(Luận văn) nâng cao chất lượng cán bộ lãnh đạo cấp xã tại thị xã sông công, tỉnh thái nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HƯƠNG THƠM lu an n va p ie gh tn to NGHIỆM XẤP XỈ CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN HILBERT d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HƯƠNG THƠM lu an n va NGHIỆM XẤP XỈ CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu u nf va Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 ll oi m z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: m co l gm @ GS.TS Nguyễn Bường an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si i Mục lục Bảng ký hiệu ii lu an 1 Không gian Hilbert n va Mở đầu p ie gh tn to 1.1 1.1.1 Khái niệm ví dụ 1.1.2 Một số tính chất không gian Hilbert 1.1.3 Phép chiếu mêtric 10 Toán tử đơn điệu toán tử đơn điệu cực đại 11 nl Một số phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu 14 d oa 1.3 w 1.2 Không gian Hilbert Phương pháp điểm gần kề 16 an lu 1.3.1 Phương pháp lặp Mann 17 1.3.3 Phương pháp lặp Halpern 17 nf va 1.3.2 lm ul 2.1 Phương pháp xấp xỉ khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại18 2.1.1 Mô tả phương pháp 18 2.1.2 Định lý hội tụ mạnh 19 2.1.3 Định lý hội tụ yếu 23 z gm @ Áp dụng cho toán cực tiểu 30 Kết luận 34 an Lu Tài liệu tham khảo m co l 2.2 18 z at nh oi Xấp xỉ khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại 35 n va ac th si ii Bảng ký hiệu lu an n va tập số nguyên không âm N∗ tập số nguyên dương R tập số thực H không gian Hilbert thực C tập đóng lồi H ∅ tập rỗng ∀x x tồn x hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y kxk chuẩn vectơ x ie ∃x p gh tn to N xn hội tụ mạnh đến x d xn hội tụ yếu x I toán tử đơn điệu không gian Hilbert nf va T an lu xn * x oa nl w xn → x toán tử đồng H lm ul toán tử giải T PC phép chiếu mêtric từ H lên tập lồi C H lim supn→∞ xn giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } ∂f vi phân hàm lồi f z at nh oi Jr z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Tốn tử đơn điệu cơng cụ hiệu sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác tốn học như: phương trình vi phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xác suất, kinh tế, Đặc biệt giải tích lu an lồi, tính lồi hàm nửa liên tục đặc trưng tính n va đơn điệu vi phân gh tn to Ta xét tốn (1) p ie Tìm phần tử v ∈ H cho ∈ T v, w không gian Hilbert thực H, T : H → 2H toán tử đơn oa nl điệu cực đại d Một phương pháp phổ biến để giải toán (1) phương pháp điểm lu nf va an gần kề đề xuất nghiên cứu Rockafellar [12] vào năm 1976 Phương pháp xây dựng sau: xuất phát từ điểm x0 = x ∈ H, z at nh oi lm ul dãy lặp {xn } H xác định xn+1 = Jrn xn , n = 0, 1, 2, (2) z Jrn = (I + rn T )−1 {rn } dãy số thực dương Rockafellar nghiệm toán (1) l gm @ [12] chứng minh tính hội tụ yếu phương pháp (2) co Năm 1991, Guler [7] phương pháp điểm gần kề (2) không m hội tụ mạnh không gian Hilbert vơ hạn chiều ví dụ Năm an Lu 2004, Bauschke, Matousková Reich [11] ví dụ mà phương n va ac th si pháp điểm gần kề hội tụ yếu khơng hội tụ theo chuẩn Do đó, vấn đề nghiên cứu, cải tiến phương pháp điểm gần kề (2) nhằm thu hội tụ mạnh nhiều nhà toán học giới quan tâm, chẳng hạn Kamimura Takahashi [13], Tan Xu [14], Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày nghiên cứu xây dựng phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert thực Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương 1: Trình bày khơng gian Hilbert, số tính chất khơng gian Hilbert, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại, lu tốn số phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu an cực đại làm sở nghiên cứu cho Chương va n Chương 2: Trình bày hai phương pháp tìm xấp xỉ khơng điểm to gh tn tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert thực Phần cuối chương áp dụng cho tốn tìm điểm cực tiểu hàm lồi p ie w Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học oa nl Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình d nf va luận văn an lu hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trình học tập, nghiên cứu viết lm ul Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, TS Nguyễn Thị Thu z at nh oi Thủy toàn thể thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập trường z Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới trường THPT Chu Văn An – Thái @ Nguyên, tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014-2016), bạn bè, đồng gm m co trình học tập, nghiên cứu l nghiệp gia đình tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả an Lu n va ac th si Chương Không gian Hilbert lu Chương trình bày khái niệm tính chất khơng gian Hilbert, an va tốn tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại số phương pháp tìm n khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Các kiến thức chương gh tn to tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [3] Không gian Hilbert p ie 1.1 Khái niệm ví dụ w 1.1.1 oa nl Định nghĩa 1.1.1 Cho H không gian vectơ R, tích vơ hướng xác d định H ánh xạ nf va an lu h., i :H × H −→ R z at nh oi lm ul (x, y) 7−→ hx, yi thỏa mãn điều kiện sau hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; z gm @ hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; co l hλx, yi = λ hx, yi với x, y ∈ H, λ ∈ R; hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = ⇔ x = m an Lu Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai vectơ x, y H n va ac th si Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy hx, 0i = h0, xi = với x ∈ H; hx, λyi = λ hx, yi với x, y ∈ H, λ ∈ R; hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.3 Cặp (H, h., i), H khơng gian tuyến tính R, h., i tích vơ hướng H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Trong không gian tiền lu an Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau va n |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi Chứng minh Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên ie gh tn to (1.1) p Giả sử y 6= 0, với số λ ∈ R ta có w an lu tức d oa nl hx + λy, x + λyi ≥ 0, hx, yi ta hy, yi z at nh oi lm ul Chọn λ = − nf va hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ hx, xi − |hx, yi|2 ≥0 hy, yi z  co l Định lý chứng minh gm @ ⇔ |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi m Nhận xét 1.1.5 Dấu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xảy an Lu x y phụ thuộc tuyến tính n va ac th si Mối quan hệ khái niệm chuẩn tích vơ hướng thể qua định lý sau Định lý 1.1.6 Mọi không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức kxk = p hx, xi ∀x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Nhận xét 1.1.7 Với kí hiệu này, bất đẳng thức Schwarz viết lại lu thành an |hx, yi| ≤ kxkkyk n va chuẩn đầy đủ không đầy đủ ie gh tn to Như không gian tiền Hilbert xem không gian định p Định nghĩa 1.1.8 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi w d oa nl không gian Hilbert thực nf va an lu Ví dụ 1.1.9 Trong không gian Rn cho Không gian Rn với: x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , Pn dễ dàng chứng minh hàm số thỏa mãn z at nh oi k=1 xk yk lm ul đặt hx, yi = điều kiện tích vơ hướng Ngồi ra, với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , kxk = hx, xi = n X n X |xk |2 , k=1 co l gm nên Rn không gian Hilbert @ k=1 xk xk = z m Để nghiên cứu không gian l2 (Λ), trước hết ta cần mở rộng khái niệm an Lu tổng họ (tùy ý) phần tử không gian định chuẩn Cho n va ac th si Λ 6= ∅ tập hợp, X không gian định chuẩn f : Λ → X ánh xạ Ký hiệu F(Λ) họ tất tập hữu hạn Λ Với F ∈ F(Λ), đặt S(F ) = X f (t) ∈ X t∈F Giả sử tồn S ∈ X thỏa mãn: với ε > 0, tồn F0 ∈ F(Λ) cho với F ∈ F(Λ), F ⊃ F0 kS(F ) − Sk < ε Khi ta nói họ S(F ) hội tụ S kí hiệu lim = S Trong trường hợp ta nói S tổng F ∈F(Λ) họ phần tử {f (t)}t∈Λ không gian định chuẩn X viết: lu S= X an f (t) t∈Λ n va hợp hàm số f xác định Λ lấy giá trị K cho ie gh tn to Ví dụ 1.1.10 Cho Λ tập hợp khác rỗng tùy ý Ký hiệu l2 (Λ) tập p X |f (t)|2 < ∞ t∈Λ nl w d oa Với f, g ∈ l2 (Λ), λ ∈ K, đặt nf va an lu (f + g)(t) = f (t) + g(t) (λf )(t) = λf (t) lm ul Dễ chứng minh l2 (Λ), với hai phép tốn khơng gian z at nh oi tuyến tính Ngồi ra, với f, g ∈ l2 (Λ), với t ∈ λ, ta có |f (t)g(t)| ≤ |f (t)|2 + |g(t)|2 Điều kéo theo z t∈Λ f (t)g(t) tồn với f, g ∈ l2 (Λ) m t∈Λ |g(t)|2 co P |f (t)| + X l Do t∈Λ gm t∈Λ |f (t)g(t)| ≤ X @ X an Lu n va ac th si 22 ε ≤ αn+m + (1 − αn+m )(δn+m + kJrn+m xn+m − P xk)2 ε ≤ αn+m + (1 − αn+m )(δn+m + kxn+m − P xk)2 ε ≤ αn+m + (1 − αn+m )(δn+m M + kxn+m − P xk2 ) ε ≤ αn+m + δn+m M + (1 − αn+m )||xn+m − P x||2 , ∀n ∈ N lu Bằng phương pháp quy nạp ta nhận ( ) n+m Y ε kxn+m+1 − P xk2 ≤ − (1 − αj ) j=m ( n+m ) n+m X Y +M δj + (1 − αj ) kxm − P xk2 an n va j=m với n ∈ N Từ suy n+m X ε δj + kxn+m+1 − P xk ≤ + M j=m p ie gh tn to j=m oa nl w ( n+m ) Y (1 − αj ) kxm − P xk2 d ≤ Do đó, từ P∞ n=0 αn δj + exp − j=m n+m X ! αj kxm − P xk2 j=m nf va an lu ε +M n+m X j=m = ∞ ta có lm ul n→∞ z at nh oi lim sup kxn − P xk2 = lim sup kxn+m+1 − P xk2 n→∞ ∞ X ε ≤ +M δj ≤ ε j=m z gm  m co l Định lý chứng minh @ Vì ε bất kì, nên suy dãy {xn } → P x an Lu n va ac th si 23 2.1.3 Định lý hội tụ yếu Trong mục ta trình bày hội tụ yếu thuật toán điểm gần kề Dãy {xn } tạo     x0 = x ∈ H yn ≈ Jrn xn   x n+1 = αn xn + (1 − αn )yn , (2.6) n ∈ N, với {αn } ⊂ [0; 1] {rn } ⊂ (0; ∞) Bổ đề 2.1.2 Cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại P lu an phép chiếu mêtric từ H lên T −1 Cho x ∈ H dãy {xn } xác định n va (2.6) theo tiêu chuẩn (2.4), với {αn } ⊂ [0; 1] {rn } ⊂ (0; ∞) Nếu T −1 cho ie gh tn to T −1 6= ∅ dãy {P xn } hội tụ mạnh tới v ∈ T −1 0, phần tử p lim kxn − vk = inf{ lim kxn − uk : u ∈ T −1 0} n→∞ n→∞ w d oa nl Chứng minh Cho u ∈ T −1 ta có lu nf va an kxn+1 − uk = kαn xn + (1 − αn )yn − uk ≤ αn kxn − uk + (1 − αn )kyn − uk lm ul ≤ αn kxn − uk + (1 − αn )(δn + kJrn xn − uk) z at nh oi ≤ αn kxn − uk + (1 − αn )(δn + kxn − uk) ≤ kxn − uk + δn P∞ < ∞ tồn gm @ n=0 δn z với n ∈ N Vì từ n→∞ co l g(u) = lim kxn − uk m với g hàm lồi liên tục g(u) → ∞ hay kuk → ∞, g đạt an Lu giá trị cực tiểu T −1 n va ac th si 24 Cho l = inf{g(u) : u ∈ T −1 0} K = {w ∈ T −1 : g(w) = l} Cố định v ∈ K, P phép chiếu mêtric từ H lên T −1 0, ta có kxn − P xn k ≤ kxn − vk với n ∈ N lu an lim sup kxn − P xn k ≤ l n→∞ va n Giả thiết lim sup kxn − P xn k < l to n→∞ ie gh tn Tiếp theo ta chọn a > m ∈ N cho p kxn − P xn k ≤ l − a, ∀n ≥ m d oa nl w Khi đó, lu an kxn+h+1 − P xn k ≤ kxn − P xn k + n+h X δi ≤ l − a + nf va i=n n+h X δi , i=n z at nh oi lm ul với n ≥ m, h ∈ N Từ suy l ≤ lim kxh − P xn k = lim kxn+h+1 − P xn k ≤ l − a + h→∞ n+h X h→∞ δi , i=n z l gm @ với n ≥ m ∞ X Từ δn < ∞ ta có l ≤ l − a < l điều mâu thuẫn, ta n=0 n→∞ an Lu lim sup kxn − P xn k = l m co kết luận n va ac th si 25 Tiếp đến ta lim P xn = v n→∞ Nếu không tồn ε > r cho với h ∈ N, kP xh0 − vk ≥ ε với ε2 h0 ≥ h Cho b > cho b < l2 + − l ta có giá trị h0 ∈ N cho M ∞ X ε2 δi ≤ i=h kxh0 − P xh0 k ≤ l + b kxh0 − vk ≤ l + b, lu an va ∞ X n P x + v n M= δn + sup x − n n∈N n=0 p ie gh tn to Khi ta có P xh0 − v xn+h0 +1 − ≤ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul !2 n+h X P xh0 + v δi2 + xh − i=h0 n+h X P x + v h δi ≤ xh0 − +M i=h0 x − P x x − v h h h = + 2 n+h P x − v X h − δi +M i=h !2 !2 n+h X l+b l+b ε2 ≤2 +2 − +M δi 2 z @ i=h gm l n+h X ε2 ≤ (l + b) − + M δi m co i=h an Lu n va ac th si 26 với n ∈ N Từ ruy P xh + v l ≤ lim xn+h0 +1 − h→∞ ∞ X ε2 δi ≤ (l + b) − + M i=h ≤ (l + b)2 − ε < l2 Điều mâu thuẫn Do dãy {P xn } hội tụ mạnh tới v ∈ T −1 0, dẫn đến v phần tử T −1 cho lu an g(v) = inf{g(u) : u ∈ T −1 0} n va  Định lý 2.1.3 Cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại P ie gh tn to Điều phải chứng minh p phép chiếu mêtric từ H lên T −1 Cho x ∈ H dãy {xn } dãy tạo nl w (2.6) theo tiêu chuẩn (2.4), {αn } ⊂ [0; 1] {rn } ⊂ (0; +∞) thỏa mãn oa αn ∈ [0; k] < k < lim rn = ∞ Nếu T −1 6= ∅ {xn } hội d tụ yếu tới v ∈ T −1 n→∞ 0, v = lim P xn an lu n→∞ nf va Chứng minh Theo chứng minh Bổ đề 2.1.2, tồn lm ul lim kxn − uk ∀u ∈ T −1 n→∞ z at nh oi đặc biệt tồn dãy {xn } giới nơi tồn dãy {xni } ⊂ {xn } cho {xni } hội tụ yếu đến v ∈ H Ta chứng minh v ∈ T −1 z gm @ Trước tiên ta chứng minh m co l lim kxn+1 − yn k = n→∞ an Lu n va ac th si 27 Thật ta có (1 − k)αn2 kxn − yn k2 ≤ (1 − k)αn kxn − yn k2 = αn kxn − uk2 + (1 − αn )kyn − uk2 − kxn+1 − uk2 ≤ αn kxn − uk2 + (1 − αn )(δn + kJrn xn − uk)2 − kxn+1 − uk2 ≤ αn kxn − uk2 + (1 − αn )(δn + kxn − uk)2 − kxn+1 − uk2 lu ≤ αn ||xn − u||2 + (1 − αn )(δn M + kxn − uk)2 an va − kxn+1 − uk2 n ≤ kxn − uk2 − kxn+1 − uk2 + δn M, p ie gh tn to M = supn∈N (δn + 2kxn − uk), lim kxn+1 − yn k = lim αn kxn − yn k = n→∞ oa nl w n→∞ d Ta giả thiết yni * v dẫn đến Jrni xni * v yn − Jrni xni → nf va an lu Vì Arn xn ∈ T Jrn xn T đơn điệu, hz − Jrni xni , z − Arni xni i ≥ (2.7) lm ul z at nh oi thỏa mãn z ∈ T z Từ rn → ∞, ta có xn − Jrn xn = lim kArn xn k = lim n→∞ n→∞ rn z @ gm Trong (2.7) cho i → ∞, ta nhận hz − v, z i ≥ với z, z l z ∈ T z Do T cực đại suy v ∈ T −1 Theo Bổ đề 2.1.2 {P xn } hội tụ m co mạnh tới v ∈ T −1 P phép chiếu mêtric từ H lên T −1 0, ta có an Lu hxni − P xni , w − P xni i ≤ n va ac th si 28 với w ∈ T −1 ta có hv − v , w − v i ≤ với w ∈ T −1 Đặt w = v ta nhận kv − v k2 ≤ v = v Điều chứng tỏ điểm hội tụ yếu {xn } điểm hội tụ mạnh {P xn }, {xn } hội tụ yếu đến v ∈ T −1 0, v = lim P xn n→∞  Định lý chứng minh lu Tiếp theo ta nghiên cứu tốc độ hội tụ (2.6) Ta biết T −1 an va goi liên tục Lipschitz ∈ T z với hệ số a ≥ Nếu ∈ T z có n nghiệm z0 (tức T −1 = z0 ), với τ > 0, ta có tn to (2.8) p ie gh kz − z0 k ≤ akwk w với z ∈ T −1 w kwk ≤ τ Rockafellar [12] rằng, T −1 oa nl liên tục Lipschitz rn → ∞ tốc độ hội tụ (2.6) siêu tuyến d tính, Áp dụng phương pháp Rockafellar [12], ta có kết sau an lu Định lý 2.1.4 Cho T : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại Cho nf va {xn } dãy tạo (2.6) theo tiêu chuẩn kyn − Jrn xn k ≤ γn kyn − xn k, lm ul {αn } ⊂ [0; 1], {rn } ⊂ (0; ∞) {γn } ⊂ (0; ∞) thỏa mãn z at nh oi (i) αn ∈ [0; k] với < k < 1; (ii) lim rn = ∞ ; n→∞ z gm n→∞ @ (iii) lim γn = l Nếu {xn } giới nội T −1 liên tục Lipschitz ∈ T z với hệ số a ≥ 0, an Lu cho m co {xn } hội tụ mạnh tới v = T −1 Hơn tồn số nguyên N > kxn+1 − vk ≤ θn kxn − vk với n ≥ N n va ac th si 29 µn = p θn = αn + a a2 + rn2 (1 − αn )(µn − γn ) − γn ≤ θn < với n ≥ N Chứng minh Từ T −1 liên tục Lipschitz ∈ T z với hệ số a ≥ 0, với số τ > 0, ta có kz − vk ≤ akwk với z ∈ T −1 w kwk ≤ τ Từ kJrn xn − vk ≤ kxn − vk dãy {Jrn xn } giới nội suy Arn xn → Khi tồn số nguyên N > cho kArn xn k ≤ τ lu an n va θn = αn + (1 − αn )(µn − γn )