Đánh giá hiệu năng mạng phần 1 ts ngô quỳnh thu

TS NGỎ QUỲNH THU M NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI T S N G Ô Q U Ỳ N H T H U ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG MẠNG ■ ■ NH À XƯÁT BẢN BÁCH KH OA - HÀ NỘI Bản quyền thuộc trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Mọi hình thức xuất bản, chép mà khơng có cho phép văn trường vi phạm pháp luật M ã số: 58 - 2013/CXB/92 - 01/B K H N Biên m ục xuất phẩm T hư viện Q uốc gia Việt Nam Ngô Quỳnh Thu Đánh giá hiệu mạng / Ngô Quỳnh Thu - H : Bách khoa Hà Nội, 2013 - 172tr ; 24cm Thư mục: tr 171 ISBN 9786049113420 Mạng máy tính Hiệu 004.6-d c l4 BKB0065p-CIP LỜI NÓI ĐẦU Đánh giá hiệu mạng máy tính nói riêng hệ thống truyền thơng nói chung ln vấn đề thời sự, thu hút quan tâm người làm việc lĩnh vực mạng Những phương pháp phân tích đánh giá hiệu mạng giúp người tiến gần tới ứng dụng thực tế khả nâng cao hiệu cho hệ thống mạng truyền thông Cuốn sách Đánh giá hiệu mạng tác giả biên soạn theo nội dung giảng dạy môn học Đánh giá hiệu mạng dành cho sinh viên năm thứ hệ đại học quy Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Sách bố cục thành sáu chương, với nội dung sau: Chương giới thiệu khái niệm đánh giá hiệu mạng Chương đề cập đến kiến thức xác suất thống kê tiến trình ngẫu nhiên Hai chương 3, trình bày khái niệm hàng đợi, mạng hàng đợi cách sử dụng chúng để đánh giá hiệu hệ thống thực tế Chương đưa khái niệm chất lượng dịch vụ số mơ hình cung cấp chất lượng dịch vụ Chương trình bày kỹ thuật mơ với công cụ sử dụng rộng rãi Trong trình biên soạn sách, tác giả nhận giúp đỡ nhiệt tình nhiều ý kiến đóng góp bổ ích từ PGS TS Đặng Văn Chuyết, PGS TS Nguyễn Linh Giang, TS Nguyễn Kim Khánh, PGS TS Nguyễn Hữu Thanh tồn thể thầy Bộ mơn Truyền thơng Mạng máy tính, Viện Công nghệ Thông tin Truyền thông, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn Tuy nhiên, sách xuất bàn lần đầu nên chẳc chắn không tránh khỏi nhừng thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc đồng nghiệp để nội dung sách hoàn thiện hom Mọi ý kiến đóng góp xin gửi Bộ mơn Truyền thơng Mạng máy tính, Viện Cơng nghệ Thơng tin Truyền thông, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, số Đại c Việt, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội Xin trân trọng giới thiệu bạn đọc TÁC GIẢ MỤC LỤC ■ ■ LỜI N Ó IĐ Ằ U CHƯƠNG GIỚI THIỆU 1.1 Mục đích việc mơ hình hóa đánh giá hiệu 1.2 Phân loại phương pháp mố hình hóa 13 1.3 Các tham số sử dụng đánh giá hiệu n ă n g 15 1.4 Các công cụ đánh giá hiệu n ă n g 17 Tài liệu tham khảo 18 CHƯƠNG CÁC TIẾN TRÌNH NGÀU NHIÊN 19 2.1 Xác suất kiện (Probability and Event) 19 2.1.1 Phép thử kiện ngẫu nhiên 19 2.1.2 Định nghĩa xác suất 20 2.2 Biến ngẫu nhiên 21 2.2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 21 2.2.2 Các hàm phân phối xác suất bảng phân phối xác suất 22 2.2.3 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 25 2.3 Các mơ hình phân bố xác suất b ả n 29 2.3.1 Phân bố Bernoulli .29 2.3.2 Phân bố nhị thức 30 2.3.3 Phân bố (Uniform Distribution) 30 2.3.4 Phân bố chuần (Gaussian Distribution) 31 2.3.5 Phân bố mũ (Exponential Distribution) 32 2.3.6 Phân bố Poisson (Poisson Distribution) 33 2.3.7 Phân bố Gamma (Gamma Distribution) 33 2.3.8 Phân phối X2 với n bậc tự 33 2.3.9 Phân bố Beta 34 2.4 Tiến trình ngẫu nhiên (Stochastic Process) 35 2.4.1 Định nghĩa tiến trình ngẫu nhiên .35 2.4.2 Phân loại tiến trình ngẫu nhiên 35 2.4.3 Các tiến trình ngẫu nhiên thường gặp 36 Bài tập chương .43 Tài liệu tham khảo 44 CHƯƠNG HỆ THỐNG HÀNG Đ Ợ I 45 3.1 Giới th iệ u 45 3.2 Mô hình hàng đợi - ký hiệu K endall .46 3.2.1 Mơ hình hàng đợi đ n 46 3.2.2 Ký hiệu Kendall 48 3.2.3 Các tham số quan trọng để đánh giá đặc tính hệ thống hàng đợi 51 3.2.4 Hệ thống đóng 51 3.2.5 Định lý Little 3.2.6 Một số đặc tính khác hệ thống đóng, hoạt động trạng thái ổn định 3.3 Các mơ hình hàng đ ợ i 3.3.1 Tiến trình sinh tử 58 3.3.2 Hệ thống hàng đợi M/M/1/0 59 3.3.3 Hệ thống Hàng ởợi M /M /1 Q2 3.3.4 Hàng đợi M/M/1/K 00 3.3.5 Hàng đợi M/M/m 7Q 3.3.6 So sánh hệ thống hàng đợi 58 72 Bài tập chương 74 Tài liệu tham khảo 76 CHƯƠNG HỆ THỐNG MẠNG HÀNG Đ Ợ I 78 4.1 Mạng hàng đợ i 78 4.2 Hệ thống mạng nội tiếp 81 4.3 Hệ thống mạng Jackson m 83 4.4 Mạng Jackson đóng 87 Bài tập chương 90 Tài liệu tham khảo 92 CHƯƠNG CHÁT LƯỢNG DỊCH vụ (QOS) 93 5.1 Tại phải cung cấp chất lượng dịch vụ cho mạng Internet 93 5.2 Một số mơ hình cung cấp chất lượng dịch v ụ 98 5.2.1 Cấu trúc Best-Effort (BE) 98 5.2.2 Cấu trúc dịch vụ tích hợp (Intergrated Services Architecture IntServ) 98 5.2.3 Cấu trúc dịch vụ phân biệt (Differentiated Services DiffServ) 104 5.2.4 MPLS (Multiprotocol Label Switching) 117 5.2.5 Kỹ thuật lưu lượng (Traffic Engineering) phương pháp định tuyến có điều kiện (Constrained Based R outing) 120 Bài tập chương 127 Tài liệu tham k h ả o 128 CHƯƠNG MỔ PHỎNG 131 6.1 Các kỹ thuật mô 131 6.1.1 Thực mô theo hướng kiện 137 6.1.2 Bộ phát số ngẫu nhiên (Random Number Generation RNG).A 38 6.2 Đánh giá thống kê kết mô 143 6.2.1 Các kết thu 144 6.2.2 Giá trị trung bình vàkhoảng tin cậy (Confidence Intervals) 146 6.3 Giới thiệu số cơngcụ mơ phịng 151 6.3.1 OPNET 152 6.3.2 N S 153 6.3.3 N S 154 6.3.4 OMNeT++ 155 6.4 NS2 VÀ OMNET++ 156 6.4.1 OMNeT++ 156 6.4.2 N S 161 Bài tập chương 168 Tài liệu tham khảo 171 Chương GIỚI THIỆU ■ 1.1 MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC MƠ HÌNH HĨA VÀ ĐÁNH GIÁ HIỆU NĂNG Mục đích phương pháp đánh giá hiệu để dự đoán hoạt động hệ thống Khi xây dựng hệ thống sửa chừa nâng cấp hệ thống cũ, người ta phải sử dụng phương pháp đánh giá hiệu để dự đốn ảnh hưởng đến hiệu hệ thống Khía cạnh quan trọng đánh giá hiệu đo đạc theo dõi hiệu hệ thống Bằng việc quan sát theo dõi hiệu hệ thống, ta biết hoạt động hệ thống nào, hệ thống tải Điều kiện tiên việc đo đạc hiệu hệ thống phải có thơng số đo Một khía cạnh quan trọng khác việc đánh giá hiệu trình đo đạc thông thường người ta làm hệ thống thay đổi chút ít, thêm vài thơng số nhãn vào liệu chẳng hạn Điều dẫn tới làm thay đổi hiệu hệ thống Đe hiểu thêm tốn đánh giá hiệu năng, xem xét ví dụ sau Giả sử hệ thống cần phải đánh giá hiệu mạng Ethernet, trang bị N máy tính Người ta tiến hành đo tổng lưu lượng đầu vào mạng Ethernet kết đo Ả Mbit/s Thiết bị truyền dẫn mạng có dung lượng c {Mbit/s) Để đánh giá hiệu mạng Ethernet này, ví dụ điển hình lúc người ta phải tính tốn hiệu suất hoạt động thiết bị truyền dẫn - Thời gian phục vụ tuân theo phân bố mũ với tham số fi - Một trạm phục vụ - Hàng đợi có độ lớn vô hạn, tức không xảy trường hợp dịch vụ bị từ chối a Tính xác suất hệ thống Đối vói hệ thống hàng đợi này, đánh giá thơng số dựa vào tiến trình sinh tử Tại thời điểm nào, có nhiều nhât kiện xảy (một yêu cầu đán hệ thống hàng đợi yêu cầu ròi khỏi hệ thống hàng đợi phục vụ xong) Điều làm hệ thống hàng đợi M /M /l trở nên đơn giản biểu diễn sau: Ằ X Ằ X X Hình 3.12 Sơ đồ chuyển đổi trạng thái hệ thống M/M/1 Giả sử hệ thống đạt đến trạng thái tĩnh gọi xác suất để hệ thống trạng thái Ả: p k Xác suất xác định sau: p k = \ìm p k(t) /-KO Trong xác suất để có k yêu cầu hệ thống thời điểm t Lưu ý hệ thống đạt đến trạng thái ổn định, xác suất p k không phục thuộc vào thời gian Chúng ta tập trung vào trạng thái k hệ thống hàng đợi thấy để đạt đến trạng thái k, hệ thống chuyển từ trạng thái (k - l) trạng thái (k + 1) Từ nhận xét tiến trình sinh tử, hệ thống có tính chất cân xác suất, nghĩa xác suất hệ thống chuyển từ trạng thái i sang trạng thái (/ + \) (i - 1) tổng xác suất hệ thống chuyển từ trạng thái (i + 1) (/ - 1) trạng thái / Từ ta có phương trình sau: dt = (M -1 ( + MPm (0) - ( M ( +m (0) 63 Khi t dần đến vô cùng, nhận phương trình sau: 4p * ( _ dt q Với giá trị k khác nhau, nhận hệ phương trình sau: àp0= m Ap0+ m = ( Ẳ + rìP \ *Pk-l+IUPM = (Ẳ + V)Pk Sau giải hệ phương trình này, nhận kết sau: /> * = (-) Po ụ- Ngoài ra, tổng xác suất p k tồn trạng thái Do nhận được: 00 lc=0 Vì có: co 00 = A ) + Z a = A > + Z A ) ' - Ĩ = Po *=I *=1 = Po -í p0= l - - = l- p Tóm lại, với hệ thống hàng đợi M ỈM /ì, nhận được: p ữ= \ - - = \ - p ự Pk = 64 r£ kP o = P kQ - P ) b Tính tốn tham số hiệu hàng đợi M /M /l Đầu tiên phải tính kỳ vọng số yêu cầu hệ thống: £(A = f > „ = ( l - p )Ỹ J k (f = *=0 *=0 1- p Như vậy: m n = rr~ -/7 Cũng tính phương sai jV sau: V(N) = E ( N 2) - E ( N ý =(l-p)2>y-i-£_| W-P) = _ P (1 - p ) Tiếp ứieo, để tính kỳ vọng số yêu cầu nằm hàng đợi, để ý có k yêu cầu nằm hệ thống có (£ - 1) u cầu nằm hàng đợi yêu cầu phục vụ trạm phục vụ ( k > 1), đó: E (N«) = Ẻ ( k - X)Pk = Ỳ t y k - Ỳ p k = ẳ* p * - (ềéPk -P o ) = M - ( ỉ- P o ) *=l *=1 *=1 *=0 *=0 Từ phương trình ta có: E ( N a) = p2 1- p Tương tự trên, tính được: ^ , ) = - ^ - t (i + p V ) (•-/*) Tính thời gian đáp ứng trung bình: Thời gian đáp ứng trung bình T thời gian trung bình yêu cầu hệ thống, tức phần thời gian hàng đợi phần thòi gian phục vụ Theo định lý Little Law có: -_N_\Ịụ_ Ấ - /7 ụ -Ằ 65 Trong trường hợp n = 1thì thời gian đáp ứng trung bình (hay trễ trung bình) yêu cầu hệ thống biểu diễn hình vẽ sau Hình 3.13 Trễ trung bình Trong hàng đợi này, có thơng số quan trọng cần phải quan tâm, xác suất để hệ thống có nhiều hom k u cầu tính sau: p (N > k ) = \ - p ( N ú k ) = \ - Ỳ p , = \ - p J ^ - = p t" v=0 1- p 3.3.4 Hàng đợi M/M/1/K Hệ thống hàng đợi M /M /l/K đặc trưng bởi: - Số yêu cầu đến tuân theo tiến trình Poisson với tham số A - Thời gian phục vụ tuân theo phân bố mũ với tham số ỊJ - Một trạm phục vụ 66 Hàng đợi có độ lớn K phần tử Như yêu cầu vào hàng đợi mà hàng đợi có K u cầu khác u cầu đến bị từ chối a Tỉnh xác suất có n yêu cầu hệ thổng Đầu tiên biểu diễn hệ thống hàng đợi M /M /l/K tiến trình sinh - tử: < £ n ụ X Q s V Hình 3.15 Hệ thống hàng đợi M/M/1/K Hệ phương trình cân hệ thống biểu diễn sau: Ì-Po = m V „-i+ W > „+ l=(** + H )A ,; n e { ỉ , , K - ỉ } [ ^PK-\=VPK’n = K Từ hệ phương trình trên, ta được: Pn = P nPo>n e {0 ,a:} Mặt khác ta có: í> „ = /1=0 Từ tính được: Po _ 1- p K , K+\ j j f l- p n=0 _ ỉ-p P*=T— Ìũ P " l ý b Tính tốn tham sổ hiệu hệ thống M /M /l/K Tính xác suất từ chối dịch vụ (xác suất yêu cầu) 67 Chúng ta nhận xét yêu cầu bị từ chối đến hàng đợi thấy có K yêu cầu hàng đợi Gọi xác suất để yêu cầu bị từ chối dịch vụ Ploss, ta nhận thấy rằng: Pfoss - P k ~ « É f0, \-p PlOM rh o Hình 3.16 Xác suất yêu cầu từ chối dịch vụ hàng đợi M/M/1/20 Tính kỳ vọng số yêu cầu hệ thống: Ta có: K K £ W =2 > = ; ĩt" P ' n=l * p n=l Để tính phương trình trên, ý đến phương trình sau: «=0 1- ■p / Lấy vi phân phương trình ưên: /V) = /1=1 =izííL±Ị)£l±^ (1 p ) Thay vào ta có: E(N) = - P 1- p 68 (K + Ỉ )p +KP + = _ £ — (K + ỉ ) - Z -\ - p K+[ - p - p K +i Ngồi tính được: Tính kỳ vọng số yêu cầu hàng đợi: K K E (JV, )■■=£ ( » •- l)p = £ V , - Ĩ P =.£ a: - (1 ■- f t ) Cuối ta có: Nhận xét: Nếu gọi Ằa —Ã(l - p K) tốc độ yêu cầu vào hàng đợi ta tuân theo định lý Little: Nếu quan sát hàng đợi M /M /l/K quan điểm hệ thống đóng, để ý ràng đầu vào hệ thống, dòng yêu cầu đầu vào với tốc độ trung bình Ả chia thành hai nhánh: nhánh yêu cầu vào hàng đợi với tốc độ trung bình Ẳa = Ẳ(ỉ - p K) nhánh yêu cầu bị từ chối với tốc độ trung bình ẰL = ẲpK Cháp nhận X K Hình 3.17 Hệ thống M/M/1/K quan điềm hệ thống đóng 69 Cũng tính tốn tương tự trên, ta có thời gian trung bình T yêu cầu lưu lại hệ thống: X 1- p K K p Hình 3.18 Số yêu cầu ữung bình hệ thống M/M/1/10 3.3.5 Hàng đợi M/M/m Hình 3.19 Hàng đợi M/M/m Hệ thống hàng đợi M/M/m có đặc điểm sau: - Số yêu cầu tới tuân theo tiến trình Poisson với tham số Ẳ - c ỏ m trạm phục vụ - Thời gian phục vụ trạm i tuân theo phân bố mũ với tham số ụ.ị - Hàng đợi có chiều dài vơ tận 70 a Tính xác suất có n yêu cầu hệ thống X O M- U Ả O 2ụ _Ằ O 3ụ X C "5n 4(1 m|i mfi Hình 3.20 Chuyển đổi ữạng thái hàng đợi M/M/m Để tính tốn xác suất hệ thống M/M/m, người ta thực tương tự hàng đợi trước dựa vào tiến trình sinh tử Khi có: m— \ Po = (mp)k + (mp)' Lk=0 k\ \ m\ A J (-1 1 -/V (m p ý Po k\ k< m Po ~ r r : k - m m\ b Tính tốn thơng sổ hiệu hệ thống Kỳ vọng số yêu cầu hệ thống tính tốn sau: E ( N ) = ỵ j v k = " > p + p (mpỴ , , _p ° TT *=0 m! o - p ) Hình 3.21 Số yêu cầu hệ thống hàng đợi M/M/10 71 Tiếp theo, tính tốn xác suất yêu cầu đến hệ thống phải chờ hàng đợi khơng cịn trạm phục vụ rỗi Xác suất thường sử dụng mạng điện thoại xác suất gọi đến tổng đài khơng cịn đường trung kế rỗi cả, với giả sử tiến trình đến gọi tiến trình phục vụ tổng đài tuân theo phân bố mũ Lúc xác suất tính tốn sau: r (mp)k , ■ = _ V* Pr [queueing] 2>V* = 2(mp)k > z ~ ib = k-m k=m m] m\ m mk~m > I m! Ju - p ) v (mpỷ Lả *1 ì {ỵnp)m l mì J U - p ) Cơng thức thường gọi công thức Erlang - c, ký hiệu C(m,p) 3.3.6 So sánh hệ thống hàng đợi Trong phần này, người ta tiến hành so sánh ba hệ thống hàng đợi khác ữên phương diện thời gian đáp ứng trung bình (hay trễ trung bình) hệ thống so với tải Giả thiết có hệ thống hàng đợi M /M /l với trạm phục vụ có tốc độ m ụ , hệ thống hàng đợi M/M/m với mồi trạm phục vụ có tốc độ ụ hệ thống hàng đợi gồm m hàng đợi theo kiểu M /M /l hoạt động độc lập với với tốc độ ỊẤ Việc so sánh hàng đợi thích hợp với bối cảnh sau thực tế: máy tính với xử lý theo kiểu X tập hợp người sử dụng phải chờ đợi bên Người ta thấy cần thiết phải mở rộng máy tính để mở rộng có ba khả sau: - Mua m - xử lý dạng X lắp ráp vào máy tính nhất, tạo nên máy tính đa xử lý - Mua xử lý kiểu Y có tốc độ nhanh hom xử lý X n lần thay vào xử lý cũ - Cung cấp cho mồi người sử dụng thiết bị riêrig biệt, thiết bị trang bị xử lý kiểu X Đồ thị sau biểu diễn thời gian đáp ứng trung bình ba hệ thống trường hợp /1 = 10 72 Thdri gian đáp ứng trung binh Hình 3.22 Thời gian đáp ứng trung bình Dựa vào đồ thị trên, thấy giải pháp tót giải pháp thứ hai tạo thời gian đáp ứng nhỏ nhất, giải pháp thứ cuối giải pháp thứ ba Giải pháp thứ tương đương với hệ thống hàng đợi M/M/m với trạm phục vụ cổ tốc độ ỊẦ tốc độ đến toàn hệ thống X Giải pháp thứ hai tương đương với hệ thống M/M/l với tốc độ đến Ả tốc độ trạm phục vụ /UẰ Giải pháp cuối tương ứng với hệ thống hàng đợi M/M/l với tốc độ đến ẤỊỊẦ tốc độ trạm phục vụ / /.Đ thị tương ứng với m = 10 fẨ = 73 BÀI TẬP CHƯƠNG ■ Cho hệ thống hàng đợi M /M /l với tốc độ đến Ẳ = 1và tốc độ phục vụ JU= a Hãy tính xác suất p để hệ thống khơng có u cầu nào? b Tính xác suất để hệ thống có từ đến 10 yêu cầu? Cho hệ thống hàng đợi M /M /l, tốc độ phục vụ không đổi, nhiên tốc độ đến k yêu cầu hệ thống hàm k sau: Ả /(k +1) a Hãy vẽ sơ đồ trạng thái hệ thống? b Tình xác suất p k để có k yêu cầu hệ thống hàm c Tính Po? Cho hàng đợi M /M /l với p = ẢỊụ = ,4 Hãy xác định m cho xác suất để có m yêu cầu hệ thống nhỏ 1%? Cho hàng đợi M/M/l/N Hãy tính xác suất để yêu cầu đến rời khỏi hệ thống với N = \à : a p - Ấ j Ị1 = b p = Ấ//Ấ = ồ,15 Cho hệ thống hàng đợi M ỈM /ì/6 có tốc độ đến 20 yêu cầu đơn vị thời gian tốc độ phục vụ 10 yêu cầu đơn vị thời gian Tính số yêu cầu trung bình hệ thống? Cho hệ thống máy tính mơ tả hàng đợi M /M /l với tốc độ đến Ả tốc độ phục vụ ụ , Có ba trường hợp xảy sau: 74 - Thay trạm phục vụ có tốc độ phục vụ gấp hai lần - Thêm trạm phục vụ có tốc độ hoạt động song song, tức lúc hệ thống MỈM/2 - Thêm hệ thống máy tính đặt song song với hệ thống cũ, tức lúc tốc độ đến giảm nửa a Hãy so sánh hiệu ba trường hợp b Giải pháp dễ thực có giá thành nhỏ thực tế? Hãy giải thích tốc độ đến hệ thống hàng đợi không nên cao? Sự không ổn định hàng đợi có kích thước hữu hạn gì? 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO D Gross, c M Harris Fundamentals o f Queueing Theory Wiley, Second Edition, New York, 1985 L Kleinrock Queueing Systems, Vol Ỉ: Theory Wiley, New York, 1975 Vol 2: Computer Applications Wiley, New York, 1976 D v Lindley The Theory o f Queues with a Single Server Proc Camb Phil Soc 48, 277-289, 1952 T L Saaty Elements o f Queueing Theory with Applications Dover, New York, 1961 H M Wagner Principles o f Operation Research Prentice Hall International Editors, London, 1972 Gunter Bolch, Stefan Greiner, Hermann de Meer, and Kishov s Trivedi Queueing Networks and Markov C hain- M odelling and Performance Evaluation with Computer Science Applications John Wiley and Sons, New York, 1998 Gunter Bolch Leistungsbewertung von Rechensystemen- mittels analytischer Warteschlangenmodelle B G Teubner, Stuttgart, 1989 Boudewijin R Haverkort Performance of Computer Communication Systems-A Model Based Approach John Wiley and Sons, Chichester/New York, 1998 Randolph Nelson Probability, Stochastic Processes, and Queueing Theory - The Mathematics o f Computer Performance Modeling Springer Verlag, New York, 1995 76 10 Thomas G Robertazzi Computer Networks and Systems —Queueing Theory and Performance Evaluation Springer Verlag, New York, 1994 11 R olf Schassberger Warteschlangen Springer Verlag, Wien, 1973 12 William J Stewart Introduction to the Numerical Solution o f Markov Chains Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1994 13 Phuoc Tran-Gia Analytische Leistungsbewertung verteilter Systeme-eine Einfuhrungg Springer Verlag, Berlin, 1996 77