(Luận văn) nghịch đảo suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGÔ THỊ LOAN lu an n va tn to p ie gh NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGÔ THỊ LOAN lu an n va to p ie gh tn NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 lu ll u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z GS.TSKH Đinh Nho Hào m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si i Mục lục Lời cảm ơn iii lu an Mở đầu n va Lời cam đoan tn to 3 p tích hàm ie gh Chương Các khái niệm đại số tuyến tính giải nl w 1.1 Khơng gian Euclide 1.2.1 Không gian Banach d oa 1.2 Khơng gian Banach tốn tử liên tục lu va an 1.2.2 Tốn tử tuyến tính liên tục oi lm ul nf 1.3 Đạo hàm theo nghĩa Fréchet Chương Nghịch đảo suy rộng không gian Hilbert 9 2.2 Nghịch đảo suy rộng 10 2.3 Định lý Picard 14 z at nh 2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu z gm @ Chương Nghịch đảo suy rộng không gian hữu hạn l 15 m co chiều 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị ma trận an Lu 3.2 Giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) 15 19 n va ac th si ii 3.3 Nghiệm bình phương tối thiểu 24 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đinh lu an Nho Hào Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới n va người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, tn to dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc ie gh em suốt trình làm luận văn p Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, w oa nl giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để d em học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập lu an thể lớp cao học Toán K11C (khóa 2017-2019), cảm ơn gia đình bạn bè oi lm ul nf va động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cam đoan lu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy an giáo GS.TSKH Đinh Nho Hào với cố gắng thân Trong va n q trình nghiên cứu luận văn, tơi kế thừa thành nghiên tn to cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ie gh ơn p Tôi xin cam đoan kết luận văn kết oa nl w nghiên cứu thân, không trùng với luận văn tác giả khác Thái Nguyên, ngày tháng năm 2019 d lu oi lm ul nf va an Tác giả z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to Phương pháp bình phương tối thiểu xuất phát từ nghiên cứu thiên văn khoa đo đạc Từ quan sát khác tượng người ta cần xấp xỉ Phương pháp có cội nguồn từ nghiên cứu khác Roger Cotes vào năm 1722, Tobias Mayer nghiên cứu chuyển động mặt trăng năm 1750, Pierre-Simon Laplace nghiên cứu chuyển động Mộc Thổ năm 1788 Người mô tả cách tường minh ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu Adrien-Marie Legendre [5] vào năm 1805 ơng phân tích kiện Laplace hình dạng đất Phương pháp Legendre nhà thiên văn học nhà đo đạc hàng đầu thời cơng nhận sử dụng Vào năm 1809, Carl Friedrich Gauss công bố phương pháp ơng cách tính quỹ đạo thiên thể [4] khẳng định rằng, phương pháp ơng tìm từ năm 1795, trước Legendre Gauss cịn liên hệ phương pháp bình phương tối thiểu với kết quan trọng lý thuyết xác suất phân bố chuẩn Có nhiều tranh cãi việc có hay khơng, Gauss tìm phương pháp bình phương tối thiểu trước Legendre ơng cơng bố sau Cơng trình [10] đưa khẳng định, có lẽ điều Dù người phát minh phương pháp nữa, phương pháp bình phương tối thiểu phương pháp toàn hiệu giải tích số, thống kê, Phương pháp bình phương tối thiểu cho ta hiểu nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính, gọi nghiệm bình phương tối thiểu - phần tử tối thiểu hóa bình phương chuẩn Euclide độ lệch (discrepancy) Nghiệm bình phương tối thiểu giải pháp lý tưởng d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to để hiểu hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình nhiều số ẩn - hệ thường xuyên gặp toán đo đạc Tuy nhiên, nghiệm bình phương tối thiểu không nhất, để khắc phục khiếm khuyết này, Moore [6] vào năm 1920 sau Penrose [8, 9] vào năm 1955, 1956 đưa khái niệm nghịch đảo suy rộng nghiệm suy rộng dựa lý thuyết phổ Có nhiều cách tiếp cận đến nghịch đảo suy rộng khác nhau, luận văn sử dụng định nghĩa nghiệm suy rộng nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ Chúng tơi dùng khái niệm dùng ta tiếp cận tốn đặt khơng chỉnh Các kết luận văn dựa vào tài liệu [1, 2, 3, 7] Luận văn gồm ba chương Trong chương đầu chúng tơi tóm tắt số khái niệm Đại số tuyến tính Giải tích hàm Chương đề cập đến nghịch đảo suy rộng khơng gian Hilbert cịn chương cuối đề cập đến khái niệm không gian Rn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Các khái niệm đại số lu tuyến tính giải tích hàm an n va Khơng gian Euclide ie gh tn to 1.1 p Định nghĩa 1.1 Cho E không gian vectơ trường số thực R, tích vơ hướng E ánh xạ : E × E → R oa nl w d (x, y) →< x, y > an lu thỏa mãn điều kiện sau oi lm ul nf va < x, y >=< y, x >, < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, z at nh < λx, y >= λ < x, y >, < x, x >≥ ∀x ∈ E < x, x >= ⇔ x = z @ m co l gm Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ E trường số thực R gọi khơng gian vectơ Euclide E có tích vô hướng an Lu Định nghĩa 1.3 n va ac th si Độ dài vectơ x khơng gian vectơ Euclide E với tích vơ hướng xác định bởi: √ kxk = < x, x > Định nghĩa 1.4 Đối với hai vectơ x y khơng gian vectơ Euclide ta gọi góc ϕ x y xác định công thức: < x, y > cos ϕ = kxkkyk lu an n va p ie gh tn to Khi không gian vector Euclide E Rn , ta viết vector x ∈ Rn dạng   x  1   x =     xn d oa nl w với xi ∈ R Khi vector chuyển vị x xt = (x1 , , xn ) Giả sử M = (mij ) ∈ Rm,n , u, v ∈ Rk , α1 , , α` ∈ R, u1 , , u` ∈ Rk Ta ký hiệu ma trận đơn vị, an lu I Mt chuẩn max{kM xk|x ∈ Rn , kxk ≤ 1}, chuẩn Frobenius of M, P 2 kM kF := , i,j |mi,j | z at nh kM kF tích vơ hướng u với v, oi lm kM k ul ut v nf va ma trận chuyển vị củaM, z bao tuyến tính u1 , , u` , diag(α1 , , α` ) ma trận đường chéo Rp,` l gm @ < u1 , , u` > với thành phần α1 , , α` m co đường chéo (p ≥ 1), ma trận Rk,` an Lu (u1 | |u` ) với cột u1 , , u` n va ac th si A+ R(A) = A−1 Cho w ∈ R(A+ ), w = A+ y với y ∈ D(A+ ) Ta tách w = w1 +w2 với w1 ∈ N (A)⊥ , w2 ∈ N (A) Theo Định lý 2.1, ta có lu Aw = A(w1 + w2 ) = Aw1 = AA+ y = Qy an n va Vậy w1 nghiệm bình phương tối thiểu phương trình Ax = y Từ suy tn to ie gh kA+ yk2 = kwk = kw1 k + kw2 k ≥ kA+ yk2 + kw2 k2 p Suy w2 = θ hay w ∈ N (A)⊥ R(A+ ) ⊂ N (A)⊥ nl w Cho w ∈ N (A)⊥ đặt y := Aw Khi đó, d oa Aw = QAw = Qy lu an Suy w nghiệm bình phương tối thiểu phương trình Ax = y oi lm ul nf va Giải sử v nghiệm bình phương tối thiểu khác phương trình Ax = y Khi Av = Qy = Arv, v − rv ∈ N (A) z at nh z kvk2 = kwk2 + kv − wk2 ≥ kwk2 Vậy w nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ hay w = A+ y ∈ R(A+ ) Suy N (A)⊥ ⊂ R(A+ ) m co l gm @ Vậy R(A+ ) = N (A)⊥ an Lu n va ac th si 13 Cho y, y˜ ∈ D(A+ ) Khi AA+ y = Qy; AA+ y˜ = Q˜ y ⇒AA+ y + AA+ y˜ = Qy + Q˜ y = Q(y + y˜) = AA+ (y + y˜) ⇒A(A+ y + A+ y˜ − A+ (y + y˜)) = θ ⇒A+ y + A+ y˜ − A+ (y + y˜) ∈ N (A) mà R(A+ ) = N (A)⊥ , suy lu A+ y + A+ y˜ − A+ (y + y˜) ∈ N (A) ∩ N (A)⊥ = ∅ an Từ suy va n A+ (y + y˜) = A+ y + A+ y˜ ie gh tn to Chứng minh tương tự A+ (αy) = αA+ (y) Vậy A+ ánh xạ tuyến tính p Giả sử A+ giới nội Vì AA+ y = Qy, ∀y ∈ D(A+ ) D(A+ ) trù mật Y nên ánh xạ A+ thác triển thành tốn tử giới nội ˜ = Qy với y ∈ Y Điều chứng tỏ A˜ ∈ B(Y, X) với AAy d oa nl w an lu R(A) = R(Q) ⊂ R(A) hay R(A) đóng oi lm ul nf va Bây giờ, ta giả sử W := R(A) đóng Vì R(A+ ) = N (A)⊥ b : N (A)⊥ → W ; Au b := Au X = N (A) ⊕ N (A)⊥ nên ánh xạ A b liên tục W khơng gian đóng khơng gian song ánh Vì A b−1 theo định lý Banach Hilbert Y nên tồn ánh xạ nghịch đảo A liên tục Bởi vậy, tồn m > cho z at nh z b−1 (AA b + y)k ≤ mkAA b + yk = mkAA+ yk, ∀y ∈ D(A+ ) = Y kA+ yk = kA l gm @ Từ ta có kyk ≥ kQyk = kAA+ yk ≥ m−1 kA+ yk, y ∈ Y m co Suy A+ ∈ B(Y, X), kA+ k ≤ m an Lu Từ Định nghĩa A+ y R(A+ ) = N (A)⊥ ta suy (6) n va ac th si 14 2.3 Định lý Picard Định lý 2.2 (Định lý Picard) Cho A : X → Y compact cho (σj , ej , fj )j∈N hệ kỳ dị của A Khi đó, + A y= ∞ X σj−1 (Qy, fj )ej = j=1 ∞ X σ −1 (y, fj )ej , y ∈ D(A+ ) j=1 Chứng minh: Ta để ý rằng, Qy ∈ R(A), với y ∈ D(A+ ) Ta có ∞ X σj2 |(Qy, fj )|2 < ∞ lu j=1 an n va Vì fj ∈ R(A), ∀j ∈ N nên ta có tn to (Qy, fj ) = (y, Qfj ) = (y, fj ) ie gh Bởi vậy, chuỗi p ∞ X σj−1 (Qy, fj )ej ; ∞ X σj−1 (y, fj )ej j=1 nl w j=1 d oa hội tụ Lại có, với ej ∈ N (A)⊥ , nên véctơ va an lu x := ∞ X σj−1 (Qy, fj )ej j=1 nf σj−1 (Qy, fj )Aej = ∞ X z at nh Ax = X oi lm ul nằm N (A)⊥ Ngoài ra, (Qy, fj )fj = Qy j=1 z Qy ∈ R(A) span{fj | j ∈ N} = R(A) Do vậy, x nghiệm bình phương tối thiểu phương trình Ax = y N (A+ ), suy x = A+ y, điều phải chứng minh Trong chương sau ta xét trường hợp cụ thể X Y khơng gian Euclid tốn tử A sinh ma trận m co l gm @ an Lu n va ac th si 15 Chương Nghịch đảo suy rộng không lu gian hữu hạn chiều an n va Phân tích giá trị kỳ dị ma trận gh tn to 3.1 p ie Định lý 3.1 Giả sử A ∈ Rm,n Khi tồn ma trận U ∈ Rm,m V ∈ Rn,n số thực σ1 ≥ ≥ σn ≥ cho nl w U t U = U U t = I, V t V = V V t = I, (3.1) d oa A = U DV t , an lu với D = diag(σ1 , , σn ) ∈ Rm,n oi lm ul nf va Chứng minh Vì ma trận At A đối xứng xác định không âm, nên tồn số thực σ1 ≥ ≥ σn ≥ cho σ12 , , σn2 giá trị riêng At A Gọi v1 , , ∈ Rn hệ vector riêng trực giao tương ứng với σ12 , , σn2 giả sử r ≤ n với σr > 0, = σr+1 = = σn Đặt z at nh V1 := (v1 | |vr ), z l gm @ V2 := (vr+1 | |vn ) m co D1 := diag(σ1 | |σr ) ∈ Rr,r an Lu n va ac th si 16 Ta có D1−1 = diag(σ1−1 , , σr−1 ), V1t V t AV1 = D12 , D1−1 V1t At AV1 D1−1 = I ∈ Rr,r , V2t At AV2 = 0, AV2 = lu Đặt U1 = A1 V1 D1−1 ∈ Rm,r Nếu ta chọn U2 ∈ Rm,m−r cho U = (U1 |U2 ) ∈ Rm,m U t U = U U t = I ta nhận     t t U1 AV1 U1 AV2 D =  U t AV =  t t U2 AV1 U2 AV2 0 an va n Nhận xét 3.1 Số r chứng minh hạng ma trân A p ie gh tn to Do giá trị riêng At A xác định nhất, nên σ1 , , σn xác định d oa nl w Định nghĩa 3.1 Cho A ∈ Rm,n với m ≥ n Phân tích có dạng (3.1)được gọi phân tích giá trị kỳ dị A σ1 , , σn gọi giá trị kỳ dị A an lu Từ định nghĩa ta nhận kết sau: oi lm ul nf va Hệ 3.1 Giả sử A ∈ Rm,n A = U DV t phân tích giá trị kỳ dị A U = (u1 | |um ), V = (v1 | |vn ) D = diag(σ1 , , σr , 0, , 0), σ1 ≥ · · · ≥ σr > Khi đó, z at nh i) At Avi = σi2 vi , AAt ui = σi2 ui , ≤ i ≤ r; ii) Avi = σi ui , At ui = σi vi , ≤ i ≤ r; z gm @ iii) rank(A) = r; v) hu1 , , ur i = R(A), hur+1 , , um i = R(A)⊥ ; σr an Lu vi) kAk = σ1 = kAt k; kA+ k = m co l iv) hv1 , , vr i = N (A)⊥ , hvr+1 , , vr i = N (A); n va ac th si 17 Hệ 3.2 Giả sử A ∈ Rm,n có hạng r Khi đó, tồn ma trận B ∈ Rm,r C ∈ Rr,n số thực σ1 ≥ · · · ≥ σr > cho A = BC, B t B = I, CC t = diag(σ12 , , σr2 ) (3.2) rank (B) = rank (C) = r Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử m ≥ n Giả sử A = U DV t phân tích giá trị kỳ dị A với D = diag(σ1 , , σr , 0, , 0), U = (u1 | |um ), lu V = (v1 | |vn ) an n va p ie gh tn to Khi đó, ta đặt B := (u1 | |ur ), C1 := (v1 | |vr ), C := diag(σ1 , , σr )C1 ta suy điều phải chứng minh Kết sau liên quan đến nhiễu giá trị riêng ma trận đối xứng Chúng ta cần đến kết để thấy giá trị kỳ dị ma trận bị ảnh hưởng nhiễu nhỏ Ta ký hiệu nl w d oa Vjn := {V ∈ Rn | V không gian với dim V ≤ j} lu max ul n V ∈Vn−k+1 x∈V,kxk=1 xt Cx = maxn V ∈Vk x∈V,kxk=1 oi lm λk = nf va an Định lý 3.2 Giả sử C ∈ Rn,n ma trận đối xứng với giá trị riêng λ1 ≥ · · · ≥ λn Khi với k = 1, , n ta có xt Cx z at nh Chứng minh: Gọi v1 , , hệ véctơ riêng trực chuẩn tương ứng n với λ1 , , λn Giả sử V ∈ Vn−k+1 Khi đó, dim V ∩ hv1 , , vk i ≥ k P x = αi vi ∈ V ∩ hv1 , , vk i với kxk = 1, ta thu z x Cx = k X αi2 λi ≥ λk max n V ∈Vn−k+1 x∈V,kxk=1 xt Cx an Lu Điều chứng tỏ λk ≤ m co i=1 l t gm @ i=1 n va ac th si 18 Mặt khác, với x = n P αi vi V := hvk , , i, kxk = ta i=k có t x Cx = n X αi2 λi ≤ λk , i=k chứng tỏ λk ≥ max n V ∈Vn−k+1 x∈V,kxk=1 xt Cx Do đó, đẳng thức thứ chứng minh Ta áp dụng đẳng thức với −C thu đẳng thức thứ hai lu an n va i) λk + γn ≤ µk ≤ λk + γ1 ; ie gh tn to Định lý 3.3 Giả sử C, F ∈ Rn,n ma trận đối xứng cho λ1 ≥ , λn , γ1 ≥ · · · ≥ γn µ1 ≥ · · · ≥ µn giá trị riêng C, F C + F Khi đó, với k ∈ {1, , n}, ta có p ii) |λk − µk | ≤ kF k nl w Chứng minh: Cho v1 , , hệ véctơ riêng trực chuẩn C d oa n i) Với V ∈ Vn−k+1 , ta có va an lu µk ≤ xt Cx + max nf ≤ xt (C + F )x max x∈V,kxk=1 xt F x x∈V,kxk=1 oi lm ul x∈V,kxk=1 max z at nh Áp dụng khẳng định vào không gian V := hvk , , i, ta thu µk ≤ λk + max xt F x = λk + γ1 x∈V,kxk=1 z @ Bằng lập luận tương tự, ta thu bất đẳng thức lại gm m co l ii) Từ phần i), ta có µk − λk ≤ |γ1 |, λk − µk ≤ −γn ≤ |γn | Vì |γ1 |, |γn | ≤ kF k nên ta suy điều phải chứng minh an Lu Áp dụng Định lý 3.2 vào C := At A ta có kết sau: n va ac th si 19 Định lý 3.4 Cho A ∈ Rm,n σ1 ≥ · · · ≥ σn giá trị kỳ dị A Khi đó, với k ∈ {1, , n} σk = max n V ∈Vn−k+1 x∈V,kxk=1 kAxk = maxn V ∈Vk x∈V,kxk=1 kAxk Để thuận tiện, từ sau ta ký hiều giá trị kỳ dị ma trận C ∈ Rm,n σ1 (C), , σn (C), ta ln giải thiết chúng thỏa mãn lu σ1 (C) ≥ · · · ≥ σn (C) an n va Từ Định lý 3.4 với lập luận tương tự trường hợp Định lý 3.3 từ Định lý 3.2, ta suy ra: gh tn to Định lý 3.5 Cho A, F ∈ Rm,n Khi với k ∈ {1, , n} p ie |σk (A) − σk (A + F )| ≤ kF k     0 −1  , F =  Ví dụ 3.1 Cho A =  0.1 0 d oa nl w an lu Bằng tính tốn trực tiếp cho thấy nf va kF k = 0.1 oi lm ul σ1 (A) = 1.4142 σ1 (A + F ) = 1.4160 σ2 (A) = 0.0000 σ2 (A + F ) = 0.0707 z at nh 3.2 Giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) z @ Ax = y l gm Ta xét tốn tìm nghiệm phương trình (3.3) m co an Lu A ∈ Rm,n y ∈ Rm cho trước Nếu m = n A khơng suy biến tốn có nghiệm cho công thức x = A−1 y Trong trường hợp tổng quát, A suy biến ma trận hình n va ac th si 20 chữ nhật (m 6= n), phương trình vơ nghiệm, có nghiệm vơ số nghiệm Ta tìm mà trận G ∈ Rn,m cho x := Gy nghiệm (3.3) theo nghĩa suy rộng Đó ma trận thỏa mãn tính chất y ∈ R(A), tức y = Az, z ∈ Rn , ta có AGy = AGAz = y Điều thỏa mãn ma trận G có tính chất sau AGA = A (3.4) lu an n va tn to Mục đích phần xây dựng ma trận Cho TA : Rn → Rm ánh xạ song tuyến tính xác định ma trận A ∈ Rm,n , tức TA x := Ax, x ∈ Rn p ie gh Khi đó, ánh xạ tuyến tính −1 TA N (A)⊥ : R(A) → N (A)⊥ d oa nl w xác định ma trận G ∈ Rn,m biểu diễn ánh xạ tuyến tính thỏa mãn điều kiện (3.4) Điều cho ta gợi ý định nghĩa sau oi lm ul nf va an lu Định nghĩa 3.2 Cho A ∈ Rm,n Định nghĩa ánh xạ tuyến tính TA+ : Rm → Rn   θ, y ∈ R(A)⊥ + TA y :=  TA −1 y, y ∈ R(A) N (A)⊥ z at nh z Khi đó, ma trận A+ ∈ Rn,m biểu diễn ánh xạ tuyến tính TA+ gọi giả nghịch đảo (nghịch đảo suy rộng) A, tức TA+ = TA+ @ m co l gm Rõ ràng, ma trận giả nghịch đảo A+ A ma trận nghịch đảo A−1 thông thường trường hợp A ∈ Rn,n A không suy biến Tuy nhiên, ta cần để ý rằng, số tính chất trường hợp nghịch đảo thông thường không không với trường hợp giả nghịch đảo an Lu n va ac th si 21   −1  Khi đó, R(At ) sinh véctơ Ví dụ 3.2 Cho A :=  0         sở N (A)⊥ = R(At ) cho trước véctơ −1           1   Bây ta thấy A   =   nên A+   =   −1 −1 −1 lu an n va p ie gh tn to ⊥ t ⊥ Sử dụng đẳng thức  R(A) = N (A), tathấy  sở R(A) 0 cho véctơ  ; A+   =   Từ đây, ta có 1      = A+  −1 0   −1   1   = 1  A+ =  −1 0 −1 nl w d oa Do đó, ta có (A+ )2 6= A+ an lu A2 = A, oi lm ul nf va Từ ví dụ trên, ta thấy hai vấn đề, thứ nhất, trường hợp tổng quát tính chất sau khơng (AB)+ = B + A+ AB = BA thứ hai, tốn đặt để tìm A+ từ A (với m, n kích thước nhỏ) Trước đưa cách tính ma trận giả nghịch dựa phân tích giá trị kỳ dị, ta đưa định nghĩa tương đương với khái niệm giả nghịch Để định nghĩa được, ta cần ký hiệu sau: z at nh z @ m co l gm Nếu S khơng gian đóng khơng gian Hilbert (Rn ), ta ký hiệu PS phép chiếu trực giao lên S Theo định lý phép chiếu: z = PS x (z − x, u) = 0, ∀u ∈ S; an Lu đây, (·, ·) tích vơ hướng khơng gian Hilbert (Rn ) n va ac th si