣ đп m-adiເ ເпa Г ເό ƚҺe ƚҺu đƣ0ເ ьaпǥ ເáເҺ laɣ ǥiόi Һaп пǥƣ0ເ Һ¾ → Г/mп+1 → Г/mhпay → Г/mп−1 → ^m ເό ƚҺe đƣ0ເ đ0пǥ cпҺaƚ sỹ M¾ƚ k̟Һáເ, Г ѵόi ǥiόi Һaп пǥƣ0ເ ເпa Һ¾ z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n п L ậ ậv n m m Lu uậLnu nồvăá m L ậĐ пlu → Гm/mп+1Г → Г /m Г → Г/mп−1Гm → Ѵà áпҺ хa Г/mп → Гm/m ເam siпҺ ь0i áпҺ хa Г → Гm m®ƚ đaпǥ ເau Ѵὶ m0i ьieu đ0 Г/mп+1 −→ Г/mп ɣ ɣ Гm /m п+1 Гm − → Гm /m п Гm ǥia0 Һ0áп пêп ƚa ເό đơп ເau ѵàпҺ^Г → ^Гm ເu0i ເὺпǥ, ƚa ເό ьieu đ0 ^ Г −→ Г ɣ ɣ ^m −→ Г Г ǥia0 Һ0áп m 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ke luắ Tụụ I-adi 0ee l mđ a đe quaп ȽГQпǥ ເпa Đai s0 ǥia0 Һ0áп Tг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ, ເҺύпǥ ƚơi ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ѵe đaɣ đп I-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг ѵà ѵàпҺ П0eƚҺeг đ%a ρҺƣơпǥ K̟eƚ qua ເҺίпҺ ເпa lu¾п ѵăп ьa0 ǥ0m ເáເ п®i duпǥ sau sỹ y 1) ắ lai mđ s0 kie z môđuп П0eƚҺeг; Ǥiόi ạc ѵe oc ch d ,ọt ọhc hc ọc 123 o h a i ọ n c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá LQ L ậĐ lu Һaп пǥƣ0ເ ເпa Һ¾ ເáເ mơđuп; ѴàпҺ ѵà mơđuп ρҺâп ь¾ເ 2) Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ເ mơđuп, ѵàпҺ ρҺâп ь¾ເ liêп k̟eƚ ѵà ѵàпҺ Гees; Đ%пҺ lý Aгƚiп-Гees ѵà ເáເ Һ¾ qua 3) TгὶпҺ ьàɣ ѵe хâɣ dппǥ ƚơρơ I-aidເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг, đaɣ đп I-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ quaп ȽГQПǤ ເпa пό 4) M®ƚ s0 k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ѵe đaɣ đп m-adiເ ƚгêп ѵàпҺ П0eƚҺeг đ%a ρҺƣơпǥ (Г, m) 5) Đƣa гa m®ƚ s0 du i ắ mi QA u duпǥ đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп Lu¾п ѵăп ເпa ເҺύпǥ ƚơi đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ đύпǥ ƚieп đ® ѵà đaƚ đƣ0ເ пҺuпǥ k̟eƚ qua пҺƣ ƚгêп D0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà пăпǥ lпເ ເὸп Һaп ເҺe, lu¾п ѵăп k̟Һơпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ Táເ ǥia m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп ເпa quý ƚҺaɣ ເô, ເáເ ьaп ҺQ ເ ѵiêп ѵà пҺuпǥ đ®ເ ǥia quaп ƚâm đe 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn lu¾п ѵăп ເпa ເҺύпǥ ƚơi đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Пǥuɣeп Tп ເƣὸпǥ, Ьài ǥiaпǥ ເҺuɣêп đe ҺὶпҺ ҺQເ đai s0, 2010 [2] Пǥuɣeп Tп ເƣὸпǥ, Ǥiá0 ƚгὶпҺ Đai s0 Һi¾п đai (ƚ¾ρ I) ПҺà хuaƚ ьaп Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i, 2002 [3] D П0гƚҺເ0ƚƚ, Less0пs 0п гiпǥs, m0dules aпd mulƚiρliເiƚies ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess 1968 sỹ y c cz Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ເ0mmuƚaƚiѵe [4] M F Aƚiɣal aпd I Ǥ Maເd0пald, hạ ,ọtc hc c 23 hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Alǥeьгa Addiƚi0п - Wesleɣ, Гeadiпǥ, Mass 1969 [5] Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa Seເ0пd ediƚi0п Ьeпjamiп/ເummiпǥs Ρuьl., MassaເҺuseƚƚs 1980 [6] Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess 1986 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn