(Luận văn) một số vấn đề đường thẳng simson và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THẢO CHI lu an n va gh tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG p ie SIMSON VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2019 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THẢO CHI lu an va n MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG tn to p ie gh SIMSON VÀ ỨNG DỤNG w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa nl Mã số: 46 01 13 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trần Việt Cường z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Trần Việt Cường Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin, q thầy cô giảng dạy lớp Cao học K11 (2018 - 2020) Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều lu an kiện cho tơi hồn thành khóa học n va Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người tn to động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn gh p ie Xin trân trọng cảm ơn! w Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 d oa nl Người viết Luận văn an lu nf va HOÀNG THẢO CHI z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Danh sách hình vẽ an n va 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 10 1.9 11 gh tn to ie lu 1.1 p w oa nl 1.10 12 13 1.12 14 d 1.11 an lu 15 1.14 16 nf va 1.13 17 z at nh oi lm ul 1.15 1.16 19 1.17 20 1.18 21 z gm @ 1.19 1.20 l 1.21 22 22 24 m co 27 2.2 28 an Lu 2.1 n va ac th si iii lu an n va 29 2.4 30 2.5 30 2.6 31 2.7 32 2.8 33 2.9 34 2.10 35 2.11 36 2.12 37 2.13 37 2.14 38 2.15 39 2.16 40 41 2.18 42 2.19 43 ie 2.17 p gh tn to 2.3 nl w d oa 2.20 an lu 2.21 2.22 nf va 2.23 44 45 46 47 lm ul 48 2.25 49 2.26 51 2.27 51 z at nh oi 2.24 z 52 2.29 53 2.30 53 co l gm @ 2.28 55 2.32 56 2.33 57 m 2.31 an Lu n va ac th si iv lu an 2.34 59 2.35 60 2.36 61 2.37 61 2.38 62 2.39 63 2.40 64 2.41 65 2.42 66 2.43 67 2.44 68 n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si v Mục lục Danh sách hình vẽ ii Chương ĐƯỜNG THẲNG SIMSON lu an Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Đường thẳng Simson 11 n va 1.1 26 gh tn to Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG SIMSON 2.1 ie p 2.2 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 26 Chứng minh đồng quy 33 Chứng minh song song 2.4 Chứng minh yếu tố cố định 38 2.5 Một số toán khác 46 d oa nl w 2.3 36 an lu 70 z at nh oi lm ul Tài liệu tham khảo 69 nf va Kết luận z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Đường thẳng Simson có nhiều ứng dụng hình học phẳng Các toán liên quan đến đường thẳng Simson tốn hay khó Để giải tốn đó, trước tiên chúng tơi tìm hiểu định nghĩa lu an tính chất đường thẳng Simson Tiếp đó, chúng tơi tìm hiểu việc vận n va dụng tính chất đường thẳng Simson vào việc giải số dạng toán cụ Với mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng đường thẳng Simson, lựa gh tn to thể hình học phẳng p ie chọn đề tài nghiên cứu “Một số vấn đề đường thẳng Simson ứng dụng” hướng dẫn PGS TS Trần Việt Cường nl w Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương d oa Chương Đường thẳng Simson Trong chương này, ngồi trình bày số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến lu nf va an đề tài, chúng tơi trình bày định lý Simson tính chất đường thẳng Simson Các nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1, 2, 5, 6, 9] lm ul Chương Ứng dụng đường thẳng Simson z at nh oi Trong chương này, chúng tơi áp dụng tính chất đường thẳng Simson vào giải số dạng tốn hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh đường thẳng qua z điểm cố định Các nội dung chương tham khảo từ tài liệu [3, 4, 7, gm @ 8, 10, 11, 12, 13] l Luận văn hình thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái m co Nguyên Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS an Lu TS Trần Việt Cường Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc học trị suốt q trình học tập, nghiên cứu giúp tơi hồn n va ac th si thành luận văn Tôi gửi lời cám ơn chân thành đến thầy cô giá khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Tơi xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp động viên, cổ vũ tạo điều kiện để hồn thành nghiệp vụ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương ĐƯỜNG THẲNG SIMSON lu Trong chương này, ngồi trình bày số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến an đề tài, chúng tơi trình bày định lý Simson tính chất đường thẳng va n Simson tn to Một số kiến thức chuẩn bị p ie gh 1.1 Định nghĩa 1.1.1 (Điểm Euler,[9]) Trong tam giác, trung điểm đoạn nl w thẳng thuộc đường cao kẻ từ đỉnh đến trực tâm tam giác gọi d oa điểm Euler an lu Định lý 1.1.2 ([9]) Trong tam giác, chân đường trung tuyến, chân nf va đường cao điểm Euler nằm đường tròn, gọi đường trịn lm ul chín điểm hay đường trịn Euler Chứng minh Cho tam giác ABC, gọi D, E, F trung điểm z at nh oi cạnh AB, BC, CA, kẻ đường cao AK, BM, CN (K ∈ BC, M ∈ AC, N ∈ AB), H trực tâm tam giác ABC, P, L, T trung điểm z AH, BH, CH (O) đường tròn ngoại tiếp ∆DEF @ AB Do E, F trung điểm BC, AC nên EF đường trung bình AB ∆ABC Suy EF = Do đó, ta có DK = EF m co l gm Do DK đường trung tuyến tam giác vuông AKB nên DK = an Lu Mặt khác, DF ∥ EK Suy DEKF hình thang cân n va Vì đường trịn (O) qua điểm D, E, F hình thang cân DEKF nên ac th si 57 lu an n va tn to Hình 2.33: ie gh p Gọi H, H trực tâm tam giác ABC, AEF Hb , Hc hình chiếu F, E AC, AB w oa nl Ta có H F · H Hb = H E · H Hc suy H thuộc trục đẳng phương (BE) d (CF ) Chứng minh tương tự suy HH trục đẳng phương (BE) an lu (CF ) Mà P E · P B = P F · P C nên P, H, H thẳng hàng nf va Do Oa T ⊥ AZ nên T điểm Miquel tứ giác toàn phần M F EC.AZ Suy lm ul T có chung đường thẳng Simson với hai tam giác AEF, ABC Do đường thẳng Steiner ảnh đường thẳng Simson qua phép vị tự tâm T tỉ số nên z at nh oi HH đường thẳng Steiner T ứng với hai tam giác AEF, ABC hay P H đường thẳng Steiner P ứng với tam giác ABC z Kéo dài AH cắt (O) R suy T R qua Q @ gm Ta có ZP · ZK = PZ/(Oa ) = ZB · ZC Suy BP KC tứ giác nội tiếp l Gọi U đối xứng P qua M Phép đối xứng tâm M biến đường tròn co (BP KC) thành (BLU C) Lại có Q đối xứng với P qua BC nên QU ∥ BC m QB = QP = U C hay tứ giác BQU C hình thang cân Vậy năm điểm an Lu B, Q, L, U, C thuộc đường tròn n va ac th si 58 Ta có P K ∥ U L nên [ P[ XL = 180◦ − QLU (2.7) Gọi V giao điểm thứ hai P Q với (BQC) W điểm đối xứng với A qua O Do hai đường tròn (BP C) (BQC) đối xứng với qua BC nên P trực tâm tam giác BV C Đồng thời V U qua tâm ngoại tiếp tam giác V BC \ \ nên \ QV U = |V BC − V CB| [ = ACP [ nên V[ \ \ Lại có ABP BA = V[ CA Suy |V BC − V CB| [ − ACB| [ = RAW \ = RT \ [ = |ABC W = QT P Vậy lu an n va \ [ QV U = QT P (2.8) tn to [ \ hay tứ giác XT P Q nội tiếp đường tròn Từ (2.7) (2.8) suy QT P = QXP gh (S) p ie [ Ta có ST P = 90◦ − T[ QP = 90◦ − T[ RA = 90◦ − T\ W A = T\ AW Suy ST nl w tiếp tuyến đường tròn (O) [ \ \ Mặt khác, ST X = 90◦ − T P X = T[ ZP = T Y X Suy ST tiếp tuyến d oa đường tròn (XY Z) an lu Vậy hai đường tròn (O) (XY Z) tiếp xúc T _ nf va Bài toán 2.5.14 ([2]) Cho tam giác ABC, M điểm thuộc cung BC không z at nh oi lm ul chứa đỉnh A Gọi D, E, H hình chiếu vng góc M BC CA AB cạnh BC, CA, AB Chứng minh = + MD ME MH z Chứng minh Áp dụng định lý Simson, ta có H, D, E thẳng hàng Do M HBD, _ \ \ M DEC tứ giác nội tiếp nên M EH = M CB (chắn cung BM ), n va \ \ \ \ \ \ Ta có M HD = M BC = M AC, M DH = M BH = M CA (2.9) an Lu BC HE = MD MI m co Kẻ M I ⊥ HE Do đó, ta có l Suy ∆M EH đồng dạng với ∆M CB gm @ \ \ M BC = M HE ac th si 59 lu an n va Hình 2.34: tn to Suy ∆M HD đồng dạng với ∆M AC ie gh Suy p AC HD = ME MI (2.10) w oa nl \ \ \ \ \ \ \ Ta có M ED = M CB = M AB, M DE + M CA = 180◦ = M BA + M CA d Suy ∆M ED đồng dạng với ∆M AB nf va an lu Suy AB ED = MH MI (2.11) lm ul z at nh oi AC AB HD + DE HE Cộng hai vế (2.10) (2.11) ta + = = ME MH MI MI BC CA AB Kết hợp với (2.9) ta có = + MD ME MH _ z Bài toán 2.5.15 ([2]) Cho tam giác nhọn ABC, M điểm thuộc cung BC @ gm không chứa đỉnh A Gọi D, H hình chiếu vng góc M m co l cạnh AC, AB Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng DH ngắn an Lu Chứng minh Hạ M E ⊥ BC Ta có D, E, H thẳng hàng (Định lý Simson) n va ac th si 60 lu an n va Hình 2.35: ie gh tn to \ = DHM \ Do M CDE tứ giác nội Do M HBE tứ giác nội tiếp nên CBM \ = HDM \ tiếp nên BCM p Do hai tam giác HDM BCM đồng dạng HM MH HD HD = , M H ≤ M B, suy ≤ 1, suy ≤ Suy BC BM MB BC Do HD ≤ BC Suy HD lớn HD = BC oa nl w d Suy M H = M B, suy M B ⊥ AB hay AB đường kính lu nf va an Vậy M đối xứng với A qua tâm O Bài toán 2.5.16 ([2]) Cho ba điểm A, B, C thuộc đường thẳng M lm ul không thuộc đường thẳng Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp z at nh oi tam giác M AB, M BC, M CA M thuộc đường tròn Chứng minh Gọi O1 , O2 , O3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam z giác M AB, M BC, M CA D, E, F hình chiếu vng góc M gm @ cạnh ∆O1 O2 O3 m co (Định lý Simson) l Do M F ⊥ O1 O2 , M D ⊥ O2 O3 , M E ⊥ O3 O1 Suy D, E, F thẳng hàng an Lu Theo tốn ngược lại, ta có O1 , O2 , O3 , M nằm đường tròn n va ac th si 61 Hình 2.36: lu Bài toán 2.5.17 ([2]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Gọi an H, K hình chiếu vng góc B AC CD; M, N trung điểm va AD HK Chứng minh tam giác BM N tam giác vuông n p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Hình 2.37: z gm @ Chứng minh Từ B kẻ BE ⊥ AD, theo định lý Simson ta có đỉnh B với tam co l giác ADC có BH ⊥ AC, BK ⊥ CD Suy E, H, K thẳng hàng \ = EKB \ Do BEDK tứ giác nội tiếp nên EDB m \ + BCS [ = 180◦ Do BHKC tứ giác nội tiếp nên BHK \ + BCD \ = 180◦ suy BAD \ = BHK \ Mặt khác, BAD an Lu Do hai tam giác BHK BAD đồng dạng n va ac th si 62 Do M A = M D N H = N K suy ∆BN K ∆BM D đồng dạng \ \ \ \ \ \ Ta có AM B=M DB + M BD; BN E=N KB + N BK \ \ Suy AM B = BN E Do BEM N tứ giác nội tiếp Do BE ⊥ AD nên BN ⊥ M N Vậy BM N tam giác vuông Bài toán 2.5.18 ([2]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi P, Q, R hình chiếu vng góc D BC, CA, AB Chứng minh P Q = QR [ ADC \ cắt AC đường phân giác ABC lu an n va p ie gh tn to d oa nl w lu nf va an Hình 2.38: \ = DRP \ Tương tự, ta có DAC z at nh oi lm ul Chứng minh Theo giả thiết, ta có P, Q, R thẳng hàng (Định lý Simson) \ = DP \ Do DP CQ tứ giác nội tiếp nên DCA R Suy ∆DCA ∆DP R đồng dạng, ∆DAB ∆DQP đồng dạng, ∆DBC z ∆DRQ đồng dạng DA DR DR QR DP PQ Suy = ; = ; = DC DP DB BC DB BA QR DB DA BC = QR · BA ⇒ = PQ DC P Q BC DB BA DA BA [ Suy P Q = QR = hay đường phân giác ABC DC BC \ cắt AC ADC m co l gm @ an Lu n va ac th si 63 Bài toán 2.5.19 ([2]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O), E điểm (O) Gọi K, L, M, H hình chiếu vng góc E DA, AB, BC, CD Chứng minh H trực tâm tam giác KLM ABCD hình chữ nhật lu an n va p ie gh tn to oa nl w Hình 2.39: d Chứng minh Theo giả thiết EK ⊥ AD, EL ⊥ AB, EM ⊥ BC, EH ⊥ CD, từ an lu E kẻ EG ⊥ AC, EF ⊥ BD nf va Theo định lý đường thẳng Simson, ta có ba (K, L, F ), (M, F, H), lm ul (K, H, G), (M, L, G) thẳng hàng; z at nh oi [ = AQE, [ Gọi P Q giao điểm EG, EF với đường tròn (O) Suy ABE [ [ suy LF [ [ Suy raKL ∥ AQ LF E = LBE E = AQE Tương tự, ta có M G ∥ BP, DP ∥ KH, CQ ∥ M H z Ta có KF ∥ M H ⇔ AQ ⊥ QC, M G ⊥ KH ⇔ BP ⊥ P D [ = 90◦ hay AC đường kính đường Mặt khác, AQ ⊥ QC nên AQC gm @ tròn (O) Tương tự, BP ⊥ DP nên BD đường kính đường trịn (O) l m chữ nhật hay H trực tâm ∆KLM co Do AC, BD đồng thời đường kính đường trịn (O) nên ABCD hình an Lu [ = 60◦ , AC = b, AB = c (b > c) Bài toán 2.5.20 ([12]) Cho ∆ABC có BAC n va Đường kính EF đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC ac th si 64 M Gọi I J chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AC; H K chân đường vng góc hạ từ F xuống AB, AC Chứng minh IJ ⊥ HK lu an n va tn to p ie gh Hình 2.40: Chứng minh Ta thấy HK qua M (đường thẳng Simson) oa nl w Gọi L giao điểm AE IJ, ta có d [ = ECB \ = EBC \ = JAE [ IAE an lu Mặt khác ta có nf va Do ∆AIE = ∆AJE Suy AE ⊥ IJ lm ul [ = EF [ \ EAC C = AKH z at nh oi Suy AE ∥ HK Do IJ ⊥ HK Bài toán 2.5.21 ([4]) Xét điểm A, B, C, D, E thỏa mãn ABCD hình z bình hành, bốn điểm B, C, E, D nằm đường tròn Gọi l @ m co l gm đường thẳng qua A Giả sử l cắt đoạn DC F BC G Giả sử \ EF = EG = EC Chứng minh l phân giác góc DAB an Lu Chứng minh Gọi ME , MD , MC hình chiếu vng góc E lên CB, CD, BD Ta có theo giả thiết ban đầu E thuộc đường tròn ngoại tiếp n va tam giác BCD, suy MC , MD , ME thẳng hàng (đường thẳng Simson) ac th si 65 Hình 2.41: lu an Mặt khác EG = EC = EF nên E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác va n GCF , suy ME , MD trung điểm CG, CF Suy ME MD đường tn to trung bình tam giác CGF ie gh Do ta có (ME MD MC ) ∥ (AF ) ≡ (GF ) suy MC trung điểm CA p đồng thời trung điểm BD w Trong tam giác EBD, EMC đường cao đồng thời đường trung tuyến, d oa nl suy tam giác EBD cân E, suy EB = BD \ = EDC \ suy tam giác EBME tam giác EDMD Mặt khác EBC lu nf va an nhau, suy EME = EMD ⇒ GC = CF hay ∆CF G cân C, suy [ = CF [ CGF G z at nh oi lm ul [ = GF [ \ [ =F \ Mà BAF C, F AD = F[ GC ⇒ BAF AD, suy F A phân giác \ hay l phân giác góc BAD \ góc BAD Bài tốn 2.5.22 ([4]) Cho tam giác ABC với BA > AC Gọi P giao điểm b Dựng đường trung trực BC đường phân giác góc A z điểm X AB Y AC cho P X vng góc với AB P Y vng BZ góc với AC Gọi Z giao điểm XY BC Xác định giá trị tỉ số ZC l gm @ m co Chứng minh Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Giả sử đường phân [ cắt đường tròn R giác BAC an Lu [ = 2BAR [ = 2CAR [ = COR [ Như thế, BR = CR điểm R nằm Ta có BOR n va trung trực BC ac th si 66 lu an n va Hình 2.42: tn to Vậy R ≡ P tứ giác ABCP nội tiếp Các điểm X, Y, M chân gh đường vng góc hạ từ P xuống cạnh ∆ABC p ie Từ theo định lý Simson, điểm X, Y, M thẳng hàng d oa nl w Như ta có M ≡ Z BZ = ZC = BM = M C = BZ Vậy = ZC Bài toán 2.5.23 ([6]) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm an lu H, đường đối trung AD (D ∈ BC) Qua D kẻ đường thẳng cắt AC, AB lần nf va lượt E, F cho D trung điểm EF Gọi K trực tâm tam giác AEF lm ul a) Chứng minh đường trịn đường kính AK tiếp xúc với đường tròn (O) b) Chứng minh đường tròn đường kính AK tiếp xúc với đường trịn (BHC) z at nh oi [ Chứng minh a) Gọi M trung điểm BC Do AM AD đẳng giác BAC D trung điểm EF nên tứ giác F BEC nội tiếp ∆AF E ∼ ∆ACB Do z b nên K ∈ AO Suy (AK) tiếp xúc với AH AO đẳng giác góc A l gm b) Cách @ đường tròn (O) A T m co Gọi T hình chiếu H AM Ta chứng minh (AK) (BHC) tiếp xúc an Lu Gọi X, Y, Z trung điểm AD, BE, CF AD cắt BE, CF n va V, W ; BE cắt CF R ac th si 67 lu an va Hình 2.43: n tn to Ta có (RW F C) = (RV BE) = −1 nên theo hệ thức Maclaurin, ie gh RV · RY = RB · RE = RF · RC = RW · RZ Suy tứ giác V W ZY nội tiếp p Theo hệ thức Newton, XY · XZ = XV · XW = XA Do AY, AZ đẳng [ nên ta thu AZX \ = XAY \ = ZAM \ hay AM ∥ XZ giác BAC nl w oa Do XZ đường thẳng Gauss-Newton tứ giác toàn phần ABDE.F C nên d XZ vng góc với đường thẳng Steiner HK Suy AM ⊥ HK hay HK an lu qua T nf va Gọi Q giao điểm thứ hai (AH) với đường tròn (O) HT cắt BC L lm ul Ta có Q, H, M thẳng hàng H trực tâm tam giác ALM nên L, A, Q thẳng hàng Suy LH · LT = LA · LQ = LB · LC nên T ∈ (BC) z at nh oi Gọi G điểm đối xứng với A qua M , J tâm (BHC) Ta có J O đối xứng với qua BC nên G ∈ (BHC) JG ∥ AO Vậy T tâm vị cự z hai đường tròn (AK) (BHC) hay hai đường tròn tiếp xúc T gm @ Cách m co chứng minh HK ⊥ AM l Theo cách 1, hai đường trịn đường kính AK (BHC) tiếp xúc ta [ [ = BF \ Kéo dài AD cắt đường tròn (O) P Ta có BP A = BCA D Suy P an Lu điểm Miquel tứ giác toàn phần ABDE.CF n va Do H, K trực tâm tam giác ABC, AEF nên HK đường thẳng ac th si 68 lu an n va to gh tn Hình 2.44: p ie Steiner tứ giác toàn phần ABDE.CF hay đường thẳng Steiner điểm Miquel P ứng với tam giác ABC nl w Kẻ P X ⊥ AB, P Y ⊥ AC Suy XY đường thẳng Simson P ứng với d oa tam giác ABC Ta thu XY ∥ HK nf va an lu Mặt khác, ta có AP đường kính (AXY ), AM đẳng giác với AP [ nên AM ⊥ XY Vậy AM ⊥ HK BAC Khi hai đường trịn đường kính AK (BHC) tiếp xúc z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 69 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau: Trình bày số kiến thức chuẩn bị kiến thức cần thiết phục vụ cho việc chứng minh toán liên quan đến đường thẳng Simson lu an Trình bày định nghĩa, số tính chất thú vị đường thẳng Simson n va tam giác ứng dụng với lời giải toán tài liệu tham khảo gh tn to Luận văn cố gắng đưa lời bình, đưa lời giải tường minh so p ie Ngoài ra, luận văn tiến hành phân dạng số dạng toán liên quan tới đường thẳng Simson tam giác d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 70 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Ngơ Quang Dương (2016), Đường thẳng Simson, Tạp chí Epsilon số lu an [2] Nguyễn Bá Đang (2016), Những định lí chọn lọc hình học phẳng n va toán áp dụng, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam xuất giáo dục Việt Nam ie gh tn to [3] Nguyễn Bá Đang, 279 Bài tốn hình học phẳng Olympic nước, Nhà p [4] Vũ Văn Đức (2011), Một số định lý hình học tiếng áp dụng, Luận oa nl w văn Thạc sĩ toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên [5] Nguyễn Duy Khương (2018), Tìm tịi sáng tạo số chủ đề Hình học d nf va an lu phẳng, Lưu hành nội [6] Nguyễn Văn Linh (2018), 108 tốn hình học sơ cấp, Nhà xuất Đại lm ul học Quốc gia Hà Nội z at nh oi [7] Ong Thế Phương, Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner điểm anti-Steiner http://123doc.org/document/1979322-duong-thang-simsonduong-thang-steiner-va-diem-antisteiner.htm z @ li-ve-duong-thang-simson-chuyen-toan-lop-9/ co l gm [8] Võ Tiến Trình, Đường thẳng Simson, toanth.net http://toanth.net/dinh- m [9] Trần Trung, Trần Việt Cường, Trần Xuân Bộ (2015), Một số tính chất đặc an Lu biệt tam giác, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam n va ac th si 71 [10] Đoàn Quốc Việt, Đường thẳng Simson tam giác http://thcsgiovietgl.quangtri.edu.vn/ upload/32390/20181110/ Duong_thang_Simson_trong_tam_giac.pdf [11] Huy Cao’s Blog, Đồng quy, định lí Simson https:// julielltv.wordpress.com/category/su-thang-hang-cac-duong-dong-quy/ [12] Diễn đàn MathScope.org, Tuyển tập tốn hình học phẳng http://www.mathscope.org/showthread.php?t=24911&langid=1 Tiếng Anh lu an va [13] Nguyễn Văn Linh (2016), “Another Synthetic Proof of Dao’s Generalization n of the Simson Line Therem”, Forum Geometricorum, Vol 16, pp 57-61 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si